Modelando a Variância

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1 Capítulo 6 Modelando a Variância 6.1 Introdução Nos modelos vistos até aqui a variância dos erros foi assumida constante ao longo do tempo, i.e. V ar(ɛ t ) = E(ɛ 2 t ) = σɛ 2. Muitas séries temporais no entanto exibem períodos de grande volatilidade seguidos de períodos de relativa tranquilidade. Nestes casos, a suposição de variância constante (homocedasticidade) pode não ser apropriada. Na verdade, embora a variância incondicional dos erros ainda possa ser assumida constante, sua variância condicional pode estar mudando ao longo do tempo. Além disso, em muitas situações práticas tem-se interesse em prever a variância condicional da série além da série propriamente dita. Por exemplo, no mercado de ações o interesse é não apenas prever a taxa de retorno mas também a sua variância ao longo de um certo período. Esta variância condicional é também chamada de volatilidade. Algumas referências para este capítulo são Taylor (1986), Franses (1998), e Tsay (2002). Exemplo 6.1 : Nas Figuras 6.1 e 6.2 os gráficos apresentam indices de preços diários de fechamento de algumas bolsas de valores européias: DAX (Frankfurt), SME (Suíça), CAC (Paris) e FTSE (Londres). Exemplo 6.2 : Na Figura 6.3 os gráficos apresentam as taxas de câmbio diárias do Dólar Australiano, Libra Esterlina, Dolar Canadense, Florim Holandes, Franco Frances, Marco Alemão, Iene Japones e Franco Suiço, em relação ao Dolar Americano, enquanto nos gráficos da Figura 6.4 estão os logaritmos das taxas de variplot(eustockmarkets, xlab=, main= ) Figura 6.1: Indices de preços diários de fechamento de bolsas de valores européias: DAX (Frankfurt), SME (Suíça), CAC (Paris) e FTSE (Londres). 78

2 6.1. INTRODUÇÃO 79 plot(eustockmarkets, xlab=, main=, ylab=, plot.type= single ) Figura 6.2: Indices de preços diários de fechamento de bolsas de valores européias: DAX (Frankfurt), SME (Suíça), CAC (Paris) e FTSE (Londres). ação (retornos diários). O período amostral vai de 31 de dezembro de 1979 a 31 de dezembro de Uma característica comum nestes retornos é que embora as médias pareçam ser aproximadamente constantes as variâncias mudam ao longo do tempo. Na Figura 6.5 estão os histogramas com uma curva normal superposta para os mesmos dados (retornos). Pode-se notar que muitos valores aparecem nas caudas das distribuições. Finalmente, nas Figuras 6.6 e 6.7 temos as autocorrelações amostrais dos retornos e dos retornos ao quadrado. Note como existe bastante aucorrelação entre os retornos ao quadrado. Todas estas características são em geral verificadas em séries reais de retornos e devem ser levadas em conta pelo modelo. Florim Franco Sui Dolar Can Iene Libra Dolar Aus Marco Franco Figura 6.3: Taxas de câmbio diárias em relação ao Dolar Americano do Dólar Australiano, Libra Esterlina, Dolar Canadense, Florim Holandes, Franco Frances, Marco Alemão, Iene Japones e Franco Suiço, entre 31 de dezembro de 1979 e 31 de dezembro de 1998.

3 80 CAPÍTULO 6. MODELANDO A VARIÂNCIA Florim Dolar Can Franco Sui Iene Libra Dolar Aus Marco Franco Figura 6.4: Retornos diários em relação ao Dolar Americano do Dólar Australiano, Libra Esterlina, Dolar Canadense, Florim Holandes, Franco Frances, Marco Alemão, Iene Japones e Franco Suiço, entre 31 de dezembro de 1979 e 31 de dezembro de A idéia aqui é tentar modelar simultaneamente a média e a variância de uma série temporal. Para fixar idéias, suponha que um modelo AR(1), X t = αx t 1 +ɛ t foi estimado e deseja-se fazer previsões 1 passo à frente, ˆx t (1) = E(X t+1 x t ) = αx t. A variância condicional de X t+1 é dada por V ar(x t+1 x t ) = V ar(ɛ t+1 x t ) = E(ɛ 2 t+1 x t ). Até agora assumimos que E(ɛ 2 t+1 x t ) = σ 2 ɛ, mas suponha que a variância condicional não seja constante, i.e. E(ɛ 2 t+1 x t ) = σ 2 t+1. Uma possível causa disto é que os dados se distribuem com caudas muito longas. Para facilitar a notação vamos denotar por I t = {x t, x t 1,..., ɛ t, ɛ t 1,... }, ou seja σ 2 t = V ar(ɛ t I t 1 ).

4 6.2. MODELOS ARCH 81 Dolar Aus Libra Dolar Can Florim Franco Marco Iene Franco Sui Figura 6.5: Histogramas dos retornos diários do Exemplo Modelos ARCH Existem várias formas de especificar como a variância condicional (volatilidade) varia com o tempo. Uma estratégia utilizada para modelar σ 2 t, proposta em Engle (1982), consiste em assumir que ela depende dos quadrados dos erros passados, ɛ t 1, ɛ t 2,... através de uma autoregressão. No caso mais simples, faz-se ɛ t = v t c + αɛ 2 t 1 (6.1) onde {v t } é uma série puramente aleatória com média zero e variância igual a 1 e v t e ɛ t são independentes. Segue que a esperança e a variância condicionais são dadas por, E(ɛ t I t 1 ) = E(v t ) c + αɛ 2 t 1 = 0 E(ɛ 2 t I t 1 ) = σ 2 t = c + αɛ 2 t 1 (6.2)

5 82 CAPÍTULO 6. MODELANDO A VARIÂNCIA Dolar Aus Libra Dolar Can Florim Franco Marco Iene Franco Sui Figura 6.6: Correlogramas dos retornos no Exemplo 6.2. Neste caso dizemos que a variância segue um processo autoregressivo condicionalmente heterocedástico de ordem 1, ARCH(1). Note que é necessário impor as restrições c > 0 e α 0 para que σ 2 t seja sempre positiva. Quando α = 0 a variância condicional é constante e ɛ t é um processo condicionalmente homocedástico. Além disso queremos garantir a estacionariedade da autoregressão de modo que a restrição imposta é 0 < α < 1. Note também que (6.2) não inclui um termo de erro e portanto não é um processo estocástico. A esperança e variância incondicionais podem ser obtidas como, E(ɛ t ) = E[E(ɛ t I t 1 )] = 0 V ar(ɛ t ) = E(ɛ 2 t ) = E[E(ɛ 2 t I t 1 )] = E[c + αɛ 2 t 1] = c + αe(ɛ 2 t 1). Se o processo é estacionário então E(ɛ 2 t ) = E(ɛ 2 t 1) = V ar(ɛ t ) e portanto V ar(ɛ t ) = c 1 α.

6 6.2. MODELOS ARCH 83 Dolar Aus^2 Libra^2 Dolar Can^ Florim^2 Franco^2 Marco^ Iene^2 Franco Sui^ Figura 6.7: Correlogramas dos retornos ao quadrado no Exemplo 6.2. Além disso, Cov(ɛ t, ɛ t+k ) = E(ɛ t ɛ t+k ) = E[E(ɛ t ɛ t+k ) ɛ t+k 1,..., ɛ t 1 ] = E[ɛ t E(v t+k c + αɛ 2 t+k 1 )] = 0, para k > 0. Ou seja, ao postular o modelo ARCH(1) estamos assumindo que os {ɛ t } são não correlacionados. Exemplo 6.3 : Para ilustração a Figura 6.8 apresenta dois processos ARCH de ordem 1 simulados a partir de uma sequência {v t } de 200 números aleatórios i.i.d. gerados de uma distribuição N(0, 1). A sequência {ɛ t } foi construida usando a equação (6.1) com c = 1 e α = 0, 8. Note como a sequência {ɛ t } continua tendo média zero mas parece ter tido um aumento de volatilidade em alguns períodos. Em um modelo AR(1), a forma como esta estrutura nos erros afeta a série original depende do valor do parâmetro autoregressivo e duas possíveis situações são mostradas nos gráficos inferiores da figura. Na Figura 6.9 temos o histograma dos valores {ɛ t } gerados, com uma curva normal superimposta,

7 84 CAPÍTULO 6. MODELANDO A VARIÂNCIA além do gráfico de probabilidades normais (QQ-plot normal). Note como há um excesso de valores nas caudas ocorrendo com uma frequência maior do que seria esperado na distribuição normal. processo aleatório ε(t) = v(t) ε(t 1) x(t) = 0.5x(t 1) + ε(t) x(t) = 0.9x(t 1) + ε(t) Figura 6.8: Processos autoregressivos com erros ARCH(1) simulados. Basicamente a equação (6.2) nos diz que erros grandes (ou pequenos) em valor absoluto tendem a ser seguidos por erros grandes (ou pequenos) em valor absoluto. Portanto o modelo é adequado para descrever séries aonde a volatilidade ocorre em grupos. Além disso, na equação (6.2) somando ɛ 2 t e subtraindo σt 2 de ambos os lados obtemos que ɛ 2 t = c + αɛ 2 t 1 + ν t com ν t = ɛ 2 t σt 2 = σt 2 (vt 2 1). Ou seja, o modelo ARCH(1) pode ser reescrito como um AR(1) estacionário para ɛ 2 t com erros não normais (vt 2 χ 2 1 se v t N(0, 1)) que têm média zero e variância não constante. Portanto, a função de autocorrelação do processo {ɛ 2 t } é dada por ρ(k) = α k e o correlograma amostral deve apresentar um decaimento exponencial para zero. Se o processo ARCH(1) for estacionário não é difícil calcular o seu coeficiente

8 6.2. MODELOS ARCH 85 densidades Q Q plot Normal quantis amostrais quantis teoricos Figura 6.9: Caracteristicas de um processo ARCH(1) simulado. de curtose que é dado por κ = E(ɛ4 t ) [V ar(ɛ t )] 2. Denotando por E(v 4 t ) = λ o quarto momento do erro segue que o quarto momento condicional é dado por E(ɛ 4 t I t 1 ) = E(v 4 t σ 4 t I t 1 ) = λe(σ 4 t I t 1 ) = λ(c + αɛ 2 t 1) 2. (se assumirmos que v t N(0, 1) então λ = 3). Portanto, o quarto momento incondicional fica, E(ɛ 4 t ) = E[E(ɛ 4 t I t 1 )] = λe(c 2 + α 2 ɛ 4 t 1 + 2cαɛ 2 t 1). Se o processo é estacionário de quarta ordem então podemos escrever E(ɛ 4 t ) = E(ɛ 4 t 1) = µ 4 e portanto, ( µ 4 = λ c 2 + α 2 µ 4 + 2cα ) ( ) c 1 + α = λc 2 + λα 2 µ 4 1 α 1 α

9 86 CAPÍTULO 6. MODELANDO A VARIÂNCIA e finalmente, µ 4 = O coeficiente de curtose então fica, λc 2 (1 + α) (1 α)(1 λα 2 ). κ = λc 2 (1 + α) (1 α)(1 λα 2 ) (1 α) 2 c 2 = λ 1 α2 1 λα 2, para λα2 < 1 que é sempre maior do que λ. Ou seja, qualquer que seja a distribuição de v t o coeficiente de curtose será maior do que a curtose de v t (desde que α > 0 e λ > 1). Em particular, processos ARCH(1) têm caudas mais pesadas do que a distribuição normal e são portanto adequados para modelar séries temporais com esta característica. Séries de retornos, como as do Exemplo 6.2, frequentemente apresentam caudas mais pesados do que a normal devido ao excesso de curtose. Previsões da Volatilidade Suponha que uma série temporal X t segue um processo ARCH(1), i.e. X t = v t ht, v t N(0, 1). As previsões da volatilidade, k passos à frente, no tempo t = n são obtidas como, ĥ n (k) = E(h n+k I n ) = c + αe(x 2 n+k 1 I n ). Para k = 1 segue que E(X 2 n+k 1 I n) = X 2 n+k 1 e para k > 1 temos que E(X 2 n+k 1 I n ) = E(h n+k 1 v 2 n+k 1 I n ) = E(h n+k 1 I n )E(v 2 n+k 1 I n ) = E(h n+k 1 I n ) = ĥn(k 1) pois h n+k j e v n+k j são independentes. As previsões então ficam, { c + αx 2 ĥ n (k) = n, k = 1 c + αĥn(k 1), k = 2, 3,... O Modelo ARCH(p) Estas idéias podem ser generalizadas para processos mais gerais ARCH(p) em que a variância condicional depende dos quadrados de p erros passados, i.e. ɛ t = v t c + α 1 ɛ 2 t α p ɛ 2 t p (6.3)

10 6.2. MODELOS ARCH 87 e então a variância condicional é modelada como, σ 2 t = E(ɛ 2 t I t 1 ) = c + α 1 ɛ 2 t α p ɛ 2 t p. Neste caso, para garantir que σt 2 seja sempre positiva é necessário impor a seguintes restrições c > 0 e α 1 0,..., α p 0 e para garantir estacionariedade é necessário também que as raízes de 1 α 1 B α p B p = 0 estejam fora do círculo unitário. Juntando estas restrições equivale a impor a restrição c > 0 e p i=1 α i < 1. Analogamente podemos reescrever o modelo ARCH(p) como um modelo AR(p) para ɛ 2 t definindo os erros ν t como anteriormente, i.e. com ν t = σ 2 t (v 2 t 1). ɛ 2 t = c + α 1 ɛ 2 t α p ɛ 2 t p + ν t. Identificação A característica chave dos modelos ARCH é que a variância condicional dos erros ɛ t se comporta como um processo autoregressivo. Portanto deve-se esperar que os resíduos de um modelo ARMA ajustado a uma série temporal observada também sigam este padrão característico. Em particular, se o modelo ajustado for adequado então a FAC e a FACP dos resíduos devem indicar um processo puramente aleatório, no entanto se a FAC dos quadrados dos resíduos, ˆɛ 2 t, tiver um decaimento característico de uma autoregressão isto é uma indicação de que um modelo ARCH pode ser apropriado. A ordem p do modelo pode ser identificada através da FACP dos quadrados dos resíduos. Previsões da Volatilidade Suponha que uma série temporal X t segue um processo ARCH (p). As previsões da volatilidade, k passos à frente, no tempo t = n são obtidas como, ĥ n (k) = E(h n+k I n ) = c + p α j E(Xn+k j I 2 n ). i=j Para k j segue que E(X 2 n+k j I n) = X 2 n+k j e para k > j temos que E(X 2 n+k j I n ) = E(h n+k j v 2 n+k j I n ) = E(h n+k j I n )E(v 2 n+k j I n ) = E(h n+k j I n ) = ĥn(k j)

11 88 CAPÍTULO 6. MODELANDO A VARIÂNCIA já que h n+k j e v n+k j são independentes. 6.3 Modelos GARCH Uma generalização natural dos modelos ARCH consiste em assumir que a variância condicional se comporta como um processo ARMA, i.e. depende também de seus valores passados. Fazendo ɛ t = v t ht onde h t = c + p q α i ɛ 2 t i + β j h t j i=1 j=1 segue que a esperança condicional de ɛ t é zero e a variância condicional é σt 2 = h t. Este modelo é chamado ARCH generalizado, ou GARCH, de ordem (p, q). Aqui as restrições de positividade e estacionariedade impostas sobre os parâmetros são dadas por c > 0, α i 0, i = 1,..., p, β j 0, j = 1,..., q e p i=1 α i + q j=1 β j < 1. Embora a primeira vista pareça um modelo mais complexo, sua vantagem sobre os modelos ARCH é basicamente a parcimônia. Assim como um modelo ARMA pode ser mais parcimonioso no sentido de apresentar menos parâmetros a serem estimados do que modelos AR ou MA, um modelo GARCH pode ser usado para descrever a volatilidade com menos parâmetros do que modelos ARCH. Em termos de identificação dos valores de p e q as ferramentas básicas são mais uma vez a FAC e a FACP dos quadrados dos resíduos. Assim, se o modelo ajustado for adequado a FAC e a FACP dos resíduos devem indicar um processo puramente aleatório, no entanto quando estas funções são aplicadas aos quadrados dos resíduos elas devem indicar um processo ARMA(p, q). A identificação pode não ser muito fácil em algumas aplicações embora na maioria dos casos um modelo GARCH(1,1) seja suficiente. Na prática recomenda-se também tentar outros modelos de ordem baixa como GARCH(1,2) e GARCH(2,1). As previsões da volatilidade em modelos GARCH são obtidas de forma similar a de um modelo ARMA. Por exemplo, após estimar os parâmetros de um modelo GARCH(1,1) e assumindo-se que ɛ 0 = h 0 = 0 pode-se construir as sequências ɛ 1,..., ɛ t e h 1,..., h t e a previsão 1 passo à frente da volatilidade fica ˆσ 2 t (1) = c + αɛ 2 t + βh t Estimação Para uma série x 1,..., x n observada e um modelo GARCH(p, q), denotando-se o vetor de parâmetros por θ=(c, α 1,..., α p, β 1,..., β q ) e destacando-se a densidade

12 6.3. MODELOS GARCH 89 conjunta das p primeiras realizações segue que p(x 1,..., x n θ) = p(x 1,..., x p θ) Assumindo normalidade segue que e portanto n t=p+1 X t x t 1,..., x t p N(0, h t ) p(x 1,..., x n θ) = p(x 1,..., x p θ) n t=p+1 p(x t x t 1,..., x t p, θ). ( ) (2πh t ) 1/2 exp x2 t. 2h t Em geral o número de observações será grande o suficiente para que o termo p(x 1,..., x p θ) possa ser desprezado. Por exemplo, para um modelo ARCH(1) a função log-verossimilhança fica 0.5 n [ log(2π) + log(c + αx 2 t 1 ) + x 2 t /(c + αx 2 t 1) ]. t=2 Note que algum algoritmo de otimização não linear deverá ser utilizado e nada garante sua convergência para um ótimo global. No R pode-se usar a função garch do pacote tseries para fazer a estimação por máxima verossimilhança Adequação Se um modelo ARCH ou GARCH foi ajustado a uma série X t não correlacionada então os resíduos padronizados são dados por X t = X t ht e formam uma sequência i.i.d. com distribuição normal padrão. Assim, a adequação do modelo pode ser verificada aplicando os testes usuais de normalidade a estes residuos padronizados e os testes de aleatoriedade (Box-Pierce e Ljung-Box) aos quadrados dos resíduos. Exemplo 6.4 : Na parte superior da Figura 6.10 estão os preços diários no fechamento de um indice de mercado da Alemanha (DAX), entre 1991 e O interesse é em analisar os chamados retornos dados por log(x t /x t 1 ) e estes estão no gráfico inferior da Figura Existe evidência na literatura que modelos GARCH(1,1) conseguem captar bem os movimentos característicos dos re-

13 90 CAPÍTULO 6. MODELANDO A VARIÂNCIA tornos. Foi usada a função garch no pacote tseries do R para ajustar um modelo GARCH(1,1). DAX retornos Figura 6.10: Preços diários no fechamento de um indice de mercado da Alemanha (DAX), entre 1991 e 1998 e respectivos retornos. Estimate Std. Error t value Pr(> t ) a a b Tabela 6.1 Assim, o modelo ajustado obtido foi Y t = v t ht, v t N(0, 1) h t = Y 2 t h t 1 sendo todos os coeficientes significativos. O teste de Ljung-Box aplicado nos quadrados dos residuos indicou aleatoriedade (p-valor = 0,71), no entanto o teste

14 6.3. MODELOS GARCH 91 de normalidade de Jarque-Bera aplicado aos residuos rejeitou a hipótese nula (pvalor<0,001). Assim a hipótese de normalidade condicional parece estar sendo violada. Na Figura 6.11 estão os histogramas, gráficos de probabilidades normais dos retornos e resíduos do modelo GARCH(1,1) estimado, além dos correlogramas dos quadrados dos retornos e resíduos. DAX Residuos DAX Residuos residuos Residuos^ Time Figura 6.11: Histogramas e probabilidades normais dos retornos do indice de mercado da Alemanha (DAX) e resíduos do modelos GARCH(1,1) e correlogramas dos seus quadrados. Um fato estilizado presente em séries temporais financeiras é que o mercado tem baixa volatilidade quando está em alta e alta volatilidade quando está em baixa. Tal assimetria não é levada em conta pelos modelos GARCH e para contornar esta limitação outros modelos foram propostos na literatura. Por exemplo, no modelo EGARCH (ou GARCH exponencial) modela-se o logaritmo da volatilidade como, log(σt 2 ) = c + α ɛ t 1 + γ ɛ t 1 + βσ σ t 1. 2 t 1 σ t 1 Em termos de estimação uma vantagem deste modelo é que os parâmetros c, α e

15 92 CAPÍTULO 6. MODELANDO A VARIÂNCIA β são irrestritos já que estamos modelando o logaritmo da volatilidade. A única restrição é γ < 0 pois assim a volatilidade aumenta quando ɛ t 1 < Volatilidade Estocástica As fórmulas para modelar σt 2 vistas até agora foram todas determinísticas, i.e. sem uma componente de erro aleatório. No entanto, pode ser mais razoável assumir que a variância condicional varia estocasticamente ao longo do tempo ao invés de deterministicamente, especialmente se existem mudanças abruptas na volatilidade (e.g. como resultado de greves, guerras, etc.). Assim, uma alternativa aos modelos (G)ARCH consiste em assumir que σ 2 t segue um processo estocástico. Geralmente modela-se o logaritmo de σ 2 t. Em sua forma mais simples um modelo de volatilidade estocástica (VE) é dado por X t = v t exp(h t /2), v t N(0, 1) h t = c + αh t 1 + η t, η t N(0, σ 2 η) com α < 1 e h t = log(σ 2 t ). Note que não há necessidade de restrições de positividade nos parâmetros pois estamos modelando o logaritmo da volatilidade. O modelo pode ser estendido para uma estrutura AR(p) em h t, ou seja X t = v t exp(h t /2), v t N(0, 1) p h t = c + α i h t i + η t, η t N(0, ση) 2 i=1 Estimar modelos de volatilidade estocástica é mais difícil porque a função de verossimilhança é dificil de ser avaliada. Propriedades 1. E(X t ) = E(v t e ht/2 ) = E(e ht/2 )E(v t ) = 0, já que h t e v t são independentes. 2. V ar(x t ) = E(X 2 t ) = E(e h t v 2 t ) = E(e h t )E(v 2 t ) = E(e h t ). Mas, como estamos assumindo que h t é estacionária segue que, E(h t ) = µ = c/(1 α) e V ar(h t ) = σ 2 = σ 2 η/(1 α 2 ) e a distribuição incondicional do log-volatilidade é h t N(µ, σ 2 ). Portanto, e ht segue uma distribuição log-normal com par ˆmetros µ e σ 2 cuja média e

16 6.4. VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA 93 variância são dados por E(e h t ) = e µ+σ2 /2 = V ar(x t ) V ar(e h t ) = (e σ2 1)e 2µ+σ2 3. E(X 4 t ) = E(v 4 t e 2h t ) = E(v 4 t )E(e 2h t ). Se ɛ t N(0, 1) então E(v 4 t ) = 3 e E(X 4 t ) = 3E(e 2ht ). Mas E(e 2ht ) = V ar(e ht ) + E 2 (e ht ) = (e σ2 1)e 2µ+σ2 + (e µ+σ2 /2 ) 2 Portanto, a curtose é dada por = e 2µ+σ2 (1 + e σ2 1) = e 2µ+2σ2. κ = 3 e2µ+2σ2 e 2µ+σ2 = 3e σ2 que é sempre maior do que 3 pois e σ2 > 1. Um resultado mais geral é que κ = E(vt 4 )e σ2 ou seja a curtose induzida por este modelo é sempre maior do que a curtose de v t.

17 94 CAPÍTULO 6. MODELANDO A VARIÂNCIA Exercícios 1. Um modelo ARIMA foi identificado e estimado para uma série temporal observada mas há indicação de que a variância condicional deve ser modelada por um processo GARCH(1,1). Explique como se chegou a esta conclusão. 2. Refaça o exemplo da Figura 6.8 e estime um modelo AR(1) para a série X t. Verifique se existe estrutura autoregressiva nos quadrados dos resíduos e identifique um modelo ARCH para os erros. 3. Obtenha as previsões 1, 2 e 3 passos a frente para um modelo GARCH(1,2). 4. Descreva duas vantagens de modelos EGARCH sobre modelos GARCH.