CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI

Transcrição

1 CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 07

2 Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auiliá-lo nas redescobertas da arte matemática que elaboramos o conteúdo e os eercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes de matemática da forma mais clara possível. Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará ferramentas matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na sua vida. Uma parte fundamental dessa apostila são os Eercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um teto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo eercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os eercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os eercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo. No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio. Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo. Página

3 Teorema de Pitágoras Quem foi Pitágoras? Pitágoras, um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador, Mnesarco. Nasceu cerca de 580 anos a.c., em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou, segundo alguns, em Sidon, na Fenícia. Muito pouco se sabe sobre a sua juventude, a não ser que conquistou prêmios nos Jogos Olímpicos. Página 3

4 Chegando à idade adulta e não se sentindo satisfeito com os conhecimentos adquiridos em sua terra, deiou a ilha onde vivia e passou muitos anos a viajar, visitando a maioria dos grandes centros da sabedoria. A história conta a sua peregrinação em busca de conhecimentos, que se estenderam ao Egito, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina, e como adquiriu em cada país novas informações, conseguiu familiarizar-se com a Sabedoria Esotérica, assim como os conhecimentos eotéricos neles disponíveis. Voltou, com a mente repleta de conhecimentos e a capacidade de julgamento amadurecida, à sua terra, onde tencionava abrir uma escola para divulgar os seus conhecimentos, o que, porém, se mostrou impraticável, devido à oposição do turbulento tirano Policrates, que governava a ilha. Em vista do fracasso de uma tentativa migrou para Crotona, importante cidade da Magna Grécia, que era uma colónia fundada pelos dórios na costa meridional da Itália. Foi ali que o famoso filósofo fundou a Escola ou Sociedade de Estudiosos, que se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na Europa; foi ali que, secretamente, Pitágoras ensinou a sabedoria oculta que havia coligido dos ginosofistas e brâmanes da Índia, dos hierofantes do Egito, do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da Cabala dos rabinos hebreus e magos caldeus. Durante cerca de quarenta anos ele lecionou para os seus discípulos e eibiu os seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição, e ele próprio foi forçado a fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião surgidas em decorrência de uma disputa entre o povo de Crotona e os habitantes de Síbaris; ele conseguiu chegar em Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou menos em 500 a.c.. Página 4

5 A escola de Pitágoras A Escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro era obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, guardando perfeito silêncio; os membros tinham tudo em comum e abstinham-se de alimentos de origem animal; acreditavam na doutrina da metempsicose, e tinham uma fé ardente e absoluta no seu mestre e fundador da Escola. O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que "autos efa" - ele disse - constituía uma destacada feição da Escola; por isso, a sua afirmação "Um amigo meu é o meu outro eu" tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instrução certos estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma classe superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos. A ninguém era permitido registrar por escrito qualquer princípio ou doutrina secreta, e, pelo que se sabe, nenhum discípulo jamais violou a regra até depois da morte de Pitágoras e da dispersão da Escola. Depende-se, assim, inteiramente, dos fragmentos de informações fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus críticos ou críticos dos seus sucessores. Uma considerável incerteza é, portanto, inseparável de qualquer consideração das doutrinas reais do próprio Pitágoras, mas pisa-se um terreno mais firme quando se investigam as opiniões dos seus seguidores. Sabe-se que as suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas grandes divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical; a segunda era subdividida também em dois ramos, conforme se tratava da grandeza em repouso - a geometria, ou da grandeza em movimento - a astronomia. As mais notáveis peculiaridades das suas doutrinas estavam relacionadas com as concepções matemáticas, as idéias numéricas e simbolizações sobre as quais se apoiava a sua filosofia. Os princípios que governam os Números eram, supunha-se os princípios de todas as Eistências Reais; e, como os Números são os componentes primários das Grandezas Matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos Números eram os elementos das Realidades. Acredita-se que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros ensinamentos sobre as propriedades dos Números, dos princípios da música e da física; há provas, porém de que ele visitou a Ásia Central, e ali adquiriu as idéias matemáticas que formam a base da sua doutrina. A maneira de pensar introduzida por Pitágoras e seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros, tornou-se conhecida mais tarde pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica. Página 5

6 História e lenda do teorema de Pitágoras Os geómetras gregos elevaram a um altíssimo grau de perfeição, técnica e lógica, o estudo das proporções entre grandezas, em particular o confronto entre figuras semelhantes. Eles basearam-se em tal estudo o cálculo não só de comprimentos incógnitos, mas também das áreas de muitas figuras planas limitadas por retas, ou de volumes de sólidos limitados por planos. Para confrontar as áreas das duas figuras planas semelhantes (isto é, da mesma forma) é preciso confrontar não os lados correspondentes, mas os quadrados dos lados correspondentes. No entanto, alguns matemáticos estão de acordo com os estudiosos que pensam que os gregos fizeram o cálculo das áreas, num primeiro momento, por uma via mais simples e natural do que aquela que se baseia no confronto de figuras semelhantes e, em geral, sobre as proporções. Um eemplo famoso, é o de Pitágoras e do seu teorema: Num triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos. A lenda diz que Pitágoras compreendeu tão bem a importância da sua demonstração, que ordenou uma hecatombe, isto é, o sacrifício de cem bois aos deuses, em sinal de agradecimento e de alegria. Naturalmente, sobre a descoberta de Pitágoras não temos jornais, nem livros, nem revistas da época, porque naquela época não havia nem jornais, nem livros, nem revistas. Temos só lendas, ou melhor, histórias de escritores que viveram séculos e séculos depois. Todavia, muitas razões nos induzem a acreditar na história de Pitágoras. Talvez não se tenha chamado Pitágoras, talvez não tenha morto cem bois, mas um só, ou talvez não tenha sacrificado nem sequer um cordeirinho: tudo isto pode ser só lenda. Mas que um estudioso da Grande Grécia (com esta epressão incluíam-se a Itália Meridional e a Sicília), que viveu seiscentos anos a.c., tenha mostrado com um raciocínio geral a relação, a que chamamos Teorema de Pitágoras, entre os quadrados dos catetos e o da hipotenusa, para cada possível triângulo retângulo, acreditamos que seja verdade. Sabemos, para além disso, que no tempo de Pitágoras, nas ilhas gregas e na Grande Grécia, a geometria de recolha de regras práticas e de observações separadas, como aquela que recordamos agora, se transforma em ciência racional, isto é em raciocínios gerais sobre as figuras em geral. Portanto Pitágoras - hecatombe ou não hecatombe - demonstrou verdadeiramente, cerca de seiscentos anos a.c., que a soma dos quadrados dos dois catetos, num triângulo retângulo, é sempre igual, ou melhor, equivalente, ao quadrado da hipotenusa. Página 6

7 Demonstrações do teorema de Pitágoras Eistem inúmeras demonstrações do teorema de Pitágoras. Em 1940 o matemático americano Elisha Scott Loomis compilou 367 demonstrações diferentes para o seu livro 'The Pythagorean Proposition'; Abaio estão alguns estratos de demonstrações para o teorema de Pitágoras, dadas ao longo do tempo: Grego, 800 a.c. Latino, 110 a.c. Arábico, 150 a.c. Francês, 1564 a.c. Inglês, 1570 a.c. Chinês, 1607 a.c. Observe o espaço ao seu redor. Identifique ângulos retos nos objetos e construções. Desde muito cedo em sua história, a humanidade utiliza ângulos retos para demarcar terras, construir casas, templos etc. Sabemos que um triângulo é retângulo quando tem um ângulo reto. Os antigos egípcios, usando uma corda com 1 nós, parecem ter construído um triângulo retângulo particular para obter cantos em ângulos retos. Esse triângulo particular tem lados medindo 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades de comprimento. Neste triângulo, o ângulo formado pelos dois lados menores é um ângulo reto. Página 7

8 Baseado no triângulo retângulo particular dos egípcios, e construindo quadrados sobre os lados desse triângulo, podemos obter a figura a seguir, que nos permite estabelecer uma relação entre medidas dos lados desse triângulo particular. 9 Num triângulo retângulo, chamaremos os lados que formam o ângulo reto de catetos. O lado oposto ao ângulo reto (lado de maior medida) chama-se hipotenusa. Lados que formam o ângulo reto = CATETOS Lado oposto ao ângulo reto = HIPOTENUSA Página 8

9 Teorema de Pitágoras Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma das medidas dos quadrados dos catetos. Ou seja: ( Hipotenusa ) = ( Cateto ) + ( Cateto ) EXEMPLO 1: A hip cat cat 3 4 cateto 3 B 4 cateto hipotenusa C EXEMPLO : cateto E F 4 cateto 5 hipotenusa G hip cat 4 16 cat Página 9

10 Eercícios Questão 01: Calcule o valor desconhecido nos triângulos retângulos. a) d) b) e) b y c) f) a c Página 10

11 Questão 0: Berlinde ou bola-de-gude, bolinha-de-gude ou simplesmente gude também conhecido como búlica, bolita, entre outros tantos nomes, é uma pequena bola de vidro maciço, pedra, ou metal, normalmente escura, manchada ou intensamente colorida, de tamanho variável, usada em jogos de criança. Outros nomes são: baleba, bilosca, biloca, bila, birosca, bolita, bugalho, búraca, búrica, bute, cabiçulinha, clica, firo, guelas, nica, peteca, pirosca, imbra, boleba e bolega. Qual é a distância percorrida pelo berlinde? Questão 03: O Pedro e o João estão a andar de balance, como indica a figura: 50 cm 10 cm A altura máima a que pode subir cada um dos amigos é de 50 cm. Qual o comprimento do balance? Página 11

12 Questão 04: Qual a distância percorrida, em linha reta, por um avião do Ponto A até o ponto B, quando ele alcança a altura indicada na figura abaio? Questão 05: Durante um incêndio de apartamentos, os bombeiros utilizaram uma escada Magirus de 50m para atingir a janela do apartamento sinistrado. A escada estava colocada sobre o caminhão que se encontrava afastado 40m do edifício. Qual é a altura do apartamento sinistrado em relação ao chão? Página 1

13 Questão 06: Visando a diminuição de acidentes no transito no país, a apelidada Lei Seca que alterou também o Código de Trânsito Brasileiro, tem como símbolo, o temido bafômetro (temido, é claro, para aqueles que sabem que se ecederam no consumo de álcool), além da proibição da venda de bebidas alcoólicas ao longo das rodovias. A Lei foi efetivada pela grande comoção social que se dá perante a inúmeras mortes ocorridas pela combinação fatal : álcool + volante. Segundo a OMS (Organização Mundial de Saúde) 1,8 milhões de mortes no planeta estão diretamente ligados ao consumo de álcool, em 1998, entre as vítimas de acidente de trânsito, cerca de dois terços apresentaram taa de alcoolemia superior a 0,6 g/l. Durante muito tempo o governo foi questionado quanto à segurança no trânsito e agora que uma lei destas foi aprovada e diversos policiais estão realizando uma fiscalização eficaz nas estradas do país, algumas pessoas começam a questioná-la. Correta ou não, o fato é que o número de acidentes de trânsito causados por motoristas embriagados caiu drasticamente. Muitos deiaram de morrer e outros tantos de se machucar. Diminuíram as cenas absurdas de motoristas que bebem e não conseguem assoprar o bafômetro. Se você costuma dirigir após um pileque coloque-se no lugar de seus pais. Toda vez que o filho sai de casa para uma balada eles não dormem de tanta preocupação. Dirigir é antes de tudo sinônimo de responsabilidade. Não queira ser mais um número na estatística de mortes no trânsito. Queira ser um eemplo a ser seguido pelos seus amigos. Agora veja o eemplo abaio de um jovem que bebeu e depois dirigiu, com os refleos não tão apurados não deu outra, o carro chocou-se contra o poste. Com base na figura determine a altura do poste. Página 13

14 Questão 07: Lars Schmidt Grael é um velejador brasileiro. Como atleta, Grael é titular de duas medalhas de bronze, uma nos Jogos Olímpicos de Seul e outro em Atlanta. Tendo sido campeão mundial da classe snipe em 1983 na cidade do Porto, decacampeão brasileiro e pentacampeão sul-americano da classe tornado. Em setembro de 1998, Grael sofreu um grave acidente em Vitória, causado pela imperícia e irresponsabilidade do comandante de um iate, o que causou a mutilação de uma das pernas do atleta. O velejador teve que se afastar da prática esportiva por algum tempo, dedicando-se, todavia, ao fomento do desporto a partir de uma outra perspectiva: a política, eercendo cargos nos governos federal e de seu estado natal. Atualmente, Lars Grael voltou a dedica-se eclusivamente à vela. Voltou a velejar na classe Star e continua ativo na vela. Determine a altura do mastro do barco à vela representado abaio. Página 14

15 Gabarito Questão 1: a) = 10 b) y = 15 c) a = 0 d) = 16 e) b = 1 f) c = 1 Questão : 65cm Questão 3: 130cm = 1,30m Questão 4: =1,3km Questão 5: 30m Questão 6: 9m Questão 7: Aproimadamente 4,96m Página 15

16 Bibliografia Os tetos e os eercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros: Telecurso 000 Matemática: Volumes 1, e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, 000. Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 000. Matemática: Conteto & Aplicações: Volumes 1, e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999. Matemática Fundamental, º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. São Paulo: Moderna, Curso Prático de Matemática: Volumes 1, e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. São Paulo: Moderna, Matemática: Temas e Metas: Volumes 1, e 3 / Antônio dos Santos Machado. São Paulo: Atual, Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. São Paulo: Editora do Brasil, 00. A Conquista da Matemática Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Página 16

17 Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA Ma Dadá Gallizzi, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo eercícios e teorias, ora criando com base nos conteúdos observados. Professores Ednilton Feliciano Francis Mara C. Sirolli Paulo Teles de Araújo Jr Satie Sandra Soares Taira 010 Página 17