Problemas de transporte: um estudo de caso envolvendo a utilização da programação linear

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1 Problemas de transporte: um estudo de caso envolvendo a utilização da programação linear Izamara Cristina Palheta Dias (izamarai@hotmail.com / UEPA) Marcelo Carneiro Gonçalves (marcelo.ccbn@hotmail.com / PUC-PR) Suelen Ramona de Souza Cunha (suka.srsc@gmail.com / UFPA) Vicente Honorato da Silva Penha (bp.vicentepenha@gmail.com / CTAI-SENAI/SC) Resumo: No mercado competitivo atual, as empresas utilizam recursos para produzir bens e serviços. Por essa razão, ao buscarem maior eficiência e otimização na alocação dos recursos, as organizações devem levar em conta as limitações e/ou restrições existentes. Nesse contexto, insere-se a programação linear, pois é uma das mais importantes estratégias do campo da pesquisa operacional, a qual fornece um conjunto de procedimentos voltados para tratar problemas que envolvem a escassez de recursos. O artigo objetivou encontrar a melhor forma de utilizar todos os insumos disponíveis com a finalidade de minimizar o custo total com transportes, no deslocamento de produtos de cada fábrica para cada depósito da empresa objeto de estudo, considerando os custos unitários de cada trajeto, e as restrições relacionadas a estoque e capacidade produtiva. Para isso foi desenvolvido um modelo de programação linear, e em seguida analisado o modelo por meio da ferramenta Solver, suplemento do pacote da Microsoft Excel, no qual foi apresentada o custo total com a alocação ótima de quantidades de caminhão (com carga total) em cada trajeto. Com isso foi possível indicar que, na solução ótima, o custo total de transporte das fábricas para os depósitos é de R$ ,00. Palavras Chaves: Pesquisa Operacional; Programação Linear; Programação Linear Inteira; Distribuição de Água Mineral. 1. Introdução A programação Linear foi desenvolvida conceitualmente após a Segunda Guerra Mundial, pelo soviético Kolmogorov, com a finalidade de resolver problemas de logística militares. Em 1945, por Stigler, foi realizada a primeira aplicação, em um problema que tratava à composição de uma mistura. Anos depois em 1947, Dantzig, um jovem matemático, desenvolve o método simplex, que foi e útil na época para resolver problemas logísticos. Atualmente com o avanço da computação, diversos algoritmo tem-se mostrado superior ao método simplex, no entanto, ele continua sendo o mais utilizado, inclusive como base lógica das planilhas eletrônicas, Corrar (2011). Segundo Corrar (2011), diversas decisões tomadas no dia-a-dia das empresas dizem respeito a qual combinação de recursos produz o relatório ótimo, como: Qual deve ser o mix de produtos a serem fabricados de forma a atingir a maior margem de contribuição total? Qual a combinação de investimentos que maximiza o retorno de uma carteira? Qual composição de insumos em uma mistura corresponde ao custo mínimo? De acordo ainda com o mesmo autor, as empresas utilizam recursos para produzir bens e serviços. Os recursos são escassos. Daí por que, ao buscarem otimizar a alocação dos recursos, visando produzir o melhor resultado, as empresas devem levar em conta as

2 limitações existentes. A programação Linear é um dos mais importantes instrumentos do campo da Pesquisa Operacional. Esta área de conhecimento propõe um conjunto de procedimentos que buscam resolver problemas que envolvem a escassez de recursos. Para Santos (2014) em qualquer situação relacionada à modelagem para tomada de decisão, é necessária a avaliação criteriosa de cada conjunto de parâmetros para a formulação correta do problema. Problemas nos quais se busca a melhor alocação de recursos, de forma a atingir determinado objetivo de otimização, atendendo a determinadas restrições, são passiveis de soluções por meio da Programação Linear PL. De acordo com esse contexto, o objetivo geral da pesquisa foi utilizar a Programação Linear - PL, aliada a Programação Linear Inteira PLI, como uma ferramenta para se obter a minimização de custos no transporte de produtos em uma empresa de médio porte localizada na região metropolitana de Belém, no estado do Pará. O artigo está estruturado da seguinte forma: a seção 2 apresenta o referencial teórico, no qual são contextualizados todos os temas enquadrados no artigo, com o objetivo de levar ao leitor um breve conhecimento. Na seção 3, explana-se a metodologia, ou seja, as estratégias que foram utilizadas no artigo. Na seção 4, encontram-se os resultados obtidos por meio do estudo de caso, e finalmente, a seção 5, demonstrando a conclusão da pesquisa de forma concisa e coerente. 2. Referencial teórico 2.1 Pesquisa operacional Durante a segunda guerra mundial houve uma necessidade do surgimento desse ramo cientifico para alocar recursos escassos de militares. Segundo Loesch e Hein (2011) a pesquisa operacional define-se como a ciência que estrutura processos, propondo um conjunto de alternativas de ação, fazendo a previsão e comparação de valores, de eficiência e custos. O segundo impulso ao crescimento do estudo de PO ocorreu após a revolução industrial e alcançou notável avanço com o surgimento dos computadores. Segundo Hillier e Lieberman (2010) a pesquisa operacional adota um ponto de vista organizacional. Dessa forma, ela busca resolver os conflitos de interesses entre as unidades das organizações da maneira que seja a melhor solução para a organização como um todo. É usada, sobretudo, para analisar sistemas complexos do mundo real, tipicamente com o objetivo de melhorar ou otimizar a performance. 2.2 Programação linear A Programação Linear (PL) é uma programação matemática em que a função-objetivo e as restrições assumem características lineares, tendo diversas aplicações no controle gerencial, incluindo problemas de produção, de mistura, de transportes, determinação de política de estoques, estudos de fluxos de caixa, estudo de sistema de informações dentre outros, em síntese, problemas de utilização dos recursos disponíveis em que buscam utilização ótima dos mesmos, observando-se limitações impostas pelo processo produtivo ou pelo mercado. Rodrigues et al (2013) a programação linear é utilizada quando se almeja solucionar problemas que levam em consideração a destinação ótima de recursos escassos em toda a produção ou na realização de atividades

3 De acordo com Loesch e Hein(2011) a programação linear vem a ser a resolução de problemas de maximização (como lucro) ou minimização (como custo) de algum objetivo, atendendo a um conjunto de restrições. O método utilizado para essa resolução recebe o nome de modelagem, na qual é construído um modelo matemático que represente a essência do problema. Ainda segundos esses autores, na modelagem de programação linear, devem ser estabelecidos: i) as variáveis do problema, ou seja, aquilo que se pode controlar e que se deseja saber exatamente o valor; ii) a função objetivo, sempre que se deseja maximizar ou minimizar determinado objetivo, expresso em função das variáveis do problema; iii) as restrições, que também são expressas em função das variáveis do problema e limitam as combinações das variáveis a determinados limites Modelagem e estrutura de modelos matemáticos Um modelo matemático é um conjunto de equações que apresentam de uma forma quantitativa, as hipóteses consideradas na construção do modelo, baseado em um sistema real. A modelagem matemática tem como objetivo auxiliar a tomada de decisões de uma empresa através da representação de sua realidade por meio de equações fazendo com que a decisão não fique baseada apenas em teorias. O problema, após ser modelado, pode ser resolvido computacionalmente e seus resultados interpretados, validados e implementados (KONAGANO et al, 2011). As equações matemáticas constituídas por um conjunto de expressões lineares, no qual uma é denominada função objetivo e as outras são restrições que envolvem variáveis de decisão, que ajudam a interpreta-lo a partir de um ponto de vista quantitativo, o que auxilia bastante na dedução das prováveis consequências das ações tomadas (SODRÉ, 2007) Variáveis de decisão Quando da análise de um problema, tentando enquadra-lo em um modelo de programação linear é fundamental que se consiga distinguir, de um lado, quais são as variáveis fora do controle do analista, ou parâmetros, cujos valores já estão fixados, e, de outro, quais são as variáveis de decisão, ou seja, aquelas cujo valor se quer conhecer. Para a formulação do modelo é necessário a identificação dos fatores envolvidos no problema ou situação em questão. Esses fatores são chamados de variáveis de decisão, dentro da função objetivo e fornecem informações que servirão de base para o gerente. Essas informações são reproduzidas em forma de valores quantificáveis e são encontradas na resolução do modelo (KONAGANO et al, 2011) Restrições Essas variáveis só terão um valor relevante quando forem levados em consideração os limites (de tempo, quantidade, capacidade produtiva e espaço, por exemplo) que a empresa ou organização possui em relação à seus serviços e produção, dentro da construção e resolução do modelo. De acordo com Hillier e Gerald (2010), as restrições, dentro da Programação Linear, são expressões ou equações que representam as limitações nos valores que podem ser atribuídos às variáveis de decisão Função objetivo A função objetivo é a equação principal do modelo, que envolve todas as variáveis identificadas e representa a situação sob uma perspectiva geral. Esta função em geral deve

4 maximizar o lucro ou minimizar o custo ou perdas dentro do problema em questão (CORRAR, 2011). 2.3 Programação linear inteira Os problemas de Programação Linear Inteira podem ser entendidos como casos específicos da Programação Linear (conjunto solução contínuo), onde todas, ou parte, das variáveis de decisão devem ser inteiras. Tem sido utilizada na resolução de problemas de investimento dentre outros (CORRAR, 2011). 3. Método de pesquisa O estudo possui o caráter exploratório, pois o mesmo foi realizado por meio de um estudo de caso em uma empresa de distribuição de água mineral, pode-se definir que o estudo de caso consiste no estudo profundo e exaustivo de um ou poucos objetos, de maneira que permita seu amplo e detalhado conhecimento. (GIL, 2010, p.37). Godoy (1995) também define o estudo de caso quando: o pesquisador geralmente utiliza uma grande variedade de dados coletados. Foram utilizadas pesquisas em arquivos disponíveis em eventos da área de engenharia de produção, pesquisa bibliográfica de livros disponíveis em meios eletrônicos, com a finalidade de esclarecer ideias que tangem a formulação de um trabalho coerente e preciso. Foi realizada uma visita em campo com a finalidade de conhecer o processo produtivo bem como saber dos problemas que a fábrica possui atualmente. Logo, observou-se que a empresa se enquadra em um caso que pode ser modelado como um tipo especial de problemas de Programação Linear: os problemas de transportes. Esse tipo de problema requer a alocação de unidades que partem de certo número de pontos de origem para certo número de destinos. Com o objetivo de realizar a modelagem do problema, foi solicitado para a empresa os dados relativos ao próximo período, em relação aos custos, utilizando carga total, em cada caminhão, em janeiro de 2015, e a capacidade atual das fábricas bem como sua produção. Foi utilizado o programa computacional, Microsoft Excel 2010 com o suplemento Solver, o qual foi instalado para possibilitar a realização dos cálculos da problemática. 4. Estudo de caso 4.1 Caracterização da empresa A empresa objeto de estudo é responsável pelo recebimento, preparação, armazenamento e distribuição de água mineral. Atuante na região norte, está situada no município de Benevides onde está a mais de 10 anos. A empresa possui duas fábricas e três depósitos, denominados nesse estudo como F1 e F2 para fábrica um (01) e dois (02) respectivamente, e D1, D2 e D3, para os depósitos um (01), dois (02) e três (03), respectivamente. A gestão superior da empresa está empenhada em reduzir ao mínimo possível os custos de transporte dos produtos das fábricas para os depósitos. 4.2 Problemática O estudo trabalhou com a problemática de problemas de transporte, o qual é um tipo especial de problemas de Programação Linear. Neste artigo serão determinadas as quantidades de caminhões que devem ser enviados de cada fábrica para cada depósito, de forma que o custo total seja minimizado.

5 4.3 Minimizações do custo total A partir dos dados coletados na empresa, foi possível gerar na figura 1, em forma de matriz, a qual dispõe das informações referentes aos custos de remessa por caminhão, com carga total, para cada um dos trajetos, ou seja, na coluna um (01) e linha um (01) dispõe do custo que a empresa possui em enviar uma caminha (com carga total), para o depósito um (01). Fábrica 02 R$ 655,00 R$ 745,00 R$ 435,00 FIGURA 1 Custo de remessa por caminhão, com carga total, para cada trajeto. Fonte: Dados básicos da empresa (2015). Na figura 2, foram organizados os dados referentes à produção de cada fábrica e à capacidade de armazenagem de cada depósito, em números de caixas. As quantidades de caminhões a serem enviados em cada trajeto foram identificadas pela letra C, seguida de um índice em que o primeiro algarismo representa a fábrica e o segundo algarismo, o depósito. De acordo com a figura 2, observa-se que a capacidade de produção da Fábrica 01 e 02 equivalem a 180 e 120, respectivamente, e a capacidade de armazenagens dos depósitos 01, 02 e 03, equivalem a 120, 140 e 100, respectivamente FIGURA 2 Produção das fábricas/capacidade dos depósitos. Fonte: Dados básicos da empresa (2015). É importante destacar, no quadro 2, que a empresa possui uma capacidade total de armazenagem dos depósitos de 360 unidades ( ), o qual é superior à produção, de 300 caixas ( ). Nesse caso, é importante ressaltar que se fosse empregado o método manual de cálculos para a resolução, seria necessário criar uma fábrica fictícia, com a finalidade de igualar as quantidades a serem distribuídas com as quantidades a serem alocadas nos depósitos. E por consequência, seria preciso atribuir o custo zero, para os trajetos a partir dessa fábrica hipotética, o que levaria as supostas unidades por ela transportadas, não interferirem na determinação da solução ótima do problema. Diante desse cenário, optou-se por solucionar esse problema de programação linear utilizando uma ferramenta computacional: a ferramenta Solver, que é um suplemento do programa Microsoft Excel. A partir desse contexto, será determinada, por meio da Programação Linear, a quantidade de caminhões que devem ser enviados de cada fábrica para cada depósito, de forma que o custo total seja minimizado. O estudo irá analisar também os relatórios emitidos pelo Solver Modelagens do problema A seguir será modelado o problema da empresa por meio das variáveis de decisão, função objetivo e por fim, as restrições do problema Variáveis de decisão Depósito 01 Depósito 02 Depósito 03 Fábrica 01 R$ 475,00 R$ 605,00 R$ 405,00 Depósito 01 Depósito 02 Depósito 03 Fábrica 01 C 11 C 12 C Fábrica 02 C 21 C 22 C

6 As variáveis de decisão do problema são as quantidades de caixas de água mineral a serem distribuídas nos trajetos de cada uma das duas fábricas para um dos três depósitos: Função-objetivo C 11, C 12, C 13, C 21, C 22, C 23 A função-objetivo que se deseja otimizar é a minimização dos custos com transportes entre as fábricas e depósitos, expressa pela fórmula a seguir: Equação 01 Função-Objetivo Minimizar : 475 C C C C C C Restrições Como já ressaltado a capacidade de armazenagem dos depósitos é superior à produção das fábricas. Por essa razão será representado neste estudo, as restrições relativas às fábricas com o sinal de igual ( ), indicando que toda a produção deve ser distribuída, de acordo com a expressão contida na figura 3: FIGURA 3 Restrições do Problema para as fábricas. Fonte: Autores (2015). Em relação às restrições referentes aos depósitos, na figura 4, serão representadas com sinal de menor ou igual ( ), uma vez que a capacidade total deles não será plenamente utilizada, por motivos já explicados. FIGURA 4 Restrições do Problema para os depósitos. Fonte: Autores (2015) Definições dos parâmetros do solver Restrições Fábrica 01 C 11 +C 12 + C 13 = 180 Fábrica 02 C 21 +C 22 + C 23 = 120 Restrições Depósito 01 C 11 +C Depósito 02 C 12 +C Depósito 03 C 13 +C O propósito do estudo é o de minimizar o Custo Total com Transporte. Dessa forma, na figura 5 é exposta a tela de parâmetros do Solver, o qual foi obtido após a modelagem do sistema e definição da função objetivo, células variáveis e as restrições do problema.

7 FIGURA 5 Tela de Parâmetros do Solve. Fonte: Autores (2015). Na figura 5, no campo células variáveis (B6 a D7), correspondem às quantidades que devem ser enviadas de cada uma das fábricas para cada um dos depósitos. Como antes indicado, as restrições de igual (=) referem-se às fábricas e as restrições de menor ou igual ( ), aos depósitos Análises dos resultados Na figura 6, indicam que, na solução ótima, o custo total de transporte das fábricas para os depósitos é de R$ ,00. FIGURA 6 Planilha Final com os resultados do Problema. Fonte: Autores (2015) Relatórios de resposta

8 FIGURA 7 Relatório de Respostas do Solver. Fonte: Autores (2015). Na primeira parte do relatório (figura 7), são mostradas as quantidades de caminhões que devem ser alocados em cada trajeto. Observa-se que para dois dos trajetos não é previsto transporte de produtos. Na parte relativa às restrições, pode-se observar que o depósito 02 é o que não tem a sua capacidade plenamente ocupada, ficando com folga correspondente a 60 caminhões. Esse fato foi demonstrado pelos campos Status e Margem de Atraso Relatórios de sensibilidade FIGURA 8 Relatório de sensibilidade do Solver. Fonte: Autores (2015). Observa-se que pela análise do relatório de sensibilidade, pode-se notar que a solução ótima não prevê a destinação de nenhum caminhão da Fábrica 01 para o depósito 03,

9 justamente o trajeto que possui o menor custo entre os itinerários considerados. Isso ocorre devido à conjunção das condições das condições do problema: produção de cada fábrica e limitação da capacidade de armazenagem de cada depósito. Dentre outras análises relevantes, pode-se verificar que, por exemplo, cada caminhão que se deseje alocar no referido trajeto (Fábrica 01/Depósito 03) aumenta o custo total em R$ 110, expressa pela coluna Reduzido Custo do relatório de sensibilidade (Figura 8). A coluna Sombra Preço mostra quanto poderia ser reduzido no custo total da empresa, caso ela investisse na ampliação da capacidade de armazenagem dos depósitos. Nota-se que a ampliação mais vantajosa para a empresa seria na capacidade do depósito 03. Observa-se que cada caminhão a mais que pudesse ser alocado nesse depósito levaria a uma redução no custo total da empresa de R$ 310,00. Em relação às fábricas, o campo sombra preço, indica qual seria o aumento no custo total da empresa de cada unidade adicional que viesse a ser produzida, desde que mantida a mesma capacidade de armazenagem dos depósitos Programação linear inteira Considerando a empresa estudada, dadas as condições de restrições, a fim de explorar mais a Programação Linear - PL, no presente estudo foi aplicado também o método de Programação Linear Inteira - PLI. Nota-se que nos problemas de PL, as variáveis de decisão podem assumir valores fracionados. No entanto, para considerável número de situações do dia-a-dia das empresas, as variáveis devem restringir-se a soluções inteiras. No caso analisado, o gerente de compras da empresa, ao decidir efetuar a solicitação de determinada quantidade caixas de água mineral, não é possível realizá-la de forma fracionada, isto é, seu pedido deverá indicar um valor inteiro. Nessa situação, é possível utilizar também a técnica da PLI. E classifica-se, quanto à modalidade, de Problemas de Programação Inteira Pura, visto que todas as variáveis de decisão devem assumir valores inteiros. Retomando as restrições, nota-se que agora foi adicionado à restrição para que as variáveis de decisão assumam valores inteiros. Restrições Valores Inteiros C 11, C 12, C 13, C 21, C 22, C 23, Inteiros Fábrica 01 C 11 +C 12 + C 13 = 180 Fábrica 02 C 21 +C 22 + C 23 = 120 Fábrica 01 C 11 +C 12 + C 13 = 180 Fábrica 02 C 21 +C 22 + C 23 = 120 FIGURA 9 Restrições do Problema para as fábricas. Fonte: Autores (2015). Aplicando novamente a solução computacional, seguindo os passos citados anteriormente, adiciona-se a restrição para referente às variáveis de decisão que devem assumir valores inteiros, e, além disso, nas opções da ferramenta Solver, nos seus parâmetros foi adicionado no campo tolerância, o valor zero (0), pois se observa que o percentual de tolerância é aquele em que a célula de destino de uma solução, obedecendo às restrições de número inteiro, pode divergir do valor ideal e, ainda sim, ser considerada aceitável. A partir da realização por meio da ferramenta solver, foi possível obter um novo relatório de respostas.

10 Observou-se que neste novo relatório, o valor do custo total bem como valores finais entre os trajetos das células variáveis e restrições são os mesmos, não cabendo explicações, nem exibição, pois a tela gerada pelo solver é semelhante à figura 7. É importante ressaltar que para as soluções sem a restrição de números inteiros, o Solver apresenta relatórios de sensibilidade limites e resultados. Entretanto, quando há restrições de números inteiros, os relatórios de limites e sensibilidade não são significativos. Dessa forma, foi por essa razão, que o estudo apresentou as duas possibilidades de resolução para o problema, envolvendo Programação Linear e Programação Linear Inteira. 5. Conclusão Na pesquisa a intenção foi utilizar a Programação Linear - PL, conjuntamente a Programação Linear Inteira PLI, com as quais se obteve a minimização de custos no transporte de produtos de uma empresa de médio porte localizada na região metropolitana de Belém, no estado do Pará. De posse do referencial teórico como suporte para a construção do modelo matemático. Pode-se afirmar que a modelagem matemática desta pesquisa foi relevante, no que concerne a gestão do sistema de distribuição de água mineral da empresa, proporcionando estimativas e auxílio na tomada de decisão por meio da análise das variáveis. Uma estratégia interessante para aprimoramento do sistema foi a utilização das duas técnicas que juntas resultaram em propostas semelhantes, e uma modelagem mais detalhada em pontos diferentes, no que concerne a presença ou não das restrições de números inteiros. A aplicação do Microsoft Excel demonstrou ser uma alternativa eficaz para o tratamento dos dados na geração de soluções para o problema de transportes. A modelagem matemática realizada considerou as seguintes proposições: Valor Final, Reduzido Custo, Coeficiente Objetivo, Permitido Aumentar, Permitido Reduzir. Foi realizado o cruzamento de dados e conforme as restrições indicando a quantidade de caminhões de cada solução a fim de demonstrar o trajeto de menor tempo e maior quantidade de carga. O atual modelo foi indicado para minimização custo total relacionado ao transporte e propôs novos roteiros para veículos em uma tabela de viagens pré-estabelecidas, evitando-se técnicas do tipo tentativa e erro, pois estes últimos podem acarretar em custos e perdas de tempo desnecessários, recursos indispensáveis para a empresa estudada. Como resultados foi possível indicar que, na solução ótima, o custo total de transporte das fábricas para os depósitos é de R$ ,00. E a análise minuciosa do relatório de resposta bem como o relatório de sensibilidade a fim de propor alternativas de redução de custos para a empresa. A relevância do trabalho consiste em uma contribuição para a própria empresa e também para sociedade, considerando que a agua é um bem de consumo que atualmente encontra-se em escassez em outras regiões do país. De posse dos resultados desta pesquisa, novas ideias surgem para futuros trabalhos. Como várias funções-objetivos podem ser colocadas de forma a se obter um novo aproveitamento do sistema de transporte da empresa, um modelo multiobjetivo poderia abranger simultaneamente todas estas funções.

11 Referências CORRAR, Luiz J. Pesquisa Operacional para decisão em contabilidade e administração: contabilometria. 2 ed. São Paulo: Atlas, GIL, Antonio Carlos. Como Elaborar Projetos de Pesquisa. 5.ed. São Paulo: Atlas, GODOY, Arilda Schmidt. Pesquisa qualitativa: tipos fundamentais. Revista de Administração de Empresa, São Paulo, vol. 35, n. 3, p , mai./jun HILLIER, Frederick; GERALD, J. Lieberman.Introdução à Pesquisa Operacional; tradução: Ariovaldo Griese. 8 ed. Porto Alegre: AMGH, KOGANO, K.S.H.; LIMA, R.N.P.; SANTOS, Y.B.I; MORAES, M.S.O; Aplicação da Programação Linear para a Utilização Otimizada de Recursos Disponíveis em uma Empresa de Produção de Camarões. XXII Simpósio de Engenharia de Produção: Sustentabilidade na Cadeia de Suprimentos, São Paulo, KOUSHAVAND, B.; ASKARI-NASAB, H.; DEUTSCH, C. V. A linear programming model for long-term mine planning in the presence of grade uncertainty and a stockpile. International Journal of Mining Science and Technology, v 24, n4, p , July RODRIGUES, Bruno Felipe da Silva; SANTOS, João Paulo de Oliveira; BACHEGA, Stella Jacyszyn. Interdisciplinaridades entre pesquisa operacional e ciência da computação. In: Encontro Anual de Computação, X, 2013, Goiânia. Anais SANTOS, Bruno Samways Dos. Programação De Ônibus Interurbano Utilizando A Técnica De Programação Linear Inteira. Dissertação de Mestrado em Engenharia de Produção - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa, SHI, L.; JIANG, Y.; WANG, L.; HUANG, D. Refinery Production Scheduling Involving Operational Transitions of Mode Switching Under Predictive Control System. Industrial & Engineering Chemistry Research. v 53, n 19, p May 14, SODRÉ, Ulysses. Modelos Matemáticos. Disponível em: Acesso em: 15 de fevereiro de 2015.