XII Escola do CBPF. Computação Quântica Experimental na Nuvem. Material de Apoio V3. Roberto S. Sarthour & Leonardo J.L. Cirto

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1 XII Escola do CBPF Computação Quântica Experimental na Nuvem Material de Apoio V3 Roberto S. Sarthour & Leonardo J.L. Cirto Rio de Janeiro 9/07/019 0/08/019

2 Sumário 1 Computação Quântica Experimental na Nuvem Preparação Resumo Ementa Pré-requisitos: Bibliografia Computação Clássica 5.1 Número Binário e Bit Clássico Algoritmos e Máquina de Turing Modelo Computacional de Circuitos Motivação Qubits Portas Lógicas Circuitos Quânticos Qubit Qubits Portas de Pauli Porta Hadamard H Porta de Fase S e Porta T Circuito Quântico Porta NOT Controlada e Emaranhamento Porta de Medição Measuring In Different Basis The U 1, U and U 3 Gates The Bell Basis Algoritmo de Deutsch Teoria Simulação Transformada Quântica de Fourier (QFT) Definição Representação Matricial Representação de Circuito QFT Inversa Circuito da QFT Inversa

3 XXXX.pdf 5.5 Simulação 1: ψ = F Simulação : ψ = F H (0) Teleporte Quântico Circuito de Teleporte de 3 Qubits Simulação 1: Usando 3 Medidores Simulação : Usando 1 Medidor Simulação 3: Tomografia de Estado Density Matrix Density Matrix: 1 Qubit Density Matrix: Mean Values Density Matrix: Pure State Density Matrix: Statistical Mixture Fidelity 31 Referências Bibliográficas 33

4 Capítulo 1 Computação Quântica Experimental na Nuvem XII Escola do CBPF Curso: Computação Quântica Experimental na Nuvem Professores: Roberto S. Sarthour (CBPF sarthour@cbpf.br) Leonardo J.L. Cirto (CBPF cirto@cbpf.br) 1.1 Preparação Sabe nada de Python, instale o Anaconda: Com o Python funcionando, instale o QISKIT: pip install qiskit Finalmente, abra uma conta na IBM Quantum Experience: Pequenas funções em Python de ajuda aparecerão provavelmente aqui: O material de apoio deste arquivo cobre principalmente a parte teórica do curso, a parte computacional veremos na aula. Foi escrito no estilo exercícios-comentários, curto e grosso, bom para consultar rapidamente e lembrar de uma matriz. Há exercícios bem simples e alguns mais complexos. Se estiver no início de graduação, pule o que não souber. 1. Resumo Explorando propriedades intrinsecamente quânticas como a superposição e o emaranhamento, algoritmos quânticos podem resolver alguns problemas mais rapidamente do que algoritmos clássicos. Frente às dificuldades de fabricação de um hardware quântico, o estudo teórico e a implementação experimental de algoritmos quânticos foi por anos tema basicamente acadêmico. Este cenário, entretanto, mudou recentemente, quando empresas como Intel, Google e IBM começaram a divulgar os avanços em seus projetos de computação quântica. Particularmente a IBM, em 016, deu acesso a usuários externos a um protótipo de hardware quântico de 5 q-bits, e, no ano seguinte, a um de 16 q-bits. Esta iniciativa permite que a análise de algoritmos em dispositivos quânticos reais seja realizada de modo relativamente simples. O curso abordará simulações na IBM Quantum Experience, a plataforma em nuvem da IBM para a execução de programas nos chips quânticos da empresa. Discutiremos como usar a plataforma da IBM e os principais conceitos envolvidos em simulações quânticas. O curso será dividido em aulas teóricas e práticas. Será um curso mão na massa; se possível, traga seu notebook. 1.3 Ementa Bits Quânticos Porta Lógica Quântica

5 Resumo 4 Circuito Quântico Modelo de Computação Quântica de Circuitos Modelo de Computação Quântica Adiabática Bits Quânticos Supercondutores Plataforma IBM Quantum Experience Tomografia Quântica de Estado Teleporte Quântico Algoritmos Quânticos Algoritmo de Deutsch Algoritmo de Grover Transformada Quântica de Fourier 1.4 Pré-requisitos: Mecânica Quântica (recomendado) Conhecimentos de Python (recomendado) 1.5 Bibliografia M.A. Nielsen, I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, Cambridge, 10th Anniversary Ed., 011) 1 G. Benenti, G. Casati, G. Strini, Principles of Quantum Computation and Information Vol. 1: Basic Concepts (World Scientific, Singapura, 004). Outras referências ao final do texto.

6 Capítulo Computação Clássica.1 Número Binário e Bit Clássico É possível representar um número real usando apenas símbolos: o símbolo 0 e o 1. Esta representação é a notação binária ou de base. Estamos acostumados com o sistema decimal a base 10 que usa 10 símbolos: 0,1,...9. (a) Cada dígito de um número escrito na base 10 corresponde a uma potência de 10. Exemplos: = = (b) De modo análogo, cada dígito de um número na base corresponde a uma potência de : 10 = = = = = = (c) A tabela abaixo exibe exemplos de adição e subtração de números binários. Adição Subtração Base 10 Base Base 10 Base (d) Cada dígito de um número binário é chamado de bit bit = Binary Digit. O bit é a unidade fundamental de informação clássica. Um número binário de n bits corresponde no sistema decimal a um número inteiro N: N = n m n k n k = m n 1 n 1 +m n n + +m 1 1 +m 0 0 m k = {0,1} k=1 A expressão anterior também pode ser escrita assim: N 10 = m n 1 m n m 0 Um máquina de bits pode representar no máximo 4 estados distintos: 0 10 = = = = 11 Um número binário de n bits representa um inteiro N na base 10 no seguinte intervalo: N 0, n 1 Num computador, o bit é representado pela presença de corrente nos componentes eletrônicos do chip: havendo corrente, o estado lógico do bit é 1, não havendo, é 0. Os dois valores lógicos de um bit clássico são mutuamente excludentes, ou temos 0 ou 1. Como veremos, a unidade fundamental de informação quântico é o bit quântico, o qubit. O qubit pode representar os valores lógicos 0 ou 1 ou qualquer superposição destes dois valores.

7 Computação Clássica 6 (e) Quantas letras do alfabeto um computador de n = 3 bits é capaz de representar? (f) Quantos bits são necessários para representar um alfabeto de 64 letras? R: 6 bits. (g) Usando binários, podemos representar frações também. Exemplos: 10.1 = = = =.5 10 Outro exemplo: = = = Mais exemplos: = = (h) De modo geral, um número real R representado como binário de n bits na parte inteira e p bits na parte fracionária se escreve: n p R = m n k n k + m k k = m n 1 n 1 + +m 0 0 +m 1 1 +m + +m p p Ou: k=1 k=1 R 10 = m n 1 m n m 0.m 1 m m p Assim como nem toda representação decimal é finita, e.g., 1/3 = , nem sempre a representação binária é finita também: = Qualquer número real pode ser aproximado com a precisão desejada por uma fração binária, basta haver um número suficientemente grande de bits disponível. (i) Em computação é comum surgir a aritmética modular. Exemplos de adição modular: = = = = = = a c b = a+b módulo c, ou (a+b) mod c. A aritmética modular é circular, como o relógio: 11h mais 5h é 4h da tarde. A tabela a seguir exibe a soma módulo de dois bits: m 1m 0 m 0 m Algoritmos e Máquina de Turing Esta breve seção é para quem nunca ouviu falar em Máquina de Turing e não tenha ideia do que seja um algoritmo; não trataremos destes temas no curso se aprofunde, por exemplo, nas Refs. 1,. Veja também o filme O Jogo da Imitação, sobre a importante participação de Turing na WW-II. Um algoritmo é um conjunto de instruções precisas para resolver determinado problema. A regra de adição ou de multiplicação de inteiros são exemplos de algoritmos, eles sempre produzem a resposta correto quando aplicados a qualquer par de números inteiros. Muitas vezes, existir um algoritmo não é suficiente para solucionar um problema. Por exemplo, grande parte da criptografia moderna é baseada na dificuldade de encontrar os fatores primos de um número grande. Há algoritmos clássicos para fatorar primos, mas nenhum eficiente. Isso significa que sua conta bancária pode ser invadida, porém isso demoraria milhares de anos mesmo em um cluster computacional poderoso. Para este tipo de problema, existe um algoritmo quântico eficiente, foi proposto por Peter Shor e publicado em Rodando em um computador quântico, esse algoritmo seria capaz de fatorar um número de 048 bits em segundos. O resultado de Shor deu grande impulso ao desenvolvimento da computação quântica.

8 Computação Clássica 7 A ciência da computação moderna foi inaugurada com o trabalho de Alan Turing publicado em Este trabalho introduziu o modelo computacional que ficou conhecido como Máquina de Turing, atualmente considerado o modelo fundamental de computação. Turing desenvolveu em detalhes um conceito abstrato do que chamaríamos hoje de computador programável e forneceu uma formulação matemática precisa à ideia intuitiva de algoritmo. Sua máquina, apesar de idealizada, contém elementos essenciais de um computador atualmemória, unidade de leitura e escrita etc. Turing mostrou também que existe uma máquina de Turing universal, capaz de simular qualquer outra máquina de Turing e conjecturou que, caso exista um algoritmo para resolver determinado problema, então este algoritmo pode ser executado numa máquina de Turing essa é Tese de Church-Turing, não provada mas jamais refutada. O trabalho de Turing foi motivado pela seguinte questão: para qual classe de problemas é possível encontrar um algoritmo? Este tipo de questão se inseria no debate iniciado no começo do século XX por Devid Hilbert, que se perguntava se existiria um algoritmo que pudesse resolver qualquer problema matemático. Hilbert imaginava erroneamente que sim, e o trabalho de Turing contribui com a resposta..3 Modelo Computacional de Circuitos O computador clássico é baseado na lógica Booliana e essencialmente opera manipulando bits; o bit, que vale 0 ou 1, é naturalmente associado aos valores falso e verdadeiro da lógica. Cálculos computacionais transformam uma entrada de n bits numa saída de k bits por meio de funções lógicas: f : {0,1} n {0,1} k A solução de funções lógicas assim pode ser decomposta numa sequência de operações lógicas elementares e essas operações são realizadas pelas chamadas portas lógicas, ver Figs..1 e.. m m m m Fig..1: Tabela verdade e representação de circuito da porta lógica clássica de 1 bit NOT. Circuitos lógicos são lidos da esquerda para direita: o bit m entra pela esquerda e, neste caso, sai à direita valendo m. Um circuito quântico é lido da mesma forma, mas as portas clássicas dão lugar a portas lógicas quânticas e os bits clássicos, aos qubits. Essa forma de computação é denominado Modelo Computacional de Circuitos. O poder computacional do modelo de circuitos é equivalente ao da Máquina de Turing, o modelo de circuitos é, contudo, mais parecido a um computador real. A versão quântica do modelo de circuitos é o modelo computacional usado pelos computadores quânticos da IBM. m 0 m m 0 m 1 m 1m 0 m 0 m 1 m 0 m 1 m 0 m 1 1 m 0 m 1 m 0 m 1 m 0 m 1 m 0 m Fig..: Tabela verdade e circuitos das portas de bits OR ( ), AND ( ) e XOR ( ). O símbolo representa soma módulo..4 Motivação Por que alguém interessado em computação quântica deveria estudar computação clássica? Há, segundo Nielsen & Chuang 1, Cap. 3, aos menos 3 boas razões não precisa concordar com todas!!: Primeira: A ciência da computação clássica desenvolveu um vasto corpo de conceitos e técnicas que pode ser aplicado também à computação quântica. Muitos dos avanços em computação quântica surgiram de ideias já existentes da ciência da computação combinadas com novas ideias da mecânica quântica. Por exemplo, alguns dos melhores algoritmos quânticos são baseados na transformada de Fourier, uma ferramenta poderosa utilizada em muitos algoritmos clássicos. Assim que foi percebido que um computador quântico poderia calcular um tipo de transformada de Fourier muito mais rapidamente do que um computador clássico, foram desenvolvidos diversos algoritmos quânticos importantes leia sobre a transformada de Fourier quântica mais à frente no Cap. 5.

9 Computação Clássica 8 Segunda: Cientistas da computação aprenderam a identificar os recursos necessários para executar determinada tarefa em um computador clássico, e este conhecimento pode ser usado como base de comparação com a computação quântica. Por exemplo, muitos esforços tem sido empregados no problema de encontrar os fatores primos de um número. Acredita-se que não haja solução clássica eficiente para este problema. Contudo, para um computador quântico, há sim solução eficiente conhecida. Este problema indica que existe uma divisão entre o que é possível em um computador clássico e o que é possível em um quântico. Além do interesse particular para este problema sobre primos, este resultado desperta interesse num sentido mais amplo, uma vez que tal divisão pode existir para toda uma classe de problemas e não apenas neste caso. Estudar então mais detalhadamente a fatoração em primos pode permitir a identificação das características que o tornam mais tratável em um computador quântico do que num clássico, e isso ajudaria a encontrar algoritmos quânticos adequados a outros problemas. Terceira e talvez mais importante: É útil aprender a pensar como um cientista da computação. No geral, o estilo de pensar de cientistas da computação é bem diferente do estilo de físicos e demais cientistas. Qualquer um que deseje adquirir uma compreensão profunda de computação e informação quântica deve aprender a pensar como um cientista da computação aos menos algumas vezes. Deve-se desenvolver a habilidade de identificar quais técnicas e problemas despertam o interesse de um cientista da computação.

10 Capítulo 3 Qubits Portas Lógicas Circuitos Quânticos 3.1 Qubit Um computador clássico manipula bits, já um computador quântico manipula bits quânticos, ou qubits. Um qubit é um sistema quântico de dois níveis que pode ser representado por matrizes. Por exemplo, as matrizes: = 1 = 0 1 são estados de um qubit que correspondem aos valores 0 e 1 de um bit clássico. Os valores lógicos de um bit clássico são mutuamente excludentes, ou é 0 ou 1. O qubit, por outro lado, é capaz de representar os valores 0 ou 1 ou qualquer superposição destes dois valores: α ψ = α 0 +β 1 = α,β C α + β = 1 = ψ ψ β No lugar de α e β, podemos usar os ângulos θ e ϕ e escrever o estado genérico de um qubit desta forma: ψ = cos(θ/) 0 +e iϕ sen(θ/) 1 Esta representação permite visualizar o estado do qubit como um ponto na Esfera de Bloch, conforme Fig x ẑ 0 θ ϕ ψ ŷ 0 +i 1 1 Fig. 3.1: Esfera de Bloch. Um bit pode estar no estado 0 ou 1. Já o estado genérico de um qubit ψ é representando como um ponto na superfície da esfera de Bloch. Os estados 0 e 1 estão nos polos desta esfera; as superposições 0 ± 1 / e 0 ±i 1 / estão no equador. Os estados 0 e 1 são ortonormais ortogonal e normalizado, como podemos verificar: 0 0 = = = = = = = O conjunto { 0, 1 } é chamado de base computacional. 3. Qubits O conjunto { 0, 1 } é a base computacional de 1 qubit, a superposição com elementos desta base representa estados possíveis do qubit. Quando lidamos com mais qubits, a base computacional é o produto tensorial entre as bases de 1 qubit. Por exemplo, no caso de n = qubits, temos: { 0, 1 } { 0, 1 } = { 0 0, 0 1, 1 0, 1 1 } = { 00, 01, 10, 11 } = { 0, 1,, 3 }

11 Qubits Portas Lógicas Circuitos Quânticos 10 Acima, m representa estado de qubits e empregamos a notação compacta: m 1 m 0 = m 1 m 0 = m 1 m 0. Os estados possíveis de n = qubits é novamente uma superposição, mas agora envolvendo uma base de 4 elementos: Com: ψ = 1 m=0 c m m = c 0 0 +c 1 1 +c +c 3 3 = c c c c c m = 1 c m C m=0 Aqui surge um ponto interessante: enquanto bits clássicos podem armazenar apenas um dos 4 estados 00, 01, 10 e 11, qubits podem armazenar esses 4 estados e também uma superposição que abrange todos eles, como mostra a equação acima. Para o caso de n qubits, a associação entre a base computacional decimal e binária é: 0 n = }{{} 1 n = n = N 1 n = ; N = n n Ou em símbolos: m n = m n 1 m n...m 1 m 0 ; m k = 0,1; m 0, n 1 Uma superposição envolvendo n qubits se escreve então: ψ = n 1 m=0 c m m n = 1 1 m n 1 =0m n =0 1 1 m 1 =0m 0 =0 c mn 1 m n m 1 m 0 m n 1 m n...m 1 m 0 Ou seja: n qubits é capaz de codificar simultaneamente as n combinações de n bits clássicos. Na computação quântica, um sistema de n qubits é chamado de registro quântico de tamanho n. Elementos da base de n qubits também podem ser representados matricialmente. Exemplos com n = : = 0 0 = = = 0 1 = = Portas de Pauli Em informação/computação quântica, as matrizes de spin de Pauli são chamadas de portas de Pauli e escritas assim: σ x = X = σ y = Y = 0 i i 0 σ z = Z = As portas de Pauli são matrizes Hermitianas e unitárias: σ 1 i σ i = σ i σ i = σ i σ i = σ i, i = x,y,z. (a) A base computacional { 0, 1 } é formada de autoestados de Z: { 1 0 Z 0 = + 0 Z = 0 1 Z 1 = 1 (b) Matriz X aplicada aos elementos da base computacional: { 0 1 X 0 = 1 X = 1 0 X 1 = 0 (3.1) Em razão deste resultado, a matriz X também é chamada de porta NOT.

12 Qubits Portas Lógicas Circuitos Quânticos 11 (c) Considere os seguintes estados: + = São estados ortonormais: = = + = 0 = = 1 São autoestados da porta X: { 0 1 X + = + + X = 1 0 X = O conjunto { +, } também é uma base no espaço de 1 qubit. (d) Matriz Y aplicada aos elementos da base computacional: { 0 i Y 0 = +i 1 Y = i 0 Y 1 = i 0 Autoestados de Y: i+ = i 3.4 Porta Hadamard H A porta Hadamard é definida assim: H = = X+Z 1 1 = 0 +i 1 i = 1 +1 i = 0 i 1 (a) A Hadamard transforma a base computacional na base { +, } e vice-versa: { H 0 = / = + H 1 = 0 1 / = { H + = 0 H = 1 (b) A Hadamard aplicada a um qubit m, que pode ser 0 ou 1, fornece: H m = 1 0 +( 1) m 1 = 1 0 +e iπm 1 (c) A Hadamard é uma matriz Hermitiana e unitária: H = H 1 = H = H 1 1 A Hadamard é muito utilizada em computação quântica. 3.5 Porta de Fase S e Porta T A porta S e a porta T são definidas como: S = T = 0 i 0 e iπ/4 = e iπ/8 e iπ/8 0 0 e iπ/8 = 1 0 +exp A portas S e T são unitárias mas não são Hermitianas. Notar que S = T e S = Z. (a) Portas S e T agindo na base computacional: { 1 0 S 0 = 0 S = T = 0 i S 1 = i 1 { 1 0 T 0 = 0 0 e iπ/4 T 1 = e iπ/4 1 = (1+i)/ 1 (b) O produto HS será útil mais à frente: HS = = 1 HS 0 = + = / 1 i HS 1 = i = i 0 1 / i 1 i HS + = 0 i 1 / HS = 0 +i 1 / iπ m 1 = 1 0 +e iπ0.m 1

13 Qubits Portas Lógicas Circuitos Quânticos Circuito Quântico Comentamos no Cap. sobre o modelo computacional de circuitos: uma sequência de operações lógicas elementares, realizadas por meio de portas como NOT e AND, para solucionar funções lógicas. Uma versão completamente análoga à versão clássica deste modelo existe na computação quântica. No modelo quântico de circuitos, os bits dão lugar aos qubits e as portas quânticas, como a Hadamard H, substituem as portas clássicas. A seguir, alguns circuitos quânticos simples: 0 X 1 Fig. 3.: Circuito quântico de 1 qubit com a porta quântica NOT. O qubit entra pela esquerda, entra no estado 0, e sai à direita no estado 1, conforme Eq. (3.1). 0 H m H 0 +( 1) m 1 Fig. 3.3: Dois circuitos com a porta Hadamard H. O da esquerda o registro vale 0 inicialmente, à direita pode ser 0 ou 1. Comentário: Os chips da IBM são baseados no modelo computacional de circuitos quânticos. Nem todo computador quântico, contudo, opera baseado neste modelo. 3.7 Porta NOT Controlada e Emaranhamento Os circuitos na Fig. 3.4 exibem o comportamento da porta quântica de qubits NOT controlada, CNOT. Portas controladas têm um qubit de controle e um qubit alvo. A porta só atua no alvo se o qubit de controle estiver no estado 1. m 0 m 0 m 1 X m 0 m X X 1 Fig. 3.4: Circuitos com uma porta CNOT. O qubit superior é o qubit de controle, o de baixo, o alvo. O símbolo representa soma módulo, ver Cap.. (a) Vamos adotar a seguinte notação para portas controladas: CNOT (ctrl,alvo) = CX (ctrl,alvo). Então: CX (1,0) 00 = 00 CX (1,0) m 1 m 0 = CX (1,0) CX m 1 m 0 = m 1 m 0 m 1 (1,0) 01 = 01 CX (1,0) 10 = 11 CX (1,0) 11 = 10 (b) Invertendo o qubit de controle e o qubit alvo: CX (0,1) 00 = 00 CX (0,1) m 1 m 0 = CX (0,1) CX m 1 m 0 = m 0 m 1 m 0 (0,1) 01 = 11 CX (0,1) 10 = 10 CX (0,1) 11 = 01 (c) Representação matricial da porta CNOT: CX (1,0) = CX (0,1) = (d) Lembrando como montar uma matrix a mn = m A n : A = m,na mn m n = a a a a = a a a a = a 00 a 01 1 a 10 a 11 (e) Para produzir estados emaranhados, é necessário portas que atuem em mais de um qubit ao mesmo tempo, como a porta CNOT. Portas de 1 qubit não geram emaranhamento. Considere o estado não emaranhado de qubits: ψ = α 00 +β 10 = α 0 +β 1 0 α,β 0

14 Qubits Portas Lógicas Circuitos Quânticos 13 Estados que podem ser escritos como um produto tensorial do tipo ϕ ϕ 1 são não emaranhados. A ação da CX (1,0) em ψ fornece: CX (1,0) ψ = CX (1,0) α 0 +β 1 0 = α 00 +β 11 ϕ ϕ 1 Portanto, após aplicar a porta CNOT, o estado ψ virou um estado emaranhado. O emaranhamento é mais um recurso computacional exclusivamente quântico, não há análogo clássico para este fenômeno. 3.8 Porta de Medição Cálculos computacionais visam produzir resultados que serão lidos ao final. O procedimento de leitura é especialmente delicado em um computador quântico, pois a medição de um qubit pode destruir suas propriedades quânticas. As simulações nos dispositivos da IBM terminam com a porta de medição/leitura. Após a leitura do qubit, a informação é armazenada em um bit clássico tradicional, vale 0 ou 1, e o qubit deixa de existir ver Figs. 3.5 e 3.6. A porta de leitura equivale a uma medição do estado quântico na direção ẑ, não podemos trocar esta direção usando uma outra porta por exemplo; mas há alternativa, veja próxima seção. O resultado de uma simulação nos chips da IBM é ilustrado na Fig X σ z 0 ou 1 Fig. 3.5: A porta de medição destrói o qubit, e a informação passa a ser clássica. Linhas duplas em um circuito quântico indicam que este canal transporta informação clássica transporta bit. m 0 H σ z m 1 X σ z c 0 c 0 = 0 ou 1 c 1 c 1 = 0 ou 1 Fig. 3.6: Ilustração do processo de medição nos chips da IBM. Após a leitura do qubit m i, a informação é armazenada no bit clássico c i. O resultado final será uma das 4 combinações de bits clássicos: {c 1 c 0 } = {00,01,10,11}. 0.9 P M Shots 1 Fig. 3.7: Ilustração de uma simulação hipotética com o circuito da Fig M é o número de vezes em que o circuito foi simulado. Nos chips da IBM, M é da ordem de como veremos. 3.9 Measuring In Different Basis Como comentado acima, on the IBM devices, measurements can only be made along the σ z axis, which is the direction we access with the available measurement gate. Furthermore, this gate is unable to access information about the qubit s phase. For example, the action of the H gate on the qubit m is: H m = 1 0 +exp(iπm) 1 H 0 = = + H 1 = = Singlequbitsimulationsinwhichthefinalstatesarethekets + or havethesameoutcomesi.e.,thesamehistogram. As do have simulations which end up in 0 or 0 although in this case we are dealing with a global phase. In order to distinguish the states { +, } we have to emulate measurements in different basis other than the standard σ z one. Measurements in another basis can be simulated with the help of additional gates, namely an H gate for the σ x basis { +, }, and an S followed by an H gate for the σ y basis { i+, i }, see Fig. 3.8 more in Refs.,4,5.

15 Qubits Portas Lógicas Circuitos Quânticos 14 σ x = H σ z σ y = S H σ z Fig. 3.8: Additional gates to simulate measurements in another basis: an H gate for σ x and an S gate followed by an H gate for σ y. Formally, measurements in a different basis other than the computational one may be summarized as follow: Let U = { u 1, u } be an orthonormal basis. The process of measuring a state ψ = α u 1 +β u in the basis U is a quantum circuit operation which upon input ψ outputs 0 and 1 with probabilities α and β respectively. This is achieved by adding an extra gate U with the property that U u 1 = 0 and U u = 1 ; hence: { U u1 = 0 U = 0 u u U u = 1 Portanto: { gate σ x = = = = H σ gate y = 0 i+ + 1 i = 0 0 i i 1 1 = The U 1, U and U 3 Gates 1 i 1 i = HS The U 3 = U 3 (θ,ϕ,λ) gate, the most general 1-qubit gate of the IBM devices is: cos(θ/) e iλ sen(θ/) U 3 (θ,ϕ,λ) = e iϕ sen(θ/) e i(ϕ+λ) U cos(θ/) 3 0 = ψ = cos(θ/) 0 +e iϕ sin(θ/) 1 (3.) Applied to 0, the U 3 gate yields the most general single-qubit state ψ shown in Eq. (3.) above. In addition to the U 3, it is also defined in the QISKIT/IBM the U 1 and U gates: 1 0 U 1 (λ) = U 3 (0,0,λ) = 0 e iλ U (ϕ,λ) = U 3 (π/,ϕ,λ) = 1 1 e iλ e iϕ e i(ϕ+λ) From U 3 (θ,ϕ,λ), it is straightforward to generate the Pauli gates: i 1 0 U 3 (π,0,π) = = X; U (π,π/,π/) = = Y; U i 0 3 (0,π/,π/) = U 3 (0,0,π) = U 3 (0,π,0) = = Z 0 1 As well as the Hadamard: U 3 (π/,0,π) = U (0,π) = The Bell Basis = H m 0 X m 1 H m 0 H m 1 X Bell Basis Bell Basis EPR qubit X EPR qubit H { m1 m 0 } EPR qubit H EPR qubit X { m1 m 0 } Fig. 3.9: Left: Circuits to transform the computational basis { m 1 m 0 } = { 00, 01, 10, 11 } in the Bell basis (3.3). Right: Circuit making the inverse transformation, i.e., entangled EPR qubits in the input yield elements of the computational basis as output notice that we have used the self-inverse property of both the Hadamard and CNOT gates. The Bell basis describes -qubits states with maximum entanglement; their elements are sometimes called EPR pairs. Below it s shown the Bell basis in terms of the computational basis and the computational basis in terms of the Bell basis: φ + = φ = ψ + = ψ = = 1 φ + + φ 01 = 1 ψ + + ψ 10 = 1 ψ + ψ 11 = 1 φ + φ (3.3)

16 Qubits Portas Lógicas Circuitos Quânticos 15 The Bell basis can be obtained from the computational basis using the left circuits in Fig Indeed, the top-left circuit yields remembering: CX (k,l) = CX (ctl,tgt) : = + φ + CX (1,0) H (1) m 1 m 0 = 1 0 m0 +( 1) m 1 1 m = + ψ = + φ = + ψ And the bottom-left yields: = + φ + CX (0,1) H (0) m 1 m 0 = 1 m1 0 +( 1) m 0 m = + φ = + ψ = ψ The Bell basis form a complete orthonormal set and therefore the states of the computational basis can be expanded using the Bell basis. Tab. 3.1: Relação entre a base computacional e a de Bell obtidas com os circuitos na Fig In Out Left Top Out Left Bottom In Out Right Top Out Right Bottom = φ = + φ + ψ = ψ = + φ ψ = φ = + ψ + φ = ψ = ψ φ

17 Capítulo 4 Algoritmo de Deutsch 4.1 Teoria O algoritmo de Deutsch resolve o seguinte o problema: dada a função lógica f(m) de 1 bit: f : {0,1} {0,1} determine se f (m) é constante ou balanceada. A função f (m) é constante se f(0) = f(1) e balanceada se f(0) f(1). A seguir, a análise do algoritmo de Deutsch passo a passo. m 0 = 1 H U f Descartar m 1 = 0 H H ϕ = f (0) f (1) Fig. 4.1: Circuito para o algoritmo de Deutsch. O qubit m 0 descartado após U f é um qubit auxiliar. Em informação quântica, a porta U f é chamada de caixa preta ou oráculo. Lembre-se que nos dispositivos da IBM o qubit deixa de existir após a leitura ver Fig Logo, o estado quântico ϕ só existe até a porta de medição. (a) Há 4 funções lógicas de 1 bit, ou seja, funções com 1 bit de entrada e 1 bit de saída. A tabela abaixo exibe as 4 possibilidades: m f 0 (m) f 1 (m) f (m) f 3 (m) f 0,f 3 = constante f 1,f = balanceada (b) Vamos definir a seguinte operação controlada U f : U f m 1 m 0 = m 1 m 0 f (m 1 ) = { m1 f (m 1 ) se m 0 = 0 m 1 1 f (m 1 ) se m 0 = 1 Iniciando com m 0 = 1 e aplicando a porta Hadamard H neste qubit antes de U f, obtemos: U f H (0) m 1 1 = U f m = m 1 0 f (m 1) 1 f (m 1 ) = m 1 { 0 1 se f (m1 ) = se f (m 1 ) = 1 Escrevendo de outra forma o resultado anterior: U f H (0) m 1 1 = m 1 ( 1) f(m 1) 0 1 = ( 1) f(m 1) m 1 ; = H 1 = 0 1 Notar que não sabemos exatamente quem é U f, conhecemos apenas sua saída a partir de determinada entrada. Por isso U f é chamada de oráculo: estamos interrogando o oráculo. (c) Iniciando com m 1 = 0, logo m 1 m 0 = 0 1 = 01, e aplicando outra porta Hadamard, obtemos: U f H (1) H (0) = U f = ( 1)f(0) 0 +( 1) f(1) 1

18 Algoritmo de Deutsch 17 (d) Aplicando mais uma porta Hadamard em m 1 após U f, obtemos finalmente: H (1) U f H (1) H (0) 01 = 1 { ( ) f(0) +( ) f(1) 0 + ( ) f(0) ( ) f(1) } 1 Descartando o primeiro qubit m 0, que agora vale, e chamando o resultado de ϕ, temos: ϕ = 1 { ( ) f(0) +( ) f(1) 0 + ( ) f(0) ( ) f(1) } 1 (4.1) (e) Um pouco de reflexão nos mostra que ϕ na Eq. (4.1) também pode ser escrito desta forma: ϕ = ± f (0) f (1) O sinal de menos pode ser desprezado pois representa uma fase sem efeito observável lembre-se: e iπ = 1. Conclusão: A Eq. (4.1) mais acima revela que, caso a medição do segundo qubit resulte em ϕ = 0, f(0) = f(1) e portanto f(m) é constante. Caso ϕ = 1, f(0) f(1) e f(m) é balanceada. Através de uma única operação com f(m) foi possível determinar uma propriedade global da função, resultado impossível de ser obtido classicamente. Decidir se f(m) é constante ou balanceada usando um algoritmo clássico envolveria o cálculo de f(0) e de f(1), o algoritmo de Deutsch porém requer um único teste: um computador quântico pode avaliar f(0) e f(1) simultaneamente fisicamente o algoritmo de Deutsch aproveita-se da interferência quântica. Comentário: Existe a versão generalizada do algoritmo de Deutsch, conhecida como algoritmo de Deutsch-Josza. Neste caso, o problema a ser resolvido envolve a função lógica de n bits de entrada: g : {0,1} n {0,1} Classicamente, concluir se g = g(m 0,m 1,...,m n ) é constante ou balanceada pode requerer n /+1 testes note que agora há n possibilidades. O algoritmo de Deutsch-Josza é capaz de chegar ao mesmo resultado com uma única chamada da função. Mais detalhes nas Refs. 1,, Simulação Para ilustrar o algoritmo de Deutsch, vamos usar a porta NOT controlada, CNOT=CX, como oráculo: CX (1,0) m 1 m 0 = m 1 m 0 f (m 1 ) = m 1 m 0 m 1 Lembrar: CX (1,0) = CX (ctrl,alvo) Naturalmente agora o oráculo deixou de ser oráculo porque conhecemos a porta. Podemos então calcular previamente o resultado esperado. Com efeito, como f(m 1 ) = m 1, temos f(0) = 0 f(1) = 1, trata-se, portanto, de uma função balanceada e uma medição do segundo qubit deve resultar em ϕ = 1. As Figs. 4. e 4.3 mostram o circuito e o resultado da simulação. m 0 = 0 X H X Descartar m 1 = 0 H H ϕ = 1 Fig. 4.: Circuito para o algoritmo de Deutsch com a porta CX = CNOT no lugar do oráculo U f. A porta extra X em m 0 serve para levar o estado 0 ao estado 1 : X 0 = P = 819 Shots 0 1 local.qasm.sim ibmqx4 (5qb) Fig. 4.3: Simulação do circuito exibido na Fig. 4.. O resultado em vermelho foi obtido com o chip quântico real da IBM ibmqx4.

19 Capítulo 5 Transformada Quântica de Fourier (QFT) 5.1 Definição A transformada discreta de Fourier (DFT) do conjunto {f (0),f (1),...,f (N 1)} é definida assim: F{f (m)} = g(k) = 1 N 1 exp i π N N mk f (m) m=0 k = 0,1,...,N 1 A transformada quântica de Fourier (QFT) é análoga à DFT tradicional. Seja o registro quântico de n qubits: m n = m n 1 m n m 0 0 n = 00 0 N 1 n = 11 1 N = n A QFT aplicada a m n é: F m n = 1 N 1 exp i π N N km k n = 1 k=0 (a) Agora seja o estado quântico genérico: N 1 N k=0 ω km N k n m = 0,1,...,N 1; ωn km = exp i π N km (5.1) ψ = N 1 m=0 c m m n A QFT aplicada a ψ é: F ψ = ψ = N 1 m=0 F{c m m n } = N 1 k=0 b k k n ; b k = 1 N 1 N m=0 c m exp i π N mk = 1 N 1 N m=0 c m ω mk N A QFT é um operador linear, conhecendo sua ação na base computacional m n sabemos calcular ψ = F ψ. (b) A QFT também é unitário, preserva a norma do estado quântico: ψ ψ = N 1 m=0 c m = N 1 k=0 b k = ψ ψ ; F F = FF = 1 A transformada quântica de Fourier é um ingrediente importante de outros algoritmos quânticos, como o algoritmo sobre fatores primos de Shor 1 3 ou o de sistemas lineares Representação Matricial A QFT pode ser representada como uma matriz cujos elementos F m m = n m F m n são: F m n = 1 N 1 ω km N k n n m F m N n = 1 k=0 N 1 N k=0 ω km N δ m k = ωm m N N ; m = 0,1,...,N 1; N = n (a) Escrevendo a representação matricial de F explicitamente: n m F m n = ωm m N F = 1 N N m m 0 1 N ωn 1 ωn ω N 1 N 1 ωn ωn 4 ω (N 1) N.. N 1 1 ω N 1 N.. ω (N 1) N.. ω (N 1)(N 1) N ; ω km N = exp i π N km

20 Transformada Quântica de Fourier QFT 19 (b) Para n = 1 qubit, logo N = n =, a matriz F é: m F m = 1 1 ω km δ m k = ωm m F = = H 1 1 k=0 A QFT se n = 1 é a simplesmente a porta Hadamard H. (c) Para n = qubits, logo N = n = 4, a matriz F é: m m m F m = ωm m N F = ω4 1 4 ω 4 ω3 4 = 1 1 i 1 i 1 ω ω4 4 ω ω4 3 ω6 4 ω9 4 1 i 1 i 5.3 Representação de Circuito Para implementar a QFT em um computador quântico como o da IBM, devemos escrever um circuito quântico que reproduza a Eq. (5.1). (a) Em primeiro lugar, notemos que a Eq. (5.1), após um bocado de álgebra, pode ser escrita como um produto tensorial: F m n = 1 N 1 exp i π N N mk k n = n k n l exp iπm k=0 N l k n 1 k n k 1 k 0 k n 1 =0 k 0 =0 l=1 1 1 n exp iπm k n l l k n l = 1 n ( 0 +exp i πm ) (5.) N l 1 = 1 N k n 1 =0 k 0 =0 l=1 (b) Agora vamos separar m/ l em parte inteira e fracionária. Lembremos que: Então: Então: m l = m l = n m n p n p l = m n 1 n 1 l + +m l 0 +m l m 0 l m n 1 m l.m l 1 m 0 p=1 n n l m n p n p l = m n p n p l + p=1 exp i πm l p=1 l p=1 m l p p n l = exp iπ m n p n p l exp iπ p=1 Um exemplo com l = para usarmos mais à frente: l= p=1 l p=1 m l p p m p p = m m 0 = m m 0 0 m 1m 0 = 0.m 1 m 0 l=1 = exp iπ l p=1 m l p p (5.3) (c) Substituindo a Eq. (5.3) na Eq. (5.) vem: F m n = 1 n l N 0 +exp iπ l=1 p=1 m l p p 1 (d) Se n = por exemplo, a equação anterior fica: F m = 1 l 4 0 +exp m l p iπ 1 p = 1 l=1 p=1 0 +e iπ0.m e iπ0.m 1m 0 1 (5.4)

21 Transformada Quântica de Fourier QFT 0 1 m 0 H 0 +e iπ0.m 1m m 1 H R 0 +e iπ0.m 0 1 Fig. 5.1: Circuito que calcula a transformada quântica de Fourier no registro de n = qubits m = m 1 m 0. (e) Considere agora a seguinte porta de fase: { R (0,1) k m 0 = m 0 R (0,1) k m 1 = exp iπm/ k m 1 R k = R (ctrl,alvo) k é uma porta controlada, adiciona uma fase ao qubit alvo apenas se o qubit de controle estiver no estado 1. No subespaço de um qubit, a matriz de R k é: 1 0 R k = 0 exp iπ/ k Introduzindo o operador R k, a QFT para n = qubits pode ser expressa como F = SWAP H (0) R (0,1) H (1) m, como mostra a Fig De fato, para n =, m = m 1 m 0 e a porta Hadamard atuando no qubit m 1 produz: H (1) m 1 m 0 = 1 0 +e iπm 1 1 m 0 = 1 0 +e iπ0.m 1 1 m 0 Agora a porta de fase controlada R (0,1) : R (0,1) H (1) m 1 m 0 = 1 0 m 0 +e iπ0.m 1 R (0,1) 1 m 0 Aplicando a outra porta Hadamard no qubit m 0 temos: H (0) R (0,1) H (1) m 1 m 0 = 1 0 +e iπ0.m 1m e iπ0.m 0 1 = 1 0 +e iπ0.m 1m 0 1 m 0 Exceto pela ordem inversa dos qubits, este resultado representa a QFT aplicada a um registro de qubits. Incluindo a porta SWAP, recuperamos precisamente o resultado visto na Eq. (5.4): F m = SWAP H (0) R (0,1) H (1) m 1 m 0 = 1 0 +e iπ0.m e iπ0.m 1m 0 1 = e iπ0.m 1m e iπ0.m e iπ(0.m 0 +0.m 1 m 0 ) 11 (f) O registro de n = qubits pode ser iniciado em 4 estados: 0 = 00, 1 = 01, = 10 e 3 = 11. A QFT aplicada a cado um destes estados é: F 0 = F 00 = F 1 = F 01 = i i 11 F m = F m 1 m 0 F = F 10 = 1 (5.5) F 3 = F 11 = 1 00 i i 11 Sem muitos detalhes, vejamos agora o caso de n qubits. Para um registro m n de n qubits, o primeiro etapa para obter o circuito que calcula a QFT é notar que: R (0,n 1) n R (n 3,n 1) 3 R (n,n 1) H (n 1) m n 1 m n...m 0 = 1 0 +e iπ0.m n 1 m n...m 0 1 m n...m 0 Esta etapa envolve uma porta Hadamard H (n 1) aplicada ao qubit m n 1 e n 1 portas R (ctrl,alvo) k também aplicadas a m n 1 mas usando, de acordo com a ordem de aplicação, os qubits m n, m n 3,..., m 0 como controle. A segunda etapa envolve novamente uma porta Hadamard H (n ), aplicada ao qubit m n, e n portas R k : 1 0 +e iπ0.m n 1 m n...m 0 1 R (0,n ) n 1 R (n 4,n ) 3 R (n 3,n ) H (n ) m n...m 0 A transformada completa é alcançada após n 1 etapas como as anteriores, mais uma única porta Hadamard H (n 1) agindo no qubit m n 1, e por fim a operação de SWAP. Desconsiderando as portas SWAP, a QFT de n qubits requer n portas Hadamard H e (n 1)+(n )+ +1 = n(n 1)/ portas R k, perfazendo um total de n /+n/ O(n ) portas. A Fig. 5. exibe o circuito que calcula a QFT em registros de n = 3 e n = 4 qubits.

22 Transformada Quântica de Fourier QFT 1 1 m 0 H 0 +e iπ0.m m 1 m m 1 H R 0 +e iπ0.m 1m 0 1 m H R R e iπ0.m 0 1 m 0 H 1 0 +e iπ0.m 3m m 1 m m 1 H R 0 +e iπ0.m m 1 m m H R R 3 0 +e iπ0.m 1m 0 1 m 3 H R R 3 R e iπ0.m 0 1 Fig. 5.: Circuito que calcula a QFT para de n = 3 e n = 4 qubits. 5.4 QFT Inversa Nada muito diferente do discutido acima. A QFT inversa é: F 1 m n = 1 N 1 exp i π N N mk k n = 1 n N k=0 l=1 l=1 0 +exp l=1 ( i πm ) l 1 (a) Separando m/ l em parte inteira e fracionária obtemos: F 1 m n = 1 n { 0 +exp i πm } N l 1 = 1 n N 0 +exp iπ l=1 l p=1 m l p p 1 (b) Se n =, temos: F 1 m = 1 { 0 +exp i πm } 4 l 1 = 1 0 +e iπ0.m e iπ0.m 1m Circuito da QFT Inversa 1 m 0 H 0 +e iπ0.m 1m 0 1 m 1 R H 1 0 +e iπ0.m 0 1 Fig. 5.3: Circuito para a QFT inversa de um registro de qubits m = m 1 m 0. A QFT do registro m pode ser decomposta na sequência de operações F = SWAP H (0) R (0,1) H (1) m 1 m 0. A QFT inversa é a inversa desta sequência. (a) As portas são unitárias, e a porta Hadamard e a SWAP são Hermitianas: R 1 k = R 1 0 k = 0 exp iπ/ k H 1 = H = H = SWAP 1 = SWAP = SWAP (b) Portanto, a QFT inversa do registro m se escreve: F 1 m = H (1) R (0,1) H (0) SWAP m 1 m 0 = H (1) R (0,1) H (0) m 0 m 1 A Fig. 5.3 exibe o circuito que realiza estas operações. (c) A QFT inversa aplicada aos 4 estados de qubits é: F 1 00 = = F 00 F 1 m = F 1 F 1 01 = 1 00 i i 11 m 1 m 0 F 1 10 = = F 10 F 1 11 = i i 11 Como F 1 F = F F = 1, a aplicação da QFT e sua inversa deve recuperar o estado original. Por exemplo: F 1 F 00 = F = 4 00 = 00 4

23 Transformada Quântica de Fourier QFT 5.5 Simulação 1: ψ = F 00 m 0 = 0 H m 1 = 0 H R ψ = F 00 Fig. 5.4: QFT aplicada ao estado de qubits 00. Os resultados mostrados na Fig. 5.5 correspondem a QFT aplicado ao estado 00 ver Eq. (5.5): ψ = F 0 = F 00 = Uma medição de ψ pode resultar em um dos 4 estados de qubits com igual probabilidade: P ( ψ = 00 ) = P ( ψ = 01 ) = P ( ψ = 10 ) = P ( ψ = 11 ) = 1/4 (5.6) P 0.3 Teo = 4096 Shots P 0.3 Teo = 819 Shots local.qasm.sim ibmq.qasm.sim ibmqx4: 5 qbits ibmqx5: 16 qbits Fig. 5.5: Simulações reais e artificiais do circuito da Fig = 819 é número máximo de shots aceito pelos dispositivos da IBM. A linha horizontal tracejada em azul corresponde ao resultado teórico esperado visto na Eq. (5.6) Simulação : ψ = F H (0) 00 m 0 = 0 H H m 1 = 0 H R ψ = F H (0) 00 Fig. 5.6: QFT com uma porta extra H. A parte tracejada indica o circuito fa QFT. O circuita da Fig 5.6 realiza a seguinte operação: ψ = F H (0) 00 = 1 F = i i 11 As probabilidades são observe que P = 1: P 00 = 00 ψ = 1/ P 10 = 10 ψ = 0 P 01 = P 11 = 01 ψ = 11 ψ = 1/4 Teo. P 0.4 Teo = 819 Shots local.qasm.sim ibmq.qasm.sim ibmqx4 ibmqx Fig. 5.7: Resultado da simulação do circuito na Fig. 5.6.

24 Capítulo 6 Teleporte Quântico O teleporte quântico é uma aplicação fascinante da mecânica quântica, ele permite a transmissão de um estado quântico por meio do envio apenas de um sinal clássico. Infelizmente, os chips da IBM ainda não aceitam operações condicionais do tipo IF, e isso impede de simularmos o teleporte trocando bits clássicos. Contudo, o exemplo a seguir captura as principais características do fenômeno sem a necessidade de estruturas condicionais. 6.1 Circuito de Teleporte de 3 Qubits m 0 = α 0 +β 1 H ϕ 0 = m 1 = 0 H X ϕ 1 = m = 0 X X H X H ϕ = m 0 = α 0 +β 1 φ + m 0 Fig. 6.1: Circuito que realiza o teleporte do qubit m 0 da primeira linha para o da terceira linha m. Até a primeira linha tracejada, o circuito emaranha os qubits m m 1 = 00 e forma o par EPR m m 1 = 00 φ + = /. O circuito da Fig. 6.1 realiza a seguinte operação lembrar: CX (k,l) = CX (ctrl,alvo) : ψ = H () CX (0,) H () CX (1,) H (0) CX (0,1) CX (1,) H (1) m m 1 m 0 Iniciando o registro no estado inicial ψ i = m m 1 m 0 = 00 m 0, obtemos o estado final: ψ f = ϕ ϕ 1 ϕ 0 = m (a) Efetivamente, as duas primeiras portas criam o estado de Bell φ + = / : CX (1,) H (1) 00 m 0 = 1 CX (1,) m 0 = m0 = φ + m 0 (b) Substituindo agora m 0 = α 0 +β 1, vem: CX (1,) H (1) 00 m 0 = φ + m 0 = α β = 1 { α φ + +α 0 1 φ +β ψ + +β 0 1 ψ } Após as primeiras portas, obtivemos então uma combinação linear dos estados de Bell ψ ± e φ ±. (c) A primeira parte do circuito, até a segunda linha tracejada, fornece: H (0) CX (0,1) CX (1,) H (1) 00 m 0 = H (0) CX (0,1) { α β } = 1 { α 0 +β α 0 β α 1 +β α 1 β 0 11 } (d) As portas após a segunda linha tracejada fornecem o resultado final: ψ f = H () CX (0,) H () CX (1,) 1 { α 0 +β 1 } 00 + α 0 β α 1 +β α 1 β 0 11 = m α = β (6.1)

25 Teleporte Quântico 4 6. Simulação 1: Usando 3 Medidores m 0 = 0 H m 1 = 0 H X ψ f m = 0 X X H X H Fig. 6.: Circuito idêntico ao da Fig. 6.1, mas aqui o primeiro qubit inicia no estado m 0 = 0. Vamos simular o teleporte iniciando com o estado ψ i = m m 1 m 0 = 000, como mostra a Fig. 6.. Neste caso, a saída do circuito é: ψ i = 000 ψ f = Para obter o resultado acima, substitua (α,β) = (1,0) na Eq. (6.1). Há 8 estados de 3 qubits. As probabilidades são: P 000 = P 001 = P 010 = P 011 = 1/4 P 100 = P 101 = P 110 = P 111 = 0 A Fig. 6.3 exibe o resultado da simulação usando 3 medidores. P 0.3 Teo = 819 Shots local.qasm.sim ibmq.qasm.sim ibmqx4 (5qb) melbourne (14qb) Fig. 6.3: Resultados obtidos com o circuito da Fig Simulação : Usando 1 Medidor m 0 = 0 H Descartar m 1 = 0 H X Descartar m = 0 X X H X H ϕ 0 = m 0 Fig. 6.4: Circuito idêntico ao da Fig. 6., mas aqui vamos usar apenas um medidor no terceiro qubit m 0 ; vamos realizar uma medição parcial. Usando apenas uma porta de medição no terceiro qubit como mostra a Fig. 6.4, a saída esperada é: ψ i = 000 ϕ = m 0 = P Shots local.qasm.sim ibmq.qasm.sim ibmqx4 (5qb) melbourne (14qb) Fig. 6.5: Resultados obtidos com o circuito da Fig. 6.4.

26 Teleporte Quântico Simulação 3: Tomografia de Estado m 0 = 0 H H Desc. m 1 = 0 H X Desc. m = 0 X X H X H ϕ Z = H m 0 = φ + H m 0 m = 0 Identical Above m Wire H ϕ X = H ϕ Z m = 0 Identical Above m Wire S H ϕ Y = HS ϕ Z Fig. 6.6: Circuito do teleporte, mas agora com uma porta Hadamard aplicada ao primeiro qubit: m 0 H 0. Vamos usar apenas um medidor, a fim de capturar o resultado do terceiro qubit m. Para obter a matriz densidade ρ, são necessárias 3 simulações, uma para ϕ Z, outra para ϕ Y e a terceira para ϕ X. As portas extras adicionadas ao qubit m emulam medições nas bases σ x e σ y, conforme Fig σ x = H σ z σ y = S H σ z Fig. 6.7: Portas adicionais para medições em outras bases: uma porta extra H para σ x, e uma porta S seguida de uma H para σ y. Nesta seção usaremos os dados da simulação para calcular a matriz densidade ρ. Vamos calcular apenas a matriz associada ao terceiro qubit m, a matriz completa é grande, contém 64 elementos. (a) Iniciando com ψ i = m m 1 m 0 = 00 H 0 e usando 3 medidores, a saído ψ f do circuito da Fig. 6.7 é basta substituir (α,β) = 1/ na Eq. (6.1): ψ f = ϕ Z ϕ 1 ϕ 0 = = = (6.) (b) Por outro lado, efetuando uma medição parcial no terceiro qubit, a saída é: ϕ Z = (6.3) (c) Adicionando portas extras ao terceiro qubit m para simular medições em outras bases, as saídas são: ϕ X = H ϕ Z = H = 0 ϕ Y = HS ϕ Z = H S 0 +S 1 = H 0 i 1 = (1 i) 0 +(1+i) 1 As simulações dos 3 circuitos da Fig. 6.6 estão na Fig. 6.9 mais abaixo. (6.4) (d) Olhemos agora a matriz densidade. A matriz densidade inicial ρ i é: ρ i = ψ i ψ i = = (e) A matriz densidade final ρ f é obtida do estado ψ f = ϕ Z ϕ 1 ϕ 0 visto na Eq. (6.): ρ f = ψ f ψ f = (6.5) Observe que em ambos os casos, final e inicial, temos Trρ = 1, ρ = ρ como deveria, e ρ = ρ estado puro.

27 Teleporte Quântico 6 Tab. 6.1: Médias usadas para montar the experimental density matrix ρ in Eq. (6.7). Mean Teoria local.sim ibmqx4 melbourne Circuito σ x ψ X σ y ψ Y σ z ψ Z (f) A matriz densidade final ρ () f associada a ϕ Z é obtida com a Eq. (6.3): ρ () f = ϕ ϕ = = = (6.6) (g) A matriz densidade na Eq. (6.6) pode também ser obtida por meio do traço parcial sobre o primeiro e o segundo qubit de ρ f dado na Eq. (6.5). Com efeito: ρ () f = Tr 01 ρf = 1 = 4 8 l=0 m=0 1 lm ρf lm = 00 ρ f ρ f ρ f ρ f 11 = = (h) Qualquer matriz densidade de n = 1 qubit pode ser escrita como ver Cap. 7: ρ = 1 + σ x σ x + σ y σ y + σ z σ z = 1 1+ σz σ x i σ y σ x +i σ y 1 σ z Para obter as médias σ i, i = x,y,z, basta ler as probabilidades nos histogramas da Fig. 6.9 e usar: σ i = P m i i m σ i m i = P 0 i P 1 i ; i = x,y,z m=0,1 (6.7) (i) Dispondo dos valores médios σ i ver Tab. 6.1, podemos montar a matriz densidade: ρ local.sim = i ; F ( ρ,ρ local.sim) = i ρ ibmqx4 = i ; F ( ρ,ρ ibmqx4) = i ρ melbourne = i ; F ( ρ,ρ melbourne) = i A Fig. 6.8 exibe essas matrizes representadas graficamente. As matrizes obtidas na simulação devem ser comparadas com o resultado teórico para ρ na Eq. (6.6). (6.8) local.sim ibmqx4 melbourne Fig. 6.8: Graphical representation of the density matrices in Eq. (6.8) real part. (j) A Eq. (6.8) também exibe a fidelity F (ρ 1,ρ ). Como explicado no Cap. 8, a quantum fidelity is definida como: { } ρρsim F (ρ,ρ sim ) = Tr ρ = { Tr ρρsim ρ } = Z ϕ ρ sim ϕ Z Nesta equação, ρ é o resultado teórico da Eq. (6.6), e ρ sim a matriz obtida na simulação. As duas igualdades mais à direita decorrem de ρ em (6.3) representar um estado puro i.e., ρ = ρ = ρ = ϕ ϕ com ϕ = ϕ Z.

28 Teleporte Quântico 7 P 0.6 Teo ϕ Z : 13 Shots 1 P 0.6 Teo local.qasm.sim melbourne (14qb) 0 ibmqx4 (5qb) ϕ Y : 13 Shots 1 Teo P ϕ X : 13 Shots Fig. 6.9: Simulation results of the circuits in Fig The histograms correspond to a partial measurement in the third qubit; theory follows Eqs. (6.3) and (6.4). 1