UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas Disciplina: GEODÉSIA MARINHA 1 Semestre CAPÍTULO 2 - TEORIA DAS MARÉS TERRESTRES Prof Sílvio Rogério Correia de Freitas Organizado por: Ruth da Maia Moreira

2 INTRODUÇÃO Maré Terrestre: resultado da interação gravitacional da Terra com a Lua e o Sol, que resulta em esforços diferenciais significativos, produzindo deformações no corpo planetário e variações no geopotencial. É dividida em: Maré gravimétrica (componente vertical) Afeta g, H Maré extensométrica (componente horizontal) Afeta φ, λ Maré clinométrica (inclinação produzida na superfície) Atenuada, efeito pequeno

3 Se a terra fosse perfeitamente rígida, a força de maré produziria uma variação máxima da gravidade da ordem de 250 microgal; Mas a Terra é um corpo deformável e as deformações produzidas devido às marés gravimétricas podem chegar a 50 cm segundo a direção vertical e 15 cm segundo a horizontal; Estas deformações produzem redistribuição de massas e consequentemente um efeito de alteração no geopotencial.

4 As variações afetam o posicionamento horizontal com GNSS na medida em que sejam utilizadas linhas de base longas (~300km). O IERS fornece modelos e correções para tratar esses efeitos. A gravimetria também é afetada; gravímetros modernos já incorporam rotinas para eliminação deste efeito; No nivelamento os efeitos são usualmente desconsiderados, pois tendem a ser anulados ao longo do circuito.

5 O potencial gravitacional que produz o fenômeno de maré é determinado com precisão, a partir da dinâmica orbital dos sistemas Terra-Lua e Terra-Sol; Para o estudo das marés, são estabelecidos modelos estruturais, a partir dos quais pode ser estimada a resposta da Terra aos esforços (maré teórica) e as interações com o potencial da gravidade terrestre.

6 Em que situações a maré terrestre deve ser considerada? - Na mensuração de grandezas que sejam afetadas pela variação temporal do potencial da gravidade, da inclinação de suas superfícies equipotenciais e deformações produzidas na superfície.

7 No início da década de 80 os modelos oceânicos possibilitaram a determinação precisa do efeito oceânico em grande parte da crosta terrestre; Desta forma iniciou-se o estudo do efeito das marés terrestres e do efeito oceânico separadamente sobre as porções continentais; A resposta real obtida com a observação instrumental da deformação superficial produzida pela maré sólida, quando comparada com a resposta prevista para determinado modelo estrutural, possibilita a investigação da resposta visco-elástica da Terra aos esforços das marés terrestres e suas consequências geodinâmicas..

8 A existência de um conjunto de observações coerente, com distribuição e resolução adequadas, é um requisito para o teste de modelos estruturais e de heterogeneidades em relação a estes, que é atendido pelo TWTGP; O Trans World Tidal Gravity Profile TWTGP- tem cerca de meia centena de estações de marés gravimétricas distribuídas em todos os continentes sobre diferentes províncias estruturais; O TWTGP é coordenado pelo International Centre for Earth Tides ICET da International Association of Geodesy IAG.

9 Atribuições do ICET - as World Data Centre C, to collect all available measurements on Earth tides; - to evaluate these data by convenient methods of analysis in order to reduce the very large amount of measurements to a limited number of parameters which should contain all the desired and needed geophysical information; - to compare the data from different instruments and different stations distributed all over the world, evaluate their precision and accuracy from the point of view of internal errors as well as external errors; - to help solving the basic problem of calibration by organizing reference stations or realizing calibration devices; - to fill gaps in information and data; - to build a data bank allowing immediate and easy comparison of earth tides parameters with different Earth models and other geodetic and geophysical parameters ; -to ensure a broad diffusion of the results and information to all interested laboratories and individual scientists. Fonte:

10 Teoria das Marés Equilíbrio da ação gravitacional entre os corpos com a ação inercial da rotação, no movimento orbital kepleriano de um sistema planetário = força centrífuga; Para a descrição do campo dos esforços internos nos corpos, devem ser consideradas as desigualdades instantâneas em cada porção elementar entre o campo das forças gravitacionais e o campo das forças centrífugas.

11 A força resultante entre essas desigualdades locais é denominada de força de maré, a qual produz deformações visco-elásticas variáveis espacial e temporalmente; No caso terrestre, o campo de forças devido às marés pode ser determinado com precisão, desenvolvendo-se o potencial de maré em componentes harmônicos.

12 Força e Potencial de Maré Sejam dois corpos de massa M1 e M2 constituindo um sistema planetário: Figura 2.1 Interação gravitacional entre dois corpos F G = ação gravitacional resultante de cada um dos corpos sobre o outro F C = força centrífuga resultante do movimento de rotação, com velocidade angular ω de cada um dos corpos em torno do centro de massa CM do sistema.

13 O equilíbrio orbital estabelece que nos centros de massa de cada um dos corpos devem ser observadas as identidades: (2.1) e (2.2) com (2.3) e módulos dados por (2.4) d = R 1 +R 2 = distância entre os centros de massa dos dois corpos G = constante universal da gravitação

14 Se os corpos descrevem órbitas circulares, F C é dada por: (2.5) Então, pelas (2.1 a 5) pode ser escrito o sistema: (2.6)

15 Movimento dos dois corpos em torno do centro de massa do sistema: Figura 2.2 Centros instantâneos de rotação para cada elemento de massa de um corpo em movimento orbital.

16 CONSIDERAÇÕES: A rotação de cada um dos corpos em torno do centro de massa do sistema ocorre de tal forma que não existe rotação de cada um dos corpos em torno de si mesmo com respeito a um sistema de referência fixado (rotação kepleriana); Cada elemento de massa de um corpo descreve sua rotação em torno de diferentes centros instantâneos, porém com mesmo raio e velocidade angular.

17 Figura 2.3 Força de maré em cada elemento de massa de um corpo celeste sujeito à perturbação de um segundo corpo. Figura 2.4 Efeito das forças de maré sobre um corpo celeste elástico.

18 CONSIDERAÇÕES: Pela igualdade dos raios de rotação e velocidades angulares de cada um dos elementos de massa, a intensidade da força centrífuga por unidade de massa é constante em todos os elementos de um mesmo corpo; Das figuras 2.2 e 2.3, verifica-se que todos os vetores da força centrífuga são paralelos, de mesmo sentido e com intensidade igual à atração gravitacional exercida pelo corpo 2 no centro do corpo 1.

19 Na figura 2.3 são apresentadas as resultantes da adição vetorial entre a força de atração gravitacional e a força centrífuga; observa-se também resultantes opostas nos pontos Q e Q, as quais possuem somente componentes verticais; nos demais pontos existirão componentes horizontais. À resultante da adição vetorial da força centrífuga com a gravitacional, em qualquer ponto do corpo, denomina-se força de maré.

20 Sendo o corpo 1 esférico e o sistema em equilíbrio, as seguintes expressões são válidas: (2.7) sendo (2.8) e (2.9) então, das (2.7 a 9) resulta: (2.10)

21 Potencial de Maré A força de maré deriva da interação de dois campos conservativos, portanto pode ser derivada de um potencial. Em um ponto genérico P de um corpo de massa M, sujeito à ação gravitacional de um segundo corpo perturbador, a força de interação relaciona-se com o potencial gravitacional pela expressão: (2.11)

22 O potencial produzido pelo corpo perturbador de massa M P é dado por: (2.12) r = distância do ponto P ao centro de massa do corpo perturbador μ = relação entre M P e M. Da (2.12) e da figura 2.5, verifica-se que: (2.13) z = distância zenital do corpo perturbador, ou o ângulo entre a reta definida por OP e OCMP

23 Como o fator (r /r) é menor que 1, a (2.13) pode ser desenvolvida na série convergente: (2.14) P n (cos z) são os polinômios de Legendre e a cada termo W n corresponde um harmônico de ordem n.

24 A força de maré é dada por: (2.15) Como os campos da força gravitacional e da força centrífuga são conservativos e portanto dotados de potencial, em qualquer ponto é válida a relação: (2.16)

25 Pela (2.10), a resultante no centro do corpo representado na figura 2.4 é dada por: Da (2.11 e 16), resulta: (2.17) (2.18) O valor do potencial no centro de massa é arbitrário. Se considerado como igual a zero, o potencial da força centrífuga em um ponto genérico P do corpo será igual ao trabalho da força centrífuga desde O até P:

26 (2.19) Na adição dos potenciais gravitacional e da força centrífuga, os dois primeiros termos do potencial gravitacional (W 0 e W 1 ) são cancelados pelos termos ou (2.20) (2.21)

27 sendo: (2.22) (2.23)

28 Triângulo de posição PN-P-CM P coordenadas geográficas φ latitude λ longitude coordenadas equatoriais α ascensão reta δ declinação Figura 2.5 Triângulo de posição para definir a posição do astro perturbador relativamente a um ponto onde pretende-se avaliar a força de maré.

29 A distância zenital do astro perturbador é expressa por: (2.24) O ângulo horário local de P é expresso por: H = ângulo horário do astro perturbador t = hora sideral do meridiano de origem ω = velocidade angular de rotação da terra (2.25)

30 No desenvolvimento de Laplace para o potencial, a expressão do potencial de maré em um ponto em termos dos polinômios associados de Legendre P nm é: (2.26) A qual é obtida a partir da (2.20, 24 e 25), sendo: (2.27)

31 (2.28) (2.29) com m = 1,2,...,n e (2.30)

32 A (2.24) envolve as três classes de harmônicos para o potencial: m = 0 harmônicos zonais m = n harmônicos sectoriais 0 < m < n harmônicos tesserais O desenvolvimento do potencial de maré para o grau 2 resulta: (2.31)

33 Os harmônicos consistem na base para todos os estudos de maré. harmônicos sectoriais - espectro de ondas semi diurnas f(2h(p)), com amplitude máxima no Equador (φ=0 ) quando a declinação do astro perturbador é igual a zero e nula nos polos para qualquer declinação do astro perturbador. harmônicos tesserais f(h(p)) espectro de ondas diurnas, são nulos no equador e nos polos e têm amplitude máxima para φ=45 quando a declinação do astro perturbador é máxima. harmônicos zonais espectro de longo período, variando em um ponto apenas com a declinação. - Se astro perturbador = lua, período = 14 dias - Se astro perturbador = sol, período = 6 meses

34 Harmônicos setoriais m=n; n 0 Fonte:

35 Harmônicos tesserais m n; m 0; m<n Fonte:

36 Harmônicos zonais m=0; n=0,1,2... Fonte:

37 Constante de Doodson Sejam: c = distância geocêntrica média da Lua g = gravidade sobre uma esfera de raio a com massa e volume iguais aos da Terra Π = paralaxe equatorial da Lua De acordo com o procedimento de Doodson, para a estimação dos efeitos de maré, é conveniente a definição da constante: (2.32)

38 A Terra é representada por um elipsóide de revolução com semi-eixo equatorial a e semieixo polar b e com:

39 A constante de Doodson para o Sol, D, relaciona-se com a constante D para a Lua pela expressão: (2.37) As (2.22 e 23) podem ser reescritas para o sistema Terra-Lua em função da constante de Doodson como: (2.38) (2.39)

40 da (2.21), o potencial de maré pode ser expresso pelo desenvolvimento até o grau 3 como: com (2.40)

41 Principais Componentes do Espectro das Marés Terrestres Os movimentos orbitais dos sistemas Terra-Lua e Terra-Sol podem ser separados para expressar o potencial e grandezas derivadas em ondas senoidais, tendo como argumento somente funções lineares do tempo e expressos com grande precisão a partir dos dados orbitais; São importantes a fixação dos requisitos de precisão para o modelamento da maré sobre o corpo planetário, bem como a unificação da apresentação do desenvolvimento da força e potencial de maré com respeito a diversos sistemas de coordenadas.

42 Doodson (1922) desenvolvimento com 386 componentes com coeficientes 0,0001D. Cartwright & Tayler, 1971 e Cartwright & Edden, 1973 desenvolvimento para mais de 500 componentes; descrição da amplitude teórica da maré com uma precisão de cerca de ± 0,03 μgal. Tamura (1987) e Xi (1989 e 1991) Atual mais de 3000 componentes com precisão de ± 0,005 μgal.

43 Variáveis com incrementos praticamente lineares no tempo adotadas por Doodson: τ = tempo lunar médio s = longitude trópica média da Lua; h = longitude trópica média do Sol; p = longitude trópica média do perigeo lunar; N = -N = longitude trópica média do nodo ascendente lunar (mudança de sinal devido a variável ser negativa em função da retrogressão do nodo) P g = longitude trópica média do periélio

44 As velocidades angulares (em graus por hora solar média) e respectivos períodos são: Para os argumentos h, N e P g correspondem respectivamente períodos de um ano trópico, 18,613 e 20,940 anos. A frequência sideral é dada por: (2.41)

45 Da (2.31 e 32), a função geratriz semi-diurna, correspondente à função sectorial correspondente ao W 2, para o sistema Terra-Lua, pela conversão do ângulo horário da Lua em tempo solar médio é: (2.42)

46 Requisitos de precisão para a avaliação das marés gravimétricas

47 A perturbação média na distância Terra-Lua é a elipticidade ɛ da órbita lunar. Então: (2.43) onde (2.44) A declinação da Lua tem um período igual a st. Então: (2.45) A associação das (2.44 e 45) com a (2.42) geram uma série de número infinito de componentes, os quais têm suas frequências simetricamente distribuídas em torno da semi-frequência do dia lunar.

48 A (2.42) pode ser reescrita como: (2.46) As componentes lunares semi-diurnas são obtidas da (2.46). Da (2.41) obtém-se e de forma análoga que para o efeito lunar, obtém-se para o efeito solar: (2.47)

49 Também das (2.31 e 32) decorrem as funções geratrizes para as demais famílias de ondas. A função geratriz para a família diurna de W 2 é dada por: (2.48) A família de ondas de longo período é obtida a partir da função geratriz: (2.49) No desenvolvimento da (2.49), as ondas principais são as declinacionais com argumento 2s. Também destacam-se as ondas elípticas com argumento s - p.

50 Principais componentes normalmente empregadas na análise das marés terrestres:

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52 Principais ondas: M2 = onda lunar principal S2 = onda solar principal

53 Componentes da Força de Maré Considerando o desenvolvimento do potencial até o grau 3 na (2.40), tem-se: componente radial (2.50) componente meridiana componente primeiro vertical (2.51) (2.52)

54 sendo c = D / a -2 ψ = latitude geocêntrica As (2.50 a 2.52) podem ser dadas para um referencial geodésico como: (2.53) (2.54) (2.55)

55 Maré Permanente O potencial gerador de maré pelo astro perturbador (Sol ou Lua) sobre a Terra é dado por: (2.56) G = constante universal da gravitação M j = massa do astro perturbador l j = distância geocêntrica ao centro do astro perturbador r = distância geocêntrica ao ponto de cálculo P i = polinômio de Legendre de grau i ϑ = ângulo geocêntrico entre o ponto de cálculo e o astro perturbador

56 Desenvolvendo a expressão para o grau 2, existem efeitos médios não nulos para o Sol e a Lua = componentes S 0 e M 0. S 0 + M 0 = potencial permanente de maré W 2, podendo ser expresso em função da latitude φ. Por exemplo, para o GRS 80, W 2 é expresso por: A variação na altura geoidal N - fórm. de Bruns (2.57) considerando a perturbação resultante do efeito expresso em (2) é dada por: (2.58) T = potencial perturbador ᵧ = gravidade normal

57 As alterações e deformações no potencial da gravidade do corpo planetário são classificadas como: Efeito direto: causadas pelos próprios astros perturbadores Efeito indireto: provenientes das deformações do corpo planetário (alteração do geopotencial pelas massas deslocadas) O tratamento destes efeitos envolve diferentes Sistemas de Maré Permanente: tide-free, mean tide e zero-tide.

58 Sistemas de maré Maré Média (mean tide): Considera nas posições o efeito da maré e o respectivo efeito no geopotencial Exemplo: sistema gravimétrico IGSN-71 (MAKINEN, 2000) Sistema de Maré Zero (zero-tide): Considera apenas os efeitos da maré permanente de forma indireta no geopotencial.

59 - Zero-tide é recomendado pela IAG Resolução n 16 (para observações geodésicas como a gravidade e posições tridimensionais, os efeitos indiretos não devem ser removidos). - Sem maré (non-tidal ou tide-free): elimina totalmente os efeitos de maré nos levantamentos (diretos e indiretos)

60 Aplicação das correções de maré Devido aos padrões de precisão atuais, todas as variáveis, por exemplo, envolvidas no problema da conexão de redes altimétricas ( posicionamento GPS, medidas da gravidade e sistemas de altitudes locais), devem ser reduzidas ao mesmo sistema de maré permanente. O ITRFyyyy, bem como o SIRGAS 2000, fornecem coordenadas no sistema tide-free; as altitudes da Rede Altimétrica Fundamental do Brasil (RAFB) são dadas no sistema mean-tide, uma vez que no nivelamento não foram consideradas as correções de maré.

61 Em Ekman (1989), são apresentadas equações para transformar valores de gravidade e altitude entre sistemas de maré; As transformações entre a diferença de altitude ΔH z acima do geóide zero, a diferença de altitude ΔH m acima do geóide médio, e a diferença de altitude ΔH n acima do geóide sem maré, entre uma estação norte e uma estação sul, são dadas por: (2.59) (2.60) φ N, φ S, = latitude geodésica nos pontos norte e sul (2.61) γ = constante

62 Para os valores de gravidade, as diferenças entre a gravidade zero g z, gravidade média g m e gravidade sem maré g n são dadas por (Ekman, 1989): (2.62) (2.63) (2.64) onde δ é o fator gravimétrico (aprox. 1,16)

63 Referências Bibliográficas DE FREITAS, S.R.C.; Considerações sobre o segmento brasileiro do Trans World Tidal Gravity Profile. Tese submetida à banca examinadora do concurso para professor titular do Departamento de Geociências da UFPR. Curitiba, DE FREITAS, S.R.C.; DALAZOANA, R.; FERREIRA, V.G.; The Spatial Age and the new paradigms in Geodesy: Implication on Surveying and Mapping in Brazil. Revista Brasileira de Cartografia, N 64/6, p , DE FREITAS, S.R.C.; FERREIRA, V.G.; PALMEIRO, A.S.; DALAZOANA, R.; LUZ, R.T.; FAGGION, P.L. Modelagem do potencial anômalo no datum vertical brasileiro visando sua nova definição. Boletim de Ciências Geodésicas, sec. Artigos, Curitiba, v. 13, n o 2, p , jul-dez, 2007 ICET International Centre for Earth Tides. Acesso em ICET - International Centre for Earth Tides Acesso em ICGEM International Centre for Global Earth Models - Acesso em