Resistência dos Materiais - Apostila II

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1 atemática - Série Concursos úblicos Resistência dos ateriais - postila II ECÂNIC. Introdução. Conceitos Fundamentais. Sistema Internacional de Unidades.4 Trigonometria 4.5 lfabeto Grego 6 ESTÁTIC 7. Forças no plano 7. Equilíbrio de um ponto material 7. Resultante de uma força 8.4 omento de uma força 4.4. omento de um sistema de forças coplanares 4.4. Teorema de arignon 4.4. omento de um binário Equilíbrio de corpos rígidos 8.5 poios 9.6 Tipos de Estruturas.6. Estruturas hipostáticas.6. Estruturas isostáticas.6. Estruturas hiperestáticas TREIÇS. Definição. étodo do equilíbrio dos nós 4 TENSÕES E DEFORÇÕES 8 4. Introdução 8 4. Diagrama tensão-deformação 9 4. Tensão admissível 4.4 ei de Hooke 4.4. Coeficiente de oisson 4.4. Forma geral da ei de Hooke - Teoria da Elasticidade 4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas Tensões iniciais e Tensões Térmicas Tensão de cisalhamento 4 5 OENTO DE INERCI DS FIGURS NS Área omento Estático (ou omento de Inércia Centro de Gravidade omento de Inércia Translação de eios ódulo Resistente Raio de Giração 54 6 ESFORÇOS SOICITNTES Introdução Classificação dos esforços solicitantes Convenção de sinais 58 7 IGS 6 7. Introdução 6 7. Tipos de cargas Cargas distribuídas 6 7. poios ou vínculos Equações diferenciais de equilíbrio 75 8 TENSÕES E DEFORÇÕES N FEXÃO Hipóteses admitidas Tensões normais na fleão Tensões de cisalhamento na fleão 9 9 DEFORÇÕES NS IGS 97 IIOGRFI 4

2 atemática - Série Concursos úblicos IST DE SÍOOS letras maiúsculas área E módulo de elasticidade F força I momento de inércia comprimento momento, momento fletor s momento estático N força normal carga concentrada R resultante de forças, esforço resistente S esforço solicitante força cortante letras minúsculas a aceleração b largura g aceleração da gravidade h dimensão, altura l comprimento m metro, massa ma máimo min mínimo q carga distribuída s segundo v deslocamento vertical distância da linha neutra ao ponto de maior encurtamento na seção transversal de uma peça fletida letras gregas α, θ ângulo, coeficiente δ deslocamento φ diâmetro ε deformação específica γ coeficiente de majoração das ações f σ tensão normal σ tensão normal admissível τ tensão tangencial τ tensão tangencial admissível υ coeficiente de oisson índices adm admissível c compressão f ação t tração, transversal w alma das vigas ma máimo min mínimo

3 atemática - Série Concursos úblicos ECÂNIC. Introdução ecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos movimentos. ecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças. finalidade da ecânica é eplicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim, os fundamentos para as aplicações da Engenharia. ecânica é subdividida em três grandes ramos: ecânica dos Corpos Rígidos, ecânica dos Corpos Deformáveis e ecânica dos Fluídos, como indicado abaio. ecânica dos corpos rígidos Estática Cinemática Dinâmica ecânica ecânica dos corpos deformáveis Resistência dos ateriais ecânica dos fluídos Fluídos incompressíveis líquidos Fluídos compressíveis gases ecânica dos corpos rígidos: é subdividida em Estática, Cinemática e Dinâmica. Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio, independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, os corpos analisados são considerados rígidos, conseqüentemente, os resultados obtidos independem das propriedades do material. Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem: movimento uniforme móvel percorrendo espaços iguais em tempos iguais para quaisquer trechos de trajetória; movimento uniformemente variado a velocidade do móvel varia de valores iguais em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento será uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o movimento será uniformemente retardado; movimentos de rotação. Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz (força).

4 atemática - Série Concursos úblicos ecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas nunca são absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas. Estas deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada. No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura do material. ecânica dos corpos deformáveis é estudada pela Resistência dos ateriais, ecânica dos ateriais ou ecânica dos Sólidos, como também são conhecidas. O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da resistência mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais. ecânica dos fluídos: ecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma importante subdivisão do estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica.. Conceitos Fundamentais Os conceitos fundamentais da ecânica baseiam-se na ecânica Newtonia: espaço: o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material, o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos são conhecidos como as coordenadas do ponto; tempo: para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado; força: a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a produzir movimento ou a modificá-lo. força é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um vetor;. Sistema Internacional de Unidades O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e unidades derivadas. s unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). s unidades derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc... s unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições. força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a aceleração de m/s à massa de kg. partir da Equação Fm.a (segunda ei de Newton), escreve-se: N kg m/s. s medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados dinamômetros.

5 atemática - Série Concursos úblicos O peso de um corpo também é uma força e é epresso em Newton (N). Da Equação m.g (terceira ei de Newton ou ei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de massa kg é ( kg) (9,8 m/s ) 9,8 N, onde g9,8m/s é a aceleração da gravidade. pressão é medida no SI em ascal (a) que é definido como a pressão eercida por uma força de Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de metro quadrado de área, perpendicular à direção da força a N / m. ascal é também unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento). últiplos e submúltiplos Nome Símbolo fator pelo qual a unidade é multiplicada ea E 8 peta 5 tera T giga G 9 mega 6 quilo k hecto h deca da deci d -, centi c -, mili m -, micro µ -6, nano n -9, pico p -, femto f -5, atto a -8, Conversão de Unidades unidade é equivalente a a N/mm a 6 N/m Ga 9 N/m m cm cm, m kgf 9,8 N kgf, lb polegada (ou "),54 cm m cm Eemplo de conversão de medidas de pressão: N a m cm 6 N a m Ga N m 9 N 4 6 N cm 9 N cm 4 4 kn cm kn cm

6 atemática - Série Concursos úblicos 4.4 Trigonometria ara o estudo da ecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais da trigonometria. palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. Círculo e Funções Trigonométricas Triângulo retângulo sen α EF cos α OF tg α cot g α sec α O DC cos ec α OC OE R No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 9º. hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 9º e é determinada pela relação: a b + c. Relações trigonométricas cateto oposto c sen α hipotenusa a cateto adjacente cos α hipotenusa cateto oposto c tg α cateto adjacente b hipotenusa sec α cateto adjacente b a a b c α arctg b c α arcsen a α arccos Relação fundamental da trigonometria: sen + cos Razões Trigonométricas Especiais º 45º 6º Seno Cosseno Tangente b a C α a b triângulo retângulo c

7 atemática - Série Concursos úblicos 5 Eemplos. Calcule o valor de c da figura c c sen º c c m m c. Determine o valor de b da figura b b cos º b b m b. Calcule o valor de a da figura a 4 + a 4 + m a 5 a m 4. Determine o valor do ângulo α da figura α arctg α 6,87º 4 α 4 m Triângulo qualquer ei dos senos: a b c sen sen senc R ei dos cossenos a b c b a a + c + c + b bc cos ac cos ab cosc

8 atemática - Série Concursos úblicos 6.5 lfabeto Grego Os problemas usuais em engenharia são definidos por formulações matemáticas, as quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. É, pois, necessário, seu conhecimento para as práticas comuns da Engenharia. lfabeto Grego Nome Símbolo aiúscula inúscula lfa Α α eta Β β Gama Γ γ Delta δ Épsilon Ε ε Zeta Ζ ζ Eta Η η Teta Θ θ Iota Ι ι Capa Κ κ ambda Λ λ i Μ µ Ni Ν ν Csi Ξ ξ Ômicron Ο ο i Π π Rô Ρ ρ Sigma Σ σ Thau Τ τ Upsilon Υ υ hi Φ ϕ Chi Χ χ si Ψ ψ Omega Ω ω

9 atemática - Série Concursos úblicos 7 ESTÁTIC. Forças no plano Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. intensidade de uma força é epressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eio fio, como indicado na Figura abaio. F α F α Figura. O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de um corpo. Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo.. Equilíbrio de um ponto material onto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espaço. Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, este ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com velocidade constante (se originalmente estava em movimento). ara eprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material, escreve-se: onde: F força R resultante das forças ΣF R

10 atemática - Série Concursos úblicos 8 F 4 F representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto material pode ser representada por um diagrama de corpo livre, como indica a figura ao lado. F F Figura. Eemplo: verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio s condições necessárias e suficientes para o equilíbrio são: ΣF ΣF 5 senº senº F 5 5 ok Σ ΣF ΣF cos º cosº 866 F ok Σ Resposta: O sistema de forças está em equilíbrio F N 4 F N F 866N F 5N. Resultante de uma força Constata-se eperimentalmente que duas forças e Q que atuam sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto material. Essa força é chamada de resultante de e Q. ortanto, a resultante de um grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo grupo ou sistema de forças. resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou analíticas. a) Soluções gráficas: quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais de três forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polígono de forças, como indicado nas figuras abaio. Q Q R R Regra do paralelogramo

11 atemática - Série Concursos úblicos 9 Regra do Triângulo Q R+Q R+Q Q F F F RF+F+F Composição de forças F F F RF+F F F RF+F-F F Decomposição de forças F F b) Soluções analíticas: os métodos analíticos utilizam a trigonometria e as equações de equilíbrio. Eemplos Q6 N Determinar a Resultante das duas forças e Q agem sobre o parafuso. 5º º 4 N

12 atemática - Série Concursos úblicos a. Soluções gráficas R98 N R98 N Q6 N Q6 N 5º 4 N º 5. 4 N 5. Regra do paralelogramo Regra do triângulo b. Solução analítica: trigonometria Cálculo da força resultante: ei dos cossenos: R + Q R R 97, 7N Q cos 4 6 cos55º Cálculo do ângulo α ei dos senos sen sen sen sen55º Q R 6 97, 7 sen,5 5º α + º α 5 º + º 5º R 55 4 N α Q6 N C Sabendo-se que o parafuso está fio, portanto em equilíbrio, eistem forças de reação que equilibram as forças Q e. Este princípio é eplicado pela terceira lei de Newton: toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário. R97,7 N ortanto, o parafuso está reagindo por uma força de Q6 N mesma intensidade da resultante de e Q, mas em sentido contrário. força de reação 5. 5º pode ser decomposta em duas F8 N 4 N º forças F e F, que são suas 5 projeções sobre os eios ( e ). F 97,7 cos 5º 8 N F 97,7 sen5º 56 N R97,7 N F56 N

13 atemática - Série Concursos úblicos erificação do equilíbrio do ponto ara que o ponto esteja em equilíbrio é necessário que a somatória de todas as forças que agem no ponto sejam nulas, ou seja: F n i n F8 N Q6 N 5º 4 N º F56 N F 6 cos 45º + 4 cos º 8 ok F F 6 sen45º + 4 senº 56 ok Um caso particular da terceira lei de Newton é a lei da gravitação que trata da atração da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície. força de atração eercida pela Terra sobre o ponto material é definida como o seu peso (). a intensidade do peso de um ponto material de massa m é epresso como. onde g9,8 m/s m g é a aceleração da gravidade.. Determinar as forças nos cabos. C m g ( m / ) 75 ( kg) 9,8 s 76 N 5 75 kg T solução gráfica: desenho do polígono de forças. 76 N T C T TC 76 sen6º sen4º sen8º T 647 N e T C 48 N

14 atemática - Série Concursos úblicos T 5 76 N T C solução analítica: equações de equilíbrio. ΣF T cos º T cos 5º C T cos 5º T C () cos º ΣF T sen5 º + T senº 76 C Substituindo T C pela relação (), tem-se T cos 5º T sen5 º + senº 76 cos º T 647 N e T C 48 N Eercícios. Determinar a força F e o ângulo α. F F C α α 5 T,5 kn 5 T,5 kn. Determinar as forças nos cabos 6 T Respostas: F,85 kn e α 74,7º 6 m5 kg T Respostas: T 76, N e T 8 N. Determinar a resultante do sistema de forças indicado e o seu ângulo de inclinação em relação ao eio. F 5 N 7 5 F N F N

15 atemática - Série Concursos úblicos Roteiro: a. Determinar inicialmente a resultante entre as forças F e F e seu respectivo ângulo (α ) em relação ao eio. Chamar a resultante de R ; b. Em seguida, determinar a resultante de todo o sistema, chamando-a de R (R é a resultante entre R e F ); c. Finalmente, determinar o ângulo (α ) de R em relação ao eio. Respostas: R,9 N e α 6,46º 4. Determinar o valor da força F. a) b) N N 59,65 N 6 F 6 46,4 N F Resp. F 4,4 N c) 4,4 N Resp. F 4 N d) 5 N F 45 F 45 4,4 N N ,9 N Resp. F N Resp. F 55,45 N e) 9,6 N f) 45 N F N N 7 Resp. F,74 N F Resp. F68,95 N 6 kg

16 atemática - Série Concursos úblicos 4.4 omento de uma força Define-se omento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido em torno de um eio fio. O omento depende do módulo de F e da distância de F em ao eio fio. Considere-se uma força F que atua em um corpo rígido fio no ponto, como indicado na F figura. força F é representada por um vetor que d define seu módulo, direção e sentido. O vetor d é a distância perpendicular de à linha de ação de F. Define-se o momento escalar do vetor F em relação a, como sendo F d onde: momento escalar do vetor F em relação ao ponto pólo ou centro de momento d distância perpendicular de à linha de ação de F, também chamada de braço de alavanca O momento é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto. O sentido de é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no + - sentido anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário. No SI, onde a força é epressa em newtons (N) e a distância em metros (m). ortanto, o momento é epresso em newtons metros (N m)..4. omento de um sistema de forças coplanares Chama-se omento de um sistema de forças coplanares S{(F, ),...,(F n, n )} em relação ao ponto, à soma algébrica dos omentos de cada força em relação ao mesmo ponto. F F b b n S, b F i F, i.4. Teorema de arignon Seja R a resultante do sistema de forças S. O omento da resultante de um sistema de forças em relação a um ponto é igual ao momento do sistema ou seja, a soma algébrica dos omentos de todas as forças componentes em relação ao mesmo ponto O. R, S, n i F, i

17 atemática - Série Concursos úblicos 5.4. omento de um binário Duas forças F e F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. pesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar. F b -F Eemplos. Uma força de 45 N é aplicada no ponto como ilustrado na figura. Determinar: a) o momento da força em relação a D; b) a menor força aplicada em D que ocasiona o mesmo momento em relação a D; c) o módulo e o sentido da força vertical que, aplicada em C, produz o mesmo momento em relação a D; d) a menor força que, aplicada em C, ocasiona o mesmo momento em relação a D. mm 45 N 5mm 5mm D mm 5mm C 45 N 5mm D Solução a) braço de alavanca 97, mm 5mm 97.mm omento F b 45 97, N.mm ou 5mm C 88,8 N.m 5mm D mm 45 N b) ara se obter a menor força aplicada em que ocasiona o mesmo momento em relação a D, deve-se utilizar o maior braço de alavanca, ou seja: 5mm 75 mm 6.9 b mm F 88,8 F 6, b,75 8 N 5mm C 5. c) F 88,8 F 94, b,5 7 N

18 atemática - Série Concursos úblicos 6 d) menor força que, aplicada em C, ocasiona o mesmo momento em relação a D é aquela cujo braço de alavanca é o maior possível, ou seja: 5mm D mm 45 N b , mm 5mm 8, mm 88,8 F F 79 N b,8 5mm C. figura abaio representa uma junta rebitada, composta por dois rebites de mesmo diâmetro. Determinar as forças horizontais e verticais atuantes nos rebites. Como os rebites são iguais, as cargas e as reações verticais em cada rebite também são iguais: R R 5 N. O rebite está sendo puado para a direita, portanto, possuirá uma reação horizontal para a esquerda; O rebite está sendo empurrado para a esquerda, portanto, possuirá uma reação horizontal para a direita. Determinação dos esforços horizontais: R H 6 9 N R H R H 9 N mm R H R R R H 6mm N. Determinar o omento em devido ao binário de forças ilustrado na figura mm F5 N F b 5, 6 N.m mm F5 N

19 atemática - Série Concursos úblicos 7 4. Substituir o binário da figura por uma força F vertical aplicada no ponto. F F 5 N F b mm F4 N 6 F F 4 N b,5 mm 5mm 5. Substituir o binário e a força F ilustrados na figura por uma única força F4 N, aplicada no ponto C da alavanca. Determinar a distância do eio ao ponto de aplicação desta força. 6N.m C C (4,5) + (,) 84 N.m mm 84 d d, m mm F 4 C 4 mm cos 6º N mm N 5mm F4 N dmm 5. Determinar a intensidade da força F para que atue no parafuso o torque (momento) de 4 N.m. a 7 mm,7 m cos º F b F 4 F 84, b,7 N 6. Um grifo é utilizado para rosquear um tubo de φ mm a uma luva, como mostra a figura. Determinar a intensidade da força F eercida pelo grifo no tubo, quando a força aplicada no aperto for 4 N. 4 8 F 4 8 F 4 N

20 atemática - Série Concursos úblicos Equilíbrio de corpos rígidos Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças eternas que atuam sobre ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças eternas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo. ΣF Σ s epressões acima definem as equações fundamentais de Estática. Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, encontram-se as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço: z F F F Σ Σ Σ z Σ Σ Σ z Equilíbrio ou em duas dimensões s condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente no caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eios e no plano da estrutura, tem-se: F z z para cada uma das forças aplicadas ao corpo rígido, então as seis equações de equilíbrio no espaço reduzem-se a: Σ F F Σ Σ onde é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser resolvidas para um máimo de três incógnitas. O equilíbrio em duas dimensões é também conhecido como equilíbrio no plano.

21 atemática - Série Concursos úblicos 9.5 poios ara o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as forças eternas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo rígido está apoiado. poios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificação: poio móvel Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio; ou ermite movimento na direção paralela ao plano do apoio; ermite rotação. poio fio Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; ermite rotação. Engastamento Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; Impede rotação.

22 atemática - Série Concursos úblicos.6 Tipos de Estruturas s estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. ara as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais: Σ.6. Estruturas hipostáticas F F Σ Σ Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. figura ao lado ilustra um tipo de estrutura hipostática. s incógnitas são duas: R e R. Esta estrutura não possui restrição a movimentos horizontais. R R.6. Estruturas isostáticas Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. No eemplo da estrutura da figura, as incógnitas são três: R, R e H. Esta estrutura está fia; suas incógnitas podem ser resolvidas somente pelas equações fundamentais da Estática. H R R.6. Estruturas hiperestáticas Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. Um tipo de estrutura hiperestática es ta ilustrado na figura ao lado. s incógnitas são quatro: R, R, H e. s equações fundamentais da H Estática não são suficientes para resolver as equações de equilíbrio. São necessárias outras condições relativas ao comportamento da estrutura, como, p. e., a sua deformabilidade para determinar todas as incógnitas. R R

23 atemática - Série Concursos úblicos TREIÇS. Definição Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas etremidades. O ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços eternos são aplicados unicamente nos nós. Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um mesmo plano. ara se calcular uma treliça deve-se: a) determinar as reações de apoio; b) determinar as forças nas barras. condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é: onde: b número de barras n número de nós v número de reações de apoio n b + v dota-se como convenção de sinais: barras tracionadas: positivo setas saindo do nó barras comprimidas: negativo setas entrando no nó Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e analíticos. Um dos vários processos analíticos usuais é o étodo do Equilíbrio dos Nós, abaio eemplificado.

24 atemática - Série Concursos úblicos. étodo do equilíbrio dos nós Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio. No caso da treliça da figura, no 5 kn kn 5 kn nó tem-se um apoio móvel e no nó, um apoio fio. C D Como os apoios móveis restringem somente deslocamentos os perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical R. α Como os apoios fios F E restringem deslocamentos paralelos e m m perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical R e uma reação horizontal H E. R RE erificar se a treliça é uma estrutura isostática barras b 9 n b + v Conclusão: nós n a treliça é uma estrutura isostática reações v cateto oposto Cálculo do ângulo de inclinação das barras α arctg 45º cateto adjacente a) Cálculo das reações de apoio Equação de equilíbrio das forças na horizontal: Σ H F conclusão: H E Equação de equilíbrio das forças na vertical: F R R 5 5 R R kn () Σ + E + E Equação de equilíbrio de momentos: Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por eemplo o nó como referência, tem-se Σ 4 R 5 4 E Substituindo o valor de R E na equação (), tem-se: 4 R E R E kn 4 R + kn logo R kn m HE b) Cálculo das forças nas barras Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máimo duas forças incógnitas. s forças devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor

25 atemática - Série Concursos úblicos determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser mudado. Nó N F N Σ H Nó Nó C Nó D Nó E N R 5 5 C 5 N7 45 N 45 N4 N5 N6 5 D N8 ΣF + N N kn ΣF H N + N 4 cos 45º N 5 kn ΣF 5 N 4sen45º N 4 7, 7 kn ΣF H 5 + N 5 N 5 5 kn ΣF + N N 6 kn 6 ΣF H 5 N 7 cos 45º N 7 7, 7 kn ΣF 5 + N8 + 7,7sen45º N 8 kn N9 ΣF H N 9 E Nó F erificação 7, ,7 ΣF H 7,7cos45º + 7,7cos45º ok,, F ΣF + 7,7sen45º + 7,7sen45º ok

26 atemática - Série Concursos úblicos 4 Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças que agem nos nós D e E são iguais às dos nós e, respectivamente. ortanto, não há necessidade de se calcular as forças nos nós D e E. Resultados 5 kn kn 5 kn N - kn N F N C -5 kn N F +7,7 kn N CF - kn N CD -5 kn N DF +7,7 kn N DE - kn N FE kn compressão compressão tração compressão compressão tração compressão R m C F α m D E RE m HE. Calcular as forças em cada barra da treliça mão francesa da figura. R H. m. m C α 4 kn θ kn H. m E. m D Cálculo dos ângulos de inclinação das barras α arctg 6,4º θ arctg 6,56º a) Cálculo das reações de apoio Σ H F H H 4 kn Σ + F R + R kn Σ H 4 4 H 6 kn H kn +

27 atemática - Série Concursos úblicos 5 b) Cálculo das forças nas barras Nó Nó kn N 6 kn N N ΣF H + N senα N, 4 kn ΣF + N N cosα N kn ΣF H 6 + N 4 + N senθ 6 + N 4,4senθ N 4 4 kn N4 ΣF + N cosθ N, 4 kn Nó E N5 4 N6 E Σ H F N 6 4 kn Σ F N 5 kn Nó D N7 ΣF + N 7senθ N 7 44, 7 kn Nó C, C D 6.6 4,4 44,7, ΣF H ,7 cos senθ ok ΣF H,4cosθ,4 cosθ ,7 cosθ kn ΣF,4sen θ,4senθ 44,7senθ +- ok

28 atemática - Série Concursos úblicos 6 Resultados R N + kn N C -,4 kn N C +4 kn N C +,4 kn N CE N CD +44,7 kn N ED +4 kn tração compressão tração tração tração tração H H. m. m. m E C α 4 kn θ. m kn D Eercícios. Determine a força em cada barras das treliças ilustradas. Indique se cada barra está tracionada ou comprimida.. F 8 kn C F C kn T C F C 8,545 kn T.m.4m 9 N.9m N. 75mm F 9 N T F C 4 5 N C C F C 6 N C 4mm 5mm. 4 N 4 N 4 N 4 N 4 N F F DE F G F DI ; F F F CH F EJ 4 N C; C D E F C F CD 8 N C; F F F DJ 849 N C; a F H F DH 8 N T; F FH F GH F HI F IJ 6 N T F a G H I J a a a

29 atemática - Série Concursos úblicos 7 9 N 4. F 9 kn; F C ; 9 N C D F C,5 kn C F D 6,75 kn T; F CD 8 kn T E F F CE 6,75 kn C; F DE,5 kn C,6m F DF,5 kn T,7m,7m 5. C F F DE 8 kn C F F F FG F HE 6,9 kn T D F C F CD F G F DE 4 kn C F F F DH F 4 kn T F G H a a a a E 4 kn 4 kn,5 m,5 m,5 m D E,6 m,6 m C F 6. F kn T F D kn T F E kn C F C 7,5 kn T F E 5 kn T F F 5,5 kn C F CF,5 kn T F DE F EF kn C kn

30 atemática - Série Concursos úblicos 8 4 TENSÕES E DEFORÇÕES 4. Introdução Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar, considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eio reto e de seção constante em todo o comprimento). Considere-se uma barra prismática carregada nas etremidades por forças aiais (forças que atuam no eio da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. ara o estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a seu eio. Removendo-se por eemplo a parte direita do corpo, os esforços internos na seção considerada (m-m) transformam-se em esforços eternos. Supõe-se que estes esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal. m σ m δ Figura 4.. ara que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à resultante, também aial, de intensidade. Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a seção transversal, recebem o nome de tensão normal, sendo comumente designada pela letra grega σ (sigma). ode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal é obtida dividindo-se o valor da força pela área da seção transversal, ou seja, σ () tensão tem a mesma unidade de pressão, que, no Sistema Internacional de Unidades é o ascal (a) corresponde à carga de N atuando sobre uma superfície de m, ou seja, a N/m. Como a unidade ascal é muito pequena, costuma-se utilizar com freqüência seus múltiplos: a N/mm (a 6 ), Ga kn/mm (a 9 ), etc. Em outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda pode-se ser epressa em quilograma força por centímetro quadrado (kgf/cm ), libra por polegada quadrada (lb/in ou psi), etc. Quando a barra é alongada pela força, como indica a Figura 4., a tensão resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra, tem-se tensão de compressão.

31 atemática - Série Concursos úblicos 9 condição necessária para validar a Equação () é que a tensão σ seja uniforme em toda a seção transversal da barra. O alongamento total de uma barra submetida a uma força aial é designado pela letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado deformação específica, representado pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte equação: δ ε () onde: ε deformação específica δ alongamento ou encurtamento comprimento total da barra. Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o valor da deformação específica por ou mesmo até ( ) multiplicando-se por. 4. Diagrama tensão-deformação s relações entre tensões e deformações para um determinado material são encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ, correspondentes aos acréscimos de carga aial, que se aplicarem à barra, até a ruptura do corpo-de-prova. Obtêm-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as deformações específicas dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material em estudo. Na Figura 4. ilustra-se um diagrama tensão-deformação típico do aço. σ σ r σ σ e p escoamento C D E Tensão σ δ Deformação ε ε região elástica p região plástica δ Figura 4.. Diagrama tensão-deformação do aço ε r ε σ r tensão de ruptura σ e tensão de escoamento σ p tensão limite de proporcionalidade Região elástica: de até as tensões são diretamente proporcionais às deformações; o material obedece a ei de Hooke e o diagrama é linear. ponto é chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deia de eistir a

32 atemática - Série Concursos úblicos proporcionalidade. Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta, até que em começa o chamado escoamento. O escoamento caracteriza-se por um aumento considerável da deformação com pequeno aumento da força de tração. No ponto inicia-se a região plástica. O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máimo ou tensão máima no ponto D, denominado limite máimo de resistência. lém deste ponto, maiores deformações são acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama. presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes da ruptura. ateriais que apresentam grandes deformações, antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre, bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. or outro lado, os materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes de romper-se, como por eemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, entre outros. 4. Tensão admissível ara certificar-se de que a estrutura projetada não corra risco de ruína, levando em conta algumas sobrecargas etras, bem como certas imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança (γ f ), majorando-se a carga calculada. Outra forma de aplicação do coeficiente de segurança é utilizar uma tensão admissível (σ ou σ adm ), reduzindo a tensão calculada (σ calc ), dividindo-a por um coeficiente de segurança. tensão admissível é normalmente mantida abaio do limite de proporcionalidade, ou seja, na região de deformação elástica do material. ssim, σ σ calc σ adm () γ f 4.4 ei de Hooke Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais, quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação permanente.

33 atemática - Série Concursos úblicos relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE em 678 e é conhecida por EI DE HOOKE, definida como: σ Eε (4) onde σ tensão normal E módulo de elasticidade do material ε deformação específica O ódulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material. lei de HOOKE é valida para a fase elástica dos materiais. or este motivo, quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois somá-los. lguns valores de E são mostrados na Tabela abaio. ara a maioria dos materiais, o valor do ódulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais. Tabela 4. ropriedades mecânicas típicas de alguns materiais aterial eso específico (kn/m ) ódulo de Elasticidade (Ga) ço 78,5 a lumínio 6,9 7 a 8 ronze 8, 98 Cobre 88,8 Ferro fundido 77,7 adeira,6 a, 8 a Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão aial é σ / e a deformação específica é ε δ /. Combinando estes resultados com a ei de HOOKE, tem-se a seguinte epressão para o alongamento da barra: δ (5) E Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto E é conhecido como rigidez aial da barra.

34 atemática - Série Concursos úblicos 4.4. Coeficiente de oisson Quando uma barra é tracionada, o alongamento aial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. Figura ilustra essas deformações. Figura 4.. Deformações longitudinal e lateral nas barras relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de oisson (v); definido como: deformação lateral υ (6) deformação longitudinal Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. oisson (78-84). ara os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos, oisson achou ν,5. Eperiências com metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre,5 e,5. Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material anisotrópico. Um eemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas fibras a madeira é mais resistente Forma geral da ei de Hooke Considerou-se anteriormente o caso particular da ei de HOOKE, aplicável a eemplos simples de solicitação aial. Se forem consideradas as deformações longitudinal (ε ) e transversal (ε t ), tem-se, respectivamente: σ υσ ε e ε t νε (7) E E No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões normais σ, σ e σ z, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às deformações ε, ε e ε z, a ei de HOOKE se escreve:

35 atemática - Série Concursos úblicos σ σ z σ [ σ υ( σ σ )] ε + z. E [ σ υ( σ σ )] ε z + (8) E [ σ υ( σ σ )] ε z z +. E lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos. Eemplos. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de comprimento 5,m, seção transversal circular com diâmetro φ5cm e ódulo de Elasticidade E. kn/cm, submetida a uma força aial de tração kn. kn 5 m πφ 5 π 9, 6 cm 4 4 σ σ, 5 kn/cm ou 5, a 9,6 5 δ δ, 8 cm E. 9,6 δ,8 ε ε, 764 ou,764 ( ) 5. barra da figura é constituída de trechos: trecho cm e seção transversal com área cm ; trecho Ccm e seção transversal com área 5cm e trecho CDcm e seção transversal com área 8cm é solicitada pelo sistema de forças indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o alongamento total. Dado E. kn/cm. 5kN kn 5kN C D 7kN cm cm cm

36 atemática - Série Concursos úblicos 4 Trecho - 5kN 5kN R5kN cm kn 7kN 5 σ σ 5 kn/cm 5 δ δ, 4 cm E. δ,4 ε ε, 7 ( ) Trecho -C RkN kn C 5kN RkN 5kN cm 7kN σ σ 8 kn/cm 5 δ δ, 76 cm E. 5 δ,76 ε ε, 8 ( ) Trecho C-D R7kN kn C D 7kN 5kN 5kN cm 7 σ σ 9, 44 kn/cm 8 7 δ δ, 899 cm E. 8 δ,899 ε ε, 45 ( ) longamento total δ,4 +,76 +,899,8 cm

37 atemática - Série Concursos úblicos Estruturas estaticamente indeterminadas Nos eemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. ara essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta. Um eemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura 4.4. Ra Ra a C C b Rb (a) (b) (c) Figura 4.4 arra estaticamente indeterminada barra está carregada por uma força no ponto C e as etremidades da barra estão presas em suportes rígidos. s reações Ra e Rb aparecem nas etremidades da barra, porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. única equação fornecida pelo equilíbrio estático é R + R (9) a b a qual contém ambas as reações desconhecidas ( incógnitas), sendo, portanto, insuficiente para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda equação, que considere as deformações da barra. ara a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força sobre a barra se uma de suas etremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da carga deslocando o ponto, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento (para baio) do ponto, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga, é dado por: δ b E

38 atemática - Série Concursos úblicos 6 Em seguida, analisa-se o efeito da reação R a deslocando do ponto, ilustrado na Figura 4.4c. Note-se que se está analisando o efeito da reação R a com a etremidade da barra livre. O deslocamento (para cima) é dado por: δ R a R E Ora, como a etremidade da barra é fia, o deslocamento final (δ), neste ponto, resultante da ação simultânea das forças e R a, é nulo. ogo, ou seja, ogo, R b δ R δ δ δ R, b E Ra. E R b a. Substituindo o R a na equação (9), tem-se: a R + b a R b b ( b) R b R b a Eemplos. Uma barra constituída de dois trechos é rigidamente presa nas etremidades. Determinar as reações R e R quando se aplica uma força. Dados: E. kn/cm ; 5cm ; C 7,5cm ; 6 kn Solução Equação de equilíbrio R + R () Equação de compatibilidade das deformações: δ δ C () Nota: s cargas / provocarão um alongamento no trecho, e um encurtamento no trecho C, de valores eatamente iguais. lembrando que δ, tem-se E,4R R, R E 5 R,5 E 7,5,R R R, 5R substituindo em (),4 R + R 6,5R + R 6,5 R 6 R 4 kn mas, R logo R kn. C / R R / cm,5 cm

39 atemática - Série Concursos úblicos 7. É dado um cilindro de aço de 5cm de diâmetro no interior de um tudo de cobre de 8cm de diâmetro eterno, com dimensões indicadas na Figura. plicando-se uma força de 4 kn, qual a parcela de carga no cilindro de aço e qual a parcela de carga no cilindro de cobre? Dados: E aço. kn/cm ; E cobre. kn/cm 5 π aço 9,6 cm cobre cobre, total aço 4 π 8 π 5 cobre,6cm kn () cobre + aço δ δ +,5 () aço cobre lembrando que δ E cobre, tem-se aço,5 +,5. 9,6.,6,78,87 +,5 aço cobre,5 cm cm 5 cm 8 cm 4 kn placa rígida posição final cilindro de aço cilindro de cobre,87cobre +,5 aço substituindo em (), tem-se,,78,87cobre +,5,87cobre,5 cobre + 4 kn cobre kn,78,78,78, + 4, , 66 kn substituindo em (), tem-se: cobre + cobre cobre aço 4 6,66 7,4kN Eercícios. Em uma máquina usa-se uma barra prismática de m de comprimento, comprimida por uma força de 5 kn. Sabendo-se que a tensão não deve eceder a 4 kn/cm e o encurtamento não deve eceder a mm, pede-se determinar o diâmetro da barra. E. kn/cm. Resposta: φcm. Uma barra prismática está submetida à tração aial. área da seção transversal é cm e o seu comprimento é 5m. Sabendo-se que a barra sofre o alongamento δ,7485cm quando é submetida à força de tração 6kN, pede-se determinar o módulo de elasticidade do material. Resposta: E. kn/cm.. Uma barra cilíndrica de 8mm de diâmetro e cm de comprimento sofre a ação de uma força de compressão de kn. Sabendo-se que o módulo de elasticidade da barra é E9. kn/cm e o coeficiente de oisson, υ,, determinar o aumento de diâmetro da barra. Resposta: δ t,cm.

40 atemática - Série Concursos úblicos 8 4. barra rígida é articulada em, suspensa em por um fio e apóia-se em C em um suporte de ferro. São dados: comprimento do fio:,7m; área da seção transversal do fio: 5cm ; módulo de elasticidade do fio E. kn/cm ; comprimento do suporte: m; área do suporte: 5cm ; módulo de elasticidade do suporte E. kn/cm. Determinar as forças no fio, no suporte e na articulação. Respostas: Força no fio: 5kN Força no suporte: 5kN Força na articulação: 5kN. m C. m C C kn. m kn.7m. m f 4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas Quando uma estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da temperatura em todo seu comprimento não acarreta nenhuma tensão, pois a estrutura é capaz de se epandir ou se contrair livremente. or outro lado, a variação de temperatura em estruturas fias, estaticamente indeterminadas, produz tensões em seus elementos, denominadas tensões térmicas. Esta conclusão pode ser observada pela comparação entre uma barra livre em uma das etremidades, com outra barra engastada nas duas etremidades, como mostrado na Figura 4.5. R R T T (a) R (b) (c) Figura 4.5. arra fia nas etremidades, submetida a aumento de temperatura Na barra da Figura 4.5b, a variação uniforme de temperatura sobre toda a barra causará o alongamento:

41 atemática - Série Concursos úblicos 9 onde: α coeficiente de dilatação térmica comprimento δ α T () T variação de temperatura (ºC) Como este alongamento pode ocorrer livremente, não surgirá nenhuma tensão na barra. Na Tabela 4. estão indicados coeficientes de dilatação térmica de alguns materiais. Tabela 4. alores Típicos do coeficiente de dilatação térmica aterial Coeficiente de dilatação térmica α ( -6 ºC - ) ço,7 lumínio,4 a,9 agnésio 6, Cobre 6,7 Concreto 7, a,6 No caso de barras estaticamente indeterminadas, como a que aparece na Figura 4.5, quando há aumento de temperatura, a barra não pode alongar-se, surgindo, como conseqüência, uma força de compressão que pode ser calculada pelo método descrito no item precedente. ara a barra engastada da Figura 4.5a, vê-se que, se a etremidade for liberada, seu deslocamento para cima, devido ao acréscimo de temperatura, será o mesmo deslocamento para baio, decorrente da ação da força R, ou seja, R/E. Igualando esses dois deslocamentos vêm: R Eα T () Depois de se obter R, pode-se calcular a tensão e a deformação específica da barra pelas epressões: R σ σ Eα T e ε α T E Deste eemplo, conclui-se que a variação de temperatura produz tensões em sistemas estaticamente indeterminados, ainda que não se tenha a ação de forças eternas. Eemplo Uma barra prismática, rigidamente presa nas etremidades é submetida a um aumento de temperatura de ºC, ao mesmo tempo em que recebe uma carga kn. Determinar as reações de apoio. Dados:,5 cm ; E. kn/cm ; α,7-6 ºC - ; T +ºC cm kn C 5 cm Solução: a) determinação das reações R e R, devido ao aumento de temperatura R Eα T

42 atemática - Série Concursos úblicos 4 R' 7, R' 7, kn 6 R.,5,7 7, kn R R R b) ao se aplicar a carga kn no ponto C, o trecho C sofrerá um alongamento eatamente igual ao encurtamento no trecho C, portanto, δ δ. ssim, R R 5 E E fazendo o equilíbrio de forças, tem-se: R + R mas R, 5R, logo,,5r + R,5R R 8,57 kn ortanto, R, 4 kn kn C C R, 5R R'',4 R'' 8,57 kn Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elástico, vale a superposição de efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga : R R + R R 7, +,4 4, 4 kn R R + R R 7, + 8,57 5, 59 kn Eercício. um tubo de aço se aplica uma carga aial de kn por meio de uma placa rígida. área da seção transversal do cilindro de aço é cm. Determinar o acréscimo de temperatura T para o qual a carga eterna seja equilibrada pelos esforços que aparecem nos cilindros de aço e cobre. Dados: E aço. kn/cm ; α aço,7-6 ºC - Resposta: T 4,7ºC. 5cm kn tubo de aço

43 atemática - Série Concursos úblicos Tensão de cisalhamento Denomina-se força cortante (), a componente de uma força, contida no plano da seção transversal considerada, como ilustrado na Figura 4.6. força cortante é uma força que atua no próprio plano da seção transversal. outra componente é a força normal. força tangencial R resultante força normal barra engastada Figura 4.6 força cortante dá lugar, em cada um dos pontos da seção, ao aparecimento de uma tensão tangencial, denominada tensão de cisalhamento, designada pela letra grega τ. dmitindo-se distribuição uniforme da tensão de cisalhamento na seção transversal de área, tem-se, em cada ponto da seção: τ () tensão de cisalhamento, como a tensão normal, tem também a mesma unidade de pressão a qual, no Sistema Internacional é o pascal (a). Eemplo Considere-se o parafuso de,5 mm de diâmetro, da junta da Figura abaio. força é igual a 5 kn. dmitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual o valor dessas tensões, em qualquer uma das seções transversais m n ou p q? m p n q C m p n Solução Supõe-se que a força solicite igualmente as duas seções transversais. Nessas condições, a força que atua em cada plano é: 5/7,5 kn, sobre a seção de área π,5 /4, cm. ortanto, 7,5 τ τ 6, kn/cm, q m p n q

44 atemática - Série Concursos úblicos 4 Eercícios. Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, como se indica na figura, Se o diâmetro do rebite é 9mm e a carga kn, qual a tensão de cisalhamento no rebite? Resposta:τ,6 kn/cm. kn φ 9mm. barra é perfeitamente ajustada aos anteparos fios quando a temperatura é de +5ºC. Determinar as tensões atuantes nas partes C e C da barra para a temperatura de 5ºC. Dados: EGa e α -6 /ºC. Respostas: σ C 4 a; σ C a. Determine a deformação da barra de aço sob a ação das cargas indicadas. Dado: E Ga Resposta: δ,75 - m,75mm 4. barra () da figura é de aço, possui 4mm de área de seção transversal e seu comprimento é 8mm. Determinar para a barra (): a) carga aial atuante (F ) b) tensão normal atuante (σ ) c) o alongamento ( ) d) a deformação longitudinal (ε ) e) a deformação transversal (ε t ) Dados: E aço Ga; υ, Respostas: a) F 6,5 kn; b) σ 5,a c) 58-6 m; d) ε,75; e) ε t -,

45 atemática - Série Concursos úblicos 4 5. barra rígida DE é suspensa por duas hastes e CD. haste é de alumínio (E al 7Ga) com área de seção transversal de 5mm ; a haste CD é de aço (E aço Ga) com área de seção transversal de 6mm. ara a força de kn determine. a) deslocamento de ; b) deslocamento de D; c) deslocamento de E. Respostas: a) δ,54mm; b) δ D,mm; c) δ E,98mm 6. viga da figura está apoiada n ponto por meio de um pino com φ,5mm de diâmetro e sustentada no ponto por meio de um cabo de aço com φ4mm de diâmetro. o se aplicar uma carga no ponto C, o cabo sofre um alongamento de,cm. Determinar a carga e a tensão de cisalhamento no ponto do suporte. Desprezar o peso próprio da barra. Dado: σ aço kgf/cm. Respostas: 77kgf τ,4 kgf/cm. 4 m C m m