Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciência Instituto de Física Armando Dias Tavares. Sheila Mara Silva do Amaral

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1 Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciência Instituto de Física Armando Dias Tavares Sheila Mara Silva do Amaral Observação de eventos de dijatos de alto p T separados por uma lacuna de rapidez no contexto de BFKL no CMS CERN-THESIS Rio de Janeiro 2011

2 Sheila Mara Silva do Amaral Observação de eventos de dijatos de alto p T separados por uma lacuna de rapidez no contexto de BFKL no CMS Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor, ao Programa de Pós-Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Orientador: Prof. Dr. Alberto Franco de Sá Santoro Coorientador: Prof. Dr. Wagner Carvalho Rio de Janeiro 2011

3 CATALOGAÇÃO NA FONTE UERJ/ REDE SIRIUS/ BIBLIOTECA CTC/D A485 Amaral, Sheila Mara Silva do. Observação de eventos de dijatos de alto PT separados por uma lacuna de rapidez no contexto de BFKL no CMS / Sheila Mara Silva do Amaral f.: il. Orientador: Alberto Franco de Sá Santoro. Tese (doutorado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares. 1. Partículas (Física nuclear) - Teses. 2. Cromodinâmica quântica - Teses. 3. Grande colisor de hádrons (França e Suíça) - Tese. I. Santoro, Alberto Franco de Sá. II. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto de Física Armando Dias Tavares. III. Título. CDU Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese, desde que citada a fonte. Assinatura Data

4 Sheila Mara Silva do Amaral Observação de eventos de dijatos de alto p T separados por uma lacuna de rapidez no contexto de BFKL no CMS Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor, ao Programa de Pós-Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Aprovada em 25 de Agosto de Banca Examinadora: Prof. Dr. Alberto Franco de Sá Santoro (Orientador) Instituto de Física Armando Dias Tavares UERJ Prof. Dr. Wagner Carvalho (Coorientador) Instituto de Física Armando Dias Tavares UERJ Prof. Dr. Vitor Oguri Instituto de Física Armando Dias Tavares UERJ Prof. Dr. José Sá Borges Instituto de Física Armando Dias Tavares UERJ Prof. Dr. Maria Helena Pol Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas Prof. Dr. Beatriz Gay Ducatti Universidade Federal do Rio Grande do Sul Rio de Janeiro 2011

5 Ao meu eterno amante, Thiago. DEDICATÓRIA

6 AGRADECIMENTOS Ao professor Dr. Alberto Franco de Sá Santoro, pela oportunidade de trabalharmos juntos nesta tese de doutorado. Quero ressaltar que sem a sua dedicação e seus ensinamentos nada disso seria possível. Aos meus pais Celma dos Santos Silva e Edmilson Alves da Silva, pelo apoio indireto e incondicional, dado durante todo o curso de doutorado. Aos meus amigos Antônio Vilela, Eliza Melo, Sandro Fonseca, Dilson Damião e Diego Figueiredo pelo apoio que me foi dado nesta fase de minha vida. Ao meu esposo Thiago, pelo incentivo e apoio nos momentos difíceis desta jornada. Aos pesquisadores Alberto Santoro e Wagner Carvalho, que me ajudaram a entender muitos fenômenos descritos neste trabalho. Ao Instituto de Física e ao Programa de Pós-Graduação em Física da UERJ e aos professores e funcionários. Ao Departamento de Física Nuclear e Altas Energias e ao laboratório de computação T2-HEPGRID UERJ. Ao Programa HELEN pelo intercâmbio com o grupo difrativo no CMS. À CAPES e ao CNPq por ter dado condições para que esse trabalho fosse executado. À Monika Grothe, Alexander Proskuryakov, Michele Arneodo e Hannes Jung, pesquisadores do CERN, que muito contribuíram para a realização desse trabalho. Por fim, à todos que contribuíram de maneira indireta para a elaboração desse trabalho.

7 RESUMO AMARAL, S.M.S. Observação de eventos de dijatos de alto p T separados por uma lacuna de rapidez no contexto de BFKL no CMS f. Tese (Doutorado em Física) Instituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Apresenta-se neste trabalho um estudo da produção de eventos de dijatos com alto momentum transverso separados por uma lacuna de rapidez, na topologia de jato+lacuna+jato, nos primeiro período de coleta de dados do CMS a s = 7 T ev, isto é, para baixa luminosidade (10 34 cm 2 s 1 ). A escala dura do evento é apresentada na forma dos dois jatos e da lacuna de rapidez no estado final. No contexto de BFKL, uma escada de glúons é trocada no canal t do espalhamento partônico. O processo acima foi simulado com o gerador HARDCOL (1), onde é implementado o cálculo de BFKL até ordem dominante de logaritmo ln s. As amostras foram simuladas e reconstruídas pelo software do CMS. Como evento de fundo dominante, temos a combinação de um evento de QCD com eventos de empilhamento na mesma colisão de feixe no LHC, onde observamos o excesso de dados sobre os eventos de fundo. Através do estudo dos jatos e da baixa atividade na região da lacuna, mostra-se a possibilidade de se observar os eventos com lacuna de rapidez a s = 7 T ev. Palavras-chave: Jatos no CMS. Lacuna de rapidez. BFKL.

8 ABSTRACT AMARAL, S.M.S. Observation of rapidity gap between dijets events with hight-p T in CMS f. Tese (Doutorado em Física) Instituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, We present a study of dijets production with high transverse momentum separated by a large rapidity gap using data collected from CMS at s = 7 T ev at low luminosity (10 34 cm 2 s 1 ). In the framework of BFKL, a gluon ladder is exchanged in the t-channel of the partonic scattering. The above process was generated by HARDCOL (1), where the BFKL equation is solved at the leading logarithm order. The samples were simulated and reconstruction with the CMS software. As the dominant background, we have the overlap of a QCD event with pile-up events in the same bunch crossing. So, our goal is to observe the excess data in the background events. Through the study of the jets and the low activity in the gap region, we show feasibility of the observation of events with rapidity gap at s = 7 T ev. Keywords: Jets in CMS. Rapidity gap. BFKL.

9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Seção de choque diferencial dσ/dt para espalhamentos elásticos pp Figura 2 - Padrão de difração da luz passando por uma abertura circular Figura 3 - Espalhamento profundamente inelástico difratico Figura 4 - Seção de choque em função da rapidez para eventos difrativos Figura 5 - Espalhamento de dois corpos Figura 6 - Trajetórias mesônicas Figura 7 - Seção de choque total pp e p p Figura 8 - Função de estrutura F 2 (x, Q 2 ) em função de Q Figura 9 - Pomeron de BFKL Figura 10 - Escada de glúons Figura 11 - Termos da amplitude de espalhamento de duas partículas Figura 12 - Função de desdobramento Figura 13 - Diagrama da simulação de eventos Figura 14 - Evolução do chuveiro partônico Figura 15 - Espalhamento profundamente inelástico difrativo Figura 16 - Função de lacuna de rapidez Figura 17 - CMS Figura 18 - Coordenadas Figura 19 - Sistema de trajetórias Figura 20 - Calorímetro eletromagnético (ECAL) Figura 21 - Módulos de cristais do ECAL Figura 22 - Resolução de energia do ECAL Figura 23 - Visão longitudinal do HCAL Figura 24 - RBX Figura 25 - Calorímetro hadrônico (HCAL) Figura 26 - Calorímetro frontal Figura 27 - Múons Figura 28 - Câmaras de tubos de arrasto Figura 29 - Sistema de trigger L Figura 30 - BPTX Figura 31 - BPM no IP Figura 32 - Troca de pomeron Figura 33 - Luminosidade integrada Figura 34 - Distribuição de p T Figura 35 - Distribuição de eventos de empilhamento Figura 36 - Resposta dos jatos

10 Figura 37 - Resposta em p T dos jatos Figura 38 - Resolução em p T dos jatos Figura 39 - Resolução em η dos jatos Figura 40 - Resolução em φ dos jatos Figura 41 - Eficiência de reconstrução de jatos Figura 42 - Distribuições de p T e η dos dijatos Figura 43 - Distribuições de η e φ dos dijatos Figura 44 - Distribuições de p T e η do terceiro jato Figura 45 - Distribuições da multiplicidade dos traços e da soma de p T dos traços Figura 46 - Distribuições da multiplicidade e da soma da energia nas torres do calorímetro 82 Figura 47 - Distribuição da soma da energia nas torres do calorímetro na lacuna de rapidez 83 Figura 48 - Multiplicidade de torres na região da lacuna de rapidez entre os dijatos.. 84 Figura 49 - Fração de eventos com lacuna de rapidez Figura 50 - Run , evento Figura 51 - Run , evento Figura 52 - Fontes de ruidos Figura 53 - Fibras longas e curtas do HF Figura 54 - Energia nos hits do HF Figura 55 - Pulso de um hit Figura 56 - Energia depositada no HF Figura 57 - Troca de um glúon no espalhamento quark-quark Figura 58 - Troca de um glúon no espalhamento glúon-glúon Figura 59 - Troca de dois glúons no espalhamento quark-quark Figura 60 - Equação de unitaridade Figura 61 - Dois loops para o espalhamento quark-quark Figura 62 - Emissão de glúon Figura 63 - Vértice de Lipatov Figura 64 - Correções radiativas em dois loops Figura 65 - Escada de glúons Figura 66 - Troca de singleto de cor em ordem superior Figura 67 - Espalhamento hadron-hadron Figura 68 - Espalhamento profundamente inelástico Figura 69 - Espalhamento α q Figura 70 - Distribuição da multiplicidade dos traços na lacuna Figura 71 - Soma de p T dos traços na lacuna Figura 72 - Multiplicidade das torres do calorímetro na lacuna Figura 73 - Soma da energia depositada nos calorímetros na lacuna Figura 74 - Multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro na lacuna 145

11 Figura Figura Figura 75 - Multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro na lacuna para η > Multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro na lacuna para η > Multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro na lacuna para η >

12 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Tabela de amostras de dados e Monte Carlo Tabela 2 - Tabela de trigger Tabela 3 - Tabela da seção de choque gerada pelo PYTHIA Tabela 4 - Tabela da seção de choque gerada pelo HARDCOL Tabela 5 - Eficiência de seleção de eventos de dijatos Tabela 6 - Limiar de energia para as torres do calorímetro Tabela 7 - Eficiências de seleção de eventos

13 SUMÁRIO INTRODUÇÃO DIFRAÇÃO E FÍSICA DE BAIXO X DE BJORKEN Difração Rapidez e Pseudo-rapidez Propriedades da difração O pico difrativo Lacuna de rapidez Teoria de Regge A necessidade do Pomeron Difração dura Espalhamento profundamente inelástico difrativo O Pomeron e a QCD Física de baixo x Equação de evolução DGLAP Espalhamento hádron-hádron no LHC Produção de jatos Lacuna de rapidez entre jatos Fração de eventos com lacuna de rapidez Probabilidade de sobrevivência da lacuna de rapidez CMS Sistema de trajetórias Sistema de calorimetria Sistema de múons Trigger Sistemas de Monitoramento DINÂMINCA DE BFKL NA PRODUÇÃO DE JATOS DE ALTO P T Introdução Amostras de dados reais e Monte Carlo Performance de reconstrução dos dijatos nos eventos com lacuna de rapidez Resolução de energia e posição Eficiência de reconstrução de jatos Seleção de eventos Seleção de trigger Normalização Seleção de eventos de dijatos Seleção de eventos de singleto de cor

14 3.9 Observação de eventos de dijatos separados por uma lacuna de rapidez JATOS FRONTAIS A S = 900GEV Introdução Identificação do ruído no calorímetro frontal Introdução Identificação de ruído CONCLUSÃO REFERÊNCIAS APÊNDICE A O Pomeron na QCD e a equação de BFKL APÊNDICE B Equações DGLAP APÊNDICE C Gráficos Adicionais

15 13 INTRODUÇÃO Um grande esforço tem sido feito para se entender a dinâmica da QCD dos eventos de dijatos com uma lacuna de rapidez, uma vez que tais processos foram observados em colisões p p no Tevatron (2) (3) há mais de 10 anos atrás. O fenômeno da produção de lacunas de rapidez, isto é, uma região do espectro de rapidez ou ângulo polar sem partículas no estado final, tem recebido muita importância nos últimos anos. Isto nos remete ao convencional espalhamento difrativo. Experimentalmente, o que se observa são lacunas na distribuição angular dos produtos do espalhamento em altas energias e a presença de partículas do feixe intactas no estado final, apenas com uma pequena perda em energia (x F 0.9). Uma nova classe de eventos de lacuna de rapidez foi descoberta recentemente em colisões próton-anti-próton do Tevatron no Fermilab: onde cerca de 1% dos eventos de dijatos na região frontal, e em lados opostos do detector, apresentavam uma grande lacuna de rapidez (3 unidades ou mais) entre eles (2) (3). Em colisões hádron-hádron, tais eventos possuem um grande diferencial: um jato de alto p T em cada lado da lacuna, com p T Λ QCD. A produção de jatos frontais no LHC é um processo ideal para investigar o efeito da QCD a baixos valores de x de Bjorken. No canal-t, o objeto trocado entre os pártons através da lacuna, é um singleto de cor e carrega um alto momentum transferido, sendo a lacuna de rapidez suficientemente grande. O objeto trocado não pode ser um pomeron tradicional (pomeron mole descrito pela teoria de Regge), pois o quadri-momentum transferido t ET GeV 2 (4). O mecanismo físico para o processo ainda não é bem determinado. Uma possibilidade para explicação fenomenológica do processo, seria a troca de uma escada de singleto de cor de glúons entre os pártons, e o candidato natural na QCD perturbativa é o pomeron de BFKL (Balitsky-Fadin-Kuraev- Lipatov) (5), que pode evidenciar a dinâmica de BFKL. É claro que a energia da colisão s deve ser suficientemente grande (s E T ) para que haja a produção dos jatos com uma grande lacuna de rapidez. Espera-se que tais eventos sejam produzidos da mesma forma nas colisões proton-proton no LHC. Para se avaliar o processo de jato-lacuna-jato no contexto de BFKL, primeiro nos endereçamos ao problema do acoplamento do pomeron de BFKL aos pártons, ao contrário das partículas sem cor. De fato, a equação de BFKL descreve tais processos, usando fatores de impacto, que descrevem o acoplamento entre as partículas de entrada e de saída com o pomeron de BFKL, que desaparecem quando acoplados com glúons com momentum transverso nulo. A principal motivação para este estudo é contribuir para a compreensão do fenômeno das interações fortes por glúons, em seus aspectos difrativos, isto para a compreensão do hádron constituído fundamentalmente por glúons. Este objeto é o que chamamos de pomeron de BFKL. Utilizando para isto, a análise de dados das colisões próton-prótron no CMS, realizadas

16 14 no perído do Run2010A, no acelerador Large Hadron Collider (LHC), através do estudo da produção de eventos que apresentam lacunas de rapidez entre dois jatos de alto-p T. O LHC é um acelerador de partículas cuja energia de centro de massa alcançará valores de energia 7 vezes maior do que a mais alta atingida em aceleradores anteriormente, 14 TeV. Com essa escala de energia pretendemos avançar no estudo da estrutura partônica dos hádrons. Para isso, utilizamos um complexo de detectores dispostos ao redor dos pontos de colisão do acelerador. O LHC possui 4 grandes detectores, sendo o Compact Muon Solenoid (CMS) o detector usado nesta análise. No primeiro capítulo apresentamos um breve resumo do mecanismo físico relevante para o entendimento da topologia estudada, assim como o contexto de BFKL. No capítulo 2, descrevemos os detectores do CMS. Apresentamos a análise da produção de eventos de dijatos separados por uma lacuna de rapidez no capítulo 4, descrevendo o processo de geração e simulação, bem como a seleção e reconstrução. Além disso, por se tratar de uma análise de dados coletados, no decorrer do capítulo 5 apresentamos um estudo sobre identificação de ruído no calorímetro frontal e alguns eventos reais de jatos encontrados nas primeiras colisões com energia s = 900 GeV. No apêndice A, mostramos os passos principais da descrição do pomeron de acordo com as técnicas da QCD perturbativa, que resulta na teoria BFKL. No apêndice B, descrevemos e resolvemos as equações de evolução DGLAP. No apêndice C, apresentamos as distribuições adicionais.

17 15 1 DIFRAÇÃO E FÍSICA DE BAIXO X DE BJORKEN Os espalhamentos elástico e difrativos representam uma significativa fração da seção de choque total nas colisões pp e p p, cerca de 44% (6) em ambas energias s = 1.8T ev e s = 14T ev. Nos processos difrativos do tipo ab XY, os sistemas X e Y possuem os mesmos números quânticos das partículas incidentes, e podem ser iguais às partículas iniciais, hádrons espalhados, ou estados dissociados de baixa-massa. Nestes casos, a energia dos hádrons finais ou dos sistemas de partículas X e Y, é aproximadamente igual à energia das partículas incidentes. As duas partículas (ou grupos de) do estado final são bem separados no espaço de fase, apresentando uma grande separação na rapidez entre elas, chamada de lacuna de rapidez. O espalhamento difrativo hádron-hádron é uma área bastante explorada na física de partículas, e é descrita pela teoria de Regge (7). No contexto da teoria de Regge descreve-se tais processos através da troca de trajetórias de Regge. A difração é caracterizada pela troca de uma trajetória específica, o pomeron, que tem os mesmos números quânticos do vácuo, logo com carga de cor nula. A troca dos números quânticos do vácuo implica a ausência de produção hadrônica entre os grupos de partículas no estado final, havendo então uma lacuna de rapidez no estado final. Graças aos trabalhos experimentais realizados nas últimas década no CERN, DESY e Fermilab, muitos aspectos da difração foram compreendidos na QCD devido à existência de uma escala dura, sendo então possível usar as técnicas perturbativas e formular a dinâmica em termos de quarks e glúons. O interesse no estudo da produção de jatos de alto p T é a medida das PDFs 1 (especialmente a distribuição de glúons) dos prótons com fração dos momenta da ordem de x Assim como realizados nos eventos de espalhamento profundamente inelásticos (DIS) no HERA (8). 1.1 Difração As interações hádron-hádron podem ser classificadas de acordo com o estado final produzido: Nas interações elásticas, ambos hádrons incidentes se mantem intactos e nenhuma partícula adicional é produzida. Nas interações difrativas, o momentum transferido entre os hádrons incidentes é pequeno, mas um (dissociação simples) ou ambos (dissociação dupla) os hádrons se dissociam em um sistema de partículas. Os sistemas dissociados X e Y preservam os números quânticos dos hâdrons incidentes a e b, separadamente. Os eventos difrativos con- 1 PDF = Função de distribuição partônica

18 16 tribuem significamente (25-40%) para a seção de choque total das interações hádron-hádron. As interações inelásticas são caracterizadas pela troca de números quânticos e pela dissociação do estado final. Embora a difração não apresente uma definição precisa, existem duas características amplamente usadas. A primeira é que nos eventos difrativos, o estado final preseva os números quânticos das partículas do estado inicial. A segunda, atribuída a Bjorken (9), é que um processo é difrativo se e somente se existir uma grande lacuna de rapidez no espaço de fase das partículas produzidas, a qual não é exponencialmente suprimida. A rapidez é uma quantidade angular relacionada com o ângulo polar, descrita na seção Quando o momentum transferido é pequeno, não há uma escala dura presente nos vértices entre os hádrons incidentes e espalhados. Se não há nenhuma outra escala dura presente, o processo é classificado como difração mole e os métodos não-perturbativos, assim como a teoria de Regge, devem ser usados para descrever as interações. Entretanto, se outra escala dura estiver presente, por exemplo, um valor de Q 2 suficientemente grande, a QCD perturbativa pode ser usada para descrever a interação e o processo é classificado como difração dura, descrita na seção Rapidez e Pseudo-rapidez A rapidez de uma partícula é dada pela expressão: y = 1 ( ) E + 2 ln pz E p z (1) É possível escrever o quadri-momentum de uma partícula em termos do seu momentum transverso (p T ), rapidez (y), e ângulo azimutal (φ) como: p µ = (E, p x, p y, p z ) = (m T cosh y, p T sin φ, p T cos φ, m T sinh y), (2) onde m T = p 2 T + m2 e p T = p 2 x + p 2 y. A vantagem desta notação é que as distribuições das partículas do estado final nas interações inelásticas, em função de y, é quase uniforme. A pseudorapidez é definida como a rapidez no limite de p m. Neste limite (e usando a variável η ao invés de y), temos:

19 17 p T E T = Esenθ ( η = ln tan θ ) 2 (3) (4) onde θ = E T /p z. As variáveis (E T, η, φ) e (p T, y, φ) são medidas experimentalmente Propriedades da difração O pico difrativo A seção de choque difrativa diminui exponencialmente quando t vai para valores negativos. Esta pode ser empiricamente parametrizada como (7) dσ dt = ( ) dσ e bt dt t=0 ( ) dσ [ ] 1 b(cos θ) 2 (5) dt t=0 onde b = R 2 /4 é o parâmetro de inclinação, R, o raio da interação (geralmente usado igual a 1 fm), e t é negativo. A intensidade do pico aumenta lentamente com s. Como podemos observar na figura 1, onde temos a seção de choque para diferentes energias. Na figura 1, mostramos a seção de choque diferencial de espalhamentos elásticos prótonpróton, para diferentes valores de energia do centro de massa. A forma da distribuição é semelhante à distribuição da intensidade I na difração da luz por um obstáculo, de dimensões comparáveis ao comprimento de onda λ, em especial pela presença de um mínimo característico seguido de um máximo secundário. A intensidade I em função do ângulo de espalhamento, θ, é dada por: I I 0 = [ sin( kr 2 )sinθ kr 2 sinθ ] 2 1 R2 0 4 (kθ)2 onde k é o número de onda e R é o raio de um disco que serve de obstáculo para a luz incidente. Um esquema deste padrão é mostrado na figura 2.

20 18 Figura 1 - Seção de choque diferencial dσ/dt para espalhamentos elásticos pp Legenda: Dados da seção de choque diferencial dσ/dt para espalhamentos elásticos pp para diferentes energias, em experimentos de alvo fixo e colisores Fonte: ARNEODO, 2005, p. 81. Figura 2 - Padrão de difração da luz passando por uma abertura circular Legenda: Padrão de difração da luz passando por uma abertura circular. A semelhança da seção de choque de uma certa classe de colisões hádron-hádron é a origem do termo difração, usado em Física de Altas Energias Fonte: A autora, 2009.

21 19 Figura 3 - Espalhamento profundamente inelástico difratico Legenda: Diagrama da cinemática do espalhamento profundamente inelástico difrativo. Fonte: A autora, Lacuna de rapidez Devido ao grande pico difrativo, o estado final difrativo é separado na região da rapidez do próton. Esta separação na rapidez pode ser estimada através do espalhamento profundamente inelástico difrativo (DDIS), descrito na figura 3. O estado hadrônico final se separa em dois sistemas de massa invariante M X e M Y, os quais são definidos por estarem separados por uma grande lacuna de rapidez no estado final. Geralmente, o valor de M Y é próximo da massa do próton. No processo de difração simples de γp, o próton não se dissocia e t = 0. No centro de massa do sistema γp, o próton espalhado e o sistema hadrônico X se movem em direções opostas com momentum longitudinal p z = W/2, onde W é o quadri-momentum transferido entre γ e o próton. Assim sendo, a rapidez dos sistemas é dado por: y P 1 ( ) 2 2 ln EP + p zp 12 W = ln E P p zp m 2 P y X 1 ( ) 2 2 ln EX + p zx 12 W = ln E X p zx M 2 X onde E = p 2 + m 2 = W 1 + ( ) 2m 2 2 W foi expandida. A lacuna de rapidez entre o próton e o sistema hadrônico é dada por: (6) (7) y = y P y X ln W 2 m P M X (8) Por exemplo, para W = 200GeV e M X = 20GeV, a lacuna de rapidez será de y

22 20 Figura 4 - Seção de choque em função da rapidez para eventos difrativos Legenda: Esquema da seção de choque em função da rapidez para eventos difrativos. Observa-se uma grande separação na rapidez entre o sistema hadrônico (M X ) e o próton difratado. Fonte: A autora, Entretanto, como o sistema hadrônico X se dissocia, alguns desses hádrons irão se espalhar, diminuindo a lacuna por um termo de y ln M X 3. O próton e o sistema hadrônico serão então separados por uma lacuna de rapidez maior que 4 unidades. No caso geral, existem ainda interações hádron-hádron mole, diminuindo a lacuna de rapidez, mas a separação y > 2 ainda pode ser observada. Esquematizamos na figura 4 o que foi descrito acima, onde temos um esquema da seção de choque em função da rapidez para eventos difrativos. 1.2 Teoria de Regge O quadrado do quadrimomentum transferido, t, no vértice do próton nos processos difrativos é pequeno e não pode ser usado com uma escala dura. Os métodos perturbativos não são válidos nesse regime, e a teoria de Regge das interações fortes é usada para descrever a seção de choque difrativa hádron-hádron, ao invés da QCD. A teoria de Regge foi desenvolvida por volta de 1960, antes da QCD, com o objetivo de descrever o comportamente assintótico da amplitude de espalhamento das colisões hádron-hádron, no limite de altas energias. Na figura 5 vemos um diagrama representativo da interação de dois corpos, A + B C + D. Os canais s e t indicados para a região física denominada de canal s, s < 0 e t < 0 Em uma colisão próton-próton, a seção de choque pode ser escrita como: dσ dt = 1 A(s, 64p 2 t) 2 s (9)

23 21 Figura 5 - Espalhamento de dois corpos Legenda: Diagrama do espalhamento de dois corpos A + B C + B. Fonte: A autora, onde p é o momentum do próton e A(s, t) é a amplitude de espalhamento. Se A(s, t) é uma função analítica em s e t, o canal cruzado da interação, será A C BD, onde t > 0 e s < 0. Então podemos expandir a amplitude em uma série de ondas parciais do momentum angular l: A(s, t) = (2l + 1)A L (s)p L (cos θ) (10) l=0 onde P l (cos θ) é o polinômio de Legendre para o momentum angular l, θ é o ângulo de espalhamento entre A e C no sistema de centro-de-massa, que relaciona s e t da seguinte forma: cos θ = 1 + 2t/s. As funções A L (s) são as amplitudes em ondas parciais, e t = (p A + p C) 2. A série completa em ondas parcias pode ser obtida usando continuação analítica da amplitude de onda parcial A l (t) para valores complexos do momento angular l, através do método de Sommerfeld-Watson (10). A amplitude de ondas parciais pode ser escrita como uma integral de contorno no plano complexo, com pólos da l-ésima onda parcial dados por: A L (t) β(t) l α(t) (11) onde l = α(t) é o momentum angular do pólo de Regge, e β(t) é a função resíduo que especifica o acoplamento do pólo com as partículas externas. Voltando ao canal-s, onde s > 0 e t < 0, a amplitude de espalhamento no limite de

24 22 s e t constante, o comportamento assintótico do polinômio de Legendre nos leva a: ( ) α(t) s A(s, t) β(t) s 0 (12) onde s 0 1GeV é a escala de massa hadrônica. Diferente da QCD, onde partículas individuais são trocadas em uma interação, trajetórias de partículas são trocadas na teoria de Regge (11). As trajetórias de Regge descrevem grupos de partículas com os mesmos números quânticos, mas com diferentes spin. As trajetórias podem ser escritas expandindo-se o momentum angular α(t): α(t) = α(0) + α t (13) onde α(0) e α são o intercepto e o coeficiente angular da trajetória, respectivamente. Um exemplo de uma trajetória de Regge para os mésons ρ, ω, f, e a, é mostrado na figura 6. Os parâmetros para esta trajetória são α(0) = 0.55 e α = 0.86GeV 2 e foi extrapolada para valores negativos de t, baseado nos resultados do espalhamento π p π 0 n (12). Substituindo a amplitude de espalhamento A(s, t) s α 0+α t na equação 9, e usando a aproximação de altas energias s 4p 2, obtemos: dσ dt = 1 16πs A(s, 2 t) 2 1 ( ) 2α0 +2α s t s 2 s 0 (14) que pode ser reescrita como: dσ dt 1 ( ) 2(α0 1) s e 2α ln(s/s 0 )t s 2 0 s 0 (15) Na direção frontal, t = 0, e na direção oposta, t cresce negativamente, fazendo com que dσ/dt diminui exponencialmente, explicando o pico difrativo nos espalhamentos difrativos. Comparando as equações 15 e 5, temos: ( ) s b = b 0 + 2α ln s 0 (16) Como t é negativo, a inclinação exponencial do pico difrativo diminui com o aumento de s (13). Tal comportamento é mostrado na figura 1.

25 23 Figura 6 - Trajetórias mesônicas Legenda: A linha sólida mostra o ajuste da equação para os mésons ρ, ω, f e a. Os quadrados na região t < 0 representam os dados do espalhamento π p π 0 n (12) e a linha tracejada é uma extensão do ajuste. A linha pontilhada é a trajetória correspondente à troca do Pomeron. Fonte: BARNES, 1976, p. 76.

26 A necessidade do Pomeron A descrição da amplitude de espalhamento em termos dos pólos de Regge, nos dá uma definição direta da difração. Neste contexto, os processos difrativos são caracterizados pela troca de uma trajetória de Regge que carrega os números quânticos do vácuo. Entre elas, temos uma de especial interesse, chamada Pomeron. A necessidade do pomeron surge da tentativa de explicar o comportamento da seção de choque total com o aumento da energia. A seção de choque total pode ser escrita, no limite de altas energias, como (usando o teorema óptico que relaciona a parte imaginária da amplitude de espalhamento com a seção de choque total (elástica + difrativa + inelástica)): σ tot 1 s ImA(s, t = 0) i A i s α i(0) 1 (17) onde α(0) é o intercepto da trajetória apropriada. Experimentalmente, foi observado que a seção de choque diminui até s 10GeV e então cresce lentamente com o aumento de s. Entretanto, todas as trajetórias de Regge com uma partícula correspondente, possuem um intercepto α 0 < 1, prevendo então, que uma seção de choque só pode diminuir em função de s. A fim de descrever o aumento da seção de choque para grandes valores de s, foi proposto por Gribov (14), introduzir uma partícula chamada Pomeron (IP ), homenageando Pomeranchuk, com α 0 > 1. A trajetória do Pomeron pode ser vista na figura 6 (linha pontilhada) com os parâmetros α 0 = 1.08 e α = 0.25GeV 2. A seção de choque total pode ser dividida em contribuições vindas do Pomeron e contribuições vindas de todas as outras trajetórias, representadas por uma trajetória chamada reggeon (IR). σ tot (s) = As (α IR 1) + Bs (α IP 1) (18) Enquanto que o Pomeron representa a troca dos números quânticos do vácuo (carga elétrica 0, carga cor nula e isospin 0), o reggeon representa a troca de números quânticos diferentes dos do vácuo. Donnachie e Landschoff (15) fizeram o fit da equação 18 para os dados de pp e p p, como mostra a figura 7, obtendo os interceptos: α 0,IR = α 0,IP = (19) (20) O pomeron se acopla tanto em partículas quanto em anti-partículas devido aos números quânticos de vácuo, e então o coeficiente B na equação 18 é o mesmo para colisões de pp e p p.

27 25 Figura 7 - Seção de choque total pp e p p Legenda: Uma compilação dos dados da seção de choque total em espalhamentos pp e p p em função de s, juntamente com ajustes da forma σ tot (s) = As (αir 1) + Bs (α IP 1). Os coeficientes estão disponíveis no gráfico. Fonte: BARONE, 2002, p. 56.

28 26 Os reggeons se acoplam de forma diferente para partículas e anti-partículas, logo o coeficiente é diferente para cada caso. Dados provenientes da seção de choque total de π ± p e γp foram ajustados usando-se a equação 18, e ambas mostram a necessidade do pomeron. 1.3 Difração dura Eventos de difração dura são aqueles que apresentam jatos e uma grande lacuna de rapidez no estado final e pelo menos uma escala dura, que permite a aplicação da QCD perturbativa. Um exemplo desta escala dura, seria um grande Q 2 nos eventos de espalhamento profundamente inelástico difrativo, como mostra a figura 3. Pode-se observar uma combinação de uma componente dura e uma mole nos eventos difrativos duros, e a separação destas, está na necessidade de se explorar a QCD a nível quantitativo e qualitativo Espalhamento profundamente inelástico difrativo A primeira evidência experimental da difração com uma escala dura foi obtida pela colaboração UA8 (16) no colisor SPS no CERN, que produzia colisões p p com s = 630GeV. Observou-se eventos de difração simples, pp px, e a produção de jatos de alto p T. A difração dura se consolidou nos experimentos ZEUS e H1, no HERA (8) um colisor ep, onde elétrons de 27.5 GeV colidiam com prótons de 820 GeV ou 920 GeV. No DIS, ep ex, o próton é fragmentado em hádrons, devido à troca de um fóton virtual muito energético ou um bóson Z 0 com um grande momentum transverso, como mostra a figura 3. A sua componente difrativa, (DDIS) provém do fóton virtual irradiado, com virtualidade Q 2 = q 2, e momentum q = k k. Este interage com o próton incidente, de momentum p. Como a difração é um processo basicamente hadrônico, o fóton virtual deve interagir fortemente com o próton, gerando um estado final caracterizado por um sistema hadrônico X, com os mesmos números quânticos do fóton, além do próton difratado de momentum p, ambos separados por uma lacuna de rapidez. As variáveis cinemáticas do DDIS nas colisões ep exp são mostradas na figura 3. A distribuição em t = (p p ) 2 obedece ao decaimento exponencial perto do pico difrativo. O próton é difratado com fração de momentum longitudinal x L, sendo observado um pico em x L = 1. A variável de Bjorken para o DIS, x = Q 2 /(2p q), é substítuida, no caso difrativo por x = x IP β:

29 27 x IP = β = q (p p ) = M X 2 + Q2 t q p W 2 + Q 2 m p (21) Q 2 2q (p p ) = Q 2 Q 2 + MX 2 t (22) onde W 2 = (q +p) 2 e M X é a massa invariante do sistema X, onde x IP é o momentum perdido do próton e β seria a fração de momentum do párton emitido pelo pomeron. Como no DIS, temos que x IP = 1 xl. As funções de estrutura difrativas descrevem a estrutura do próton nesta classe de eventos, caracterizados pela presença do próton intacto no estado final. Alternativamente, pode-se dizer que a estrutura do sistema efetivo trocado pelo próton, carrega os números quânticos do vácuo e emite um párton com fração de momento x/x IP. Estendendo a fatorização em QCD para o caso difrativo, escreve-se a função de estrutura F D 2 partônicas: em termos de funções de distribuição F D 2 (β, Q 2, x IP, t) = f IP/p (x IP, t)f IP 2 (β, Q 2 t) (23) onde F IP 2 é a função de estrutura do pomeron, f IP/p (17) é o fluxo do pomeron, e β = x/x IP é o x de Bjorken do DIS para o pomeron. O processo pode ser escrito como ep exp, ao invés do DIS normal ep ex. O próton intacto é referido como próton difratado, e o DIS no pomeron produz o sistema de partículas X. Devido à cinemática, o sistema X e o próton difratado serão separados por uma grande lacuna de rapidez. Assim sendo, a lacuna de rapidez é uma assinatura experimental da difração, assim como o próton difratado. Para valores muito pequenos de x e altos valores de Q 2, as funções de estrutura aumentam quando x diminui (24), como mostra a figura 8. Note que para pequenos valores de x, a função de estrutura diminui rapidamente quando Q 2 diminui. 1.4 O Pomeron e a QCD A teoria de Regge nos dá uma idéia da estrutura do Pomeron. Na QCD, a estrutura do Pomeron ainda é desconhecida, mas existem vários modelos que descrevem uma partícula com as mesmas propriedades que o pomeron previsto pela teoria de Regge. Na sua forma mais simples, o pomeron pode ser representado por dois glúons (25)(26)(27), o qual é o número mínimo de glúons para formar um estado sem cor. Para modelos mais complicados, o pomeron corresponde a uma soma infinita de escada

30 28 Figura 8 - Função de estrutura F 2 (x, Q 2 ) em função de Q 2 Legenda: Resultados experimentais do H1 (18) e ZEUS(19) para a função de estrutura F 2 (x, Q 2 ) em função da virtualidade Q 2 para valores de x fixos, comparados com os ajustes globais usando a evolução DGLAP(20)(21)(22) em ordem dominante (LO), próxima ordem dominante (NLO) e as somas dos termos de ln(1/x), elaborados pelo MRST (23). Fonte: BARONE, 2002, p.24.

31 29 de glúons com glúons reggeizados nas linhas verticais, os quais dependem da natureza da interação. Veja que na teoria de Regge o pomeron é um objeto com os números quânticos do vácuo. Um hádron como outro qualquer. Quem traz a idéia de estrutura é a QCD assim como para todos os hádrons. Então o pomeron seria um hádron constituído dominantemente por glúons. Assim, o fato de que glúon interage com glúon nos leva à concepção de uma escada de glúons. O Pomeron de BFKL (5) é uma soma de todos os diagramas de escadas de glúons, com um intercepto de α A escada de glúons no Pomeron de BFKL consiste em um padrão especial de radiação no qual os glúons são fortemente ordenados em x, mas não em k T. No limite de altas energias, as propriedades da escada de glúons foram deduzidas e resolvida a equação BFKL (Balitsky, Fadin, Kuraev, Lipatov, (5)), que descreve a evolução na aproximação de logaritmo dominante (LLA) da escada de glúons com os termos de ln(s/ t ), onde s é a energia total do centro de massa e t é o momentum transferido. A equação de BFKL (veja o Apêndica A) é calculada a partir de dois glúons reggeizados, onde o glúon reggeizado é um gluon na forma de um propagador modificado do tipo (no calibre de Feynman) (5): D µν (s, q 2 ) = i g µν q 2 ( s s 0 ) αg(q 2 ) 1 (24) onde α g (q 2 ) = 1+ɛ(q 2 ) é a trajetória de Regge do glúon, calculada pela pqcd. A generalização dos dois glúons na cinemática multi-regge, que se estende a todas as ordens na teoria de perturbação, dá origem à equação de BFKL, mantendo-se somente o termo dominante de ln s em cada ordem. O pomeron aparece como uma escada de glúons em uma configuração de singleto de cor, representado na figura 9. Nas linhas verticais temos os glúons reggeizados e os vértices efetivos de três glúons não locais, conhecidos como vértices de Lipatov. A equação de BFKL é muito mais do que simplesmente um cálculo da função de distribuição dos glúons; com ela temos a possibilidade de calcular o espalhamento de dois objetos via troca de uma escada de glúons na configuração de um singleto de cor, também chamado de Pomeron de BFKL, pois carrega os números quânticos do vácuo e acompanha o comportamento da amplitude de Regge. O diagrama na figura 10 (b) é usado para o cálculo do espalhamento profundamente inelástico para baixos valores de x de Bjorken, onde os glúons dominam no próton. Nela, temos a amplitude para processos elásticos γp γp via troca de uma escada de glúons como descrito pelas equações de BFKL. Através do teorema óptico, a amplitude na direção frontal está relacionada com a seção de choque total, como indica a linha pontilhada na figura 10 (b), representado, na figura 10 (a). Calculando ordem a ordem na teoria de perturbação, somando os logaritmos dominantes da energia de centro de massa ŝ dos diagramas de Feynman relevantes (troca de dois glúons simples, diagrama escada com um degrau de glúon no canal-s e assim por diante), obtemos a

32 30 Figura 9 - Pomeron de BFKL Legenda: O pomeron descrito pela teoria BFKL. As linhas verticais representam os gluons reggeizados e os vértices são vértices efetivos de três gluons não locais. Fonte: A autora, Figura 10 - Escada de glúons Legenda: (a) O diagrama de escada que contribui para F 2 (x, Q 2 ) para baixos valores de x. Na evolução DGLAP, o diagrama é em geral, composto por ambos quarks e gluons e os partons são ordenados pelo momentum transverso. Na evolução de BFKL, somente os gluons contribuem e são ordenados em x. A equação de BFKL é formada pela soma das amplitudes ao quadrado como ilustra a figura (b) Fonte: A autora, 2009.

33 31 Figura 11 - Termos da amplitude de espalhamento de duas partículas Legenda: Representação esquemática dos termos que contribuem para o cálculo da amplitude de espalhamento de duas partículas através da troca de um Pomeron de BFKL. Fonte: A autora, equação de BFKL que descreve o processo de espalhamento através de um diagrama escada com infinitos degraus de glúons, como mostra a figura 9. A amplitude de BFKL para o espalhamento de duas partículas 1 e 2 é fatorizada em três partes, como mostra a figura 11, e pode ser escrita simbolicamente como: A = Φ 11 K BF KL Φ 22 (25) onde Φ 11 é o fator de impacto de 1 1, isto é, uma função calculada dos diagramas de Feynman que descrevem a transição 1 1 com dois glúons ligados; K BF KL é a função que contém a evolução de BFKL da escada de glúons, e denota uma convolução integral. K BF KL é obtida através da resolução da equação de BFKL. A solução para momentum transferido diferente de zero foi obtida por Lipatov. A solução é uma expansão (veja o Apêndice A) : A = 1 (2π) 2 n= ν 2 + n 2 /4 dν [ν 2 + (n 1) 2 /4] [ν 2 + (n + 1) 2 /4] (26) exp [ω n (ν)y] I 11 n,ν(q)(i 22 n,ν(q))

34 32 onde ω n (ν) = 2N cα s Re (ψ(1) ψ(1/2 + n /2 + iν)) (27) π nos dá os auto-valores do kernel de BFKL, e I 11 n,ν(q) é a projeção do fator de impacto Φ 11 nas auto-funções com auto-valores ω n (ν), q é o momentum do pomeron de BFKL, y é a rapidez, e o inteiro n se refere ao spin. ψ é a função digamma, ψ(x) = Γ (x)/γ(x). No caso do espalhamento elástico quark-quark, os fatores de impacto podem ser tomados como Φ qq = 1 e em primeira aproximação, isto é, somente os termos em n = 0, a amplitude da equação 27 toma a forma particular conhecida como aproximação de Mueller-Tang (28). Esta amplitude pode ser usada para calcular a seção de choque de jatos com separação de rapidez, mas o resultado não concorda com os dados do Tevatron. Este problema foi resolvido no artigo (1), onde mostra-se a solução numérica completa da equação de BFKL, exibindo um comportamento diferente da amplitude, e que reproduz muito bem os dados do Tevatron (29)(30). 1.5 Física de baixo x Originalmente, o interesse de se estudar a física de baixo x veio da observação no HERA (8), usando jatos com E T relativamente baixo para obter as PDFs (especialmente a distribuição de glúons), dos prótons com fração de momenta da ordem de x Para processos onde x é pequeno, mas Q 2 não é grande suficiente para tornar a aproximação de duplo logaritmo dominante válida, temos a equação de BFKL, na aproximação do logaritmo dominante (LLA) que soma os termos α n s ln n (1/x) e é escrito em termos das distribuições gluônicas não-integrada f(x, kt 2 ), pela qual a distribuição integrada de glúons normal é obtida como: xg(x, Q 2 ) = Q 2 dk 2 T k 2 T f(x, k 2 T ) (28) A equação de BFKL na aproximação LLA pode ser resolvida analiticamente ((5), (31) e (32)) assumindo α s fixo: f(x, k 2 T ) x λ λ = N cα S π 4 ln 2 (29) (30) Para N c = 3, temos um α s razoável, λ 0.5, o qual é relativamente grande, mas o valor

35 33 de λ diminui se usarmos a aproximação da próxima ordem do logaritmo dominante (NLLA), veja (33). As predições de BFKL contêm várias incertezas (31)(32), mas são consistentes com os dados. Por outro lado, as predições de DGLAP (Dokshitzer, Gribov, Lipatov, Altarelli e Parisi) (20) (21) (22), se ajustam muito bem aos dados para pequenos valores de x. Outros observáveis, como a produção de jatos frontais e de píons, grande lacuna de rapidez entre dois jatos de maior-p T, e a produção difrativa de mésons vetoriais, foram sugeridos como forma de investigação da dinâmica de BFKL. O aumento de F 2 está relacionado com o aumento da densidade de glúons para pequenos valores de x. Com o contexto das equações DGLAP o crescimento das distribuições partônicas pode ser interpretado de acordo com a evolução de Q 2. No contexto das equações de BFKL, este crescimento é uma consequência da evolução em x. Esses formalismos são descritos brevemente nesta seção, para mais informações ver anexos Equação de evolução DGLAP A evolução em Q 2 das densidades de quarks na QCD é determinada pela equação de evolução de Dokshitzer, Gribov, Lipatov, Altarelli e Parisi (DGLAP) (20) (21) (22): ln Q q(x, 2 Q2 ) = α 1 S dy 2π x y q(y, Q2 )P qq ( ) x y (31) Esta equação de evolução considera o caso quando o glúon é absorvido por um quark originado de um quark inicial com fração de momentum y > x. Para incluir a possibilidade deste quark ter sua origem em um glúon, a evolução para quarks torna-se: q i (x, Q 2 ) = α S(Q 2 ) 1 [ ( ) ( )] dy x x q ln Q 2 i (y, Q 2 )P qq + g(y, Q 2 )P qg 2π x y y y (32) onde a função de desdobramento P qg pode ser representada pela figura 12 (esquerda). A contribuição adicional das equações DGLAP, inclui a expressão correspondente à distribuição de glúons, g(x, Q 2 ) = α S(Q 2 [ ) 1 dy ( ) ( ) ] x x q ln Q 2 i (y, Q 2 )P gq + g(y, Q 2 )P gg (33) 2π x y y y i onde a função de desdobramento P gg pode ser representada pela figura 12 (direita). A função de desdobramento P gq descreve a probabilidade de um quark inicial emitir

36 34 Figura 12 - Função de desdobramento Legenda: Representação esquematica da função de desdobramento P qg (esquerda) e P gg (direita) Fonte: A autora, um glúon, enquanto que P gg descreve a probabilidade de um glúon no estado inicial emitir um glúon. A probabilidade de se achar um quark, a pequenos valores de x, é maior do que a probalidade de se encontrar um quark com altos valores de x. Isto se deve ao fato de que os quarks de alto momentum, perdem momentum por radiação de glúons. 1.6 Espalhamento hádron-hádron no LHC No LHC irão colidir dois pacotes de prótons com energia de centro de massa de s = 14T ev. A maioria das interações envolverá espalhamentos elásticos de baixo Q 2. Entretanto, nestas interações o momentum transferido não é alto, e não são o foco para o procura de física nova. Os processos de nosso interesse são os processos com alto Q 2. Nesta região as interações podem ser descritas pela QCD perturbativa. Com um momentum transferido suficientemente alto, as interações podem ser descritas como espalhamentos elásticos entre os contituintes dos prótons. De fato, o párton interagente a (b) carrega uma fração de momentum suficientemente alta, explorando a estrututra interna do próton h b (h a ). Nos experimentos de DIS, com elétrons explorando a estrutura dos prótons, mostrou-se que o momentum total do hádron é dividido em frações x i entre os constituintes i, seguindo as funções de densidade partônica f i (x i ). Essas funções dão a probabilidade f i (x)dx de que párton i perca uma fração dx do seu momentum no limite infinitesimal de [x, x + dx]. Através do modelo quark-párton (34), a seção de choque de pp em duas partículas c e d é dada por: dσ h 1h 2 cd = 1 dx 1 dx 2 0 a,b f a/h1 (x 1, µ 2 F )f b/h2 (x 2, µ 2 F ) dˆσ ab cd (Q 2, µ F, µ R ) (34)

37 35 Figura 13 - Diagrama da simulação de eventos Legenda: Diagrama esquemático dos estágios envolvidos na simulação dos eventos de partículas físicas. Fonte: FIELD, 1989, p.39 (Adaptada pela autora). onde os índices a, b se referem aos pártons (q, q, g) dos hádrons h 1 e h 2. No processo duro, os momenta dos pártons são dados por p µ a = x 1 p µ h 1 e p µ b = x 2p µ h 2. Os parâmetros µ R e µ F são escalas não-físicas, introduzidas pelas escalas de renormalização e fatorização. Estas escalas vem dos esquemas baseadas na QCD perturbativa, que introduzem a constante de acoplamento e as massas dos quarks, e que devem ser usadas consistentemente com as PDFs, assim como os elementos de matriz do processo duro ab cd, caso contrário, as divergências ultavioletas e colineares não serão canceladas. No caso da secão de choque dos jatos, é comum usar Q 2 = µ 2 R = µ2 F, que é definida pelo momentum transverso ao quadrado p2 T do jato Produção de jatos A produção de jatos nas colisões hadrônicas pode ser dividida em cinco processos: a configuração partônica inicial (função de distribuição partônica não-perturbativa), radiação partônica inicial (chuveiro partônico, calculado perturbativamente), interação dura párton-párton (pqcd), radiação partônica do estado final, e hadronização ou fragmentação (não-perturbativa). Tais processos estão esquematizados na figura 13. Este esquema de fatorização nos permite calcular separadamente cada processo no regime o qual é aplicável. Nos eventos com jatos, os pártons tem um grande momentum transverso e a hadronização resulta em um jato colimado de partículas, as quais têm propriedades correlacionadas com a dinâmica do párton. Daí, os eventos de jatos serem extremamente úteis para a compreensão da dinâmica das interações partônicas. Existem várias definições para os jatos, logo vários algoritmos de reconstrução. Os jatos

38 36 são objetos que podem ser medidos de forma fácil. Na QCD perturbativa, surge uma divergência quando duas partículas sem massa são colineares; esta é cancelada na seção de choque pela contribuição virtual de um processo equivalente a dois pártons, por um párton que carrega a soma dos momenta do par. Para este cancelamento acontecer, um par de partículas colimadas devem ser tratadas da mesma forma que uma partícula com a combinação dos momenta. Uma condição experimetal equivalente é que o algoritmo não deve depender da resolução angular do detector, pois quando duas partículas colimadas atingem a mesma célula do calorímetro, elas não são bem diferenciadas. A fim de evitar as divergências das emissões de partículas com baixíssimas energias, o cálculo não deve ser sensível à adição de partículas moles (infrared safe). Experimentalmente, o resultado não deve depender do ruído do calorímetro, o qual adiciona partículas de baixa energia aos eventos verdadeiros. Os algoritmos de reconstrução de jatos do CMS levam em consideração essas divergências. Para maiores detalhes dos algoritmos de jatos veja a referência (35). A escala dura do p T do jato permite o cálculo perturbativo do espalhamento pártonpárton. Os cálculos em ordem dominante (LO) foram implementados nos modelos dos Monte Carlo e as correções na próxima ordem dominante (NLO) também foram calculadas. As PDFs dos prótons são bem definidas e garantem uma boa descrição dos jatos. Os geradores de Monte Carlo evoluem os pártons espalhados em hádrons do estado final através do chuveiro hadrônico e hadronização. O chuveiro partônico simula efeitos perturbativos em altas ordens, através da iteração de radiação de quarks e glúons, até uma escala, tipicamente 1GeV. No final, a fase nãoperturbativa é modelada pelo modelo fenomenológico de hadronização, convertendo pártons em hádrons Lacuna de rapidez entre jatos O espalhamento em colisões hadrônicas de altas energias é dominado pelos processos de QCD envolvendo quarks e glúons. Estas partículas carregam cor e irradiam carga de cor quando aceleradas. É possível que os pártons espalhados conectados pela carga de cor sejam separados por uma distância na rapidez, e a única forma da lacuna de rapidez sobreviver entre eles é devido às flutuações na multiplicidade das partículas. Este comportamento está esquematizado na figura à esquerda da figura 15 e pode ser descrito como: dn d y = P N (35) onde N é o número de eventos com lacuna de rapidez e P a probabilidade de que uma partícula

39 37 Figura 14 - Evolução do chuveiro partônico Legenda: Esquema da evolução do chuveiro partônico. Para baixos valores de tempo e de distância, as massas invariantes dos pártons são comparáveis à escala da interação dura. Com o tempo aumentando, a escala de energia Q dos pártons irradiados se aproxima de Λ QCD (parâmetro de escala da QCD) e a hadronização não-perturbativa ocorre (confinamento). Fonte: FIELD, 1989, p.39 (Adaptada pela autora).

40 38 Figura 15 - Espalhamento profundamente inelástico difrativo Legenda: (a) DIS difrativo, neste processo o momentum transferido através da lacuna de rapidez é pequeno. (b) Produção de dijatos com a troca de um singleto de cor formando uma lacuna de rapidez entre os jatos, e o momentum transferido através da lacuna de rapidez é grande. Fonte: A autora, seja radiada no intervalo de rapidez d y. A probabilidade pode ser considerada constante para eventos descritos pela QCD. Resolvendo N, temos: P y N = N 0 e (36) onde temos que o número de eventos com lacuna de rapidez diminui exponencialmente quando o tamanho da lacuna de rapidez aumenta. Um propagador de singleto de cor, que não tem carga de cor, não irradia carga de cor na lacuna de rapidez. Os hádrons espalhados em cada lado da lacuna não são conectados por cor. Ao invés disso, os remanescentes próximos à lacuna são conectados através da cor. A ausência da radiação do propagador significa que o número de eventos com lacuna de rapidez devido à troca de um singleto de cor é constante em função da rapidez. A troca de um singleto de cor na difração dura é mostrada na figura 15 (A). Nesta situação, o propagador do singleto de cor pode ser um Pomeron ou um bóson de gauge eletrofraco. Entretanto, a contribuição da troca eletrofraca é muito pequena e não contribui significantemente para a seção de choque.

41 Fração de eventos com lacuna de rapidez A fração de lacuna de rapidez, f, nos fornece um método conveniente para medir a taxa de troca de um singleto de cor na difração dura. A fração de lacuna é definida como f σ lacuna σ (37) A seção de choque inclusiva, σ, envolve todos os eventos contendo dois hádrons no estado final com alta energia transversa, separados na rapidez, independentemente da quantidade de energia transversa das partícula no intervalo. Já a seção de choque, σ lacuna, somente envolve os eventos contendo uma lacuna de rapidez entre os dois hádrons do estado final, e com uma pequena quantidade de energia transversa no intervalo de rapidez entre eles. A seção de choque σ lacuna inclui tanto a contribuição das configurações não-singleto de cor quanto as de singletos de cor: σ lacuna = σ singleto lacuna + σnaosingleto lacuna (38) onde a contribuição da troca de um não-singleto de cor deve-se à flutuação de partículas, e a contribuição da troca de um singleto de cor deve-se ao propagador do Pomeron. A fração σ lacuna /σ é uma quantidade mensurável ideal tanto do ponto de vista teórico quanto do experimental. Muitas incertezas na medida da seção de choque e as dependências da cinemática da hadronização desaparecem ao se calcular essa fração. A contribuição do estado de não-singleto na fração de lacuna, diminui exponencialmente com o aumento da separação entre os dois pártons espalhados, mas a contribuição do singleto de cor é esperada ser constante em função da separação da rapidez. A combinação dessas contribuições é uma convolução de ambos comportamentos. No HERA, a fração de lacuna de rapidez foi medida tanto no ZEUS(8) quanto no H1(18) a W γp 200 GeV. A fração de lacuna medida no ZEUS e no H1 em função da separação entre os jatos, η, é mostrada na figura 16. Um excesso de eventos de aproximadamente 7% foi encontrado acima do esperado do processo γp padrão a grandes valores de η Probabilidade de sobrevivência da lacuna de rapidez A medida de lacuna de rapidez é complicada devido à possibilidade da sua destruição por outros processos. Um exemplo é a radiação de glúons moles durante a hadronização que pode preencher a lacuna. Uma lacuna pode ser destruída pelos eventos adjacentes (underlying events,

42 40 Figura 16 - Função de lacuna de rapidez Legenda: A função de lacuna de rapidez, f, em função de η medida pelo (a) ZEUS e (b) H1. Fonte: AID, 1996, p.6. UE), que são qualquer interação adicional no espalhamento duro. Em particular, nas interações partônicas múltiplas (MPI), o espalhamento dos pártons do próton e do fóton remanescente, pode destruir a lacuna de rapidez uma vez que esses espalhamento são mediados pela cor. Esses efeitos são não-perturbativos, e embora seja muito difícil modelar esses efeitos, pode ser levado em conta através da probabilidade de sobrevivência da lacuna de rapidez(36)(37), S. A lacuna de rapidez mensurável, f( η), pode ser relacionada com a fração de lacuna produzida a nível partônico, ˆf( η), por ˆf( η) = Sf( η) (39) É possivel estimar S comparando-se eventos simulados a nível hadrônico e partônico. Em baixa ordem, a troca de um singleto de cor na QCD é devido ao Pomeron composto por dois glúons. Entretanto, foi mostrado os cálculos em NLO (38) que a radiação de glúons moles é suprimida na região central de rapidez. De fato, o padrão de radiação de um glúon é o mesmo que para um fóton trocado.

43 41 2 CMS O Compact Muon Solenoid (CMS) (39) é um dos experimentos do LHC (Large Hadron Collider) (40) no CERN. O CMS é um detector de amplo espectro (do ponto de vista de física produzida nas colisões próton-próton), projetado para registrar dados a alta luminosidade no LHC, mas também apto para trabalhar a baixas luminosidades, como esperado para os primeiros anos de operação do acelerador. O detector foi projetado para estudar vários aspectos das colisões próton-proóton (pp) com energia de centro-de-massa de s = 14T ev e das colisões de íons pesados (P b P b) com energia de centro-de-massa de s = 5.5T ev, com uma luminosidade esperada do LHC de cm 2 s 1 e de cm 2 s 1, respectivamente. O objetivo principal do LHC é o de explicar a natureza da quebra de simetria da interação eletrofraca através do mecanismo de Higgs. O estudo experimental do mecanismo do Higgs também pode testar a consistência do Modelo Padrão em escalas de energia acima de cerca de 1 TeV (41). As várias alternativas ao Modelo Padrão recorrem a novas simetrias, novas forças ou partículas. Além disso, há grandes esperanças para descobertas que poderiam pavimentar o caminho para uma teoria unificada. Estas descobertas poderiam assumir a forma de supersimetria ou dimensões extras, este último muitas vezes exigindo a alteração da gravidade na escala TeV. Portanto, há muitas razões convincentes para investigar a escala de energia TeV. O LHC proporcionará também feixes de íons pesados com energia 30 vezes maior que a dos aceleradores anteriores, permitindo-nos alargar o estudo da matéria na QCD em condições extremas de temperatura, densidade e fração de momentum do párton (baixo x de Bjorken). O CMS foi projetado de forma a alcançar os objetivos do programa de física do LHC, para o qual é crucial uma boa identificação dos observáveis. Deve-se ter uma boa resolução do momentum de partículas carregadas, em uma grande faixa de valores, e a possibilidade de determinar a carga de partículas com alto momentum transverso. Para a reconstrução dos vértices (interações), é necessário uma alta granularidade do sistema de trajetórias. Além disso, para se inferir a presença de partículas que não interagem com o experimento, faz-se necessária uma grande cobertura geométrica para se reconstruir a energia transversa dessas partículas através do balanço de energia. Nas seções seguintes discutimos os diferentes sub-detectores no experimento CMS. O detector CMS cobre a região de pseudo-rapidez de 2.5 < η < 2.5 na região de cobertura do sistema de trajetórias e, de 5 < η < 5, na região do sistema de calorímetro. Além disso, o CMS inclui vários calorímetros na região frontal, que serão descritos nas seções seguintes. É importante ressaltar que o detector CMS é um dos maiores instrumentos de pesquisa já construídos. Contendo cerca de 76.5 milhões de canais de leitura, o detector foi desenvolvido, construído e é atualmente operado pela colaboração de mais de 3500 cientistas de 38 países. As primeiras tomadas de dados no CMS começaram em Novembro de Desde

44 42 então e até o final de Junho de 2011, o CMS coletou cerca de 1 fb 1 de dados. Deve-se notar que a qualidade dos dados coletados é muito boa: mais de 99% dos canais de leitura do CMS estão em operação e a eficiência é acima de 90%. Com energia de centro-de-massa de 14 T ev, a seção de choque total próton-próton é de 100mb. Portanto, operando com a luminosidade esperada do LHC, o experimento CMS irá observar cerca de 10 9 eventos por segundo. Esta altísima taxa de eventos é um fator determinante no projeto do CMS. Devido ao pequeno intervalo de tempo de 25 ns entre o cruzamento dos feixes, exige-se um processo de seleção online (triggers), capaz de reduzir a taxa de eventos para cerca de 100 eventos/s, os quais são amazenados e usados nas análises online e offline. Para a luminosidade esperada estima-se cerca de 20 colisões inelásticas em cada cruzamento dos feixes. Para distinguir os sinais dos detectores vindos da mesma interação faz-se necessário uma alta granularidade e uma excelente resolução temporal. Uma última condição esperada do CMS, é uma boa performance dos subsistemas constituintes do CMS e da sua eletrônica com a alta radiação. Em particular, os subdetectores próximos ao tubo do feixe irão receber um maior nível de radiação. Uma visão geral do detector CMS e seus componentes é dada na figura 17. O detector é projetado para ter uma excelente resolução de energia e momentum e grande cobertura angular, permitindo a observação do bosón de Higgs, por exemplo, em um faixa de massa de 85 a 700 GeV. Com objetivo de se conseguir um detector compacto, um campo magnético (39) intenso é necessário para medir o momentum das partículas de altíssima energia. Para que a curvatura seja suficiente para se alcançar a precisão necessária, um solenóide super-condutor foi desenvolvido. Com esta configuração e um campo magnético da ordem de 4 Tesla, uma boa resolução é garantida para partículas com energia de até 1 TeV. O solenóide super-condutor possui 12.5m de comprimento e 6.3m de diâmetro e 5.9m de raio interno. O magneto pesa 220 toneladas e produz um campo magnético de 4 T com uma corrente nominal de cerca de 19kA, correspondendo a uma energia armazenada de 2.6kJ. O comprimento total do detector CMS é 21.6 m, com diâmetro de 14.6 m e peso total de toneladas. O sistema de coordenadas para o CMS tem como origem o ponto de colisão (ponto 5) nominal, com o eixo y apontando para cima e o eixo x radialmente para o centro do LHC. O eixo z aponta na direção do feixe, e sentido anti-horário, como mostra a Fig. 18. O ângulo azimutal φ é medido a partir do eixo x no plano x y, enquanto o ângulo polar θ é medido a partir do eixo z. A pseudo-rapidez é definida como sendo η = ln tan (θ/2). O momento e energia transversos, p T e E T, respectivamente, são medidos a partir das suas componentes x e y, e /E T ( energia transversa perdida - missing transverse energy) denota o desbalanço de energia neste mesmo plano transverso.

45 43 Figura 17 - CMS Legenda: O detector CMS. Fonte: CMS Collaboration, 2006, p.8.

46 44 Figura 18 - Coordenadas Legenda: Sistema de coordenadas do CMS. Fonte: DAMIÃO, 2005, p Sistema de trajetórias O sistema de trajetória do CMS foi projetado para garantir uma medida precisa e eficiente das trajetórias das partículas carregadas oriundas das colisões do LHC, assim como uma reconstrução precisa dos vértices secundários. Ele envolve o ponto de interação, e tem 5.8 m de comprimento e 2.5 m de diâmetro. O solenóide do CMS cria um campo magnético homogêneo de 4T em todo volume do sistema. No LHC, com a luminosidade esperada de cm 2 s 1, espera-se cerca de 1000 partículas vindas de mais de 20 superposições de interações (Pile-up) próton-próton atravessando o sistema de trajetórias para cada cruzamento do feixe, isto é, a cada 25ns. Perto do vértice de interação (r 10 cm), onde o fluxo de partículas é extremamente alto, são instalados detectores de pixel com dimensões de µm 2 por pixel. São três camadas de cilindros de raios 4.4, 7.7 e 10.2 cm de módulos de detectores de pixel envolvendo o ponto de interação. Elas são complementadas por dois discos de módulos de pixel em cada lado. A Fig. 19 mostra um esquema do sistema de trajetórias do CMS. O sistema de trajetórias tem um comprimento total da ordem de 540 cm, indo até aproximadamente 110 cm na direção radial. Cobre a região em η < 2.4 e consiste de 66 milhões de pixels e 9.6 milhões de tiras de silício. A região radial entre 20cm e 116cm, o fluxo de partículas é menor e são utilizados detectores de microtiras de silício (Silicon MicroStrip Detectors), com dimensões de 10 cm 80 µm. Na parte mais externa (r > 55 cm), são utilizados ainda detectores de tiras de silício,

47 45 Figura 19 - Sistema de trajetórias Legenda: Esquema do sistema de trajetórias do CMS. Cada linha representa um módulo do detector. Fonte: CMS Collaboration, 1998, p. 26. mas com células de dimensões de 25 cm 180 µm. A região radial intermediária, ocupada pela tiras de silício, é composta por três diferentes sub-sistemas: TIB/TID (tracker inner barrel and disks) são compostos de quatro camadas no barril e mais 3 discos no final, que cobrem até z < 65 cm. As resoluções alcançadas são de µm no plano r φ, e 230 µm em z para TIB. O TOB (Tracker Outer Barrel), com 4 camadas que cobrem até z < 65 cm e 6 cobrindo até z < 110 cm, respectivamente. As resoluções alcançadas são de µm no plano r φ e 530 µm em z para TOB. Nas tampas, estão o TEC (Tracker End Cap), consistindo de 9 discos na região 120 < z < 280 cm, e o TID (Tracker Inner Disks), com 3 discos no espaço entre o TIB e o TEC. 2.2 Sistema de calorimetria O sistema de calorímetros do CMS é composto de duas partes: um calorímetro eletromagnético homogêneo (ECAL), com a finalidade de mediar a energia de fótons e elétrons; e um calorímetro hadrônico (HCAL), envolvendo o ECAL, usado nas medidas da energia dos hádron carregados e neutros. A energia da partícula é medida a partir da soma da energia das partículas do chuveiro hadrônico e eletromagnético. O esquema do ECAL é mostrado na Figura 20. A seção do barril (EB) e das tampas (EE) contém aproximadamente cristais de

48 46 Figura 20 - Calorímetro eletromagnético (ECAL) Legenda: Seção do calorímetro eletromagnético mais o pré-chuveiro (preshower) no CMS. Fonte: LHC Experiments Committe, 1997, p.9. PbWO 4. Os cristais de PbWO 4 possuem um comprimento de radiação de X 0 = 0.89 cm e raio de Molière de R M = 2.2 cm, que são consideravelmente pequenos, possibilitando a absorção do chuveiro eletromagnético com uma quantidade de material reduzida, importante para o projeto hermético e compacto do detector e com alta granularidade; eles ainda são rápidos e resistentes à radiação. O fato de produzirem pouca luz no processo de cintilação (30 γ/mev) faz com que se tenha que utilizar foto-detectores especiais, com ganho intrínseco, e que possam operar em um campo magnético elevado. A luz emitida pelos cristais é detectada por foto-diodos. A figura 21 mostra o esquema dos módulos e dos super-módulos dos cristais do calorímetro eletromagnético. A seção do barril (EB) cobre uma região de pseudorapidez de η < Os cristais no barril tem 230mm de comprimento, apontados para a direção da região de interação, desviados do eixo de 3 o em ambos θ e φ, de modo a minimizar a perda de energia de partículas atravessando o EB exatamente entre dois cristais. Os cristais cobrem rad (ou 1 o ) em ambos θ e φ, que corresponde a uma seção transversal de mm 2. As tampas do ECAL (EE) cobrem uma região de pseudo-rapidez de < η < 3.0 e estão localizados a uma distância de 314 cm do ponto de interação. Cada cristal possui uma seção transversal de mm 2 e comprimento de 220 mm. O comprimento dos cristais de barril e das tampas correspondem a 24.7 X 0. A resolução de energia no ECAL medida nos testes com feixe podem ser parametrizadas como

49 47 Figura 21 - Módulos de cristais do ECAL Legenda: Esquema do calorímetro eletromagnético do CMS, esquematizando o conjunto de módulos de cristais, super-módulos e as tampas, com o preshower. Fonte: LHC Experiments Committe, 1997, p.12.

50 48 Figura 22 - Resolução de energia do ECAL σ(e)/e (%) 1.4 3x3 S=3.63 +/ 0.1% N=124 MeV 1.2 C=0.26 +/ 0.01% 3x3 Hodo Cuts S= / 0.3% 1 N=124 MeV C= / 0.04% E (GeV) Legenda: Resolução da energia para um super-módulo do ECAL. As duas séries de pontos se referem a duas condições de trigger em grades de 3 3 cristais. Fonte: LHC Experiments Committe, 1997, p.25. ( ) 2 σ(e) = E ( S E ) 2 + ( ) 2 N + C 2 (40) E onde S é o termo estocástico, N o ruído e C o termo constante. Quando a energia E é dada em GeV, e S = 2.8%, N = 0.12 e C = 0.30%, temos uma resolução de energia correspondente a 0.5% para partículas de 100 GeV. A Fig. 22 mostra a resolução da energia para um super-módulo do ECAL. Entre o sistema de trajetórias e o EE está localizado o detector Preshower (ES). O principal objetivo do ES é a identifição de π 0 que decaem em dois fótons nas tampas, na região de < η < 2.6. Também, irá auxiliar na identificação de elétrons e fótons com uma granularidade maior. O ES é constituído de um radiador, que inicia o chuveiro eletromagnnético dos fótons e elétrons, e de sensores de fitas de silício, que medem a energia depositada. Cada sensor de silício mede mm 2, com uma área ativa de mm 2 dividida em 32 fitas. O calorímetro hadrônico, ou HCAL, em conjunto com o ECAL, forma um sistema de calorímetros completo para medida de jatos e energia transversa perdida (MET) com um boa precisão.

51 49 Figura 23 - Visão longitudinal do HCAL Legenda: Visão longitudinal do detector CMS, mostrando as localizações das seções do HCAL, HB, HE, HO e HF. Fonte: LHC Experiments Committe, 1997, p.123. O HCAL envolve o ECAL e em sua maior parte está localizado dentro do solenóide super-condutor como mostra a figura 23. A região do barril (HB) está localizada entre o ECAL e o solenóide e cobre a região η < 1.3. Devido ao espaço restrito, pode acontecer de o chuveiro hadrônico não estar completamente contido no HB. Portanto, um calorímetro hadrônico (HO) foi colocado na região fora do solenóide para completar a cobertura do HB. As tampas do HCAL (HE) cobrem a região 1.3 < η < 3.0, e são complementados na região de 3.0 < η < 5.0 por um calorímetro frontal (HF), a secão transversal do HF é mostrada na figura 26. O HCAL é composto de fatias de material absorvedor, produzindo o chuveiro hadrônico, alternadas com fatias de material ativo, medindo a energia das partículas produzidas no chuveiro. Como material absorvedor usa-se placas de bronze, enquanto que como meio ativo, cerca de 7000 placas cintiladoras. A figura 25 mostra a segmentação do HCAL em torres. A luz do cintilador é detectada pelos fotodiodos híbridos (HPDs), onde cada HPD coleta sinal de 18 diferentes canais do HCAL. O subdetector HF é um detector de luz Čerenkov feito de fibras de quartzo dentro de um longo absorvedor de aço de 165cm de comprimento. No HF existem dois tipos de fibras: as fibras longas, que cobrem o comprimentro do subdetector, e as fibras curtas, que iniciam em 2cm a partir do início do detector. A diferença entre os sinais ob-

52 50 Figura 24 - RBX Legenda: Diagrama de uma RBX. Fonte: ABDULLIN, 2008, p servados nas fibras longas e curtas é usada para distinguir sinais de chuveiros eletromagnéticos e hadrônicos. Tubos fotomultiplicadores (PMTs) são conectadas às fibras por guia de luz e convertem a luz detectada em sinal elétrico. Os sinais de 4 HPDs ou 72 PMTs são digitalizados como um canal simples numa caixa de leitura (RBX), como mostra a figura 24. A seção do HCAL no barril (HB) cobre a região de pseudorapidez até η = 1.4, e consiste em 2304 torres com segmentação de η φ = (isto é, φ = 5 o ). As tampas cobrem a região 1.3 < η < 3.0. Para as 5 primeiras torres, a segmentação em η é de 0.087, com 5 o de segmentação em φ. Para as seguintes torres, a segmentação em φ é de 10 o, enquanto que η varia entre 0.09 e 0.35 para valores maiores de η. O número total de torres é de A parte do HO, cobre a região de pseudorapidez até 1.26, e é feito de ferro (absorvedor), complementado com cintiladores, seguindo a segmentação do barril do sistema de múons. A combinação da resolução de energia hadrônica do barril do HCAL e do ECAL é parametrizada como: ( ) 2 σ(e) = E ( S E ) 2 + C 2 (41) onde S é o termo estocástico e C o termo constante. Quando a energia E é dada em GeV, os valores de S e C medidos são S = ± e C = ± A resolução de energia das tampas é igual a do barril.

53 51 Figura 25 - Calorímetro hadrônico (HCAL) Legenda: Visão longitudinal de 1/4 do HCAL. Segmentação das torres do HCAL in plano r, z Fonte: LHC Experiments Committe, 1997, p Sistema de múons A detecção de múons é uma poderosa ferramenta para identificar assinaturas de processos de interesse, suprimindo a alta taxa de eventos de fundo esperados pela alta luminosidade do LHC. Por exemplo, o decaimento previsto pelo Modelo Padrão do bóson de Higgs em ZZ ou ZZ, que decaem em quatro léptons, que podem ser quatro múons. O sistema de muons tem três funções: identificação de múons, medida do momentum e trigger. Devido ao formato do solenóide, o sistema de múons possui naturalmente uma seção do barril cilíndrica e regiões planas nas tampas. A figura 27 mostra a visão transversal de um quarto do detector, identificando os principais sub-sistemas do sistema de múons. Na região do barril ( η < 1.2) estão instaladas 250 câmaras de tubos de arrasto (drift tubes), que são dividas em 12 setores, cada setor divido em 12 câmaras; MB1, MB2, MB3, e MB4. No retorno do solenóide suas distâncias do feixe são de 4m, 4.9m, 5.9m e 7m, respectivamente. Cada setor cobre 30 o no ângulo azimutal. No MB4, há 14 câmaras por disco, contendo apenas duas super-câmaras cada uma, que medem no plano r φ. Cada câmara ainda possui antes e/ou depois detectores RPC; um múon pode cruzar até 6 RPC s e 4 camadas de câmaras DT, produzindo 44 pontos no sistema de múons. A resolução por ponto é da ordem de 200 µm, com uma precisão em φ melhor que 100 µm na posição e 1mrad no ângulo. Na região das tampas, são instaladas 468 CSC (Cathode Strip Chambers), arranjadas em 8 sub-camâras: 72 ME1/1, 72 ME1/2, 72 ME1/3, 36 ME2/1, 72 ME2/2, 36 ME3/1, 72 ME3/2 e 36 ME4/1 (ver figura 28). Cada sub-camâra tem uma forma trapezoidal, cobrindo tanto 10 o ou 20 o em φ; todas as câmaras, exceto a ME1/3, se superpõem garantindo uma cobertura contínua em φ. Cada sub-camadas é prenchida com gás, com tiras de catodo no plano radial e um plano

54 52 Figura 26 - Calorímetro frontal Legenda: Visão transversal do calorímetro HF mostra que a área sensível se estende de 125 a 1300m na direção radial. O absorvedor na direção do feixe mede 1650mm. O feixe de fibras (área sombreada) são guiados da parte de trás do calorímetro até as guias de luz que penetram na base de blindagem de aço-chumbo-polietileno. A luz é detectada por PMTs alojados nas caixas de leitura. Para cada torre são instaladas fontes radioativas em tubos de ao inoxidável (linhas vermelhas) e são acessíveis de fora do detector como fonte de calibração. O ponto de interaço fica a uma distância de 11, 2 metros. Todas as dimensões estão em mm. Fonte: CMS Collaboration, 2008, p. 296.

55 53 Figura 27 - Múons R (c m) MB 4 DT eta = RPC 1.2 MB MB 2 MB ME 1 ME 2 ME 3 CSC Z (c m) ME 4 Legenda: Visão transversal de um quarto do sistema de múons do CMS. Fonte: CMS Collaboration, 2008, p. 31.

56 54 de fios de anodo perpendicular às tiras. Um múon que passa, ioniza o gás em cada plano gerando um efeito avalanche, produzindo carga nos fios de anodo e no grupo correspondente de tiras de catodo. Cada CSC mede até 6 coordenadas espaciais e a resolução espacial é da ordem de 200 µm, enquanto que a resolução em φ é da ordem de 10mrad. Um múon na região de pseudorapidez de 1.2 < η < 2.4 cruza 3 ou 4 CSCs. Na região da superposição entre barril-tampa, na região 0.9 < η < 1.2, os múons são detectados em ambos DT do barril e CSCs das tampas. Na região de η < 2.1 os múons também são detectados pelas RPCs. 2.4 Trigger O LHC irá colidir prótons e íons pesados em altas taxas de interação. Para os prótons, o intervalos de cada cruzamento entre os feixes é de 25ns, correspondendo a uma frequência de cruzamento de 40M Hz. Dependendo da luminosidade, várias colisões ocorrerão em cada cruzamento dos pacotes do feixe (aproximadamente 20 colisões pp simultâneas para a luminosidade nominal esperada de cm 2 s 1 ). Como é impossível armazenar e processar essa quantidade de dados associados com o grande número de eventos, uma grande taxa de redução deve ser atingida. Esta tarefa é realizada pelo sistema de trigger, no qual inicia o processo de seleção de eventos de física. A taxa é reduzida em duas fases chamadas de trigger de nível-1, L1, (42) e trigger de alto nível, HLT (43), respectivamente. O trigger de nível-1 consiste de um projeto customizado de eletrônica altamente programável, assim como o HLT é um sistema de software, implementado como filtro em um conjunto de cerca de um milhão de processadores. O fator de redução da taxa alcançada é de pelo menos 10 6 para a combinação do trigger L1 e HLT. O limite da saída esperada do trigger L1 é de 100kHz, que corresponde, na prática, a uma saída máxima com taxa de 30kHz, assumindo um fator de segurança de aproximandamente 3. O trigger L1 usa os dados segmentados do calorímetro e do sistema de múons, assegurando a alta resolução dos dados armazenados na memória da eletrônica front-end. O HLT acessa os dados completos da saída e pode, então, desempenhar cálculos complexos similares aos realizados nos software de análise offline para eventos de interesse. Como algoritmos do HLT envolvem tempo e uma certa experiência, não serão descritos aqui. Mais detalhes podem ser encontrados na referência (43). O trigger L1 possui componentes locais, regionais e globais. Os triggers locais, também chamados de Trigger Primitive Generators (TPG), são baseados nos depósitos de energia nos triggers das torres do calorímetro e nos segmentos dos traços ou padrões dos hits nas câmaras de múon, respectivamente. O trigger regional combina suas informações e usa padrões de lógica para determinar a ordem e os objetos do trigger assim como os candidatos de elétrons e múons em uma região espacial limitada. A ordenação é determinada em função da energia ou momentum e qualidade, que reflete o nível de confiança atribuída aos parâmetros de medidas do

57 55 Figura 28 - Câmaras de tubos de arrasto Legenda: Esquema das câmara de tubos de arrasto (DT) no barril do sistema de múons em 5 discos. As câmaras em cada disco são idênticas, exceto os discos 1 e +1 devido à presença da saída criogênica para os magnetos, diminuindo assim dois setores de tais câmaras. Note que os setores 4 (superior) e 10 (inferior) das câmaras MB4 são cortados ao meio para simplificar a montagem mecânica e do esquema global das câmaras. Fonte: CMS Collaboration, 1997, p.146.

58 56 Figura 29 - Sistema de trigger L1 Legenda: Arquitetura do trigger L1. Fonte: CITTOLIN, 2002, p.261. L1, baseados no conhecimento detalhado do detector e da eletrônica do trigger e na quantidade de informações disponíveis. Os triggers globais do calorímetro e dos múons determinam os objetos do calorímetro e dos múons através de todo o experimento e os transfere para o trigger global, a entidade máxima da hierarquia do trigger de nível-1, sendo o último, responsável pela decisão de rejeitar ou aceitar um evento, para então ser computado pelo HLT (44). A decisão é baseada em algoritmos e na leitura dos sub-detectores e no DAQ (Data Acquisition Quality), determinada pelo sistema de controle do trigger (TCS). A decisão de aceite do trigger de nível- 1 comunica aos sub-detectores através do timming, sistema de controle e trigger (TTC). A arquitetura do trigger L1 é mostrada na figura 29. O trigger L1 funciona a cada cruzamento de feixe. O período permitido do trigger L1, entre um dado cruzamento de feixes e a distribuição da decisão do trigger para a eletrônica de front-end, é de 3.2µs. O processamento deve ser então, canalizado de modo a permitir uma operação com um pequeno intervalo de tempo. A eletrônica do L1 é localizada parcialmente nos detectores e parcialmente na sala de controle no túnel do LHC, localizada a uma distância de aproximadamente 90m da caverna do experimento.

59 57 Figura 30 - BPTX Legenda: Esquema das telhas de BSC na frente do HF (na face do ponto de interação), e as telhas do BSC1 instaladas no face frontal do HF. Fonte: BELL, 2008, p Sistemas de Monitoramento Os componentes do detector CMS usados nesta análise são o sistema de calorimetria, o sistema de trajetórias e o Beam Scintillation Counter (BSC). Dois elementos de monitoramento do CMS, os contadores do feixe (BSC, Beam Scintillator Counters) (45) (46) e o Beam Pick-up Timing (BPTX) (45) (47), foram usados como triggers da leitura da eletrônica do detector. Os BSC são dispositivos de monitoramento do feixe, compostos de cintiladores plásticos, montados na frente dos calorímetros hadrônicos frontais no CMS. Existem 16 canais BSC1 (+z e z) com 8 canais formando seção de anel em torno do tubo do feixe (com raio interno de 240mm e raio externo de 450mm) e mais 8 canais mais afastados, como mostra a figura 30, com raio de mm. Além dos 32 canais BSC1, 4 canais BSC são localizados atrás dos calorímetros hadrônicos frontais, com o objetivo de medir o atraso das partículas com menos ambiguidade. Os dois BSCs estão localizados a uma distância nominal do ±10.86m do ponto de interação e são sensíveis no intervalo de η de 3.23 a Cada BSC é um conjunto de 16 cintiladores. O BSC possui uma resolução no tempo de 3ns e uma eficiência de detecção de mínima ionização de 96.3% e foi desenvolvido para garantir a coincidência das colisões nos BSCs + e. Para monitoração da posição do feixe no tubo do feixe, existem 1078 monitores de posição do feixe (BPMs) instalados em torno do LHC. Estas estações BPM são constituídas de quatro módulos eletrostáticos, com eletrodos, instalados simetricamente ao redor do tubo (veja figura 31). Quando um pacote de prótons passa no tubo do feixe, isto provoca uma corrente

60 58 Figura 31 - BPM no IP8 Legenda: Uma das duas estações BPM no IP8. Fonte: AUMEYR, 2008, p.60. de elétrons na superfície do tubo, e esta corrente irá dar origem a um sinal na superfície do módulo. Os dois BPMs mais próximos do ponto de interação de cada experimento do LHC, são reservados para medidas do tempo e são chamados de Beam Pick-up Timing (BPTX) (45)(47) Os dois BPTX estão localizados em torno do tubo do feixe, a uma distância de 175m do ponto de interação em cada lado e foram desenvolvidos para garantir uma informação precisa da estrutura do feixe e o tempo do feixe incidente, com uma resolução de tempo de mais de 0.2ns.

61 59 3 DINÂMINCA DE BFKL NA PRODUÇÃO DE JATOS DE ALTO P T 3.1 Introdução Neste capítulo apresentamos os resultados do estudo de eventos de dijatos com alto p T, com uma lacuna de rapidez entre os dois jatos de maior momentum transverso, nas colisões próton-próton no CMS, com energia de centro de massa de s = 7T ev. A lacuna de rapidez é definida usando-se a multiplicidade e energia transversa no intervalo de rapidez entre os dois jatos de maior p T. A importância dos jatos nas colisões hadrônicas se consolidou desde a concepção do modelo quark-párton, segundo o qual os jatos são produzidos pelo espalhamento entre os pártons constituintes dos hádrons incidentes. Do ponto de vista experimental, os jatos hadrônicos foram ativamente procurados no colisor CERN ISR, mas sua existência só foi comprovada no CERN SPS. Através da aplicação de um corte no momentum transverso das partículas nos eventos, reduz-se fortemente os eventos de fundo de hádrons moles (hádrons de pártons com baixo p T ) devido aos eventos adjacentes (underlying events), isto é, devido ao espalhamento mole entre os pártons espectadores, restando principalmente jatos de alto p T. Vamos estudar a produção de dijatos de alto p T no espalhamento pp, via troca de um pomeron, no limite de altas energias. Na linguagem da teoria de BFKL, o espalhamento pártonpárton ocorre via troca de uma escada de glúons, onde estes pártons são emitidos dos hádrons com uma determinada fração de momentum destes, de acordo com uma função de distribuição. A figura 32 ilustra o processo. O objeto de singleto de cor trocado no canal-t é responsável pela lacuna de rapidez é descrito pelo pomeron de BFKL, incluindo correções da próxima ordem de logartimo dominante (NLLO). A primeira observação da produção de eventos com dois jatos com lacuna de rapidez foi no Tevatron nas colisões p p. Em tais eventos, cerca de 1% dos eventos com dois jatos em lados opostos do detector apresentavam uma lacuna de rapidez com largura maior ou igual a 3 (48) (3) (49) (50), os jatos de alto E T correspondendo a um alto momentum transferido de t ET 2 jato através da separação na rapidez. Neste capítulo descrevemos o processo de seleção de eventos nos dados reais e a possibilidade de observação da produção de jatos de alto p T com uma lacuna de rapidez entre eles no CMS, dada uma luminosidade integrada efetiva para interações simples de 10pb 1. Na figura 33 temos a distribuição da luminosidade total integrada do ano de Os dados foram comparados com a simulação Monte Carlo dos eventos de dijatos de QCD, com objetivo de encontrar um excesso nos dados reais que descrevem o sinal. Foram utilizados os dados coletados no início da operação do LHC. Nesta fase, o LHC operou com baixa luminosidade instantânea, ocasionando um pequeno número de interações

62 60 Figura 32 - Troca de pomeron Legenda: Espalhamento hádron-hádron através da troca de um pomeron duro entre os pártons. Fonte: A autora, extras por cruzamento de pacotes dos feixes no LHC, ou melhor, empilhamento de eventos (pile-up). Nestas condições, as técnicas de detecção de lacunas de rapidez usando o detector CMS podem ser aplicadas. Isto é discutido na seção 3.8, além dos triggers usados. Na seção 3.3, apresentamos um estudo da performance da reconstrução de jatos e os diferentes algoritmos de jatos usados no CMS. Na seção 3.9 discutimos a observação dos eventos com lacuna de rapidez e a sua fração. 3.2 Amostras de dados reais e Monte Carlo Os dados reais usados nesta análise, foram coletados no Run2010A (20 de Março a 30 de Agosto de 2010), no intervalo de aquisição de dados de a , com luminosidade instantânea máxima alcançada de 10µb 1 s 1. Os conjuntos de dados usados estão listados na tabela 1. Para simulação Monte Carlo foram usadas amostras de QCD de alta estatística (tabela 1). Para comparação dos eventos de singleto de cor, foram usadas amostras de Monte Carlo oficiais do CMS, simuladas através do gerador de Monte Carlo HARDCOL (1). Este Monte Carlo consiste em uma modificação do Monte Carlo PYTHIA (51), que inclui o espalhamento elástico párton-párton através da troca de um singleto de cor duro, calculado pela equação de BFKL (5). O HARDCOL implementa um elemento de matriz na aproximação de LL (logaritmo dominante) para o sub-processo duro. Com o PYTHIA realizamos a simulação do chuveiro

63 61 Figura 33 - Luminosidade integrada Legenda: Luminosidade total integrada no tempo, em vermelho, entregue, e em azul, gravada pelo CMS, durante os feixes de 7T ev nas colisões no ano de Fonte: HEGEMAN, 2009.

64 62 partônico e hadronização. O Monte Carlo HARDCOL descreve com sucesso os resultados do Tevatron (48) (3) (49) (50).

65 63 Tabela 1 - Tabela de amostras de dados e Monte Carlo Nome das amostra de dados /MinimumBias/Run2010A Sep17ReReco v2/reco /JetMET T au/run2010a Sep17ReReco v2/reco /JetMET/Run2010A Sep17ReReco v2/reco Nome das amostra de Monte Carlo de HARDCOL /JetGapJet P t40 hardcol/spring10 ST ART 3X V 26 S09 E7T ev L69E30 BX156 v1/gen SIM RECO Nome das amostra de Monte Carlo de QCD /QCD P t 15to30 T unez2 7T ev pythia6/f all10 E7T ev P robdist 2010Data BX156 ST ART 38 V 12 v1/gen SIM RECO /QCD P t 30to50 T unez2 7T ev pythia6/f all10 E7T ev P robdist 2010Data BX156 ST ART 38 V 12 v1/gen SIM RECO /QCD P t 50to80 T unez2 7T ev pythia6/f all10 E7T ev P robdist 2010Data BX156 ST ART 38 V 12 v1/gen SIM RECO /QCD P t 80to120 T unez2 7T ev pythia6/f all10 E7T ev P robdist 2010Data BX156 ST ART 38 V 12 v1/gen SIM RECO /QCD P t 120to170 T unez2 7T ev pythia6/f all10 E7T ev P robdist 2010Data BX156 ST ART 38 V 12 v1/gen SIM RECO /QCD P t 170to300 T unez2 7T ev pythia6/f all10 E7T ev P robdist 2010Data BX156 ST ART 38 V 12 v1/gen SIM RECO Legenda: Conjunto de amostras de dados a 7 T ev e de Monte Carlo usadas nesta análise. Fonte: A autora, 2009.

66 64 Os eventos do sinal foram gerados para valores de momentum transverso na interação dura ˆp T > 40 GeV. A fim de se reduzir a contribuição de jatos com baixo p T foi aplicado um filtro na simulação nas amostras do sinal, com as seguintes condições: Seleciona-se eventos com pelo menos 2 jatos: Se a separação em η entre os dois jatos de maior p T for de η(j1, j2) 3.5, o evento de jato é aceito; Caso o número de jatos seja maior que 2: Exigimos que η(j1, j3) 3.5 e η(j2, j3) 3.5, se p j3 /p j1 > 0.8 e p j3 /p j2 > 0.8. A eficiência do filtro é de 8.5%. Assumimos uma probabilidade de sobrevivência do gap de 10%, como previsto em (36)(37). Os eventos de fundo, dijatos inclusivos de QCD, foram gerados com o gerador de Monte Carlo PYTHIA6, no intervalo de p T de 15 até 300 GeV. A figura 34 mostra a distribuição do momentum transverso dos dois jatos dominantes gerados, isto é, de maior p T. A parametrização usada para as PDFs dos prótons nas amostras de HARDCOL foi a CTEQ61 (52). Já nas amostras de PYTHIA, usamos o tune 2 Z2 3, que implementa os fenômenos de ordenamento do chuveiro partônico e de rearranjo de cores, além das PDFs dos prótons. Também foram simuladas múltiplas interações (MI) de acordo com as definições padrão de eventos adjacentes (underlying events) do CMS. As amostras de Monte Carlo usadas nessa análise foram processadas através da simulação do detector CMS, emulação de triggers e pacotes de reconstrução. Na seleção de eventos difrativos no CMS a alta luminosidade, o empilhamento de eventos será uma grande fonte de fundo indesejável. As amostras de Monte Carlo foram simuladas com o efeito do empilhamento (53) (pile-up). Na figura 35 temos a distribuição de eventos de empilhamento nas amostras de Monte Carlo. Devido a alta luminosidade do LHC, os eventos de espalhamento duro irão se sobrepor com uma quantidade de eventos moles, onde o número dos eventos moles depende da luminosidade. Para uma luminosidade instantânea de cm 2 s 1, o número médio é de 7 eventos de empilhamento por cruzamento do feixe do LHC. A contribuição do empilhamento de eventos é estimada a partir da luminosidade instantânea média. As distribuições de empilhamento são do tipo Poisson. Para a simulação de 2 tune = ajustes do gerador Monte Carlo para a fragmentação, eventos adjacentes e parâmetros de minimum bias 3 Z2 = conjunto de parâmetro para dados de 7 TeV

67 65 Figura 34 - Distribuição de p T Legenda: Distribuição de p T gerado dos dois jatos de maior p T para as amostras de Monte Carlo Fonte: A autora, 2009.

68 66 Figura 35 - Distribuição de eventos de empilhamento Legenda: Distribuição de eventos de empilhamento nas amostras de Monte Carlo geradas em Simulados de acordo com a distribuição de Poisson e segundo a luminosidade instantânea estimadas para CMS. Fonte: A autora, 2009.

69 67 eventos de empilhamento, foram gerados eventos de minimum bias (MB) com o PYTHIA. Essa amostra inclui colisões não-difrativas inelásticas, assim como processos de difração simples e de dupla difração. 3.3 Performance de reconstrução dos dijatos nos eventos com lacuna de rapidez O objetivo da correção da energia dos jatos (JEC) é inferir a energia do jato no nível de partícula, considerando-se assim, a não linearidade e não uniformidade da resposta do calorímetro. A JEC associa o p T do jato reconstruído com o p T do jato de partículas correspondente. A correção é determinada através do Monte Carlo usando o método Monte Carlo truth (54) e consiste em dois passos: a correção relativa (Rel) torna a resposta do jato uniforme em η e a correção absoluta (Abs) remove a dependência em p T da resposta dos jatos. O fator da combinação entre as duas correções C(η, p T ) é multiplicado em cada componente do quadrimomentum dos jatos: P cor µ = C(η, p T ) P µ (42) C(η, p T ) = Rel(η, p T ) Abs(p T Rel(η, p T )) (43) Nesta seção apresentamos o estudo da performance dos algoritmos de jatos, a fim de testar as constantes de calibração relativa (Rel) e absoluta (Abs), determinadas a partir da simulação de eventos de produção de jatos de QCD, nos eventos de dijatos com lacuna de rapidez. Para verificar o desempenho do algoritmo de jatos, queremos saber o quão bem os jatos gerados podem ser combinados com os jatos reconstruídos. A performance dos vários tipos de reconstrução e de algoritmos são estudos nos eventos de singleto de cor (usando o Monte Carlo HARDCOL) através da comparação da resposta do p T dos jatos e da resolução em p T, assim como a resolução da posição em η e φ. Os dois jatos de maior E T de gerador Monte Carlo são correlacionados com os jatos reconstruídos mais próximos, no espaço η φ com uma distância de R < 0.25, onde R = η 2 + φ 2 (44) Os jatos da amostra de jato-lacuna-jato foram corrigidos com a JEC derivada de uma amostra de MC de jatos de QCD, seguindo o esquema de fatorização explicado acima. A figura 36 mostra a resposta relativa p reco T /p gen T para os jatos da amostra de singleto de cor, depois de aplicada a JEC. A distribuição da resposta é mostrada para o algoritmo de SisCone (tamanho do cone de 0.5) para jatos reconstruídos, no lado esquerdo da figura 36 temos os jatos

70 68 Figura 36 - Resposta dos jatos (a) (b) Legenda: Resposta dos jatos com um ajuste por uma função Gaussiana (a) Região do barril com 20 < p T < 25 GeV. (b) Região das tampas com 95 < p T < 100 GeV. Fonte: A autora, na região do barril com 20 < p T < 25 GeV, e no lado direito da figura 36, na região das tampas com 95. < p T < 100. GeV. Extraímos o valor médio da resposta de p T dos jatos ( p gen T /preco T ) através da Gaussiana que melhor descreve a distribuição no intervalo de ±1.5/σ em torno do valor médio do bin de p gen T. Os valores de pgen T /preco T em função do p gen T são mostradas na figura 37 para diferentes intervalos em η. O valor de cada p gen T /preco T é plotado em função do valor central de cada intervalo de p gen T e de η. A fim de obter a resposta como função de p gen T, avaliamos a resposta para diferentes intervalos de p gen T e em diferentes intervalos em η de acordo com as regiões do calorímetro: p gen T = [20., 30., 50., 100.] (45) Região do Barril: 0 < η < 1.4 Região das Tampas: 1.4 < η < 2.6 Região de transição entre as tampas e a região frontal: 2.6 < η < 3.2 Região frontal: 3.2 < η < 4.7 A resposta nos eventos de dijatos com lacuna de rapidez é razoavelmente constante em ambas as distribuições, p T e η, e diferem da unidade de 5% para os jatos recontruídos. Isto confirma que a correção da energia dos jatos derivada a partir de eventos inclusivos de dijatos é aplicável para eventos de dijatos com lacuna de rapidez entre os dois jatos dominantes. Apesar disso, espera-se algumas discrepâncias:

71 69 Figura 37 - Resposta em p T dos jatos (a) (b) (c) (d) Legenda: Resposta em p T dos jatos em função do p T dos jatos gerados. (a) Região do barril (0 < η < 1, 4). (a) Região das tampas (1, 4 < η < 2, 6). (c) Região de transição entre as tampas e a região frontal (2, 6 < η < 3, 2). (d) Região frontal (3, 2 < η < 4, 7). Fonte: A autora, 2009.

72 70 a primeira é que dijatos com lacuna de rapidez são originados de glúons, enquanto que a correção é determinada a partir do espectro inclusivo; outro fator é a contribuição dos eventos subjacentes que é suprimida nos eventos com lacuna de rapidez Resolução de energia e posição A figura 38 mostra a resolução de p T obtida através do ajuste gaussiano de p reco T /p gen T nos intervalos de p gen T. A resolução de energia dos jatos apresenta um dependência em p T descrita pela soma em quadratura de um termo de ruído, um termo estocástico e um termo constante: ( σ p T p gen T p T p gen T ) = ( a p gen T ) ( ) 2 b + + c p gen 2 (46) T sendo a, b, e c constantes a serem obtidas do ajuste dos pontos. As figuras 39 e 40 mostram a resolução de η e φ para os CaloJets. A resolução de energia dos jatos é calculada através das distribuições das larguras de η = η η gen e φ = φ φ gen. A resolução dos jatos reconstruídos é melhor para grandes valores de η, devido ao boost frontal. Ao contrário do que se espera, a resolução não é constante nem em η nem em p T Eficiência de reconstrução de jatos A eficiência de jatos é definida como a fração de jatos gerados que possuem um jato reconstruído correlacionado, com R = ( η) 2 + ( φ) 2 < A eficiência é mostrada em função de p T e η na figura 41. Em relação ao p T a eficiência varia de 80% para p T = 20 GeV até a 100% para p T 50 GeV. Com relação a η a eficiência é de cerca de 95% na região 2 η 5 e de cerca de 90% na região central, η 2. Os eventos de jatos de singleto de cor podem ser corrigidos com a correção de energia dos jatos derivada dos eventos de dijatos de QCD inclusivos, com uma precisão de cerca de 5%. Esta incerteza pode ser reduzida mais tarde, adicionando-se os outros passos da correção da energia dos jatos, levando em conta a composição dos diferentes sabores dos quarks e a estrutura dos eventos adjacentes nos eventos com lacuna de rapidez.

73 71 Figura 38 - Resolução em p T dos jatos (a) (b) (c) (d) Legenda: Resolução em p T dos jatos em função do p T dos jatos gerados. (a) Região do barril (0 < η < 1, 4). (b) Região das tampas (1, 4 < η < 2, 6). (c) Região de transição entre as tampas e a região frontal (2, 6 < η < 3, 2). (d) Região frontal (3, 2 < η < 4, 7). Fonte: A autora, 2009.

74 72 Figura 39 - Resolução em η dos jatos (a) (b) (c) (d) Legenda: Resolução em η dos jatos em função do p T dos jatos gerados. (b) Região do barril (0 < η < 1, 4). (b) Região das tampas (1, 4 < η < 2, 6). (c) Região de transição entre as tampas e a região frontal (2, 6 < η < 3, 2). (d) Região frontal (3, 2 < η < 4, 7). Fonte: A autora, 2009.

75 73 Figura 40 - Resolução em φ dos jatos (a) (b) (c) (d) Legenda: Resolução em φ dos jatos em função do p T dos jatos gerados. (a) Região do barril (0 < η < 1, 4). (b) Região das tampas (1, 4 < η < 2, 6). (c) Região de transição entre as tampas e a região frontal (2, 6 < η < 3, 2). (d) Região frontal (3, 2 < η < 4, 7). Fonte: A autora, 2009.

76 74 Figura 41 - Eficiência de reconstrução de jatos. (a) (b) Legenda: (a) Função do p T dos jatos gerados. (b) Função de η. Fonte: A autora, 2009.

77 Seleção de eventos Foram exigidas as seguintes condições offline: O sinal dos dois feixes passando em ambos os BPTX, em conjunto com o sinal em qualquer um dos BSCs ( BSC OR ); este corte seleciona aproximadamente 99% dos eventos inelásticos e cerca 70 80% dos eventos de difração simples (esta estimativa depende do gerador de Monte Carlo usado; Vértice primário z < 15cm e distância transversa do eixo-z menor que 2cm; também exige-se que pelo menos quatro traços sejam usados no ajuste do vértice. Este corte seleciona aproximadamente 90 95% dos eventos inelásticos; a fração de eventos de difração simples que passam por esta seleção é de cerca de 35%, de acordo com o PYTHIA6; Rejeição de eventos compatíveis com o alo do feixe beam halo; esses eventos apresentam atividades nos BSCs com adiantamento temporal consistente com os das partículas atravessando o detector horizontalmente; A fração de traços com alta qualidade deve ser maior que 25% para os eventos com pelo menos 10 traços reconstruídos. Este corte tem como objetivo remover eventos de interação do feixe com o tubo (beam-scraping), nos quais existe atividade na seção horizontal do sistema de pixels, levando a traços de baixa qualidade. O efeito desse corte nos dados é pequeno; Os eventos com um grande sinal consistente com ruído do HCAL são identificados; o efeito desse corte é insignificante; A contaminação residual devido as colisões entre prótons do feixe e moléculas do gás no tubo do feixe foi estimada na ordem de 0.1% através do estudo dos eventos sem colisão. Os dados foram tomados para baixa luminosidade instantânea; a probabilidade de existir interações adicionais em cruzamento de feixes é quase insignificante (na ordem de 0.5%). 3.5 Seleção de trigger Os eventos passaram pela seleção do High Level Trigger (HLT) definido pela condição de pelo menos um jato com momentum transverso não-corrigido acima de 15 GeV (HLT Jet15U). Este trigger do HLT recebe os resultados do trigger de nível 1 (L1) que requer um jato com p T não-corrigido maior que 6 GeV (L1 SingleJet6U). Os jatos do trigger são reconstruídos com o algoritmo Interative Cone com cone de tamanho (R=0.5).

78 76 Tabela 2 - Tabela de trigger Run N eventos N L1 N HLT L DADOS (pb 1 ) , Legenda: Intervalo de aquisição de dados, números de eventos coletados, número de eventos selecionados offline depois do trigger L1 (N L1 ) e depois do HLT (N HLT ) e a luminosidade da amostra (L DADOS ). Fonte: A autora, Normalização A fim de compararmos os modelos teóricos, a partir das amostras de Monte Carlo, com os dados coletados pelo CMS, temos que normalizar as amostras de Monte Carlo, de acordo com a seção de choque fornecida pelo Monte Carlo. A cada amostra de Monte Carlo aplicamos a seguinte normalização β = L DADOS L MC (47) onde L MC = N gerado σ gerado (48) Nas tabelas 3 e 4, temos os valores da seção de choque fornecida pelo Monte Carlo (σ MC ), o número de eventos gerados, número de eventos selecionados antes do HLT (N nohlt ) e o número de eventos que passaram pelas condições do HLT (N HLT ), a eficiência do trigger (ε trigger ) e a luminosidade das amostras de Monte Carlo (L MC ), para os diferentes intervalos de p T para as amostras de QCD e para as amostras de singleto de cor geradas com o HARDCOL, respectivamente. A eficiência do trigger calculamos da seguinte forma: ε trigger = N HLT N gerados (49)

79 77 Tabela 3 - Tabela da seção de choque gerada pelo PYTHIA Pythia QCD σ MC (pb) N gerados N L1 N HLT ɛ trigger (%) L MC (pb 1 ) pt15to30 8, ,1 6, pt30to50 5, ,3 6, pt50to80 6, ,6 5, pt80to120 7, ,7 4, 07 pt120to170 1, ,0 26, 3 pt170to300 2, ,2 132 Legenda: Seção de choque fornecida pelo Monte Carlo (σ MC ), número de eventos gerados (N gerados ), número de eventos selecionados antes (N L1 ) e depois do HLT (N HLT ), a eficiência do trigger HLT Jet15U (ε trigger ) e a luminosidade das amostras de Monte Carlo (L MC ) do PYTHIA. Fonte: A autora, 2009 Tabela 4 - Tabela da seção de choque gerada pelo HARDCOL HARDCOL σ MC S 2 (pb) N gerados N L1 N HLT ε trigger (%) L MC (pb 1 ) ˆp T > 40 GeV 1, ,8 2, Legenda: Seção de choque fornecida pelo Monte Carlo (σ MC ) multiplicada por S 2 = 0, 1, número de eventos gerados (N gerados ), número de eventos antes (N L1 ) e depois do HLT (N HLT ), a eficiência do trigger HLT Jet15 (ε trigger ) e a luminosidade das amostras de Monte Carlo (L MC ) do HARDCOL. Fonte: A autora, 2009.

80 78 Figura 42 - Distribuições de p T e η dos dijatos (a) (b) Legenda: Distribuições do momentum transverso (a) e da pseudo-rapidez (b) medidos nos dados reais (pontos) e previsto pelo Monte Carlo, dos dois jatos de maior p T. (a) Função do p T. (b) Função de η. Fonte: A autora, Seleção de eventos de dijatos Na análise offline, os jatos foram reconstruídos através dos depósitos de energia nas torres do calorímetro usando o algoritmo k T (55) com parâmetro D = 0.4. Todas as torres do calorímetro com E T > 0.5GeV foram usadas na reconstrução dos jatos. Os jatos foram corrigidos pela perda de energia no detector. Os eventos de dijatos foram selecionados usando as seguintes exigências: Pelo menos dois jatos com momentum transverso não-corrigido de p T > 30GeV Os dois jatos de maior E T (jatos dominantes) na região 3.0 < η < 5.0 Na tabela 5 apresentados as eficiências dos cortes aplicados nos dados e nas amostras de QCD. A figura 42 mostra as distribuições do momentum transverso e da pseudo-rapidez dos dois jatos com maior p T. Observamos que o Monte Carlo descreve bem a forma da distribuição dos dados reais até cerca de 250 GeV, onde temos uma baixa estatística. Na figura 43 temos as distribuições da diferença entre (a) a pseudo-rapidez ( η) e entre (b) o ângulo azimutal ( φ). Na distribuição de η observamos dois picos: um em torno de 1 que caracterizam os jatos do mesmo lado em φ; e outro em torno de 6 9, característico dos eventos com jatos de lados opostos em φ.

81 79 Figura 43 - Distribuições de η e φ dos dijatos (a) (b) Legenda: Distribuições da diferença entre a pseudo-rapidez ( η) e entre o ângulo azimutal ( φ), medida nos dados reais (pontos) e prevista pelo Monte Carlo, dos dois jatos de maior p T. (a) η = η j1 η j2 (b) φ = π φ j1 φ j2 Fonte: A autora, Tabela 5 - Eficiência de seleção de eventos de dijatos Cortes ε dados (%) ε QCD (%) p jato1 T 30 GeV e p jato2 T 30 GeV 4, 17 1, < η jato1 < 5.0 e 3.0 < η jato2 < 5.0 0, 14 0, 15 Legenda: Eficiência de seleção de eventos de dijatos após a aplicação do trigger HLT. Fonte: A autora, 2009.

82 80 Tabela 6 - Limiar de energia para as torres do calorímetro Região do calorímetro Intervalo em η Valor da energia limiar EB η < 1, 479 > 0, 6GeV HB η < 1, 305 > 1, 25GeV EE 1, 479 < η < 3, 0 > 2, 45GeV HE 1, 305 < η < 3, 0 > 1, 9GeV HF no lado positivo em z η > 3, 0 > 4, 5GeV HF no lado negativo em z η < 3, 0 > 4, 0GeV Legenda: Limiar de energia para as torres do calorímetro, diferente para cada região do calorímetro, usados na análise. Fonte: SCHUL, 2009, p.2 (Adaptado pela autora). 3.8 Seleção de eventos de singleto de cor Os eventos de singleto de cor duro são caracterizados pela existência de uma grande lacuna de rapidez entre os dois jatos de maior E T. A presença da lacuna pode ser estudada usando multiplicidade ou energia transversa entre os jatos. A lacuna de rapidez pode ser estudada a partir das largura fixa ou da determinação da região de baixa atividade entre os dois jatos dominantes em p T, ou a combinação dos dois, segue a descrição das variáveis e das condições: 1. Veto no terceiro jato dominante: se o evento tiver um número de jatos maior que 2, selecionamos os eventos em que não haja um terceiro jato com p T > 15GeV. 2. Baixa multiplicidade de traços e torres de calorímetros na região η φ entre os dois jatos dominantes, os traços e torres dentro do cone em torno do jato com R = 1, não são incluídos na multiplicidade (onde R = (η η jato ) 2 + (φ φ jato ) 2 ); Os traços são selecionados se p T > 0.5GeV, número de hits válidos maior que 7, e parâmetro de impacto transverso d 0 < 3.5mm. Isto garante uma amostra com tracks de alta pureza. As torres do calorímetro são selecionadas se a energia for acima de um limiar (ver tabela 6), no intervalo de pseudorapidez entre os dois jatos de maior p T. 3. Baixa p T dos traços e E depositada nas torres entre os dois jatos dominantes; 4. Podemos estudar nossa lacuna de rapidez a partir de uma largura fixa η A figura 44 mostra a distribuição do momentum transverso do terceiro jato dominante, nos eventos de dijatos.

83 81 Figura 44 - Distribuições de p T e η do terceiro jato (a) (b) Legenda: Distribuições do momentum transverso e da pseudo-rapidez, medida nos dados reais (pontos) e prevista pelo Monte Carlo, do terceiro jato de maior p T. (a) η (b) p T Fonte: A autora, Figura 45 - Distribuições da multiplicidade dos traços e da soma de p T dos traços (a) (b) Legenda: Distribuições da multiplicidade dos traços e da soma de p T dos traços na região de pseudo-rapidez entre os dois jatos dominantes em p T, medida nos dados reais (pontos) e prevista pelo Monte Carlo. (a) Multiplicidade dos traços. (b) p T dos traços Fonte: A autora, 2009

84 82 Figura 46 - Distribuições da multiplicidade e da soma da energia nas torres do calorímetro (a) (b) Legenda: Distribuições da multiplicidade de torres e da soma da energia depositada nas torres do calorímetro na região de pseudo-rapidez entre os dois jatos dominantes em p T, medida nos dados reais (pontos) e prevista pelo Monte Carlo. (a) Multiplicidade das torres do calorímetro. (b) E das torres do calorímetro. Fonte: A autora, Na figura 45 mostramos a distribuição da (a) multiplicidade e a (b) soma de p T dos traços nos eventos de dijatos entre os dois jatos dominantes em p T. A figura 46 mostra (a) a multiplicidade das torres do calorímetro nos eventos de dijatos e (b) a soma da energia depositada nas torres na região em η φ entre os jatos dominantes em p T, excluindo-se as torres constituintes dos jatos. Observe que em ambas distribuições 45 e 46 apresentam um pico em zero na multiplicidade. Os eventos com a troca de um singleto de cor apresentam uma lacuna de rapidez, logo observamos uma alta concentração de eventos com baixa multiplicidade, logo baixa atividade na região entre os jatos. Note que na figura 43(a) temos dois intervalos de η, um onde ambos jatos estão do mesmo lado em η, e outro no qual os dois jatos estão em lados opostos. Considerando a última condição na figura 47 temos a soma da energia depositada no calorímetro para η > 5 entre os dois jatos dominantes.

85 83 Figura 47 - Distribuição da soma da energia nas torres do calorímetro na lacuna de rapidez Legenda: Distribuições da soma da energia depositada nas torres do calorímetro no intervalo de pseudo-rapidez entre os dois jatos dominantes em p T, medida nos dados reais (pontos) e prevista pelo Monte Carlo, para η > 5 entre os dois jatos dominantes. Fonte: A autora, Tabela 7 - Eficiências de seleção de eventos Cortes ε dados (%) ε QCD (%) p jato3 T < 15 GeV e nt racos < 10 e nt orres < 10 0, 023 0, 026 η > 5 0, 013 0, 021 Legenda: Eficiências relativas de seleção de eventos de dijatos com lacuna de rapidez entre os dijatos. Fonte: A autora, 2009.

86 84 Figura 48 - Multiplicidade de torres na região da lacuna de rapidez entre os dijatos Legenda: Distribuição da multiplicidade das torres do calorímetro na região de pseudo-rapidez entre os dois jatos dominantes em p T, medida nos dados reais (pontos) e prevista pelo Monte Carlo, com o fit NBD no intervalo 2 < n < 100 Fonte: A autora, Observação de eventos de dijatos separados por uma lacuna de rapidez As lacunas de rapidez foram observadas no Tevatron (48) (3) (49) (50) e no HERA (56, 19). A fração de eventos de 1% no Tevatron e de 10% no HERA era muito grande para ser causada pela troca de um bóson eletrofraco. Os eventos do sinal foram extraídos através da distribuição da multiplicidade na região central entre os dois jatos dominantes em p T. Aplica-se um ajuste nos eventos de fundo, usando a distribuição binomial negativa (NBD) para descrever a forma da distribuição(57). A fração de eventos com lacuna de rapidez é determinada pelo número de eventos acima do ajuste para n CaloT ower 1, dividido pelo número total de eventos. A figura 48 mostra a distribuição da multiplicidade de torres dos calorímetros e o ajuste NBD para os eventos de dijatos. Seguindo os procedimentos descritos acima, calculamos a fração de eventos devido a troca de um singleto de cor, através do ajuste da distribuição da multiplicidade de torres do calorímetro dos eventos de fundo (QCD), usando a distribuição binomial negativa (NBD), que é definida como:

87 85 P (m) = (m + k 1)! m!(k 1)! ( µ k ) m ( 1 + µ k ) m k (50) válida para valores de 0 m, µ m e σ = µ(1 + µ/k). A fração de eventos com lacuna de rapidez (f s ) é calculada pelo excesso de eventos sobre o juste, nos dois primeiros bins (n = 0 ou 1), divido pelo número total de entradas. As frações de singleto de cor incluem a probabilidade da lacuna de rapidez ser contaminada ( S 2 ) por partículas das interação dos espectadores. Assume-se que a probabilidade da lacuna sobreviver (S 10% para s = 1800GeV ) seja independente do x de Bjorken e do sabor dos pártons iniciais no espalhamento duro (58) (59), mas depende de s (S 630 /S 1800 = 2.2 ± 0.2) (60). Os eventos com uma lacuna de rapidez nos dados reais são observados com um excesso de eventos com baixa multiplicidade e/ou soma de energia de traços e torres do calorímetro na região entre os dois jatos de maior p T. Através disso, podemos medir a fração do número de eventos com lacuna de rapidez entre os dijatos (N jgj ), pelo número de eventos de dijatos (N jgj ), definida como: f N jgj /N jj. Em tal fração, os efeitos sistemáticos associados à calibração e resolução de energia se cancelam. Na figura 49 temos a fração de singleto de cor, f s calculada a partir do ajuste das distribuições da figura 48. Nesta, comparamos os dados reais com os modelos usados no Monte Carlo HARDCOL, que implementa a solução completa da equação de BFKL, para a troca de um escada de glúons. Note que observamos máximos e mínimos em torno de η 3 5 da mesma forma que observamos na distribuição de η do dijatos (figura 43).

88 86 Figura 49 - Fração de eventos com lacuna de rapidez Legenda: Fração de eventos de dijatos com lacuna de rapidez entre os dois jatos dominantes, sobre todos os eventos de jatos, em função da separação na pseudo-rapidez dos jatos. Fonte: A autora, 2009.

89 87 4 JATOS FRONTAIS A S = 900GEV 4.1 Introdução Com os dados coletados nas colisões pp com energia de centro de massa de s = 900 e 2360GeV, durante o período de Dezembro de 2009, visualizamos alguns eventos reais de jatos, com pelo menos um jato frontal e com p T > 10 GeV corrigido. O intervalo de runs analizados foi de a , e luminosidade integrada de 1, 10 mb 1. Para mais detalhes veja referência (61). Os critérios básicos de seleção de eventos de boa qualidade, seguem os procedimentos descritos na seção 3.8. Seleção de jatos frontais ( η 4.013), com momentum transverso corrigido p cor T > 10 GeV, Todos os eventos foram testados pelo algoritmo de identificação de ruído no HF (61). Na figura 50 temos um evento de dijatos com p T > 10GeV na região frontal ( η > 3.0). Na figura 51 temos um evento com dois jatos com p T > 10GeV, sendo um dos jatos, na região frontal, e outro na região central do CMS. Esse eventos foram observados nas colisões prótonpróton a s = 900GeV. 4.2 Identificação do ruído no calorímetro frontal Para a observação dos eventos de jatos frontais a s = 900 GeV foram aplicados cortes para reduzir o efeito do ruído nos calorímetros frontais e na reconstrução dos jatos. Para tal, foi realizado um estudo para identificar ruído, uma vez que foi a primeira vez que o CMS tomava dados para Física, e ainda não era bem entendido o resultado do ruído nos dados, nem como caracterizá-lo na análise Introdução Com os dados coletados nas colisões pp com energia de centro de massa de s = 900 e 2360 GeV, durante o período de Dezembro de 2009, observamos um pequeno número de canais de leitura sem resposta (62), pequenas taxas de ruídos, nos quais o calorímetro hadrônico apresenta depósitos de baixa energia comparada ao calorímetro eletromagnético. Embora a taxa geral de ruído seja baixa, a medida da energia perdida pode ser altamente influenciada pelo ruído. A tais eventos com depósito de energia falsa chamamos de eventos anômalos.

90 88 Figura 50 - Run , evento Legenda: Run , evento : evento com 2 jatos frontais com p T > 10 GeV a s = 900 GeV. A esquerda, visão transversal do evento e a direita, distribuição no plano η φ em função da E T do evento. Fonte: A autora, 2009.

91 89 Figura 51 - Run , evento Legenda: Run , evento : evento com 1 jato frontal e um jato central, ambos com p T > 10 GeV a s = 900 GeV. A esquerda, visão transversal do evento e a direita, distribuição no plano η φ em função da E T do evento. Fonte: A autora, 2009.

92 90 Figura 52 - Fontes de ruidos Legenda: Fontes de sinais anômalos no HF. Fonte: A autora, Identificação de ruído As principais fontes de eventos anômalos, ou eventos de PMT, estão esquematizados na figura 52. Quando uma partícula carregada atravessa uma janela de uma PMT no detector HF, esta produz um sinal falso. Estas partículas podem ser do halo do feixe (beam halo) ou de chuveiros hadrônicos atrasados. A natureza dos eventos de colisões nas PMTs é tal que estes se localizam em uma única PMT, isto é, somente um dos canais de leitura registra um grande sinal. Os eventos de PMTs são caracterizados por um sinal de grande amplitude (falsamente intepretado como um grande depósito de energia da ordem de 100 GeV ) em essencialmente uma única de duas fibras (ou longa ou curta) que compœm uma torre do HF. Baseado na forma longitudinal e lateral do chuveiro, ilustrado na figura 53, um grande depósito de energia isolado em somente um tipo de fibra, em uma única torre é considerado ruído. As colisões nas PMTs são identificadas através da comparação das energias reconstruídas das fibras longas e curtas com o mesmo η e φ. Dado um par adjacente de fibras longas e curtas, com energias E L e E S, respectivamente, considera-se o sinal do canal como sendo devido a ruídos se: a energia transversa máxima dos dois canais é de pelos menos 2 GeV, e

93 91 Figura 53 - Fibras longas e curtas do HF Legenda: Ilustração do comportamento do chuveiro eletromagnético nas fibras longas e curtas, gerados por elétrons de 100GeV de energia. Fonte: A autora, 2009.

94 92 se a razão R definida como: R E L E S E L + E S (51) for maior que 0, 99. Na figura 54 mostramos as distribuições da variável R para torres com sinal equivalente a mais de 50 GeV nas fibras longas (figura acima direita) e mais de 50 GeV nas fibras curtas (figura acima esquerda). Na figura abaixo, mostramos a correlação entre a energia depositada na fibra longa e a energia depositada na fibra curta. O que se observa na figura é um excesso de eventos de PMT, devido a R > 0, 99, isto é, a energia de cada depósito está concentrada ou nas fibra longas ou nas fibras curtas. A maior parte da carga de sinal de um hit no HF deverá ser recolhida dentro de uma única fatia de 25ns de tempo (62), como mostra a figura 55. Um sinal de PMT ocorre antes ( 3 5ns) comparado ao sinal criado por um depósito de energia das partículas no HF. Assim, um canal do HF é também sinalizado como ruído, se: um pico de sinal significativo (ADC > 10 contagens) é encontrado, e a relação entre o valor do pico na janela imediatamente antes (depois) do pico é menor do que 2, 5 (1, 0). Na figura 56, vemos as distribuições da energia depositada no HF em função do tempo em ns. Observam-se depósitos de energia fora da janela de tempo do HF que não são condizentes com o esperado, logo são ruídos. Notam-se também dois picos no tempo, um em 0 ns e outro em 10 ns. O primeiro é consistente com o esperado para colisões verdadeiras, isto é, sinais não vindos de ruído, uma vez que está dentro da janela de 15 ns. O segundo pico apresenta um atraso de 10 ns característico de evento de PMT.

95 93 Figura 54 - Energia nos hits do HF (a) (b) Legenda: Distribuição da energia total depositada no hits do HF em função da energia depositada nas fibras longas e nas fibras curtas.(a) Energia total X Energia depositada nas fibras longas (direita) e nas fibras curtas (esquerda). (b) Energia depositada nas fibras longas X fibras curtas. Fonte: A autora, 2009.

96 94 Figura 55 - Pulso de um hit Legenda: Diagrama da forma do pulso digitalizado de um hit de 25ns no HF. Fonte: A autora, Figura 56 - Energia depositada no HF Legenda: Distribuição da energia depositada nos hits do HF em função do tempo em ns. Fonte: A autora, 2009.

97 95 CONCLUSÃO Neste trabalho, os dados das primeiras colisões do LHC foram analizados. Os resultados apresentados são baseados nos dados coletados nas colisões pp, com energia de centro de massa de s = 7T ev, com uma luminosidade integrada de 1µb 1. Mostrando a evidência clara dos eventos com lacuna de rapidez entre os dijatos. Os geradores Monte Carlo PYTHIA e HARDCOL foram comparados com os dados, onde observamos umas discrepâncias importantes, assim como esperado, pois as amostras de Monte Carlo usadas não descrevem todo o produto de uma colisão pp, mas observamos uma boa qualidade da performance da simulação e reconstrução do CMS. Note que o Monte Carlo HARDCOL, demonstrou uma melhor eficiência em descrever os eventos devido a troca de um singleto de cor, isto é, eventos com lacuna de rapidez. Esta análise também representa uma oportunidade para investigar os problemas relevantes ao experimento nas primeiras tomadas de dados. Daí a importância de estudar o ruído dos calorímetros e a performance e o efeito do ruído na reconstrução dos jatos que foram usados posteriormente em outras análises. Eventos com lacuna de rapidez e jatos foram primeiramente observados no experimento UA8, gerando um interesse na difração dura. Esta área de interesse foi crescendo graças ao aumento da energia dos feixes nos experimentos. Os jatos com lacunas de rapidez foram produzidos e observados no Tevatron e no HERA. Por quase 50 anos, a teoria de Regge tem parametrizado com sucesso a dinâmica das interações nos processos no regime de longa distância, como os processos difrativos. Os experimentos com energias mais altas, possibilitaram o estudo de processos da QCD no regime de curta distância e baixo x de Bjorken. O interesse na física de baixo-x teve origem no HERA. Outras observáveis como jatos de alto p T, produção de píons, e eventos com uma grande lacuna de rapidez entre dijatos de alto p T foram sugeridas como possíveis caminhos de investigar a dinâmica de BFKL. A análise apresentada ilustra alguns pontos do estudo da produção de lacunas de rapidez entre jatos de alto p T, no primeiro período de operação do LHC, usando o detector CMS. A alta luminosidade disponível no LHC dará acesso, sem precedentes aos raros processos de difração, com um custo adicional de eventos de empilhamento, isto é, a cada espalhamento duro será superposto um número de eventos moles dependentes da luminosidade. Na primeira fase do LHC, isto é, baixa luminosidade, foi mostrada a possibilidade da observação de lacunas de rapidez e, também, o método de extração do sinal, através do ajuste da multiplicidade de torres do calorímetro ativas na região de η φ entre os jatos. A metodologia empregada na análise da topologia dos eventos de dijatos com lacuna de rapidez entre eles, segue a mesma feita no Tevatron: observação de um excesso de eventos com baixa multiplicidade entre os dois jatos de maior p T. Combinando as informações do Calorímetro Hadrônico (HCAL) com o sistema de trajetórias conseguimos obter uma boa

98 96 definição de uma lacuna de rapidez. Além disso, com a inclusão das tampas do calorímetro hadrônico (HE) e dos calorímetros frontais (HF) podemos medir jatos com uma cobertura em pseudorapidez até η < 5. A possibilidade de observar eventos de dijatos com alto p T produzidos via troca de um pomeron de BFKL, identificados através da uma lacuna de rapidez, foi demonstrada através da análise dos dados do LHC a partir da procura de eventos com baixa atividade entre os dois jatos de maior p T. Também mostramos outro método, usando a largura da lacuna de rapidez fixa, que é eficiente para a observação do sinal. A desvantagem deste último seria que tornaríamos nossa medida dependente de η. A medida de tais eventos é particularmente sensível à dinâmica de BFKL e à evolução de DGLAP para baixos valores de x. Para tal medida, faz-se necessário uma boa compreensão sobre os objetos de estudo, como jatos, e o efeito do ruído na região dos calorímetros. Logo, realizamos estudo da performance da reconstrução de jatos, para os diferentes algoritmos usados no CMS. Da mesma forma, realizamos um estudo do espectro de energia nos calorímetros. Além disso, foram mostrados os resultados dos estudos feitos com os dados do LHC de s = 900 e 2360GeV, como a identificação do ruído nos calorímetros hadrônicos frontais. Ainda, apresentamos a reconstrução computadorizada de dois eventos de dijatos observados. E como resultado observamos que os jatos nos eventos de singleto de cor apresentam uma performance similar aos jatos dos eventos de QCD inclusivos com uma precisão de cerca de 5%. Esta incerteza pode ser reduzida mais tarde, adicionando-se os outros passos da correção da energia dos jatos, levando em conta a composição dos diferentes sabores dos quarks e a estrutura dos eventos adjacentes nos eventos com lacuna de rapidez. O impacto dos efeitos do detector aparecem mais pronunciados do que a diferença entre os algoritmos estudados. Os jatos nos calorímetros frontais apresentam um melhor resolução de energia devido a menor granularidade, levando a jatos mais colimados em η, isto é, jatos mais energéticos no cone do jato. Este estudo deve prosseguir, com maior estatística através da inclusão de novas amostras de dados, e com sua comparação com outras parametrizações de Monte Carlo.

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103 101 APÊNDICE A O Pomeron na QCD e a equação de BFKL A.1 Introdução Na teoria de Regge, o pomeron aparece como uma trajetória com os números quânticos do vácuo, dominante a altas energias. No entanto, com o sucesso da QCD como teoria das interações fortes, a descrição de um novo pomeron, ou do conceito de troca de pomeron segundo a QCD perturbativa é de grande relevância para o melhor entendimento, não só da natureza deste objeto e as diferenças entre seus regimes soft e hard, mas também das interações fortes em geral e da passagem do regime não perturbativo para o perturbativo. Calcularemos o espalhamento quark-quark no limite de altas energias (s t ), mantendonos sempre em ordem dominante em ln (s/ t ) (LLA). A contribuição de singleto de cor corresponderá finalmente à troca de pomeron e a de octeto de cor à de um glúon reggeizado. A.1.1 Espalhamento quark-quark em LLA Nesta seção vamos calcular o espalhamento quark-quark guardando apenas os termos dominantes em ln s, relevantes no domínio em que estamos trabalhando. A Aproximação eikonal Considere o vértice superior do diagrama da Fig. 57 ig s ū (p 1 + q) γ µ u (p 1 ) Quando s t, todas as componentes q µ podem ser desconsideradas frente a p µ 1 e p µ 2, de forma que o mesmo vértice pode ser aproximado por ig s ū (p 1 + q) γ µ u (p 1 ) = igs ū (p 1 ) γ µ u (p 1 ) = ig s p µ 1 m ū (p 1) u (p 1 ) = 2ig s p µ 1 onde se utilizou a identidade de Gordon e a normalização dos espinores de Dirac ūu = 2m. Este é o vértice eikonal quark-glúon. Similarmente, para o vértice de três glúons da QCD, obtemos um aproximação equivalente 2g s f aa c g µµ p 1ρ

104 102 Figura 57 - Troca de um glúon no espalhamento quark-quark p 1,j p 3,i q,a p 2,l p 4,k Legenda: Troca de um glúon no espalhamento quark-quark. Fonte: A autora, referente ao vértice superior do diagrama da Fig. 58. Desta forma, as amplitudes de espalhamento quark-quark e glúon-glúon em ordem zero em α s são (Figs. 57 e 58) A (0) gg = gsf 2 aa c f bb c 4p 1 p 2 g µµ A (0) qq = gst 2 a ijt a 4p 1 p 2 kl q 2 g q 2 νν ɛ µ λ 1 (p 1 ) ɛ µ * λ 1 = 8πα s t a ijt a s kl t (p 1) ɛ ν λ 2 (p 2 ) ɛ ν * λ 2 (p 2) onde as matrizes t a (a = 1,..., 8) são da representação fundamental do SU(3). A amplitude ao quadrado, somada e com média nas cores fica então ( A (0) 1 qq 2 = 3 Tr [ t a t b] Tr [ t a t b] ) ( ) 64π 2 α 2 s s t = 64π 2 α 2 s 2 2 s 9 t = 8 s g4 s t 2 ( ) A (0) 1 gg 2 = 8 f aa c f bb c f aa d f bb d 4g 4 s 2 2 s t = 2 A (0) gg 2 = Observe que ( ) 2 9 A (0) qq 4 2 e pode-se mostrar que ( ) A (0) 9 qg 2 = A (0) qq 4 2 o que se preserva em ordens superiores. ( ) 9 4g 4 s 2 s 8 t = 9 s g4 s t 2

105 103 Figura 58 - Troca de um glúon no espalhamento glúon-glúon p 1,a p 3,c q,e p 2,b p 4,d Legenda: Troca de um glúon no espalhamento glúon-glúon. Fonte: A autora, Figura 59 - Troca de dois glúons no espalhamento quark-quark Legenda: Troca de dois glúons no espalhamento quark-quark. Fonte: A autora, A Troca de dois glúons Consideramos agora correções ao espalhamento quark-quark em um loop. Os diagramas relevantes são os de troca de dois glúons (Fig. 59). Observe que correções radiativas do tipo vértice ou energia-própria são de ordem inferior em ln s e, portanto, são desprezados em LLA. Como são estas correções as responsáveis pela dependência da constante de acoplamento α s na escala de energia, então no regime que estamos considerando, esta deve ser de fato mantida constante. A parte imaginária da amplitude pode ser obtida a partir das equações de unitaridade ImA (1) = 1 dπ 2 A ( (0) s, k 2) A ( (0) s, (k q) 2) 2

106 104 onde t = q 2 e as amplitudes em zero ordem no integrando são aquelas achadas para troca de um glúon (quark-quark). O termo de espaço de fase de duas partículas pode ser escrito como dπ 2 = = d 4 k 1 d 4 k 2 (2π) 3 (2π) 3 δ ( ) ( ) k1 2 δ k 2 2 (2π) 4 δ (p 1 + p 2 k 1 k 2 ) d 4 k (2π) 2 δ ( (p 1 k) 2) δ ( (p 2 + k) 2) Em termos da parametrização de Sudakov de k (termos em negrito significam as componentes no plano transverso e k = (0, k, 0)) k = αp 1 + βp 2 + k d 4 k = s 2 dαdβd2 k obtemos dπ 2 = s 8π 2 dαdβd 2 kδ ( β (1 α) s k 2) δ ( α (1 + β) s k 2) No limite de s grande, obtemos a partir dos vínculos das funções delta α = β = k2 s 1 k 2 = k 2 = (k q) 2 = q 2 de forma que a expressão para o espaço de fase fica dπ 2 = 1 ) ) dαdβd 2 kδ (β + k2 δ (α k2 8π 2 s s s = 1 8π 2 s d 2 k As expressões em ordem zero são (Fig. 60 para notação) A ( (0) s, k 2) = 8πα s t a mjt a s nl k 2 A ( (0) s, (k q) 2) = 8πα s t b imt b s kn (k q) 2 onde se utilizou que k 2 = k 2 e (k q) 2 = (k q) 2. Assim, para o primeiro diagrama da Fig. 59, obtemos ( ImA (1) a (s, t) = 4αs 2 t a t b) ( ij t a t b) s kl d 2 k k 2 (k q) 2 A partir de ln (s/t) = ln (s/ t ) iπ, obtemos a parte real e a amplitude total do processo

107 105 Figura 60 - Equação de unitaridade. Legenda: Equação de unitaridade para o primeiro diagrama de troca de dois glúons. Fonte: A autora, como ReA (1) a (s, t) = 4α2 ( s t a t b) ( π ij t a t b) ( ) s s ln kl t d 2 k k 2 (k q) 2 A (1) a (s, t) = 4α2 ( s t a t b) ( π ij t a t b) ( ( s s ln kl t = 16πα s ( t a t b) ( 3 ij t a t b) s ( s kl t ln t onde ɛ (t) = 3α s 4π 2 d 2 q 2 k k 2 (k q) 2 ) ) iπ ) ɛ (t) d 2 k k 2 (k q) 2 O segundo diagrama da Fig. 59 pode ser computado trocando-se s por u e mudando-se o fator de cor A (1) b (s, t) = 16πα s ( t a t b) ( 3 ij t b t a) u ( u ) kl t ln ɛ (t) t No limite de altas energias que estamos considerando, temos u = s, de forma que esta contribuição fica A (1) b (s, t) = 16πα s ( t a t b) ( 3 ij t b t a) ( ) s s kl t ln ɛ (t) t sem a parte imaginária. Somando as duas contribuições para a correção em um loop do espa-

108 106 lhamento quark-quark em LLA, obtemos A (1) (s, t) = 16πα s 3 ( t a t b) ij s t ( [t a, t b] kl ln ( s t ) iπ ( t a t b) kl ) ɛ (t) A Projeções de cor Estivemos até agora trabalhando com a amplitude completa do espalhamento quarkquark. No entanto, será interessante para nós discriminarmos entre duas contribuições no que diz respeito ao fluxo de cor nos diagramas: a primeira, que denominaremos como singleto de cor, equivale à troca dos números quânticos do vácuo de cor, ou seja, os quarks das linhas superior e inferior mantêm suas características de cor; a segunda contribuição é o complemento da primeira e equivale à troca de um glúon (oito possibilidades), de forma que a denominamos de octeto de cor. Matematicamente, extraímos as diferentes contribuições a partir de projetores de cor, de forma que (inserimos aqui os índices de cor na amplitude, até então implícitos) A ij kl (s, t) = Aij 1,kl (s, t) + Aij 8,kl (s, t) = Pij kl (1) A 1 + P ij kl (8) A 8 = R P ij kl (R) A R onde P ij kl (1) = 1 3 δ ijδ kl P ij kl (8) = 2ta ijt a kl É fácil provar que A R (s, t) = c (R) P ji lk (R) Aij kl (s, t) onde c (R) = { 1 R = 1 1 R = 8 8 Dito isto, podemos obter as contribuições de octeto de cor e singleto de cor para a correção em um loop do espalhamento quark-quark. Para o caso de octeto de cor, consideramos apenas o primeiro termo em parênteses da amplitude total, que é o termo dominante na aproximação considerada, de forma que temos ( A (1) 1 ( 8 (s, t) = 8 2tc lkt c ji t a t b) [ ij t a, t b] ) ( 16πα s kl 3 ( A (1) 8 (s, t) = 3 ) ( 16πα s 4 3 ( s s t ln t s t ln ( s t ) ) ɛ (t) ) ) ɛ (t)

109 107 A ij 8,kl (s, t) = ( ) ( ( ) ) 2t a ijt a s s kl 4πα s t ln ɛ (t) t ( ) = 8πα s t a ijt a s s kl t ln ɛ (t) t Já para a contribuição singleto de cor, obtemos (observe que como δ kl [ t a, t b] kl = 0, sobra apenas o segundo termo, imaginário, que fora desprezado no caso de octeto de cor) ( A (1) 1 1 (s, t) = 3 δ ( ijδ kl t a t b) ( ij t a t b) ( ) 16iπ kl) 2 α s s 3 t ɛ (t) ( ) ( ) 2 16iπ 2 α s s = 3 3 t ɛ (t) A ij 1,kl (s, t) = 32iπ2 α s s δ ij δ kl 27 t ɛ (t) Assim, em ordem dominante em ln s, em um loop, obtemos uma contribuição real para a projeção de octeto e imaginária para singleto de cor, este ainda suprimido em ln s. É interessante notar que em ordens superiores, a contribuição dominante em octeto de cor continuará sendo real e da de singleto de cor, imaginária. A Escada de glúons e Vértice de Lipatov Consideremos agora correções em dois loops (veja Fig. 61 para alguns dos diagramas correspondentes) para o espalhamento quark-quark. A idéia é utilizar mais uma vez as equações de unitaridade. Os diagramas com correções radiativas na forma de energia-própria ou de vértice podem, como discutido anteriormente, ser desprezados na aproximação onde guardamos apenas os termos dominantes em ln s em cada ordem de teoria de perturbação. As contribuições que sobram podem ser divididas em dois grupos: o primeiro quando o diagrama é formado, a partir das equações de unitaridade, de diagramas com emissão de um glúon (real), ou seja, quando o corte das equações de unitaridade dividem um propagador de glúon; o segundo grupo involve combinações de diagramas de troca de um e dois glúons. Para o primeiro caso, devemos calcular primeiramente as amplitudes dos processos qq qqg, como descrito na Fig. 62. Para isto introduzimos mais uma vez a parametrização de Sudakov (ver Fig. 62 para convenção de nomes) k 1 = α 1 p 1 + β 1 p 2 + k 1 k 2 = α 2 p 1 + β 2 p 2 + k 2 A contribuição dominante equivale à região cinemática 1 α 1 α 2 1 β 2 β 1

110 108 Figura 61 - Dois loops para o espalhamento quark-quark. Legenda: Algumas contribuições em dois loops para o espalhamento quark-quark. Fonte: A autora, e, se exigirmos que o glúon emitido esteja na camada de massa. ou seja, (k 1 k 2 ) 2 = 0 e nos restringirmos à região cinemática acima obtemos (k 1 k 2 ) 2 = α1 β 2 s (k 1 k 2 ) 2 e, naturalmente α 1 β 2 s = (k 1 k 2 ) 2 k 2 1 = k α 1 β 1 s = k 2 1 = q 2 k 2 2 = k α 2 β 2 s = k 2 2 = q 2 Lembrando que podemos usar a aproximação eikonal para os vértices externos dos diagramas, podemos escrever a amplitude para o primeiro diagrama com emisssão de um glúon real como ( ) i ( gs ia ρ,c a = ( 2ig s p 1µ ) t a mj f abc) ((k k k 2 ) ρ g µν + (k 1 2k 2 ) µ g νρ + (k 2 2k 1 ) ν g ρµ ) ( ) i ( 2ig s p 2ν ) t b nl A ρ,c a Aproximando para a região cinemática de interesse, obtemos = 4ig 3 s f abc t a mjt b 1 nl k 2 1k 2 2 ( (k 1 + k 2 ) ρ s ( 2 + s ) ( pρ 2 β 1 2 β 2s + p ρ s )) 1 α 2 2 α 1s k 2 2 A ρ,c a = 2isg 3 s f abc t a mjt b 1 nl (α k 2 1k 2 1 p ρ 1 + β 2 p ρ 2 (k 1 + k 2 ) ρ ) 2

111 109 Figura 62 - Emissão de glúon Legenda: Diagramas de emissão de glúon. Fonte: A autora, 2009.

112 110 Já para os diagramas com o glúon sendo emitido nos dois lados da linha superior, obtemos as seguintes amplitudes ( ) ia ρ,c b = ( 2ig s p ρ 1) t c i i j j (p 1 k 1 + k 2 ) 2 ( 2ig s) (p 1 k 1 + k 2 ) µ t b mj ( 2ig s p 2µ ) t b nl k 2 2 A ρ,c b ( = 8g 3 s p ρ 1 t b t c) (s α 1 s + β 2 s) mj tb nl 2β 2 sk 2 2 = p ρ 1 4g 3 s s ( t b t c) mj tb nl β 2 sk 2 2 ia ρ,c c ( ) i = ( 2ig s p µ 1) t b j j ( 2ig s p 2µ ) t b i nl (p 1 k 2 ) 2 ( 2ig s) (p 1 k 2 ) ρ t c mj k 2 2 A ρ,c c p ρ 1 = 4g 3 s s ( t c t b) mj tb nl β 2 sk 2 2 Combinando as duas contribuições, obtemos (lembrando que [ t b, t c] = if abc t a ) A ρ,c p ρ 1 b+c = 4ig3 ssf abc t a mjt b nl β 2 sk 2 2 Analogamente, devemos considerar os últimos dois diagramas de emissão de glúon, este emitido dos dois lados da linha inferior. Neste caso, vemos que os papéis de p 1 e p 2, k 1 e k 2, α 1 e β 2, são trocados, de forma que obtemos a contribuição A ρ,c p ρ 2 d+e = 4ig3 ssf abc t a mjt b nl α 1 sk 2 1 Somando tudo, obtemos ( A ρ,c = 4ig 3 p ρ s sf abc t a mjt b 1 nl + pρ ) (α β 2 sk 2 2 α 1 sk 2 1 2k 2 1k 2 1 p ρ 1 + β 2 p ρ 2 (k 1 + k 2 ) ρ ) 2 o que podemos escrever na forma A ρ,c = 4ig 3 p µ ( ) (( ) ( ) ) 1p ν 2 s f abc t a k mjt b 2p2µ p 1ν 2 1k 2 nl α 1 + 2k2 1 p ρ 1 + β 2 + 2k2 2 p ρ 2 (k 1 + k 2 ) ρ 2 s β 2 s α 1 s = 4igs 3 p µ 1p ν 2 f abc t a k mjt b nlγ ρ 2 1k 2 µν (k 1, k 2 ) 2 onde definimos aqui um vértice efetivo Γ ρ µν (k 1, k 2 ) para todos os diagramas de emissão de glúon, chamado Vértice de Lipatov (veja Fig. 63). Podemos agora usar as equações de unitaridade para acharmos a parte imaginária da correção para a amplitude de espalhamento quark-quark relativa ao primeiro grupo de diagra-

113 111 Figura 63 - Vértice de Lipatov. Legenda: Vértice efetivo de Lipatov. Fonte: A autora, mas relevantes mencionado, formados por diagramas de emissão de glúon e assim descritos pelo vértice efetivo de Lipatov. ImA (2) I (s, t) = 1 dπ 3 A ρ,c (k 1, k 2 ) ɛ λ,ρ (k 1 k 2 ) A σ,c (k 1 q, k 2 q) ɛ * λ,σ (k 1 k 2 ) 2 Observe que temos de somar os estados de cor e polarização intermediários, de forma os dois vetores de polarização se contraem em g ρσ. O termo de espaço de fase é dado por dπ 3 = 1 (2π) 5 d 4 k 1 d 4 k 2 δ ( (p 1 k 1 ) 2) δ ( (p 2 + k 2 ) 2) δ ( (k 1 k 2 ) 2) Com a parametrização de Sudakov dada anteriormente e na região cinemática de interesse, obtemos dπ 3 = s 2 4 (2π) 5 dα 1 dβ 1 d 2 k 1 dα 2 dβ 2 d 2 k 2 δ ( ) β 1 s k 2 1 δ ( ) ( α 2 s k 2 2 δ α1 β 2 s (k 1 k 2 ) 2) Efetuando as integrações nas deltas, obtemos finalmente dπ dα 1 = 4 (2π) 5 s q 2 /s α 1 d 2 k 1 d 2 k 2 Inserindo as expressões para a amplitude achadas anteriormente, obtemos finalmente ( ) ) ) ( ) ImA (2) I (s, t) = 2α3 s (t a t (t a b t b f abc f a b c s s ln d 2 k π 2 1 d 2 k 2 ij kl t ( ) q 2 k 2 1k 2 2 (k 1 q) 2 (k 2 q) 2 1 k 2 2 (k 1 q) 2 (k 1 k 2 ) 2 1 k 2 1 (k 2 q) 2 (k 1 k 2 ) 2

114 112 Figura 64 - Correções radiativas em dois loops Legenda: Equações de unitaridade para correções radiativas em dois loops (outros dois diagramas com a troca de um glúon à esquerda). Fonte: A autora, Restam agora os diagramas do segundo grupo mencionado anteriormente, compostos, via equações de unitaridade, de diagramas de troca de um e dois gluons. São quatro diagramas deste tipo (ver Fig. 64), dois com com a troca de um glúon à esquerda do corte e dois com esta troca à direita. As amplitudes para troca de um e dois glúons já foram achadas anteriormente, de forma que podemos inseri-las nas equações de unitaridade ImA (2) II (s, t) = 1 dπ 2 A ( (1) s, k 2 2 2) ( A (0) s, (k 2 q) 2) dπ 2 A ( ) (0) s, k ( 1 2 A (1) s, (k 1 q) 2) 2 ImA (2) II Obtemos, finalmente ( t a t b) ( ) s kl) s ln t ( (s, t) = 3α3 s (t a t b) d 2 k π 2 ij 1 d 2 k 2 ( ) 1 k 2 1 (k 2 q) 2 (k 1 k 2 ) k 2 2 (k 1 q) 2 (k 1 k 2 ) 2 Consideremos agora as projeções de cor de octeto e singleto. No caso de octeto de cor, devemos contrair as amplitudes acima com (1/8) P ji lk (8) para acharmos A 8 (s, t), que é o coeficiente de 2t a ijt a kl na amplitude total. Note que ainda temos que considerar a contribuição de canal-u para a amplitude. No caso de octeto de cor, ela será igual e oposta à do canal-s, mas com alguns índices de cor trocados. A contribuição de canal-u pode então ser encorporada na amplitude total fazendo-se as seguintes modificações nos fatores de cor dos dois grupos de diagramas ( ) ) ) ( ) ] ) (t a t (t a b t b f abc f a b c (t a t [t a b, t b f abc f a b c ij kl ij kl ( (t a t b) ( ij t a t b) ( (t kl) a t b) [ ij t a, t b] kl)

115 113 Fazendo a contração com o projetor de cor, podemos escrever a parte imaginária da contribuição de octeto das amplitudes em dois loops como sendo ( ) ( ) ImA (2) I,8 (s, t) = 2α3 s 9 (2t ) a s π 2 8 ijt a kl s ln d 2 k 1 d 2 k 2 t ( ) q 2 k 2 1k 2 2 (k 1 q) 2 (k 2 q) 2 1 k 2 2 (k 1 q) 2 (k 1 k 2 ) 2 1 k 2 1 (k 2 q) 2 (k 1 k 2 ) 2 ImA (2) II,8 (s, t) = 3α3 s π ( 2 ( 3 ) ( ) (2t ) a s 4 ijt a kl s ln t d 2 k 1 d 2 k 2 ) 1 k 2 1 (k 2 q) 2 (k 1 k 2 ) k 2 2 (k 1 q) 2 (k 1 k 2 ) 2 Somando as duas contribuições, obtemos ( ) ImA (2) 8 (s, t) = 9α3 s s 2π 2 ta ijt a kls ln d 2 k 1 d 2 q 2 k 2 t k 2 1k 2 2 (k 1 q) 2 (k 2 q) 2 ( ) = 8π 2 α s t a ijt a s s kl t ln ɛ 2 (t) t de onde podemos ver que 8 (s, t) = 4πα s t a ijt a s kl t ln2 A (2) ( ) s ɛ 2 (t) t Observe que esta contribuição para a amplitude de octeto de cor é real, como adiantado. É interessante juntar as contribuições em ordem zero, um e dois loops, achadas até agora para octeto de cor A 8 = 8πα s t a ijt a s kl t ( ( ) s 1 + ɛ (t) ln + 1 ( ) ) s t 2 ɛ2 (t) ln t Isto equivale aos primeiros termos da expansão de uma exponencial, de forma, que se este fosse o caso, teríamos A 8 = 8πα s t a ijt a kl ( ) αg(t) s t onde α g (t) = 1 + ɛ (t) é a trajetória do glúon reggeizado. Após o cálculo das ordens superiores veremos que de fato é este o comportamento, em LLA, da projeção de octeto de cor da amplitude de espalhamento. Para singleto de cor os passos são análogos, de forma que obtemos (ver (63) para deta-

116 114 lhes dos cálculos desenvolvidos até aqui) ( ) A (2) I,1 (s, t) = i2α3 s s π ( 2) (δ ijδ 2 kl ) s ln d 2 k 1 d 2 k 2 t ( ) q 2 k 2 1k 2 2 (k 1 q) 2 (k 2 q) 2 1 k 2 2 (k 1 q) 2 (k 1 k 2 ) 2 1 k 2 1 (k 2 q) 2 (k 1 k 2 ) 2 A (2) II,1 (s, t) = i3α3 s π ( 2 ( 2 ) ( ) s (δ ij δ kl ) s ln 3 t d 2 k 1 d 2 k 2 ) 1 k 2 1 (k 2 q) 2 (k 1 k 2 ) k 2 2 (k 1 q) 2 (k 1 k 2 ) 2 Neste caso, não acontecem os cancelamentos como no caso de octeto de cor e deixamos a discussão para quando tratarmos as ordens superiores do espalhamento. A Ordens superiores Queremos obter uma descrição do espalhamento quark-quark em uma ordem arbitrária em LLA. Para isto, vamos considerar a amplitude formada, a partir de equação de unitaridade, do espalhamento quark-quark com emissão de n glúons, a partir de vértices de Lipatov. Observe, no entanto, que os vértices de Lipatov não englobam correções radiativas relevantes, como vimos na seção anterior. Para solucionar este problema e inserir estas correções, lembrese da amplitude de octeto de cor, cujo comportamento, nas ordens dadas, pôde ser descrito como se um único glúon, reggeizado, fosse trocado, este glúon tendo um propagador multiplicado por um termo de Regge D µν (s, t) = ig µν t ( ) ɛ(t) s t A estratégia aqui então é introduzir a mão estas correções nos propagadores internos nos diagramas de emissão de n glúons, de forma que as amplitudes assim calculadas são ou equivalem às completas na nossa aproximação. A Fig. 65 mostra o procedimento; observe que os propagadores de glúon são assinalados com um asterístico, marcando a introdução do termo de Regge. Mais uma vez escrevemos os momenta k i na forma parametrizada k i = α i p 1 + β i p 2 + k i e a região com contribuição dominante em ln s é a chamada cinemática multi-regge, onde todos

117 115 Figura 65 - Escada de glúons Legenda: Espalhamento quark-quark com troca de escada de glúons de n vértices com propagadores reggeizados (parte imaginária via equação de unitaridade). Fonte: A autora, 2009.

118 116 os momenta transversos são da mesma ordem de grandeza k 2 1 = k 2 2 =... = k 2 n = k 2 n+1 = q 2 s mas com uma ordenação forte na parte longitudinal, ou seja 1 α 1 α 2... α n+1 q2 s 1 β n+1... β 2 β 1 q2 s Com as considerações feitas acima, a amplitude de espalhamento com emissão de n glúons pode ser escrita como (lembre-se de que cada vértice de Lipatov equivale a um fator do tipo g s f abc Γ ρ µν (k 1, k 2 ), considerando o fluxo de cor, e que os vértices externos podem ser tratados via aproximação eikonal) ia ρ 1...ρ n = ( 2ig s ) p µ 1 1 t a 1 ij g s f a 1a 2 b 1 Γ ρ 1 µ 1 µ 2 (k 1, k 2 ) g s f a 2a 3 b 2 Γ µ 2,ρ 2 µ 3 (k 2, k 3 ) ( i k 2 1 ( i k 2 2 ( i k 2 3 ) ( s 1 k 2 1 ) ( s 2 k 2 2 ) ( s 3 k 2 3 ) ɛ(k 2 1) ) ɛ(k 2 2) ) ɛ(k 2 3) ( ) ( g s f ana n+1b n i Γ µ µn,ρn n+1 (k n, k n+1 ) s ) ɛ(kn+1) 2 n+1 kn+1 2 kn+1 2 ( 2ig s ) p µ n+1 2 t a n+1 kl Observe ainda que... s i k 2 i = (k i 1 k i+1 ) 2 k 2 i = α i 1 α i e que podemos escrever o vértice de Lipatov como Γ ρ µν (k 1, k 2 ) = 2p 2µp 1ν C ρ (k 1, k 2 ) s com C ρ (k 1, k 2 ) = ( ) ( ) α 1 + 2k2 1 p ρ 1 + β 2 + 2k2 2 p ρ 2 (k 1 + k 2 ) ρ β 2 s α 1 s Assim, podemos contrair todos os termos em p 1 e p 2 que aparecem e resta para a ampli-

119 117 tude (lembre-se de que k 2 i = k 2 i ) A ρ 1...ρ n = 2ig s st a 1 ij ( i k 2 1 ( g s f a 1a 2 b 1 C ρ 1 i (k 1, k 2 ) k 2 2 ) ( ) ɛ(k ) α 1 ) ( ) ɛ(k 2 α1 2 ) ( ) ( ) ɛ(k 2 g s f a 2a 3 b 2 C ρ 2 i α2 3 ) (k 2, k 3 ) k 2 3 α 3... ( ) ( ) ɛ(k g s f ana n+1b n i αn n+1) 2 C ρn (k n, k n+1 ) k 2 n+1 α n+1 g s t a n+1 kl ( ) ( ) ɛ(k = 2isgst 2 a 1 ij ta n+1 i 1 1) 2 kl k 2 1 α 1 ( n ( ) ( ) ɛ(k g s f a ia i+1 b i C ρ i i αi i+1) ) 2 (k i, k i+1 ) i=1 k 2 i+1 α i+1 A parte imaginária da amplitude total de uma escada de n níveis será dada então por ImA (s, t) = ( 1)n dπ n+2 A ρ 1...ρ n (k 1,..., k n ) A ρ ρ n ( (k 1 q),..., (k n q)) α 2 A amplitude final que nós queremos é a soma de todas as ordens acima, ou seja, devemos efetuar um somatório em n de zero a infinito. Já considerando as projeções de cor, ou seja, A R = c (R) P ji lk (R) Aij kl, obtemos ImA R = 1 ( ) ) ) 4s 2 gs 4 c (R) P ji lk (t a 1 t a 1 (t a n+1 t a n+1 dπ n+2 2 ij kl n=0 ( ) ɛ(k 1 1 1)+ɛ((k 2 1 q) 2 ) n ( gs 2 k 2 1 (k 1 q) 2 α 1 k 2 i=1 i+1 (k i+1 q) 2 ( ) ) ɛ(k 2 αi i+1)+ɛ((k i+1 q) 2 ) C ρ (k i, k i+1 ) C ρ ( k i + q, k i+1 + q) f a ia i+1 b i f a i a i+1 b i α i+1 Coletando recursivamente os termos de cor no produtório e definindo ( ) C ρ (k i, k i+1 ) C ρ ( k i + q, k i+1 + q) = 2 q 2 k2 i (k i+1 q) 2 (k i k i+1 ) 2 k2 i+1 (k i q) 2 (k i k i+1 ) 2 2K (k i, k i+1 )

120 118 obtemos ImA R = 1 2 4s 2 gsg 4 R n=0 dπ n+2 ( ) ɛ(k )+ɛ((k 1 q) 2 ) n ( gs 2 k 2 1 (k 1 q) 2 α 1 k 2 i=1 i+1 (k i+1 q) 2 ( ) ɛ(k αi i+1)+ɛ((k 2 i+1 q) 2 ) ) ( 2η R ) K (k i, k i+1 ) α i+1 onde G 1 = 2/3, η 1 = 3, G 8 = 3/8 e η 8 = 3/2. Desta forma, nós temos a expressão para a amplitude de espalhamento em todas as ordens em LLA, bastando para isso resolver a integral acima e utilizar relações de dispersão para obter também a parte real da amplitude. A.1.2 Equação BFKL Queremos resolver a integral no final da seção anterior. Precisamos, para isto, do espaço de fase para n + 2 partículas, que, na região cinemática de interesse, dominante em ln s (multi- Regge), fica dπ n+2 = 1 2 n+1 (2π) 3n+2 n i=1 1 α i +1 dα i α i 1 n+1 dα n+1 0 j=1 d 2 k j δ ( α n+1 s k 2) A idéia aqui é trabalharmos em uma representação diferente, dada pela transformada de Mellin de ImA R f R (w, t) = 1 ( ) ( ) w 1 s s ImA R (s, t) d t t s e depois aplicarmos a transformada inversa para recuperarmos a amplitude (ver (63), Apêndice B, por exemplo). As transformadas de Mellin têm a característica útil aqui de que, dada uma função f (s), convolução de n funções g i f (s) = n i=1 1 α i +1 dα i α i g i ( αi 1 α i ) s 0 δ (α n s s 0 ) temos que a sua transformada é dada pelo produto das transformadas das funções g i, ou seja f (w) = n i=1 1 0 dρ i ρ w 1 i g i ( 1 ρ i ) = n g i (w) i=1

121 onde ρ i = α i α i 1 e f (w) = ( ) w 1 d 1 s 0 f (s). Assim, é fácil computar a transformada de Mellin da amplitude mencionada anteriormente f R ( w, q 2 ) = (4πα s ) 2 G R ) ( s s s 0 ( n+1 n=0 i=1 d 2 k i (2π) k 2 1 (k 1 q) 2 w ɛ (k1) 2 ɛ ( (k 1 q) 2) ( 2α s η R ) K (k 1, k 2 ) 1 1 k 2 2 (k 2 q) 2 w ɛ (k2) 2 ɛ ( (k 2 q) 2)... ( 2α s η R ) K (k n, k n+1 ) 1 1 k 2 n+1 (k n+1 q) 2 w ɛ ( ) ( kn+1 2 ɛ (kn+1 q) 2) ) É interessante notar que, reordenando os infinitos termos da expansão, podemos obter um forma recursiva para o integrando acima, de forma que f R ( w, q 2 ) = (4πα s ) 2 G R d 2 k 1 (2π) 2 k 2 (k q) 2 F R (w, k, q) 119 onde ( w ɛ ( k 2 ) ɛ ( (k q) 2)) F R (w, k, q) = 1 2α sη R 4π 2 d 2 K (k, x) x x 2 (x q) 2 F R (w, x, q) Esta é a chamada equação BFKL, em sua forma geral. vamos agora especializar para os casos de octeto e singleto de cor separadamente. A Equação BFKL para octeto de cor No caso de octeto de cor (η 8 = 3/2), vemos que os dois últimos termos de K (k, x) cancelam exatamente os termos em ɛ ( k 2 ) e ɛ ( (k q) 2) na equação BFKL, que fica então na forma wf 8 (w, k, q) = 1 3α s 4π 2 F 8 (w, q) = q 2 d 2 x x 2 (x q) 2 F 8 (w, x, q) Por substituição direta vemos que a equação acima admite a solução 1 w ɛ ( q 2 )

122 120 de onde nós podemos deduzir que f 8 ( w, q 2 ) = 2π 2 α s ɛ ( q 2 ) q 2 1 w ɛ ( q 2 ) Obtemos a amplitude de octeto de cor via a transformada inversa de Mellin ImA 8 (s, t) s = 1 2πi c+i c i ( ) w ( ) αg(t) s s dw f 8 (w, t) = 2π 2 α s ɛ (t) t t onde, mais uma vez, α g (t) = 1 + ɛ (t) é a trajetória do glúon. Observe que o pólo na amplitude equivale a l = α g (t), l o momento angular complexo, tal que l w + 1, o que pode ser visto comparando-se a expansão para a amplitude acima via transformada inversa de Mellin com a conhecida transformada de Watson-Sommerfeld. Da parte imaginária da amplitude, obtemos, em ordem α s A 8 (s, t) = 2πα s ( s t ) αg(t) A contribuição de canal-u é igual e oposta, de forma que somando-a e inserindo o termo de cor, obtemos A 8 (s, t) = 4πα s t a ijt a kl ( ) ( ) αg(t) 1 e iπα g(t) s t que é a forma antecipada da amplitude de espalhamento com troca de um glúon reggeizado. A amplitude ao quadrado, somando-se os estados finais e tirando-se a média dos iniciais fica então A qq 8 2 = ( ) ( ) 2αg(t) 2 s (8πα s ) 2 9 t Para as amplitudes de espalhamento glúon-glúon e quark-glúon, podemos generalizar as relações obtidas em ordem zero, de forma que obtemos A gg 8 2 = A qg 8 2 = ( 9 4 ( 9 4 ) 2 A qq 8 2 ) A qq 8 2 A Equação BFKL para singleto de cor Para o caso de singleto de cor, a equação BFKL fica ( ( ) w ɛ k 2 ɛ ( (k q) 2)) F 1 (w, k, q) = 1 3α s 2π 2 d 2 K (k, x) x x 2 (x q) 2 F 1 (w, x, q)

123 121 Figura 66 - Troca de singleto de cor em ordem superior Legenda: Espalhamento quark-quark com troca de singleto de cor em ordem arbitrária em LLA. Fonte: A autora, Definimos ainda uma função F (w, k, k, q), tal que d 2 k F 1 (w, k, q) = k 2 k2 F (w, k, k, q) Assim, a equação BFKL para singleto de cor pode ser colocada na forma wf (w, k, k, q) = δ (2) (k k ) + 3α ( s d 2 q 2 x 2π 2 x 2 (x q) 2 F (w, x, k, q) + ( ) 1 + (x k) 2 F (w, x, k, q) k2 F (w, k, k, q) x 2 + (x k) 2 + ( )) 1 x 2 (k q) 2 F (w, x, k, q) + (x k) 2 k 2 (x q) 2 (k q)2 F (w, k, k, q) (x q) 2 + (x k) 2 A amplitude para singleto pode ser então escrita a partir da transformada inversa de Mellin da função acima definida, que escrevemos como F (s, k, k, q), de forma que ImA 1 (s, t) s = ( 8π 2 α s ) 2 ( 2 3 ) d 2 k d 2 k F (s, k, k, q) (2π) 2 (2π) 2 k 2 (k q) 2 Introduzindo o termo de cor e recuperando a amplitude total para singleto de cor, obtemos (observe que, como antes, a amplitude para singleto de cor é puramente imaginária) A 1 (s, t) = is ( ( ) ) 8π d 2 k d 2 k F (s, k, k, q) α s δ ij δ kl 9 (2π) 2 (2π) 2 k 2 (k q) 2 Na Fig. 66, mostramos diagramaticamente a expressão acima. Note que esta é a expressão final para a interpretação em QCD perturbativa do pomeron, ou seja, troca de um estado singleto de cor (números quânticos do vácuo), no limite de Regge, onde a aproximação em ordem dominante em ln s faz sentido. Resta agora resolver a equação para F (s, k, k, q).

124 122 A Solução da equação BFKL para singleto de cor para t = 0 Para t = 0, a equação BFKL para singleto de cor fica (F (w, k, k, q = 0) F (w, k, k )) wf (w, k, k ) = δ (2) (k k ) + 3α s π 2 ( ) d 2 x (k x) 2 F (w, x, k ) k2 F (w, k, k ) x 2 + (x k) 2 o que é equivalente a wf (w, k, k ) = δ (2) (k k ) + d 2 xg (k, x) F (w, x, k ) onde G (k, x) = 2ɛ ( k 2) δ (2) (k x) + 3α s π 2 1 (k x) 2 Simbolicamente, podemos escrever a equação para t = 0 como wf = 1 + G F Como é usual em problemas de função de Green, a solução é dada a partir dos autovalores e autofunções da função de Green, de forma que F (w, k, k ) = α φ α (k) φ * α (k ) w w α onde G φ α = w α φ α Pode-se mostrar (veja (63) para detalhes) que as autofunções são da forma φ nν (k) = 1 π ( ) k iν e inθ 2 onde θ é o ângulo polar do vetor bidimensional k e o inteiro n e o real ν fazem o papel do índice α introduzido anteriormente. É claro que as autofunções precisam satisfazer a condição de completeza d 2 kφ nν (k) φ * n ν (k) = δ nn δ (ν ν ) Introduzindo a expressão para as autofunções na equação de autovalor para a função de Green, obtemos diretamente o autovalor w n (ν), dado, após alguma manipulação e algumas integrais por resíduos, por w n (ν) = 6α s π Re 1 0 dx x n +1 2 iν 1 1 x

125 123 e a função F (w, k, k ) fica, inserindo as expressões para as autofunções, F (w, k, k ) = 1 2π 2 (k 2 k 2 ) 1/2 n=0 e in(θ θ ) k ln 2 eiν k 2 dν w w n (ν) Desta expressão, o termo dominante em LLA é dado para n = 0, de forma que resta F (w, k, k ) = 1 2π 2 (k 2 k 2 ) 1/2 k ln 2 eiν k 2 dν w w 0 (ν) Expandindo em torno de ν = 0, a função w 0 (ν) é dada aproximadamente por w 0 (ν) = λ 1 2 λ ν 2 onde λ = 3αs π 4 ln 2 e λ = 3αs π 28ζ (3), onde ζ (3) = Fazendo a transformada inversa de Mellin e invertendo a ordem de integração, obtemos F (s, k, k ) = 1 1 ( s ) λ e ln2 k 2 /k 2 2π2 λ (k 2 k 2 ) ln s/k 2 k 2 2λ ln s/k 2 Esta expressão mostra que a amplitude de singleto de cor em LLA, ou seja, a troca de um pomeron hard, para t = 0, é tal que A 1 (s, t = 0) s 1+λ ou seja, da teoria de Regge α P (0) = 1 + λ = 1 + 3α s π 4 ln 2 = 1.5 para um escala de energia adequada. Este comportamento deve ser comparado com o do pomeron soft, onde α P (0) = 1.1. O que se deve ter em mente aqui é que, por construção, as definições de pomeron soft e hard são essencialmente diferentes. Se são dois regimes de um mesmo objeto ou duas entidades completamente diferentes, este é um tópico diferente e deixamos a discussão em aberto. A Seção de choque total quark-quark Uma aplicação importante do resultado da seção anterior, ou seja, a amplitude de singleto de cor para t = 0 é o cálculo da seção de choque total do espalhamento quark-quark. Pelo teorema óptico, esta é dada por (mesmos números de cor nos estados inicial e final) σ qq tot = 1 ( ) 2 s ImA 1 (s, t = 0) = 4αs 2 d 2 k d 2 k F (s, k, k ) 9 k 2 k 2

126 124 Introduzindo a solução para F (s, k, k ) e realizando as integrais em k e k com um cutoff k min, obtemos σ qq tot = 8πα2 s 9k 2 min e λy πλ y/8 sλ ln s onde definimos a variável rapidez como y = ln s/k 2 min. Para a seção de choque glúon-glúon, a expressão é a mesma, mas com os fatores de cor trocados σ gg tot = 9πα2 s e λy 2k 2 min πλ y/8 A Espalhamento elástico parton-parton e produção de di-jatos Para calcularmos o espalhamento elástico parton-parton, precisamos da solução para a amplitude de singleto de cor com t 0. Pode-se mostrar que a transformada inversa de Mellin da função F, em ordem dominante em LLA, é dada por (ver (63) para referências) F (y, k, k, q) (k q) 2 k 2 = 1 (2π) 6 + ν 2 dν ( ν2 + 4) 1 2 e w0(ν)y X ν (k, q) X * ν (k, q) onde a dependência em s foi trocada pela rapidez, definida por y ln s/ t e a função X ν (k, q) é definida por X ν (k, q) = d 2 r 1 d 2 r 2 e ik r 1 i(q k) r 2 φ ν (r 1, r 2 ) onde φ ν (r 1, r 2 ) é a autofunção (termo dominante), dada por ( (r 1 r 2 ) 2 φ ν (r 1, r 2 ) = r 2 1r 2 2 ) 1 2 +iν Assim, a amplitude para singleto de cor (quark-quark) fica sendo dada por A 1 (s, t) = is ( ) 2 + (2π) 6 (δ ν 2 ijδ kl ) dν ( 9 ν2 + 4) 1 2 e w0(ν)y I ν (q) I * ν (q) onde a função I ν (q) é dada por I ν (q) = 8π 2 α s d 2 k (2π) 2 X ν (k, q) A seção de choque diferencial pode ser dada por d ˆσ 1 dt = 1 16πs 2 A 1 (s, t) 2

127 125 Figura 67 - Espalhamento hadron-hadron Legenda: Espalhamento hadron-hadron via troca de pomeron. Fonte: A autora, de forma que finalmente obtemos (veja (63) para detalhes) d ˆσ 1 qq dt = π 3 ( 8 9 ) 2 α 4 s t 2 e 2λy (πλ y/8) 3 Para espalhamento glúon-glúon a única coisa que muda é um fator de cor, de forma que d ˆσ 1 gg dt = ( ) 4 9 qq d ˆσ 1 4 dt Por completeza, para espalhamento parton-parton na troca de octeto de cor obtemos (utilizamos a amplitude calculada em seção anterior) qq ( ) d ˆσ 8 8 α 2 = π s dt 9 t 2 e2ɛ(t)y gg ( ) d ˆσ qq d ˆσ 8 = dt 4 dt Como conclusão, seria interessante observar como se daria a produção de di-jatos de alto p T em espalhamento hádron-hádron, via troca de pomeron, no limite de altas energias. Em linguagem da teoria de BFKL, a troca de pomeron é garantida pelo espalhamento partonparton, via troca de singleto de cor, onde estes partons devem, via modelo a partons da QCD, ser emitidos dos hadrons com uma determinada fração de momento destes de acordo com uma função de distribuição. A Fig. 67 ilustra o processo. A seção de choque diferencial para produção de di-jatos via troca de pomeron (que possui como assinatura a presença de um gap de rapidez entre os jatos), no limite de altas energias (limite de Regge), fica então dσ jj gap dp 2 dx 1 dx 2 = ab ( ( ) f a x1, pmin) 2 fb x2, p 2 d ˆσ 1 min dˆt

128 126 onde x 1 e x 2 são as frações de momento dos hádrons carregadas pelos partons e ˆt = p 2, onde p é o momento transverso dos quarks finais (jatos). Observe que a escala de energia foi definida por p 2 min, o momento transverso mínimo dos jatos, que deve ser grande o suficiente tal que faça sentido a aplicação da QCD perturbativa.

129 127 APÊNDICE B Equações DGLAP As medidas da função de estrutura F 2 (x, Q 2 ) pelo DIS nas regiões de pequeno x, onde x é a variável de Bjorken que representa a fração de momento carregado por cada párton, isto é, quarks e glúons, e Q 2 é o quadrimomento da troca de bóson, abriram uma nova era nas medidas das densidades de párton dentro dos hádrons. As funções de estrutura refletem as distribuições dos pártons nos núcleos. Como temos diferentes quantidades de quarks up e down nos prótons e nos nêutrons, através das medidas das funções de estrutura F p 2 e F2 d, e com as simetrias de isospin, podemos ter as distribuições de cada quark. A dependência de Q 2 e de x nas funções de estrutura pode ser usada para testar a QCD perturbativa (QCDP). Na QCDP, o comportamento para altos valores de Q 2 do DIS é descrito pelas equações de Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi (20) (21) (22) (DGLAP). No limite assintótico (altas energias, isto é, x pequeno e alta virtualidade do fóton Q 2 ), as equações DGLAP podem ser resolvidas e as funções de estrutura cresce aproximadamente como uma série de x para pequenos x. As equações DGLAP são equações fundamentais da QCD perturbativa, elas quantificam o tamanho do scaling violado no DIS e, as fatorizam em altas energias, elas são usadas extensivamente para a determinação da densidade dos pártons nos hádrons. B.1 Função de Estrutura na QCD O modelo a párton é somente uma aproximação em primeira ordem. Antes de tudo, os constituintes partônicos dos hádrons não são objetos livres. Eles são descritos pela QCD, a teoria de interação dos quarks e glúons. Do ponto de vista empírico, o scaling previsto pelo modelo a párton é violado. As funções de estrutura aparecem dependendo de Q 2, de uma forma logarítmica. Neste momento, vamos estudar esse comportamento da QCD perturbativa. Como nós sabemos, no modelo a párton a seção de choque do DIS é a soma das seções de choque dos espalhamentos dos componentes individuais do alvo. Então, se introduzirmos a função de distribuição dos quarks f q (ξ) como a densidade de probabilidade de encontrar um quark q com fração de momento ξ do alvo, a função de estrutura F 2 fatorizada pode ser escrita como: F 2 (x) = q, q 1 x dξf q (ξ) F q 2 ( ) x ξ (52) onde F q 2 é a função de estrutura elementar dos quarks, isto é, no modelo a párton é proporcional

130 128 Figura 68 - Espalhamento profundamente inelástico l l q P P x Legenda: Diagrama de um espalhamento profundamente inelástico (Deep Inelastic Scattering - DIS) Fonte: A autora, 2009.

131 129 Figura 69 - Espalhamento α q (a) (b) (c) (d) (e) (e) Legenda: Processos que contribuem para o espalhamento α q Fonte: A autora, a seção de choque do espalhamento γ q. No modelo a párton este processo é simplesmente γ q( q) q( q) e F q 2 é dado por: F q 2 = e 2 qδ(1 z) (53) Então a equação(52) fica: F 2 (x) = x q e 2 q[f q (x) + f q (x)] (54) Neste caso não estamos considerando que os quarks (antiquarks) interagem emitindo e absorvendo glúons. Então existem outros processos que contribuem para a seção de choque de γ q( q). Para ordem de αs 1 temos os seguintes diagramas: - Emissão de glúons reais: canal- t (b) e canal-ŝ (c); - Radiação de um glúon virtual: correção de vértice (d) e auto-interação (e,f) A amplitude de espalhamento para o diagrama (c) é (ver figura 69): ia (0) (s, t) = ū(2) ( ig s (t a ) ij γ ν ) ɛ 4ν [ i( q + mc) q 2 m 2 c 2 ] ( ig e γ µ ) ɛ 3µu(1) (55)

132 130 onde q = p 1 + p 3 então q 2 m 2 c 2 = p 2 1 2p 1 p 3 + p 2 3 m 2 c 2 = 2p 1 p 3 : A (0) (s, t) = g sg e ū(2) [ ] γ ν ɛ 2p 1 p 4ν( p 1 + p 3 + mc)γ µ ɛ 3µ u(1)(t a ) ij (56) 3 Os índices i, j são índices de cor dos quarks e a, da cor do glúon. Para partículas com spin 0 reais temos a condição T ɛt µ ɛ T ν g µν, usando as variáveis de Mandelstam s = (p 1 + p 3 ) 2 = 2p1 p 3 (s = m m p 1 p 2 = 2E1 E 3 2 p 1 p 3 mas m 3 = 0, massa do fóton, e m 1, massa do próton, é desprezível em relação as energias): A (0) (s, t) = g sg e s ū(2)γν ( p 1 + p 3 + mc)γ µ u(1)(t a ) ij (57) forma Tomando a média quadrada sobre todas as cores da amplitude, o fator de cor fica da fator de cor = 1 (t a N ij)(t a ij) = 1 c 2 2Nc 2 = 1 18 (58) Então a amplitude para o diagrama (c) fica: A (0) 2 = 1 9 (g sg e ) 2 ( t s ) (59) Similarmente para o diagrama (b) (crossing de t s): A (0) 2 = 1 9 (g sg e ) 2 ( s t ) (60) Considere os diagramas (b) e (c). Temos duas singularidades: (i) uma singularidade colinear, no canal t quando t 0, isto é, quando o glúon é emitido paralelamente ao quark (note que t (1 cos θ), onde θ é o ângulo de espalhamento no CM); (ii) uma singularidade se a emissão do glúon for mole (soft); Mas a divergência soft se cancela na soma das contribuições dos glúons reais e dos glúons virtuais. Podemos regularizar esta singularidade usando um cutoff κ 2 0 no momento trans-

133 131 verso κ 2 do quark em questão. Então os diagramas de O(α s) contribuem para F q 2 na forma: F q 2 (z, Q 2 ) = α ] s 2π e2 qz [P (z) ln Q2 + h(z) κ 2 0 (61) onde P (z) e h(z) são funções finitas. Note que dependência da escala aparece em F q 2 na ordem de α 1 s. A forma convoluida da equação (52), introduzindo a dependência em Q 2 : F 2 (x, Q 2 ) = q, q 1 x dξf 0 q (ξ) F q 2 ( ) x ξ, Q2 (62) Somando (61) com a contribuição em α 0 s (53), temos a função de estrutura: F 2 (x, Q 2 ) = q, q { e 2 qx fq 0 (x) + α s 2π [ P ( ) x ln Q2 + h ξ κ x ( x ξ dξ ξ f q 0 (ξ) )] } +... (63) Vamos introduzir o termo fatorização µ 2, então o termo divergente do logaritmo pode ser dividido em duas partes: ln Q2 κ 2 0 = ln Q2 µ2 + ln µ 2 κ 2 0 E também separamos arbitrariamente a função finita h(z) em duas partes: (64) h(z) = h(z) + h (z) (65) e então absorvemos a singularidade ln(µ 2 /κ 2 0) no termo h (z) numa redefinição da distribuição dos quarks. Então definimos a função de distribuição renormalizada como: q(x, µ 2 ) = fq 0 (x) + α 1 [ s dξ 2π x ξ f q 0 (ξ) P ( ) ( )] x ln µ2 x + h +... (66) ξ κ 2 0 ξ A separação (65) define um esquema de fatorização. A função de estrutura F 2 em termos de q(x, µ 2 ) fica:

134 132 F 2 (x, Q 2 ) = q, q 1 ( ) e 2 dξ x qx x ξ q(ξ, µ2 )C ξ, Q2, µ 2 (67) onde C(x/ξ, Q 2, µ 2 ), chamada de função coeficiente, é dada por C ( ) x ξ, Q2, µ 2 = δ(1 z) + α ] s [P (z) ln Q2 2π µ + h(z) +... (68) 2 Uma outra forma de retirar essas divergências é usando a regularização dimensional. Trabalhando em um espaço com dimensão (4 + ɛ), as singularidades aparecem como pólos do tipo 1/ɛ. E estes pólos são absorvidos na definição da distribuição dos pártons. Temos também que re-escalar a constante de acoplamento forte (para termos uma constante adimensional em 4 + ɛ dimensões ): g s g s µ ɛ/2 r (69) Isto introduz a escala de renormalização µ r, que idenificamos como escala de fatorização. Então, F 2 (x, Q 2 ) fica: F 2 (x, Q 2 ) = q, q { e 2 qx fq 0 (x) + α s 2π [ P ( ) x ln ξ 1 dξ x ξ f q 0 (ξ) ( Q 2 µ + 2 ) + h 2 ɛ ( )] } x +... ξ (70) E a função finita h tem a estrutura (γ E = é a constante de Euler): h(z) = h(z) + (γ E ln 4π)P (z) (71) Absorvendo o termo (2/ɛ+γ E ln 4π) na função de distribuição renormalizada q(x, µ 2 ), definindo o esquema MS: F 2 (x, Q 2 ) = q, q com 1 ( ) e 2 dξ x qx x ξ q(ξ, µ2 )C MS ξ, Q2, µ 2 (72)

135 133 C MS ( x ξ, Q2, µ 2 ) = δ(1 z) + α s {P (z) ln Q2 2π µ 2 } +[ h(z) (γ E ln 4π)P (z)] +... (73) Como F 2 (x, Q 2 ) é uma observável física, não pode depender de uma quantidade não física µ 2. Diferenciando (67) com respeito a ln µ 2 temos uma equação que governa a dependência da escala da distribuição de quarks q(x, µ 2 ) ln µ 2 = α 1 s dy 2π x y P ( ) x q(y, µ 2 ) (74) y Esta equação diferencial é conhecida como equação de Dokshitzer(1977)-Gribov-Lipatov(1972)- Altarelli-Parisi(1977) ou DGLAP. B.2 Equações DGLAP A equação DGLAP é a análoga a equação da função β que descreve a variação de α s (t) com t e esta é uma das mais importantes equações da QCD perturbativa. A derivação acima não é completamente rigorosa, por exemplo, foi introduzido t como argumento da constante de acoplamento, mas um tratamento mais exato baseado na expansão de produtos de operadores e nas equações do grupo de renormalização estendem o resultado para ordens superiores na teoria de perturbação. Então, a função P (x) representa a probabilidade para um quark emitir um outro quark com fração de momento x. Esta, pode ser expandida em série de potências de α s : P (x, α s ) = n α n s P (n) (x) (75) Em leading order, em O(α 0 s) na função P (x) e O(α 1 s) na função coeficiente, na equação de DGLAP contribuem efetivamente com (α s ln Q 2 ) n Se definirmos a distribuição do estado não-singleto: q NS (x, Q 2 ) = q(x, Q 2 ) q(x, Q 2 ) (76)

136 134 e a do estado singleto: Σ(x, Q 2 ) = i [q i (x, Q 2 ) + q i (x, Q 2 )] (77) onde a soma é sobre todos os sabores. Usando t = ln Q2 µ 2 a equação DGLAP toma a forma matricial de dimensão (2n f + 1) no espaço dos quarks, antiquarks e glúons: q NS (x, t) t = α s(t) 2π 1 x ( ) dy x y P qq y, α s(t) q NS (y, t) (78) e ( t Σ(x, t) g(x, t) ) = α s(t) 2π 1 x dy y ( ) P x qq, α y s(t) ( ) x P gq, α y s(t) ( ) x 2n f P qg, α y s(t) ( ) x P gg, α y s(t) ( Σ(y, t) g(y, t) ) (79) onde n f é o número de sabores. Cada função splitting tem uma expansão perturbativa na constante de acoplamento: ( ) x P qi q j ξ, α s = δ ij P qq (0) ( ) x P q g ξ, α s = P qg (0) ( ) x P g q ξ, α s = P gq (0) ) P g g ( x ξ, α s = P (0) gg ( ) x + α ( ) s x ξ 2π P q (1) i q j +... ξ ( ) x + α ( ) s x ξ 2π P qg (1) +... ξ ( ) x + α ( ) s x ξ 2π P gq (1) +... ξ ( ) x + α ( ) s x ξ 2π P gg (1) +... (80) ξ Mas devido a invariância da conjugação de carga e a simetria de sabor do SU(n f ), as funções splitting P q g e P g q são independentes do sabor do quark. P qi q j = P qi q j P qi q j = P qi q j P q g = P q g P g q = P g q A função splitting P qi q j pouco mais simples. (81) em LO é zero se q i = q j, o que torna a equação matricial um

137 135 As funções splitting P (0) ab em LO é interpretada como a probabilidade de encontrar um párton do tipo a num párton do tipo b com fração x do momento longitudinal do párton-pai e um momento transverso quadrado muito menor que µ 2 (22). A interpretação de probabilidade implica que as funções splitting são positivas definidas para x < 1, e satisfazem as regras de soma: dxp (0) qq (x) = 0 dxx[p (0) qq (x) + P (0) gq (x)] = 0 dxx[2n f P (0) qg (x) + P (0) gg (x)] = 0 (82) (83) Que corresponde a conservação do número de quarks e a conservação do momento. Em leading order as funções P (22) são: [ 1 + x Pqq(x) 0 2 = C F + 3 ] δ(1 x) (1 x) + 2 (84) Pqg(x) 0 = 1 2 [x2 + (1 x) 2 ] (85) [ ] 1 + (1 x) Pgq(x) 0 2 = C F (86) x [ Pgg(x) 0 x = 2C A + 1 x ] + x(1 x) + 11C A 2n f δ(1 x) (87) (1 x) + x 6 onde C F e C A estão relacionados com os números de cores N c por C F C A = N c e a prescrição + significa uma função f(x) tal que: = (N 2 c 1)/2N c e 1 0 dx f(x) = (1 x) f(x) f(1) dx 1 x (88) Uma formulação alternativa das equações de evolução é em termos dos momentos (transformação de Mellin) das distribuições dos pártons: f(n, t) = 1 0 dxx N 1 f(x, t) (89) A partir de f(n, t) as distribuições no espaço-x pode ser obtida usando a transformada

138 136 inversa de Mellin: f(x, t) = 1 2πi c+i c i dnx N f(n, t) (90) Os momentos das funções splitting são chamados de dimensões anômalas γ qq : γ(n, α s ) = 1 0 dxx N 1 P (x, α s ) (91) A transformada de Mellin de uma convolução de duas funções é o produto das transformadas de Mellin dessas funções, então as equações de evolução tornam-se equações algébricas quando reexpressadas em termos dos momentos de distribuição. As equações (78) e (79), no espaço-n ficam: q NS (N, t) t = α s(t) 2π γ qq(n, α s )q NS (N, t) (92) ( t Σ(N, t) g(n, t) ) = α s(t) 2π ( γ qq γ gq 2n f γ qg γ gg ) ( Σ(N, t) g(n, t) ) (93) As dimensões anômalas em leading order são: γ 0 gg(n) = 2C A [ anômalas: γ 0 qq(n) = C F [ 1 N ] N(N + 1) 2 1 k k=2 k=2 (94) γqg(n) 0 = 1 2 [ 2 + N + N 2 N(N + 1)(N + 2) ] (95) [ ] 2 + N + N γgq(n) 0 2 = C F (96) N(N 2 1) 1 N ] N(N 1) + 1 N(N + 1) 1 n f (97) k 3 Note que os pólos da função splitting em x = 0 aparecem em N = 1 para as dimensões

139 dxx N 1 1 (1 x) + = dxx N x = 1 N 1 dx xn 1 1 ln N (98) (x 1) B.2.1 Solução da equação DGLAP A solução da equação DGLAP é simples para o estado não-singleto q NS. Inserindo equação da constante de acoplamento em baixa ordem na equação(92): α s (Q 2 ) = 1 b ln(q 2 /Λ 2 ) b = (33 2n f) 12π (99) Obtemos a solução para os momentos das distribuiçõesns: q NS (N, t) = q NS (N, t 0 ) ( ) dqq(n) αs (t 0 ) α s (t) d qq (N) = γ(0) qq (N) 2πb (100) de Mellin: Finalmente, a distribuição no espaço-x pode ser obtida usando a transfomação inversa q NS (x, t) = 1 dnx N q NS (N, t) (101) 2πi C Onde o contorno de integração no plano complexo, é paralelo ao eixo imaginário e a direita de todas as singularidades do integrando. Exceto em casos especiais, a transformação inversa pode ser calculada por integração numérica. Em particular, tomando as soluções para x grande do tipo q NS (x, t) (1 x) a(t). Então para N q NS (N, t) N a(t). Pela equação(92): γ qq (N) 2C F ln N, j 1 (102) O lado direito da equação(100) para limite de N grande: N a(t 0) ( ) CF ln N/πb αs (t 0 ) = N a(t 0) C F ln(α s(t 0 )/α s(t))/πb α s (t) (103)

140 138 A solução da equação de evolução no limite x 1 é (a 0 = a(t 0 )): q NS (x, t) (1 x) a 0+C F ln(α s(t 0 )/α s(t))/πb (104) Como t aumenta, o expoente cresce lineramente com ln t, confirmando qie a distribuição diminui para x grande. Para encontrar a solução analítica para a combinação do singleto e para o glúon, temos que resolver a equação de autovalores da matriz 2 2 das dimensões anômalas. Os autovalores α ± são soluçõesda equação quadrática dada por (22): γ qq γ γ gq 2n f γ qg γ gg γ (105) Então: γ ± = 1 2 [ ] γ gg + γ qq ± (γ gg γ qq ) 2 + 8n f γ gq γ qg (106) O método do momento pode ser usado para ilustrar algumas propriedades das soluções. Para N = 2, temos: ( t Σ(2, t) g(2, t) ) = α s(t) 2π ( 4/3C F 1/3n f 4/3C F 1/3n f ) ( Σ(2, t) g(2, t) ) (107) Os autovetores e os seus respectivos autovalores desse sistema de equaçõessão: O + (2, t) = Σ(2, t) + g(2, t) autovalor 0 O (2, t) = Σ(2, t) g(2, t) autovalor ( 4 3 C F + n ) f 3 (108) Note que a combinação O +, que corresponde ao momento total carregado pelos quarks e glúons, não depende de t. O autovetor O 0 quando t : O (2, t) = ( ) d αs (t 0 ) (2) 0, α s (t) comd (2) = γ (2) 2πb = 4/3C F + 1/3n f 2πb (109)

141 139 Então assintoticamente temos: Σ(2, t) g(2, t) n f 4C F = 3 16 n f (110) As frações de momento f q e f g carregado pelos quarks e glúons no limite µ 2 = t : f q = 3n f n f f g = n f (111) Note que, a aproximação para este limite assintótico é controlado por ln t. Para a solução das equações de evoluçãopara os momentos das combinaçõesde singleto de e não-singleto das distribuições dos quarks, a evolução dos momentos de qualquer sabor pode ser determinado. E as distribuições em x podem ser determinadas através da transfomação inversa de Mellin: f a (x, µ 2 ) = 1 dnx N f a (N, µ 2 ), a = q i, g (112) 2πi C

142 140 APÊNDICE C Gráficos Adicionais C.1 Resultados Na figura 70 temos a multiplicidade dos traços para diferentes valores de η entre os dois jatos dominantes. Na figura 71 temos a soma do momentum do p T dos traços para diferentes valores de η entre os dois jatos dominantes. Na figura 72 temos a multiplicidade das torres dos calorímetros ativadas no evento, para diferentes valores de η entre os dois jatos dominantes. Na figura 73 temos a soma da energia depositada nos calorímetros, para diferentes valores de η entre os dois jatos dominantes.

143 141 Figura 70 - Distribuição da multiplicidade dos traços na lacuna (a) (b) (c) Legenda: Distribuição da multiplicidade dos traços no intervalo de pseudorapidez entre os dois jatos dominantes em p T, medida nos dados reais (pontos) e prevista pelo Monte Carlo, para diferentes valores da separação entre os dois jatos dominantes (a) Multiplicidade dos traços para η > 3.0 (b) Multiplicidade dos traços para η > 4.0?? Multiplicidade dos traços para η > 5.0 Fonte: A autora, 2009.

144 142 Figura 71 - Soma de p T dos traços na lacuna (a) (b) (c) Legenda: Distribuições da soma do momentum transverso dos traços no intervalo de pseudo-rapidez entre os dois jatos dominantes em p T, medida nos dados reais (pontos) e prevista pelo Monte Carlo, para diferentes valores da separação entre os dois jatos dominantes. (a) p T dos traços para η > 3.0 (b) p T dos traços para η > 4.0 (c) p T dos traços para η > 5.0 Fonte: A autora, 2009.

145 143 Figura 72 - Multiplicidade das torres do calorímetro na lacuna (a) (b) (c) Legenda: Distribuição da multiplicidade das torres do calorímetro no intervalo de pseudorapidez entre os dois jatos dominantes em p T, medida nos dados reais (pontos) e prevista pelo Monte Carlo, para diferentes valores da separação entre os dois jatos dominantes. (a) Multiplicidade das torres do calorímetro para η > 3.0 (b) Multiplicidade das torres do calorímetro para η > 4.0 (c)multiplicidade das torres do calorímetro para η > 5.0 Fonte: A autora, 2009.

146 144 Figura 73 - Soma da energia depositada nos calorímetros na lacuna (a) (b) (c) Legenda: Distribuições da soma da energia depositada nos calorímetros no intervalo de pseudo-rapidez entre os dois jatos dominantes em p T, medida nos dados reais (pontos) e prevista pelo Monte Carlo, para diferentes valores da separação entre os dois jatos dominantes. (a) E depositada nas torres do calorímetro para η > 3.0 (b) E depositada nas torres do calorímetro para η > 4.0 (c) E depositada nas torres do calorímetro para η > 5.0 Fonte: A autora, 2009.

147 145 Figura 74 - Multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro na lacuna (a) (b) Legenda: Distribuições da multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro no intervalo de pseudo-rapidez entre os dois jatos dominantes em p T.(a) Dados: dijets (b) MC: dijets Fonte: A autora, Figura 75 - Multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro na lacuna para η > 3.0. (a) (b) Legenda: Distribuições da multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro no intervalo de pseudo-rapidez entre os dois jatos dominantes em p T com η > 3.0. (a) Dados: dijets com η > 3.0 (b) MC: dijets com η > 3.0 Fonte: A autora, 2009.

148 146 Figura 76 - Multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro na lacuna para η > 4.0. (a) (b) Legenda: Distribuições da multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro no intervalo de pseudo-rapidez entre os dois jatos dominantes em p T com η > 4.0. (a) Dados: dijets com η > 4.0 (b) MC: dijets com η > 4.0 Fonte: A autora, Figura 77 - Multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro na lacuna para η > 5.0. (a) (b) Legenda: Distribuições da multiplicidade de traços X multiplicidade de torres do calorímetro no intervalo de pseudo-rapidez entre os dois jatos dominantes em p T com η > 5.0. (a) Dados: dijets com η > 5.0 (b) MC: dijets com η > 5.0 Fonte: A autora, 2009.