Mecânica e Ondas. Trabalho I. Movimentos Oscilatórios num sistema Massa-Mola

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1 Mecânica e Ondas Trabalho I Movimentos Oscilatórios num sistema Massa-Mola Objectivo Determinação da constante elástica de um mola. Estudo dos movimentos do sistema massa-mola. 1. Introdução O sistema a estudar está ilustrado nas fotos da figura 1 e consiste numa mola suspensa Figure 1: Fotos da montagem a utilizar num fio e que por sua vez suporta uma barra, com uma massa de 50g, com uma parte plástica, onde se encontra uma escala graduada em milímetros, e uma parte em alumínio. O fio que suspende o conjunto encontra-se ligado, com o auxílio de duas roldanas, a uma pequena barra montada no eixo de um disco na unidade de base da montagem. Controlando o ponto em que o fio se encontra ligado ao disco e a velocidade de rotação do disco podemos controlar a força de oscilação que se aplica ao sistema massa-mola. A montagem pode ser esquematizada de acordo com a figura 2. Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 1

2 Figura 2: Esquema da montagem A mola que se utiliza neste trabalho consiste numa espiral metálica cujo comprimento depende da massa que nela se encontra suspensa. De acordo com a Lei de Hook a força que a mola exerce é directamente proporcional à variação do seu alongamento. Se l 0 for o comprimento natural da mola então podemos escrever onde K é constante elástica. r F el = K(l l 0 ) e r z = KΔze r z (1) Δz = z d l 0 (2) 1.1 Situação de equilíbrio Numa situação de equilíbrio tem-se que o peso da barra iguala a força elástica da mola e portanto r P = F r el (3) Como P = mg e, de acordo com (2), temos Δz eq = z eq d l 0 obtém-se a posição de equilíbrio z eq = m K g + (d + l 0) (4) Δl = m K g (4a) onde m é a massa suspensa na mola e g a aceleração da gravidade. A equação (3) pode ser utilizada para determinar a constante elástica da mola a partir do declive da recta definida por um conjunto de pares de valores (Δl,m) como no exemplo da figura 3. Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 2

3 Figura 3: Variação de Δl com m. Recta obtida por ajuste segundo o método dos mínimos quadrados 1.2 Regime oscilante livre amortecido Numa situação que o sistema não está em equilíbrio a força total exercida no sistema tem uma resultante que depende do tempo e que se pode escrever da forma r F total = P r + F r el + A r (5) onde para além do peso temos que contar com a força de atrito r A. Ou seja r F total = m d 2 z r e dt 2 z = mg KΔz b dz e r dt z (6) onde b é o coeficiente de atrito que depende do meio r (neste caso ar) em que a massa se move e da forma do objecto. A força de atrito A tem apenas um termo linear na velocidade porque as velocidades são pequenas 1. Em física utiliza-se muitas vezes uma outra notação mais compacta para as derivadas de uma função em ordem ao tempo dz dt = z (t) (7) d 2 z dt = z (t) 2 o que permite, reordenando os termos, escrever a equação (6) da forma m z (t) + b z (t) mg + KΔz(t) = 0 (8) Como com o auxílio de (4) podemos escrever 1 Para velocidades mais elevadas (ex: avião, foguetão, ) ter-se-iam de considerar termos de ordem superior na velocidade, i.e. termos dependentes do quadrado, cubo, etc. da velocidade. Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 3

4 então Δz(t) = z(t) z eq + m K g (9) m z (t) + b z (t) K( z(t) z eq ) = 0 (10) e fazendo a mudança de variável Ζ(t) = z(t) - z eq que corresponde a medir a amplitude das oscilações em relação ao ponto de equilíbrio temos Ζ (t) + b Ζ (t) + K Ζ(t) = 0 (11) m m A equação que se obtém tem a designação de equação diferencial homogénea do 2º grau e relaciona na mesma equação a função Z(t) com as suas 1ª e 2ª derivadas o que em geral torna um pouco mais difícil a sua resolução. Para a resolvermos podemos começar por escreve-la na seguinte forma em que Ζ (t) + 2λ Ζ (t) + ω 2 0 Ζ(t) = 0 (12) λ = b 2m tem a designação coeficiente de amortecimento e (13) ω 0 = K m = 2πf 0 (14) tem a designação de frequência própria do sistema. Um pouco à semelhança do processo do cálculo da primitiva de funções a resposta à pergunta Qual é a função Z(t) que satisfaz a equação (12)? passa por encontar uma função cuja 1ª e 2ª derivadas seja idêntica a ela própria. Facilmente se verifica que uma função do tipo e t satisfaz essa condição. Vejamos: se Z(t) = Z 0 e st (15) em que Z 0 e s são constantes, então Z (t) = sz(t) e Z (t) = s 2 Z(t) (16) donde substituindo (15) e (16) em (12) obtém-se s 2 Z(t) + 2λsZ(t) + ω 0 2 Z(t) = 0 (17) Para (17) poder ser válida para qualquer instante de tempo temos de ter s 2 + 2λs + ω 0 2 = 0 (18) ou seja s = λ ± λ 2 ω 0 2 (19) Para que a equação (15) possa ser solução da equação (12) o parâmetro s tem de ser uma raiz do polinómio de 2º grau (18). Existem 3 casos possíveis: i) Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 4

5 λ>ω 0, ii) λ=ω 0 e iii) λ<ω 0. Os casos (i) e (ii) correspondem a valores de s reais e conduzem a funções Z(t) que são combinações lineares de exponenciais decrescentes no tempo. Nestes dois casos não são observadas oscilações no sistema. Esta situação podem encontrar-se em sistemas com atrito muito elevado. O caso (iii) é o mais interessante para este trabalho. Os valores de s são números complexos que conduzem a funções oscilantes amortecidas. De facto (19) pode ser escrita na forma com s 1,2 = λ ± j ω 0 2 λ 2 = λ ± jω (20) e a solução de (12) escreve-se então da forma ω = ω 0 2 λ 2 (21) Z(t) = A 1 e λt e jωt + A 2 e λt e jωt (22) Se considerearmos que A 1 e A 2 se podem escrever da forma A 1 = A 0 2 e jϕ, A 2 = A 0 2 e jϕ e que a partir das expressões de Euler cos(ϕ) = e jϕ + e jϕ e sin(ϕ) = e jϕ e jϕ se tem 2 2 j e jϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ) podemos após algumas manipulações algébricas escrever a equação (22) na forma equivalente Z(t) = A 0 e λt cos ωt + ϕ ( ) (23) ω = 2π (23a) T As constantes A 0 e ϕ só são definidas conhecendo a posição e a velocidade da massa num determinado instante do tempo (usualmente o instante inicial). T é o período de oscilação dos sistema. Na figura 4 ilustra-se a evolução da amplitude máxima de oscilação da massa em torna da posição de equilíbrio. Figura 4: A curva a cheio ilustra a evolução da amplitude máxima de oscilação em torno da posição de equilíbrio A M (t) = A 0 e λt. A curva a tracejado representa a equação (23). Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 5

6 1.3 Regime forçado Quando o disco a que está ligado o fio que suporta o sistema massa e mola roda com uma certa velocidade angular ω a o fio que suporta a mola oscila com a frequência f a = ω a 2π e força a massa a oscilar com essa frequência (ver figura 5). Acontece que a amplitude de oscilação depende da frequência da rotação do disco. Para compreender de que forma a amplitude varia com a frequência convém começar por reescrever a equação de equilíbrio de forças aplicadas à massa tendo em conta a força excitadora F ext. A equação (6) modifica-se e toma a seguinte forma (24) m d 2 z r e dt 2 z = mg KΔz b dz dt F cos(ω t) 0 a e r z (25) Figura 5: Sistema com oscilação forçada donde se obtém Ζ (t) + 2λ Ζ (t) + ω 2 0 Ζ(t) = F 0 m cos(ω at) (26) com λ e ω 0 dados pelas expressões (13) e (14). A solução mais geral desta equação pode ser escrita como a soma de dois termos Ζ(t) = Ζ livre (t) + Ζ forçado (t). Ζ livre (t) corresponde à situação em que não há força exterior (regime livre). Ζ forçado (t) corresponde à solução particular da equação (26) e que se pode escrever da forma Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 6

7 Ζ forçado (t) = A M cos(ω a t α) (30) A amplitude A M pode ser obtida substituindo (30) na equação (26) e simplificando com o auxílio da identidade e ja = cos(a) + j sin(a). Obtém-se a seguinte expressão A M = F 0 1 (31) m Para ω 2 2 ( 0 ω a ) 2 + 4λ 2 2 ω a ω a = ω ar = ω o 2 2λ 2 (32) verifica-se que a amplitude A M é máxima e tem-se uma situação que se designa por ressonância. A frequência f ar = ω ar (33) 2π designa-se por frequência de ressonância. Quando o coeficiente de amortecimento λ é pequeno (o que pode corresponder a pequenos atritos e/ou grandes massas) tem-se que na ressonância a amplitude de oscilação do sistema pode atingir valores que destruam o sistema. Situações deste género podem ocorrer em pontes e viadutos, asas dos aviões, quando as forças exteriores induzem oscilações com frequências próximas das frequências próprias desses sistemas. A expressão (31) pode ser ajustada, pelo método dos mínimos quadrados a um conjunto de dados experimentais permitindo a determinação simultanea dos valores da frequência própria do sistema (f 0 ), coeficiente de amortecimento (λ) e A 0 (ver exemplo da figura 6). Figura 6: Curva de ressonância obtida por ajuste pelo método dos mínimos quadrados da expressão (31) a um conjunto de dados experimentais Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 7

8 2. Trabalho experimental 1) Para o trabalho experimental convém verificar a seguinte lista de material: 1. Uma mola 2. Uma barra com escala graduada com massa de 50g 3. Duas massas de 50g 4. Caixa com diferentes massas 5. Dois magnetos permanentes 6. Sistema Pasco 2) O sistema Pasco tem de se encontrar alinhado de forma a que a barra não toque em nenhuma das partes do sistema. Para tal pode ajustar dois dos três pés que suportam o sistema. 3) Aproximadamente a meio da coluna que suporta o fio/mola/massa encontra-se uma dispositivo que contém um pequeno LED ( ligh emiting diode ) vermelho e uma célula fotoeléctrica entre os quais pode oscilar a barra com a escala graduada. A função do par LED/célula fotoeléctrica é permitir medir e detectar a amplitude e período das oscilações detector de movimento. Conforme o tipo de medidas que se pretende efectuar poderá alinhar a barra com a escala graduada de forma a que o meio da escala fique exactamente entre o par LED/célula ou então alinhar a extremidade da barra com o suporte do par LED/célula. Esse ajuste pode ser conseguido variando o comprimento do fio que suporta a mola. Figura 7: LED/Célula 2.1 Determinação da constante elástica da mola 1) Efectue a medição dos alongamentos da mola para um conjunto de 5 ou seis massas diferentes. Pode começar por suspender uma massa inicial de 50g e aumentar o valor da massa suspensa na mola de 10g em 10g. Tenha em atenção que para além dos erros sistemáticos que pode estar a introduzir nas medidas por causa da paralaxe na leitura da escala, comete um erro de leitura que nunca será inferior a metade da menor divisão da escala (mas pode ser superior). 2) No computador que está junto da montagem pode executar o programa OneFit (1fit) que lhe permite efectuar um gráfico com os dados experimentais que obteve. Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 8

9 a) No botão Fitenv comece por escolher o tipo de ambiente de ajuste que quer, neste caso uma recta,. b) Edite o ficheiro de dados (em geral o nome do ficheiro tem a extensão.dat ). Os dados são introduzidos em três colunas com os valores de x, y, erro de y separados por espaços (mas não tabs). Linhas em branco começadas por # são comentários. c) Pode de seguida fazer um Fit (ajuste da recta aos pontos experimentais de utilizando o método dos mínimos quadrados). d) Finalmente Plot e AS (dentro do programa de gráficos) para escalar automaticamente o gráfico. Pode modificar o seu plot de muitas maneiras. Em Window->Drawing objects->text pode sobrepor texto no gráfico. Os comandos {\S, \s, \N, \x, \0} permitem inserir subir um caracter, descer um caracter, posiciona-lo normalmente, mudar para letras gregas, mudar para letras romanas, respectivamente. e) Os parâmetros de ajuste aparecem no quadro central do programa na coluna Value f) Os erros dos parâmetros de ajuste podem ser obtidos no fim do ficheiro de extensão.log. na coluna com a designação PARABOLIC ERROR ou mais simplesmente clicando em Get Errors 3) Calcule a constante elástica a partir do declive da recta. Pode também estimar o erro propagado do declive da recta para o valor da constante elástica. 2.2 Determinação do coeficiente de amortecimento 1) Coloque uma massa de 50g na barra (atenção que a barra tem uma massa de 50g). Ajuste os magnetos de forma a obter um atrito que contribua para atenuar o movimento de oscilação livre do sistema num tempo de cerca de 30-60s. 2) Ajuste a posição da barra de modo a que o meio da barra coincida com a posição do LED. 3) Meça o período T de oscilação livre do sistema seleccionando essa função no selector do painel de medida. 4) Compare o valor da frequência própria das oscilações com o valor esperado calculado a partir da expressão (14). 5) Seleccione de seguida a função de medida de amplitude de oscilação 6) Coloque o sistema a oscilar livremente evitando que a barra fique a tocar nas paredes do detector de movimento. 7) Verifique que o LED vai acender e apagar cada vez que a barra executa uma oscilação completa. Assim, pode usar o número de vezes n que o LED acende para contar o tempo t = nt. 8) Colocando o sistema a oscilar registe sucessivamente o valor de amplitude indicado no painel e o nº de vezes que o LED acendeu até esse momento. Por exemplo pode escolher registar amplitudes de 2 em 2 vezes que o LED acende. 9) Faça uma estimativa do erro que pode cometer nas medidas de amplitude que efectuou. 10) Em Fitenv->Open comece por escolher o ambiente de ajuste apropriado (neste caso o mov-amortecido.env) e siga um procedimento semelhante ao utilizado Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 9

10 em Faça um gráfico de amplitude em função de tempo. Verifique que de acordo com a equação (23) a amplitude varia segundo uma exponencial decrescente com tempo A = A 0 e λt. Utilize o programa de ajuste para determinar o valor do coeficiente A 0 e do coeficiente de amortecimento λ. 11) (Opcional) Pode variar as condições de atrito verificar quais as alterações no valor da constante de amortecimento. 2.3 Determinação da frequência de ressonância do sistema 1) Ajuste a barra do mesmo modo que fez para determinar o coeficiente de amortecimento. Utilize uma das condições de atrito que utilizou em 2.2. Escolha um valor de excentricidade do ponto de ligação do fio ao disco entre 2 e 5 mm. 2) Verifique que o controle de velocidade do motor da montagem está no mínimo. Ligue-o e varie a frequência de rotação de forma a detectar o valor dessa frequência para o qual a amplitude de oscilação é máxima.compare o valor obtido com o valor esperado calculado a partir do valor da constante elástica obtida em 2.1 e utilizando a expressão (14). 3) (Opcional) Registe os valores de frequência e amplitude de oscilação para valores inferiores e superiores à frequência de ressonância. Efectue um ajuste da função (31) aos seus dados experimentais (pode escolher em Fitenv->Open comece por escolher o ambiente de ajuste apropriado, neste caso o ressonancia.env e proceder como em 2.1 e 2.2). Considere nessa expressão F que 0 m é uma constante A 0. Compare os valores da frequência própria e do coeficiente de amortecimento obtidos do ajuste com os valores obtidos em 2.1 e 2.2. Bibliografia Contribuição para o Desenvolvimento do Ensino da Física Experimental no IST, A. Ribeiro, P. Sebastião, F. Tomé, Departamento de Física do IST (1996). Tratamento e Apresentação de Dados Experimentais, M. R. da Silva, DF, IST, 2003 Introdução à Física, J. Dias de Deus, M. Pimenta, A. Noronha, T. Peña, P. Brogueira, McGraw-Hill (1992). Physics, For Scientists and Engenieers with Modern Physics, 5 ed. Raymond A. Serway, Robert J. Beichner, Saunders College Publishing, 2000, ISBN: University Physics, H. Young, R. Freedman, 9th ed., Addison-Wesley, New York, The Art of Experimental Physics, D. Preston, E. Dietz, John Wiley, New York, Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 10

11 Mecânica e Ondas Relatório - Trabalho I (destaque para entregar no fim da aula ao docente) Movimentos Oscilatórios num sistema Massa-Mola Nº Nome Curso Data Turno Grupo 1. Objectivo deste trabalho: 2. Determinação da constante elástica da mola m (kg) Δl (m) Erro Δl (m) Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 11

12 2.1 Valor da constante elástica obtido a partir do ajuste da expressão Δl = g K m aos dados experimentais pelo método dos mínimos quadrados: K = 2.2 Valor da frequencia própria do sistema só com a barra que tem uma massa de 50g: ω 0 = ; f 0 = 2.3 Valor da frequencia própria do sistema só com a barra e uma massa de 50g: ω 0 = ; f 0 = 3 Determinação do coeficiente de amortecimento do sistema Massa total suspensa na mola: Valor do período de oscilação: t (s) Α (m) Erro Α (m) Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 12

13 3.1 Valor do coeficente de amortecimento e da amplitude inicial obtidos a partir do ajuste da expressão A = A 0 e λt aos dados experimentais: λ = A 0 = 3.2 Qual o valor da constante elástica estimado a partir do período de oscilação livre, assumindo que λ é pequeno comparado com ω 0. K= Qual é a influência do valor de λ na estimativa de K? Comente atendendo às expressões para a frequência própria do sistema e para a frequência de oscilação no regime oscilante livre amortecido: Que diferenças observará se utilizar outras condições de atrito? E se utilizar outra massa? 3.3 (Opcional) Experimente para outras condições de atrito. Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 13

14 4 Determinação da frequência de ressonância do sistema (utilize as mesmas condições de atrito e massa do ponto 3. Valor da excentricidade do ponto de ligação do fio ao disco: f a (Hz) Α Μ (m) Erro Α Μ (m) 4.1 Estime o valor da frequência de ressonância a partir da observação dos valores de amplitude em função da frequência de excitação: f R =. 4.2 Estime a frequência própria do sistema a partir da frequência de ressonânia assumindo que λ é pequeno comparado com ω 0 : f o =. Compare o valor obtido com aquele que calculou a partir da constante elástica da mola. Comente e diga como é que poderá estimar o valor do coeficiente de amortecimento: Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 14

15 4.3 Que diferenças observará se utilizar outras condiçoes de atrito? E se utilizar outra massa? 4.4 (Opcional) Valor do coeficente de amortecimento, da amplitude inicial e da frequência própria do sistema obtidos a partir do ajuste da expressão A M = A 0 ω 2 2 ( 0 ω a ) 2 + 4λ 2 2 ω a λ = A 0 = f 0 = aos dados experimentais: Compare estes valores com os que obteve no pontos 1 e 2. 5 Conclusões Mecânica e Ondas Movimentos Oscilatórios (2º semestre 2006) (Versão ) 15