Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz

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1 Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Modelos lineares generalizados e modelos de dispersão aplicados à modelagem de sinistros agrícolas Keliny Martins de Melo Sousa Dissertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Ciências. Área de concentração: Estatística e Experimentação Agronômica Piracicaba 2010

2 Keliny Martins de Melo Sousa Licenciada em Matemática Modelos lineares generalizados e modelos de dispersão aplicados à modelagem de sinistros agrícolas Orientador: Prof. Dr. VITOR AUGUSTO OZAKI Dissertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Ciências. Área de concentração: Estatística e Experimentação Agronômica Piracicaba 2010

3 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação DIVISÃO DE BIBLIOTECA E DOCUMENTAÇÃO - ESALQ/USP Sousa, Keliny Martins de Melo Modelos lineares generalizados e modelos de dispersão aplicados à modelagem de sinistros agrícolas / Keliny Martins de Melo Sousa. - - Piracicaba, p. : il. Dissertação (Mestrado) - - Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Bibliografia. 1. Modelos lineares generalizados 2. Perdas agrícolas - Modelagem 3. Seguro Agrícola 4 Verossimilhança I. Título CDD S725m Permitida a cópia total ou parcial deste documento, desde que citada a fonte O autor

4 3 Dedicatória A Deus, por me dar força interior e coragem para concluir este trabalho, e pela perseverança de não desistir nunca. Aos meus pais, Waldinar de Sousa do Nascimento e Edenir Martins de Melo Sousa, que sempre me apoiaram, estiveram presentes e acreditaram em meu potencial, me incentivando na busca de novas realizações.

5 4 sociedade. Dificuldades e obstáculos são fontes valiosas de saúde e força para qualquer Albert Einstein

6 5 AGRADECIMENTOS Tentarei expressar nestes poucos parágrafos apenas uma pequena parte da minha gratidão em relação a algumas pessoas que participaram direta ou inderatamente para a conclusão deste trabalho. Foram tantos sorrisos, lágrimas, decepções mas também muitas conquistas, que tornam a transcrição dessas poucas páginas um trabalho árduo. Antecipadamente, expresso minhas desculpas àqueles não mencionados, mas que de maneira alguma, são menos importantes para mim. Agradeço, dedico, ofereço, em primeiro lugar a Deus, por ter me dado força, saúde, perserverança, humildade e sabedoria. Àos meus pais, Waldinar de Sousa e Edenir Martins, por serem o meu porto seguro em muitos momentos da minha caminhada. Ao meu pai, uma pessoa simples e perseverante, que sempre incentivou e colocou a nossa formação profissional (minha e das minhas irmãs Keylla e Kennya e irmão Joabe) em primeiro lugar. À minha mãe, meu espelho de vida, de mãe, mulher, amiga, filha, por sua incansável generosidade me possibilitando aprender a cada dia a concretude do amor. Palavras me faltam para expressar toda a minha gratidão. Aos meus avós, Nilo Martins, Joelina Melo, Nascimento(in memoriam) e Rita Sousa. Em especial, ao vozinho (Nilo), por todo incentivo e seu exemplo de caráter, e a vozinha (Joelina), por suas palavras de sabedoria e por ser exemplo de fidelidade a Deus. O amor incondicional de vocês é o que me faz caminhar. Às minhas irmãs, Keylla Martins, Kennya Martins (minha psicóloga), e irmão Joabe Martins por tantas histórias e pelas diversas demonstrações de amor em cada palavra, gesto, silêncio, carinho, confiança, preocupação e dedicação. Aos meus cunhados, Rui Evaldo e Daniel Melo e sobrinhas Raquel Yasmim (amor do tamanho do universo), Bianca Vida e Sofia Melo, por me proporcionar tantos momentos ímpares de alegria. À minha família de Piracicaba, Renato Nunes, Ana Paula, Rafael Gregolin, Rose Muniz, Tiago Egydio, pela alegria, por momentos tão únicos e inesquecíveis, e por estarem sempre ao meu lado me mostrando a importância de ser persistente e de sempre lutar. Em especial a Ludmila (flor), por ser a minha irmãzinha, sempre muito companheira e amiga.

7 6 Ao Prof. Dr. Vitor Augusto Ozaki, a compreensão, a paciência, a exigência, e a orientação na elaboração deste trabalho. À Prof a. Dr a. Clarice Garcia Borges Demétrio, por toda a experiência, serenidade, sabedoria transmitidas durante essa etapa final do trabalho e por toda a amizade e paciência. Sua participação foi imprescendível para a conclusão deste trabalho. Ao conselho do programa de Pós-Graduação em Estatística e Experimentação Agronômica. Aos professores do Departamento de Ciências Exatas da ESALQ/USP, Prof. Dr. Carlos Tadeu dos Santos Dias, Prof. Dr. Décio Barbin, Prof. Dr. Cesár Gonçalves, Prof a Dr a Roseli Aparecida Leandro, Prof. Dr. Silvio Sandoval Zocchi e Prof a. Dr a. Sônia Maria Stefano Piedade. Aos funcionários do Departamento de Ciências Exatas da ESALQ/USP, as secretárias Solange de Assis Paes Sabadin (Sô), e Luciane Brajão e aos técnicos em informática Jorge Alexandre Wiendl e Eduardo Bonilha, os auxílios permanentes. Ao Antonio Carlos Ricardo Braga Junior, pela amizade, carinho, diversão e longas conversas. À Mariana Ragassi Urbano, pela amizade e por sempre estar disposta a me ajudar. Aos colegas de estudo do mestrado e do doutorado, a amizade, e a paciência, principalmente, dos amigos Epaminondas, Rodrigo, Patricia, Marcelino, Tiago de Oliveira, Raphael, Pedro, Adriana, Ana Patricia, Ricardo, Tiago Flor, Diógenes, Marcelo, Elizabeth, Fernanda, Elton, Paula Fontes, Guilherme, Cássio, Paula Klefens, Simone, Glaúcia, Vanderly e Alexandre (in memoriam). Aos amigos de Teresina-PI, Américo Júnior, Áurea Beatriz e Danielle, pela amizade, carinho, compreensão, paciência e companheirismo, apesar da distância. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), o auxílio financeiro prestado. A todas as pessoas que contribuíram direta ou indiretamente para a realização deste trabalho.

8 7 SUMÁRIO RESUMO ABSTRACT LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS INTRODUÇÃO Objetivos Seguro agrícola DESENVOLVIMENTO Revisão de Literatura Modelos Lineares Generalizados Definição Exemplos Estimação dos parâmetros e verificação do ajuste do modelo Estimação via máxima verossimilhança e verificação do ajuste do modelo Tipos de resíduos em modelos lineares generalizados O método de bootstrap e verificação do ajuste do modelo Modelos de Dispersão Definição Modelos Próprios de Dispersão Modelos Exponenciais de Dispersão Exemplos de Modelos Exponenciais de Dispersão Modelo Exponencial de Dispersão Tweedie A Distribuição de Poisson Composta Resíduos Estimação dos Parâmetros Material e Métodos Material Métodos Resultados e Discussão

9 8 3 CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS ANEXOS

10 9 RESUMO Modelos lineares generalizados e modelos de dispersão aplicados à modelagem de sinistros agrícolas O presente trabalho tem por objetivo utilizar a abordagem dos modelos lineares generalizados e os modelos de dispersão no contexto do seguro agrícola. Os modelos lineares generalizados (MLG s) constituem uma extensão dos modelos lineares de regressão múltipla introduzida por Nelder e Wedderburn (1972), que inclui modelos cuja variável resposta pertence à família exponencial de distribuições. O MLG é formado por um componente aleatório, que possui distribuição pertencente à famíia exponencial, um componente sistemático, conectados por uma função de ligação. Jorgensen (1997) estende a utilização dos MLG para uma classe mais ampla de modelos probabilísticos, denominados modelos de dispersão. A estimação dos parâmetros foi baseada no método da máxima verossimilhança, e também, em função da amostra ser relativamente pequena, optou-se pelo método de bootstrap não-paramétrico. As duas abordagens foram aplicadas a dois conjuntos de dados de sinistros de 15 municípios do estado do Rio Grande do Sul. Os resultados mostraram que a precipitação acumulada tem influência na ocorrência de sinistros. Entretanto, na modelagem do montante do sinistro não foi encontrada nenhuma variável significativa. Usando o método de bootstrap, foi encontrada influência das variáveis precipitação acumulada e a temperatura média no número de sinistros. Palavras-chave: Seguro agrícola; Modelo linear generalizado; Modelo de dispersão; Superdispersão; Família Tweedie; Bootstrap

11 10 nada

12 11 ABSTRACT Generalized linear models and model dispersion applied to modelling agricultural claims The main objective of this work is to use the generalized linear models and dispersion models in the agricultural insurance context. The Generalized Linear Model (GLM) are an extension of the multiple regression linear models presented by Nelder e Wedderburn (1972). This approach include situations in which the response variable can be included in exponencial the family. The GLM is composed of a randomized component, a sistematic component and the link functions. Jφrgensen (1997) extend the application of the GLM for a more general class of probability models, called dispersion models. Both approaches were applied in two insurance datasets for 15 citys in Rio Grande do Sul. The parameters estimation was based in the maximum likelihood method, in addition, because of the relatively small sample, the non-parametric Bootstrap method was used. This study show, using GLM, that only the accumulated rainfall was statistically significant. However, any of the covariates was significant when modelling the amount of claims. In the analysis using Bootstrap method the accumulated rainfall and average temperature were significant when modelling the number of insurance clains. keywords: Agricultural insurance; Generalized linear models; Dispersion models; Overdispersion; Tweedie family; Bootstrap

13 12 nada

14 13 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Distribuição Tweedie para variações do valor de p Figura 2 - Algumas funções densidade de probabilidade da Poisson composta. A probabilidade em zero é indicado pela barra Figura 3 - Histograma da variável número de sinistros Figura 4 - (a) Gráfico dos resíduos versus valores ajustados o modelo de Poisson (b) Gráfico normal de probabilidade com envelope simulado para o modelo de Poisson Figura 5 - (a) Envelopes de confianca para α = 5% (b) Número de sinistros segundo a precipitação: valores observados e curva ajustada Figura 6 - Histograma do valor do sinistro Figura 7 - Gráfico da verossimilhança perfilada para o modelo Tweedie Figura 8 - Gráfico normal de probabilidades e histograma dos resíduos, ajustando-se o modelo Tweedie aos dados de seguro agrícola

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16 15 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Modelos de dispersão exponencial da família Tweedie Tabela 2 - Número de sinistros seguro agrícola solidário uva Tabela 3 - Montante seguro agrícola solidário uva Tabela 4 - Estimativas do bootstrap para o modelo binomial negativo Tabela 5 - Intervalo de confiança do bootstrap para o modelo binomial negativo Tabela 6 - Estimativas de bootstrap para o modelo Tweedie Tabela 7 - Intervalo de confiança de bootstrap para o modelo Tweedie

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18 17 1 INTRODUÇÃO A agricultura é uma das atividades mais antigas exercidas pelo homem. Por ser uma atividade econômica tipicamente caracterizada pela sua vulnerabilidade a eventos que estão fora do controle do produtor, mecanismos voltados a sua proteção tem sido desenvolvido. Podemos destacar o seguro agrícola, que é a forma mais eficaz de transferir o risco dos produtores para outros agentes econômicos (OZAKI, 2005). Esse mecanismo de seguro agrícola, permite ao produtor igualar sua renda quando ocorre um evento que cause danos econômicos à situação em que tal evento não ocorra mediante o pagamento de um prêmio (importância paga pelo segurado à seguradora em troca da transferência do risco a que ele está exposto) e o recebimento de uma indenização, caso ocorra o sinistro. Nesse sentido, é fundamental detectar quais variáveis influenciam a quantidade de sinistros durante a vigência de um contrato. Nos ramos não-agrícolas várias metodologias têm sido utilizadas para a modelagem de sinistros. Dentre elas, destacam-se os modelos lineares generalizados, introduzido por Nelder e Wedderburn (1972) e os modelos de dispersão desenvolvido por Jφrgensen (1997). No entanto, não há referência de nenhum trabalho que utilize a metodologia supramencionada no contexto agrícola. 1.1 Objetivos O objetivo geral da pesquisa é utilizar a abordagem dos modelos lineares generalizados e os modelos de dispersão no seguro agrícola testando diversas distribuições. Neste cenário, dois objetivos específicos são propostos: - Modelar os dados de sinistros agrícolas; - Analisar uma série de modelos estatísticos a fim de tirar conclusões a respeito dos fatores geradores de sinistros. 1.2 Seguro agrícola Em qualquer setor de atividade econômica existem riscos que variam em menor ou maior grau. No setor agrícola, além do risco de mercado, existem diversas outras fontes

19 18 que a tornam uma atividade eminentemente arriscada. A principal delas refere-se ao fato de que, a atividade agrícola é altamente dependente de condições ambientais de difícil controle pelo homem, de modo que as variáveis climáticas e sua interação com fatores bióticos podem influenciar sobremaneira o resultado final da safra. Nesse sentido, em diversos países, o seguro agrícola tem se destacado como um dos principais mecanismos de gestão de risco (OZAKI; SHIROTA, 2005). No entanto, no Brasil, o seguro agrícola tem encontrado sérias dificuldades em se popularizar. Vários são os fatores (OZAKI, 2007): - alto custo do prêmio: em virtude do elevado risco, as taxas de prêmio são bem mais elevadas quando comparada a outros ramos de seguro; - risco moral: ocorre quando a seguradora é incapaz de observar se o produtor utilizou ou não o fator de produção; - seleção adversa: situação em que pessoas mais prováveis em receber um dano coberto pelo seguro são mais propensas a demandá-lo; - risco sistêmico: um evento causador do sinistro ocorre afetando não apenas um produtor, mas muitos produtores em uma vasta extensão territorial; - inexistência de séries suficientemente longas de dados de produtividade agrícola individual. Nesse contexto, o governo federal, por meio do Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento (MAPA) sancionou, em meados de 2003, a lei 10823, que subvenciona o prêmio do seguro rural 1. A lei tem por objetivo principal reduzir o valor do prêmio pago pelo produtor rural. Desde então, o seguro agrícola tem se expandido safra após safra em diversas regiões do país, principalmente na cultura de soja, milho e maçã. Além do subsídio federal, o setor ainda conta com os subsídios estaduais nos estados de Minas Gerais e São Paulo. 1 O seguro rural é formado pelo seguro agrícola, pecuário, florestas, aqüícola, penhor rural, benfeitorias, vida e cédula do produto rural.

20 19 Se pelo lado dos demandantes, o incentivo criado reduziu o prêmio, pelo lado das seguradoras (ofertantes), existe o problema do risco sistêmico, podendo levar a carteira agrícola de uma seguradora à ruína. Para evitar acumular grandes prejuízos as seguradoras utilizam o resseguro, que é o seguro das seguradoras. Ou seja, as seguradoras dividem entre uma ou mais resseguradoras uma parcela de suas apólices, reduzindo assim a exposição ao risco. Nesse sentido, a seguradora paga um prêmio para as resseguradoras garantindo em troca o ressarcimento das indenizações que forem devidas na proporção das apólices transferidas. Para alavancar de vez esse mercado, o governo federal prevê, ainda no primeiro semestre de 2010, a sanção do Projeto de Lei Complementar 374, que cria o fundo de catástrofe. Esse fundo protegerá as seguradoras em caso de eventos catastróficos. Se no campo político e coorporativo existe uma grande movimentação por parte do governo e das empresas, no universo acadêmico existem poucos estudos que se aplicam ao seguro agrícola. Nesse sentido, esse trabalho pretende estudar o impacto das variáveis climáticas nos sinistros agrícolas por meio dos MLG s e modelo de dispersão. A próxima seção revisa os modelos lineares generalizados e os modelos de dispersão detalhando a forma de estimação pelo método de máxima verossimilhança e por bootstrap.

21 20 2 DESENVOLVIMENTO 2.1 Revisão de Literatura Modelos Lineares Generalizados Definição Os Modelos Lineares Generalizados (MLG s) constituem uma extensão dos modelos lineares de regressão múltipla introduzida por Nelder e Wedderburn (1972), que inclui modelos cuja variável resposta pertence à família exponencial de distribuições, além de dar maior flexibilidade para a relação funcional entre a média da variável resposta µ e o preditor linear η. A função de ligação entre a média e o preditor linear não é necessariamente a identidade, podendo assumir qualquer forma monótona não-linear. Os MLG s podem ser usados quando se tem uma única variável aleatória Y associada a um conjunto de variáveis explanatórias x 1, x 2,..., x p. Para uma amostra de n observações (y i, x i ) em que x i = (x i1,..., x ip ) T, i = {1, 2,..., n} é o vetor coluna de variáveis explicativas, o MLG envolve três componentes (CORDEIRO; DEMÉTRIO, 2007): i) Componente aleatório: a variável resposta é representada por um conjunto de variáveis aleatórias independentes Y 1,..., Y n com distribuição pertencente a família exponencial de distribuições com médias µ 1,..., µ n. A função densidade de probabilidade de Y i é dada por f(y i ; θ i, φ) = exp{φ 1 [y i θ i b(θ i )] + c(y i, φ)}, (1) em que φ > 0, conhecido, é o parâmetro de dispersão e θ i o parâmetro canônico. ii) Componente sistemático: as variáveis explicativas entram na forma de uma soma linear de seus efeitos η i = p x ir β j = x T i β ou η = Xβ, (2) r=1 em que X = (x 1,..., x n ) T é a matriz do modelo, β = (β 1,..., β p ) T o vetor dos parâmetros, η = (η 1,..., η n ) T o preditor linear e c(y i, φ) conhecido.

22 21 iii) Função de ligação: relaciona o componente aleatório ao componente sistemático, isto é, η i = g(µ i ), (3) sendo g( ) uma função monótona e diferenciável. Nesses termos, um MLG é definido por uma distribuição da família (1), uma estrutura linear (2) e uma função de ligação (3). A generalização em relação ao modelo linear clássico é que: - a variável resposta, componente aleatório do modelo, tem uma distribuição pertencente à família exponencial na forma canônica (distribuições normal, gama e normal inversa para dados contínuos; binomial para proporções; poisson e binomial negativa para contagens); - as variáveis explicativas ou covariáveis, entram na forma de um modelo linear (componente sistemático); - a ligação entre os componentes aleatório e sistemático é feita através de uma função de ligação. Existem diversas possibilidades de escolha da função de ligação. Entretanto, essa escolha depende do problema de modelagem em particular. Se a função de ligação é escolhida de tal forma que g(µ i ) = θ i = η i, o preditor linear modela diretamente o parâmetro canônico θ i e a função de ligação η i é denominada de ligação canônica (MCcCULAGH; NELDER, 1989). Para o modelo clássico de regressão, a função de ligação canônica é a identidade com preditor linear igual a média. Essa função de ligação é adequada no sentido em que η e µ, podem assumir valores na reta real. Mas quando se tratar, por exemplo, da distribuição de Poisson em que µ > 0 possui restrições, a função de ligação identidade não deve ser usada, pois ˆµ poderá assumir valores negativos, dependendo dos valores obtidos para ˆβ. Ainda, dados de contagem dispostos em tabela de contigência, sob a suposição de independência, conduzem, naturalmente, a efeitos multiplicativos cuja linearização pode ser obtida por meio da função de ligação logarítmica, isto é, η = log(µ) e, portanto, µ = e η. Seja a variável Y i definida em (1). O valor esperado e a variância são dadas por: E(Y i ) = µ i = b (θ i ) e Var(Y i ) = φb (θ i ).

23 22 A função que relaciona o parâmetro canônico θ i com a média µ i é denotada por θ i = q(µ i ). A função da média µ na variância é representada por b (µ i ) = V (µ i ), e denomina-se V (µ i ) de função de variância. Sendo assim, as distribuições da família exponencial têm relação conhecida entre a média e a variância, e essa relação é denotada por: Var(Y i ) = φv (µ i ) Exemplos Como exemplos de distribuições pertencentes à família exponencial, têm-se as distribuições normal, Poisson, binomial, gama, normal inversa e binomial negativa. - Distribuição Normal probabilidade dada por A variável aleatória Y f(y; µ, σ 2 ) = tem distribuição normal com função densidade de [ ] 1 exp (y µ)2, 2πσ 2 2σ 2 com µεr e σ > 0, conhecido. Desenvolvendo a função, tem-se f(y; µ, σ 2 (y µ)2 ) = exp [ 1 ] 2σ 2 2 log(2πσ2 ) [ ) 1 = exp (yµ µ2 12 ] σ 2 2 log(2πσ2 ) y2, 2σ 2 e utilizando a notação da família exponencial tem-se: θ = µ, φ = σ 2, b(θ) = µ2 2 = θ2 [ ] 2 y c(y, φ) = σ + 2 log(2πσ2 ). e Portanto, a distribuição normal pertence à família exponencial de distribuições com média E(Y ) = b (θ) = 2θ 2 = θ e variância Var(Y ) = φb (θ) = σ 2. - Distribuição de Poisson A variável aleatória Y tem distribuição de Poisson, com parâmetro µ > 0 e função de probabilidade dada por f(y; µ) = e µ µ y, para y = 0, 1, 2, 3,... y!

24 23 Desenvolvendo a função, tem-se f(y; µ) = exp[y log µ µ log(y!)], e utilizando a notação da família exponencial tem-se: θ = log(µ) µ = e θ, φ = 1, b(θ) = µ = e θ e c(y, φ) = log(y!). Portanto, a distribuição de Poisson pertence à família exponencial de distribuições com média E(Y ) = b (θ) = µ = e θ e variância Var(Y ) = φb (θ) = e θ. O modelo de Poisson é de grande importância para a análise de dados em forma de contagem. Suas características principais são: - proporciona, em geral, uma descrição satisfatória de dados experimentais cuja variância é proporcional à média; - pode ser deduzido teoricamente de princípios elementares com um número mínimo de restrições; - se eventos ocorrem independente e aleatoriamente no tempo, com taxa média de ocorrência constante, o modelo determina o número de eventos, em um intervalo de tempo especificado. - Distribuição Binomial dada por A variável aleatória Y tem distribuição binomial com função de probabilidade f(y; π) = Desenvolvendo a função, tem-se [ ( ) n f(y; π) = exp log y [ = exp y log ( ) n π y (1 π) n y, π [0, 1], y = 0, 1, 2,..., n. y ] + y log π + (n y) log(1 π) ) ( π 1 π + n log(1 π) + log e utilizando a notação da família exponencial tem-se: ( ) ( ) π µ θ = log = log µ = neθ 1 π n µ (1 + e θ ), ( n y φ = 1, b(θ) = n log(1 π) = n log(1 + e θ ) e c(y, θ) = log )], ( ) n. y

25 24 Portanto, a distribuição binomial pertence à família exponencial de distribuições, com média e variância dadas, respectivamente, por E(Y ) = b (θ) = neθ 1 + e = µ e Var(Y ) = θ φb (θ) = neθ nµ µ2 =. (1 + e θ ) 2 n O modelo binomial é usado, principalmente, no estudo de dados na forma de proporções e na análise de dados binários. - Distribuição Gama A variável aleatória Y tem distribuição gama com função densidade de probabilidade dada por: f(y; µ, v) = ( ) v v ( ) µ yv Γ(v) yv 1 exp, y > 0. µ Desenvolvendo a função, tem-se { ( ) v v f(y; µ, v) = exp log log Γ(v) + (v 1) log(y) yv } µ µ { [ ( = exp v y 1 ) ] } log(µ) + v log(vy) log Γ(v) log(y), µ e utilizando a notação da família exponencial tem-se: θ = 1 µ µ = 1 θ, φ = 1, b(θ) = log(µ) = log( θ) e v c(y, φ) = v log(vy) log Γ(v) log(y). Portanto, a distribuição gama pertence à família exponencial de distribuições, com média e variância dadas, respectivamente, por E(Y ) = b (θ) = 1 θ = µ e Var(Y ) = φb (θ) = 1 v µ2 = µ2 v. - Distribuição Normal Inversa A variável aleatória Y tem distribuição normal inversa com função densidade de probabilidade dada por: ] f(y; µ, σ 2 ) = (2πσ 2 y 3 ) 1/2 (y µ)2 exp [, y > 0 2µ 2 σ 2 y

26 25 Desenvolvendo a função, tem-se f(y; µ, σ 2 ) = exp { 12 } log(2πσ2 y 3 (y µ)2 ) 2µ 2 σ 2 y { [ ( 1 = exp y 1 ) + 1 ] σ 2 2µ 2 µ e utilizando a notação da família exponencial, tem-se: 1 2 log(2πσ2 y 3 ) 1 2σ 2 y }. e θ = 1 2µ 2, φ = σ2, b(θ) = 1 µ = ( 2θ)1/2 c(y, φ) = 1 2 [ log(2πσ 2 y 3 ) + 1 ]. σ 2 y Portanto, a distribuição normal inversa pertence à família exponencial de distribuições com média e variância, respectivamente, E(Y ) = µ e Var(Y ) = σ 2 µ 3. - Distribuição Binomial Negativa de probabilidade dada por A variável aleatória Y tem distribuição binomial negativa com função densidade f(y; µ, k) = Γ(k + y) Γ(k)y! µ y k k (µ + k), k+y em que k > 0, conhecido, µ > 0 e y = 0, 1,.... Desenvolvendo a função, tem-se { f(y; µ, k) = exp = exp ( ) } Γ(k + y) + y log(µ) + k log(k) (k + y) log(µ + k) Γ(k)y! log { y(log(µ) log(µ + k)) + k(log(k) log(µ + k)) + log e utilizando a notação da família exponencial tem-se: ( ) µ θ = log, φ = 1, b(θ) = k log(1 e θ ) µ + k e c(y, φ) = log ( ) Γ(k + y). Γ(k)y! Γ(k + y) Γ(k)y! Portanto, a distribuição binomial negativa pertence à família exponencial de distribuições com média e variância, respectivamente, E(Y ) = keθ 1 e θ e Var(Y ) = keθ (1 e θ ) 2. },

27 Estimação dos parâmetros e verificação do ajuste do modelo Vários são os métodos de estimação de parâmetros. Iremos basear o estudo no método da máxima verossimilhança e no método de bootstrap não-paramétrico em virtude da amostra ser relativamente pequena Estimação via máxima verossimilhança e verificação do ajuste do modelo Seja um modelo linear generalizado e suponha que os dados a serem analisados sejam representados pelo vetor y = (y 1, y 2,..., y n ) T. O logarítmo da função de verossimilhança como função apenas de β, considerando-se o parâmetro de dispersão φ conhecido, dado o vetor y é definido por (CORDEIRO; DEMÉTRIO, 2007): l(β) = 1 φ n [y i θ i b(θ i )] + i=1 n c(y i, φ), i=1 em que θ i = q(µ i ), µ i = g 1 (η i ) e η i = p r=1 x irβ j. O vetor escore é formado pelas derivadas parciais de primeira ordem do logarítmo da função de verossimilhança, ou seja, U j = l(β) β j = n i=1 dl i dθ i dθ i dµ i dµ i dη i dη i dβ j. A estimativa de máxima verossimilhança ˆβ do vetor de parâmetros β é obtida igualando-se U j = 0 para j = 1,..., p. Em geral, as equações U j = 0, j = 1,..., p, não são lineares e devem ser resolvidas numericamente pelo método de Newton-Raphson ou o escore de Fisher. O método de Newton-Raphson para a solução de uma equação f(x) = 0 é baseado na aproximação de Taylor para a função de f(x) na vizinhança do ponto x m, ou seja, x (m+1) = x (m) f(x(m) ) f (x (m) ), sendo x (m+1) e x (m), o valor de x nos passos m + 1 e m, respectivamente; f(x (m) ) a função f(x) avaliada em x (m) e f (x (m) ) a derivada da função f(x) avaliada em x (m).

28 O objetivo é obter a solução do sistema de equações U = U(β) = l(β)/ β = 0 e, usando-se a versão multivariada do método de Newton-Raphson, tem-se que: 27 β (m+1) = β (m) + (J (m) ) 1 U (m), sendo β (m) e β (m+1) os vetores de parâmetros estimados nos passos m e (m+1), respectivamente, U (m) o vetor escore avaliado no passo m, e (J (m) ) 1 a inversa da negativa da matriz de derivadas parciais de segunda ordem de l(β), com elementos 2 l(β)/ β r β s avaliada no passo m. O método escore de Fisher, envolve a substituição da matriz de informação observada, J, pela matriz esperada de informação esperada de Fisher, K. Logo, β (m+1) = β (m) + (I (m) ) 1 U (m). A matriz de informação de Fisher para β é dada por K = φ 1 X T WX, em que W = diag{w 1,..., w n } uma matriz diagonal de pesos. Quando um modelo é ajustado, é necessário verificar se, realmente, ele se ajusta às observações. Nelder e Wedderburn (1972) desenvolveram a estatística desvio, definida por S p = 2( ˆl n ˆl p ) = 2φ 1 n {y i [ θ i ˆθ i ] b( θ i ) + b(ˆθ i )} = φ 1 D p, i=1 sendo S p o desvio escalonado, ˆl n e ˆl p os máximos do logarítmo da função de verossimilhança para os modelos saturados e correntes, respectivamente, θ i = θ i (y i ) e ˆθ i = ˆθ i (µ i ) as estimativas do parâmetro canônico sob os modelos saturado e corrente, e D p o desvio que pode ser calculado a partir das observações e das estimativas de suas respectivas médias. Pode-se, ainda, escrever S p = 1 φ n d 2 i, i=1 sendo que d 2 i mede a diferença dos logarítmos das funções de verossimilhança observada e ajustada, para a observação i correspondente, e é chamado de componente do desvio. A soma deles mede a discrepância total entre os dois modelos na escala logarítmica da verossimilhança.

29 28 Sejam dois modelos encaixados M q e M p, com q e p parâmetros, respectivamente, q < p, então a diferença S p S q = φ 1 (D p D q ) Xp q, 2 tem distribuição assintótica qui-quadrado com (p q) graus de liberdade, dado φ conhecido. Se φ for desconhecido, deve-se obter uma estimativa ˆφ consistente, e a inferência é baseada na estatística F, dada por F = (D p D q )/(p q) ˆφ F [(p q),(n p)]. (4) para testar o efeito dos termos que estão incluídos no modelo M p e não estão incluídos no modelo M q. Assim, um modelo bem (mal) ajustado aos dados, com uma verossimilhança máxima grande (pequena), tem um pequeno (grande) desvio. Entretanto, um grande número de variáveis explanatórias, visando reduzir o desvio, significa um grau de complexidade na interpretação do modelo. Na prática, procuram-se modelos simples com desvios moderados, situados entre os modelos mais complicados e os que não se ajustam bem aos dados. Portanto, quanto melhor for o ajuste do MLG aos dados tanto menor será o valor do desvio D p. Ainda, para um modelo bem ajustado, espera-se que a desvio residual seja aproximadamente igual ao número de graus de liberdade residual, devido à suposição de aproximação da distribuição do desvio pela distribuição X 2. Quando isso não acontece, uma explicação é que a variância pode ser maior que o previsto para o modelo e esse fenômeno é descrito como superdispersão (HINDE; DEMÉTRIO, 1998a, b). - Superdispersão A utilização dos modelos lineares generalizados na análise de dados tem se tornado de uso frequente, principalmente com o avanço dos recursos computacionais disponíveis. Entretanto, deve-se tomar cuidado, principalmente no caso de variáveis discretas, com a superdispersão. Os casos mais comuns são dados na forma de proporção e de contagem, cuja forma padrão de análise envolve o uso dos modelos binomial e Poisson. Para um bom ajuste espera-se que o desvio residual esteja próximo ao número de graus de liberdade do desvio residual. Quando isso não ocorre, uma explicação alternativa

30 29 para a falta do ajuste está relacionada ao componente aleatório do MLG, isto é, a variabilidade da variável aleatória que é maior do que a predita pelos modelos binomial ou de Poisson, ou seja, i) dados na forma de proporção com Var(Y i ) > m i π i (1 π i ); e, ii) dados na forma de contagem com Var(Y i ) > µ i, em que Y i é a variável resposta. Nestes casos, tem-se que φ > 1, fato conhecido por superdispersão. Pode ocorrer, também, a subdispersão, situação em que φ < 1. Diferentes modelos e métodos de estimação têm sido propostos na literatura para resolver os problemas de superdispersão. Hinde e Demétrio (1998b) dividiram as diferentes formas de abordagens da superdispersão em dois grupos: i) assumir alguma forma mais geral para a função de variância, possivelmente incluindo parâmetros adicionais que podem ser estimados por métodos como quaseverossimilhança, pseudo-verossimilhança e momentos; ii) assumir um modelo de dois estágios para a variável resposta, isto é, supondo que o parâmetro da distribuição da variável resposta é uma variável aleatória com alguma distribuição. No caso em que a variável resposta é uma proporção, e supondo que Y i tem distribuição binomial com E(Y i ) = µ i = m i π i e Var(Y i ) = m i π i (1 π i ), (5) em que π i é a probabilidade do sucesso. Se a variância observada for maior do que a prevista por (5), existirá superdispersão e a distribuição binomial não é mais adequada. A forma mais simples de se modelar a superdispersão é especificar apenas os dois primeiros momentos, mantendo E(Y i ) = µ i = m i π i e substituindo (5) por Var(Y i ) = φm i π i (1 π i ), φ > 0 constante. A forma geral é dada por Var(Y i ) = m i π i (1 π i ) [ 1 + φ(m i 1) δ 1 {π i (1 π i )} ] δ 2. (6)

31 30 (6), ou seja, Várias funções de variância são definidas para diferentes valores de δ 1, δ 2 e φ em i) se φ = 0, tem-se o modelo binomial padrão, em que Var(Y i ) = m i π i (1 π i ); ii) para δ 1 = 0 e δ 2 = 0, tem-se Var(Y i ) = m i π i (1 π i )[1 + φ], que é o modelo de superdispersão constante, reparametrizado de forma diferente; iii) para δ 1 = 1 e δ 2 = 0, tem-se Var(Y i ) = m i π i (1 π i )[1 + (m i 1)φ], que é o modelo II de Williams (WILLIAMS, 1982), sendo que a função de variância da distribuição beta-binomial é um caso especial desse modelo; iv) para δ 1 = 1 e δ 2 = 1, tem-se Var(Y i ) = m i π i (1 π i )[1 + φ(m i 1)π i (1 π i )], que é o modelo III de Williams ou logístico normal. Para dados de contagem, a forma geral é dada por: Var(Y i ) = m i {1 + φµ δ i }. (7) ou seja, Várias funções de variância são definidas para diferentes valores de δ e φ em (7), i) se φ = 0, tem-se o modelo de Poisson padrão, em que Var(Y i ) = µ i ; ii) para δ = 0, tem-se Var(Y i ) = µ i [1 + φ], que é o modelo de superdispersão constante, reparametrizado de forma diferente;

32 31 iii) para δ = 1, tem-se Var(Y i ) = µ i [1 + φµ δ i ], que é a função de variância da distribuição binomial negativa. Já os modelos do tipo (ii), isto é, os modelos em dois estágios, levam a modelos de probabilidade composta para a resposta e, em princípio, todos os parâmetros podem ser estimados usando-se o método da máxima verossimilhança. Em geral, a distribuição composta resultante não tem forma simples e métodos de estimação aproximados podem ser utilizados Tipos de resíduos em modelos lineares generalizados Os resíduos representam uma ferramenta importante na verificação da adequação do modelo, pois por meio deles é possível saber se o modelo está ou não ajustado às observações. As técnicas para análise de resíduos e diagnósticos para modelos lineares generalizados são semelhantes às técnicas utilizadas para modelos lineares clássicos, mas necessitam de algumas adaptações. Assim, ajustado um modelo linear generalizado a um conjunto de observações y i, i = 1,..., n, vários tipos de resíduos podem ser definidos: i) Resíduos ordinários r i = y i ˆµ i, em que ˆµ i é a média ajustada. ii) Resíduos de Pearson r p i = y i ˆµ i ˆV 1/2. O resíduo r p i, assim definido, corresponde à contribuição de cada observação para o cálculo da estatística de Pearson generalizada. A desvantagem do resíduo de Pearson é que a sua distribuição é, geralmente, bastante assimétrica para modelos não normais. iii) Resíduos de Anscombe A i = N(y i) N(ˆµ i ), N (ˆµ i ) em que N(y i ) é a transformação da observação y i, escolhida para tornar a sua distribuição o mais próximo possível da normal. Barndorff-Nielsen (1978) mostra que a transformação ˆV 1/2 i

33 32 a considerar nos modelos lineares generalizados é da forma N(µ) = V 1/3 dµ em que V é a função de variância. iv) Resíduos de Pearson estudentizados r p i = y i ˆµ i, V (ˆµ i )(1 ĥii) sendo ĥ ii o i-ésimo elemento da diagonal da matriz denotada por H = W 1/2 X(X T W X) 1 X T W 1/2 com matriz de projeção W. v) Componentes do desvio sendo que ω i é um peso a priori. ri D 2ωi = sinal(y i ˆµ i ) φ [y i( θ i ˆθ i ) + b( θ i ) b(ˆθ i )], vi) Componentes do desvio estudentizados r D i = r D i ˆθ(1 hi ), sendo h i o elemento da diagonal da matriz H O método de bootstrap e verificação do ajuste do modelo O método de reamostragem chamado de bootstrap, introduzido por Efron (1979), é usado para estimar a distribuição das estatísticas de interesse, que muitas vezes são extremamente difíceis de serem obtidas pelos métodos tradicionais (exatos e assintóticos). O bootstrap pode ser paramétrico ou não-paramétrico. O bootstrap nãoparamétrico considera que a função de distribuição F, dos dados, é desconhecida e estimada através da distribuição empírica ˆF. Já o bootstrap paramétrico considera que a função de distribuição F pode ser estimada por ˆF par a partir de um modelo paramétrico conhecido para os dados. Suponha que seja observada uma amostra aleatória r 1, r 2,..., r n de uma distribuição F estimada pela distribuição ˆF, que pode ser paramétrica ou não.

34 33 Assim, r = (r 1, r 2,..., r n ) representa o vetor dos dados, para os quais se calcula o estimador ˆβ = s( ˆF ) de um parâmetro de interesse β = s(f ). Considera-se que ˆF é a distribuição empírica de r. Então, uma amostra bootstrap R = (r1, r2,..., rn) é construída escolhendo-se aleatoriamente, com reposição, n elementos da amostra r = (r 1, r 2,..., r n ). Por exemplo, com n = 6, poder-se-ia pensar em r = (r 5, r 3, r 6, r 1, r 4, r 1 ). A replicação bootstrap do parâmetro de interesse para essa amostra bootstrap é denotada por ˆβ. Se forem geradas B amostras bootstrap r 1, r 2,..., r B, a replicação bootstrap do parâmetro de interesse para a b-ésima amostra é dada por ˆβ (b) = s(r b ), (8) ou seja, é o valor de ˆβ para a amostra bootstrap r b. - Estimativa do erro padrão A expressão para o estimador bootstrap do erro-padrão (EFRON; TIBSHIRANI, 1993) é dada por ˆσ boot = B [ ˆβ (b) ˆβ ( )] 2, B 1 b=1 em que ˆβ ( ) = B b=1 ˆβ (b) B, ˆβ (b) é descrita em (8) e B é o número de replicações bootstrap. - Intervalo de confiança Bootstrap Usando-se bootstrap podem-se obter intervalos aproximados de (1 α)100% de confiança para o parâmetro de interesse β. Existem diferentes métodos para a construção de intervalos de confiança bootstrap. Como exemplo, tem-se o de percentis bootstrap. i) Método percentis bootstrap Um conjunto de dados bootstrap r é gerado de acordo com ˆF R. Com base nesse conjunto de dados são calculadas replicações bootstrap ˆβ = s(r ). Considerando que Ĝ é a estimativa da função desconhecida da distribuição acumulada de ˆβ. O intervalo percentil

35 34 de (1 α)100% de confiança é definido por [ ˆβ %,inf, ˆβ %,sup ] = [Ĝ 1 (α), Ĝ 1 (1 α)]. (9) Por definição, tem-se que Ĝ 1 (α) = ˆβ (α) é o (100 α)-ésimo percentil da distribuição bootstrap de ˆβ. Então os intervalos percentis podem ser escritos como [ ˆβ %,inf, ˆβ %,sup ] = [ ˆβ (α), ˆβ (1 α) ]. (10) As expressões (9) e (10) referem-se à situação ideal do bootstrap para a qual o número de replicações é infinito. Na prática, usa-se um número finito B de replicações. Para o processo, geram-se B conjuntos de dados bootstrap r 1, r 2,..., r B e calculam-se as replicações bootstrap ˆβ(b) = s(r (b) ), b = 1, 2,..., B. Seja ˆβ B (α) o 100α-ésimo percentil empírico dos valores ˆβ (b), ou seja, o valor Bα-ésimo na lista ordenada das B replicações de ˆβ. Assim, se B = 1000 e α = 0, 05, ˆβ B (α) é o 100α-ésimo valor ordenado das 1000 replicações. Se (B α) não é um inteiro, utiliza-se o maior inteiro menor do que ou igual a (B + 1)α. Assim, quanto maior for B, melhor serão os intervalos estimados. Logo, o intervalo percentil aproximado de (1 α)100% de confiança é [ ˆβ %,inf, ˆβ %,sup ] = [ (α) ˆβ B (1 α), ˆβ B ] Modelos de Dispersão Em modelos lineares generalizados, a análise do desvio generaliza o método tradicional da análise de variância para dados normais. Assim, a idéia principal de Jφrgensen (1997) é estender essa metodologia para uma classe mais ampla de modelos, ou seja, ter a soma dos quadrados dos resíduos da análise de variância generalizada para uma noção de desvio aplicável na análise do desvio. Jφrgensen (1997) apresenta a classe de dispersão (MD) que cobre um grande número de distribuições não-normais, incluindo distribuições dos seguintes sete tipos de dados (sendo D o suporte da distribuição): 1. Dados da reta real, D = R.

36 35 2. Dados positivos, D = R Dados positivos com zeros, D = R 0 = [0, ). 4. Proporções, D = (0, 1). 5. Direções, D = [0, 2π). 6. Dados na forma de contagens, D = N 0 = 0, 1, 2, Dados Binomiais, D = 0,..., m. O conceito que fundamenta um modelo de dispersão é que a noção de locação e escala pode ser generalizada para posição e dispersão, respectivamente, para os sete tipos de dados (JφRGENSEN, 1997) Definição Um modelo de dispersão MD(µ, σ 2 ) é uma família de distribuições cuja função densidade de probabilidade pode ser escrita na forma { f(y; µ, σ 2 ) = a(y; σ 2 ) exp 1 } d(y; µ) y C, (11) 2σ2 em que Ω C R, a 0 é uma função apropriada, µ e σ 2 são, respectivamente, o parâmetro de posição e dispersão com µ Ω e σ 2 > 0 e d é o desvio, satisfazendo d(µ; µ) = 0 para µ Ω e d(y; µ) > 0 para y µ. A unidade do desvio é dita regular se d(y; µ) é diferenciável contínuo duas vezes com respectivo y, µ em Ω Ω e satisfaz 2 d (µ, µ) > 0 µ Ω. µ 2 A função de variância V : Ω R + do desvio regular é definida por 2 V (µ) = 2. (12) d (µ; µ) µ 2 Os modelos de dispersão são classificados em duas classes: os modelos próprios de dispersão e os modelos exponenciais de dispersão, definidos a seguir.

37 Modelos Próprios de Dispersão Uma distribuição de probabilidade denotada por PD(µ, σ 2 ) é chamada de modelo próprio de dispersão, se (11) é da forma: { f(y; µ, σ 2 ) = a(σ2 ) exp 1 } d(y; µ), V (y) 2σ2 y C (13) onde d é o desvio regular com função de variância V (µ). Os modelos próprios de dispersão são caracterizados pelo desvio d, pois a função de variância em (12) está em função de d, com a(σ 2 ) em torno da constante normalizada. As distribuições pertencentes à classe PD são distribuições usadas para análise de dados limitados em um intervalo, como os dados direcionais (ou cíclicos) e as proporções. Exemplos dessas distribuições são a distribuição de Von Mises para dados direcionais e a distribuição Simplex para proporções (JφRGENSEN, 1997) Modelos Exponenciais de Dispersão A variável aleatória Y pertence à família de distribuições exponenciais de dispersão (ED), se sua função de densidade é da forma: f(y; θ) = c(y) exp{θy κ(θ)} y R, (14) em que c(y) é uma função e κ(θ) é a correspondente função de cumulante com o parâmetro canônico θ pertencente ao conjunto Θ = {θ R k(θ) < }. A média da variável aleatória Y com distribuição em (14) é µ = τ(θ), com τ(θ) = κ (θ) e µ Ω = τ(intθ). A função de variância é V (µ) = τ {τ 1 (µ)}. O modelo exponencial de dispersão pode ser aditivo e reprodutivo. O modelo exponencial de dispersão aditivo, denotado por Y ED (µ, λ), tem função de densidade dada por f (y; θ, λ) = c (y; λ) exp(θy λκ(θ)), (15) em que µ é a média, σ 2 = 1/λ o parâmetro de dispersão e λ o parâmetro índice. A função geradora de cumulantes é dada por K (s; θ, λ) = λ{κ(θ + s) κ(θ)}.

38 37 Segue que a função geradora de momentos pode ser escrita como K (s; θ, λ) = exp{λ[κ(θ + s) κ(θ)]}, podendo-se obter a média µ = λκ (θ) = τ(θ), e a variância Var(Y ) = λκ (θ) = V(µ) σ 2 sendo que a função de variância da média é dada por = λv(µ), V(µ) = κ (τ 1 (µ)) com τ(θ) = κ (θ). O modelo exponencial de dispersão reprodutivo é definido pela aplicação da transformação X = Y/λ em (14), conhecida como transformação dual. A forma reprodutiva tem função densidade f(x; θ, λ) = c(x; λ) exp[λ{θx κ(θ)}], (16) e função geradora de cumulantes dada por K(s; θ, λ) = λ{κ(θ + s/λ) κ(θ)}. Segue que a função geradora de momentos pode ser escrita como K(s; θ, λ) = exp λ{κ(θ + s/λ) κ(θ)}. podendo-se obter a média µ = κ (θ) e variância Var(X) = λ 1 κ (θ). Escrevendo a média µ em função de θ, tem-se τ(θ) = µ = k (θ) de forma que θ = τ 1 (µ). Definindo a função de variância V(µ) = κ (τ 1 (µ)) e o parâmetro de dispersão σ 2 = 1/λ, a variância em termos da média e do parâmetro de dispersão é dada por Var(X) = σ 2 V(µ).

39 38 Dessa forma, escreve-se X ED(µ, σ 2 ). A unidade do desvio é dada por definida como se segue. d(x; µ) = 2 [ sup{θx κ(θ)} xτ 1 (µ) + κ{τ 1 (µ)} ], θ Θ. A propriedade de convolução para o modelo de dispersão exponencial aditivo é Seja Y 1,..., Y n variáveis aleatórias independentes e Y i ED (θ, λ i ) com λ i pertencente ao conjunto dos números reais positivos, ou seja, Λ = {λ i λ i > 0} = R + com i = 1,..., n. Então, a distribuição de Y + = Y Y n é dada por aleatórias independentes e Y + ED (θ; λ λ n ). Seja o modelo reprodutivo com transformação dual. Se X 1,..., X n são variáveis ) X i ED (µ, σ2 ω i i = 1,..., n, em que ω 1,..., ω n são pesos positivos tal que ω i /σ 2 Λ para todo i e µ Ω. é dada por Escrevendo ω + = ω ω n, a fórmula de convolução da forma reprodutiva 1 n ω + i=1 ) ω i X i ED (µ, σ2. ω Exemplos de Modelos Exponenciais de Dispersão - Distribuição Normal Seja N(µ, σ 2 ) denotando a distribuição normal com média µ e variância σ 2 cuja função de densidade é dada por p(y; µ; σ 2 ) = = { 1 exp 1 2πσ 2 2σ ( 1 exp y2 2πσ 2 2σ 2 (y µ)2 2 ) exp } { 1 σ 2 (yµ 12 µ2 )}. Fazendo θ = µ e λ = 1, a distribuição normal é um modelo de dispersão exponencial σ2 reprodutivo com função de cumulante k(θ) = 1 2 θ2. O valor médio τ(θ) = θ e a função de variância unitária é V(µ) = 1, definida em Ω = R.

40 39 O desvio unitário da distribuição normal é d(y; µ) = (y µ). - Distribuição Poisson Considere a variável Y com distribuição de Poisson denotada por Y Po(µ), com média µ = λe θ, sendo λ > 0 e θ R. Nessa parametrização, a função densidade de probabilidade é dada por: p (y; θ, λ) = λy y! exp(θy λeθ ), y = 0, 1, 2,... que é um modelo aditivo ED (θ, λ) com função de cumulante κ(θ) = e θ. Os parâmetros λ e θ não são identificáveis nesse caso. O desvio unitário de Poisson é d(y; µ) = 2 {y log yµ } (y µ), e a função de variância unitária é V (µ) = µ. - Distribuição Gama A distribuição Gama, denotada por Ga(µ, σ 2 ), é um modelo de dispersão exponencial reprodutivo, com função densidade dada por { p(y; µ; σ 2 ) = λ sendo µ a média, σ 2 canônico. λλ Γ(λ) yλ 1 exp ( )} y µ + log µ, = 1 λ o quadrado do coeficiente de variação, e θ = 1 µ o parâmetro A unidade do desvio é d(y; µ) = 2 ( y µ + log µ ) y 1, e a função de variância unitária é V (µ) = µ 2, µ > 0. Portanto, a variância de Y é dada por Var(Y ) = σ 2 µ 2.

41 40 - Distribuição Binomial Seja Y Bi(m, µ) denotando uma variável aleatória binomial, representando o número de sucessos em m tentativas independentes de Bernoulli com parâmetro de probabilidade µ. Escrevendo a função de probabilidade de Y em função do parâmetro logístico de θ = log µ/(1 µ) obtém-se: para y = 0,..., m. p (y; m, µ) = O desvio unitário é = ( ) m µ y (1 µ) m y y ( ) m exp{θy m log(1 + e θ )}, y d(y; µ) = 2 {y log yµ } + (1 y) log 1 y1 µ, e a função de variância unitária é dada por V (µ) = µ(1 µ), µ (0, 1). Expressando-se a variância em termos da média µ = mµ 0, obtém-se a expressão Var(Y ) = mv (µ/m) = µ(1 µ/m). - Distribuição Binomial Negativa Seja Y uma variável aleatória binomial negativa, com parâmetro de probabilidade p e parâmetro de forma λ. A função de probabilidade de Y, para y = 0, 1,..., é dada por p (y; p, λ) = = ( ) λ + y 1 p y (1 p) λ y ( ) λ + y 1 exp{θy + λ log(1 e θ )}, y com parâmetro canônico θ = log p < 0 e parâmetro índice λ > 0. O desvio unitário é dado por { y(1 + µ) d(y; µ) = 2 y log µ(1 + y) + log 1 + µ }, 1 + y

42 41 e a função de variância unitária é dada por V (µ) = µ(1 + µ), µ > 0. Expressando-se a variância em termos da média µ = Var(Y ) = λv ( µ λ) ( = µ 1 + µ ) = λ Modelo Exponencial de Dispersão Tweedie λp (1 p) 2. λp 1 p obtém-se a expressão Um caso especial dos modelos exponenciais de dispersão é o modelo Tweedie, denotado Tw p (µ, σ 2 ), com função de variância definida por V (µ) = µ p, µ Ω p (17) em que p é o parâmetro com domínio (, 0] [1, ] e Ω definido na tabela 1. Tabela 1 - Modelos de dispersão exponencial da família Tweedie Distribuições p S Ω Θ Extrema Estável p < 0 R R + R 0 Normal p = 0 R R R Não existe 0 < p < 1 - R + R 0 Poisson p = 1 N 0 R + R Poisson Composta 1 < p < 2 R 0 R + R Gama p = 2 R + R + R Positiva Estável 2 < p < 3 R + R + -R 0 Normal Inversa p = 3 R + R + -R 0 Positiva Estável p > 3 R + R + -R 0 Extrema Estável p = R R R Fonte: Jφrgensen (1997). Por definição, o modelo tem média µ e variância Var(Y ) = σ 2 µ p, com µ Ω p. A Figura 1 mostra a forma da distribuição Tweedie para alguns valores de p.

43 42 Density y Figura 1 - Distribuição Tweedie para variações do valor de p Jφrgensen (1997) mostra, pela tabela 1, que as funções de variância com potência 0 < p < 1 não correspondem a modelos exponenciais de dispersão. Para p < 0 ou p > 2, o modelo Tweedie é gerado pelas distribuições extrema estável ou positiva estável com índice α = p 2 p 1. Para p 0, 1, 2, com desvio unitário para a família Tw p(µ, σ 2 ) dada por [ ] {max(y, 0)} 2 p d p (y; µ) = 2 (1 p)(2 p) yµ1 p 1 p + µ2 p. 2 p com valor Para os casos em que p < 0 e 1 < p < 2, o desvio unitário é finito para y = 0, d p (0; µ) = µ2 p 2 p. O modelo Tweedie é invariante para as transformações de escala (Jφrgensen, 1997), ou seja, Se Y Tw p (µ, σ 2 ), então cy Tw p (cµ, c 2 p σ 2 ), para todo c > 0, já que E(cY)= cµ e Var(cY)= c 2 Var(Y)= c 2 σ 2 µ p = σ 2 c 2 p (cµ) p.