Exponenciais. Notas: Rodrigo Ramos

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1 Exponenciais Notas: Rodrigo Ramos 1 o. sem Versão 1.0 Obs: Esse é um texto de matemática, você deve acompanhá-lo com atenção, com lápis e papel, e ir fazendo as coisas que são pedidas ao longo do texto. Muitos materiais extras estão disponíveis na rede sobre o assunto, aqui temos apenas uma compilação das questões abordadas em aula. 1 Função exponencial Uma função exponencial é uma função, y(x), do tipo: y = b ax. Note que a variável (x) está no expoente de b (base). a é um coeficiente que pode ser positivo ou negativo. A função exponencial representa principalmente dois tipos de processo: a) Crescimento rápido Por exemplo: o crescimento de populações sem limitações do ambiente e de competição (modelo de Malthus); O crescimento de dívidas com juros compostos (juros sobre juros); Enfim, qualquer processo de crescimento onde a taxa de crescimento de um período a outro depende (é proporcional) da quantidade absoluta presente no período anterior. b) Decrescimento lento Por exemplo: o decaimento radioativo, quando após um período a quantidade de material radioativo reduz à metade em relação à quantidade anterior. A versatilidade da função, ainda possibilita descrever processos que evoluem assintóticamente 1 a um determinado valor limite. Um exemplo é o caso do modelo da queda de um corpo submetido à uma força de resistência proporcional à sua velocidade (movimento em meio viscoso). 2 Exemplos simples Consideremos o caso de uma população de bactérias, que a cada uma unidade de tempo (tempo: x) duplica (porque cada bactéria duplica individualmente). Caso encontre erros ou coisas do tipo, por favor me avise. rodrigo.ramos.dr@gmail.com, ou pessoalmente. 1 Que se aproxima continuamente sem nunca ultrapassar um determinado valor

2 Gráfico 1: Exemplo de crescimento exponencial (s/ mortalidade): a cada 20 segundos uma bactéria se replica 2 A população (y, em número de indivíduos) em termos do tempo (x, em unidade de ciclo de reprodução) é descrita pela tabela abaixo, e pelo gráfico 2. x (tempo) y (população) BBC: resistancerev2.shtml

3 Gráfico 2: Funções exponenciais y = 2 x (crescimento expoencial) e y = x (decrescimento exponencial). Para um exemplo de processo de decrescimento exponencial considere uma certa quantidade y. Inicialmente a quantidade total de y é igual a 500 unidades, mas a cada intervalo de tempo a quantidade é reduzida pela metade (tempo chamado de meia vida ). A tabela para esse processo segue abaixo, e o gráfico é representado no gráfico 2 (à direita). x (tempo) y (quantidade) ,5 4 31, , , ,90625 Um exemplo prático desse processo é o decaimento radioativo do carbono 14. A cada 5730 anos a quantidade de carbono 14 (isótopo radioativo do carbono) é reduzido pela metade. Nos seres vivos tipicamente a quantidade de carbono 14 é semelhante a sua abundância natural, sendo constantemente reincorporada nos organismos pela troca de carbono com a atmosfera (nos processos de alimentação, respiração, fotossíntese etc.). A abundância natural é de cerca de uma parte em um trilhão. Após a morte do organismo, essa troca acaba, e então a quantidade de carbono 14 passa a reduzir por decaimento, possibilitando seu uso como relógio para medir o tempo em que aquele material orgânico deixou de fazer parte de um organismo vivo.

4 Gráfico 2: Concentração de carbono 14 ao longo dos anos na matéria orgânica morta 3.A proporção inicial 100% é padrão, e supõem-se a quantidade inicial de 10g (valor exagerado para apenas fixar idéias). Obs: meia-vida = half life. 3 Modelo de Malthus 3.1 Crescimento populacional estimado na sala de aula A sala de aula é um exemplo de grupo que guarda alguma correspondencia com um grupo maior em que está incluído, no caso a população brasileira. A população brasileira cresce ano a ano, a sua taxa de crescimento é uma característica. Vamos avaliar se existe uma correspondência entre o crescimento calculado para a sala e o crescimento calculado para a população brasileira. Ao fazermos isso intencionamos discutir processos de crescimento exponencial e relembrar propriedades das exponenciais e logaritmos que são estudados nos cursos de cálculo. Calcule a média de idade da sala (por exemplo 25 anos), o número de indivíduos na sala (por exemplo 40), e o número de crianças que temos na sala (por exemplo 8). De maneira simplificada podemos dizer que a taxa de natalidade é: 8f ilhos 40pessoas 25anos pessoa = 0, 008 0, 01 pessoa ano = 0, 01ano 1 Ou seja, em média, a cada ano cada pessoa tem 1 milésimo de filho. Como filhos são pessoas: cada pessoa gera 1 milésimo de pessoa por ano, que é o mesmo que 0, 01pessoa/pessoa.ano = 0, 01/ano = 0, 01ano 1. Isso equivaleria a dizermos que em média, e em primeira aproximação (linear), precisaríamos de 25 anos para que em um grupo de 40 pessoas tenhamos 8 crianças. 4 3 fonte: sciencelearn.org.nz 4 Claro que não estamos considerando a idade das crianças, e tampouco a idade dos que têm filhos, ou com quantos anos tiveram. Trata-se de uma aproximação, para obter um número característico.

5 Se consideramos esse número como uma estimativa da taxa de juros da população da sala. Então poderíamos escrever para uma população de N pessoas que se reproduzem nessa taxa: y = N(1 + j) x = N(1 + 0, 01) x = N 1, 01 x (1) 3.2 Evolução populacional brasileira Considere a população brasileira (y) descrita pela curva de crescimento exponencial ao longo do tempo (x): y = be ax Consideremos duas informações sobre a população brasileira: 90 milhões de brasileiros em ; cerca de 200 milhões de brasileiros em Essas duas informações podem ser utilizadas para determinar os parâmetros a e b da exponencial, definindo a função y (que, lembrando, descreve o número de brasileiros no ano x). Por simplicidade vamos considerar 1970 como correspondendo à x = 0. Assim, 1980 corresponde a x = 10, 2010 a x = 40, 1910 a x = -60, etc... ano x (ano em relação a 70) y (milhões) Essas duas informações em equações, usando y = be ax : 90 = be a 0 90 = b 200 = be a 40 Com b determinado na primeira equação a segunda equação pode ser usada para determinar a, substituindo: Obs: log e () = ln() 200 = 90e 40a = e 40a log e 2, = 40a 40a 0, 80 a 0, 02 Assim, para a população brasileira, usando essas duas afirmações estimamos que o tamanho da população se comporta de acordo com a equação: 5 Número imortalizado na canção Pra Frente Brasil de Miguel Gustavo, feita para a utilização nas transmissões da copa de Alguns diriam 190 milhões, de qualquer forma é senso comum esse número nos últimos anos.

6 y = 90e 0,02x Onde x corresponde ao ano, sendo 1970 correspondente à x = 0; e o resultado (y) é dado em milhões de brasileiros. Usemos essa curva para estimar qual a população brasileira em 1920: 1920 x = 50 y = 90e 0,02 ( 50) = 90e 1 = 33 Ou seja, segundo nossa exponencial ajustada a população brasileira em 1920 era de cerca de 33 milhões de pessoas. O dado oficial para 1920 é de O erro de nossa estimativa é portanto de cerca de 3 milhões em 30 milhões, o mesmo que 1 parte em 10, ou seja 10% de erro. Nada mal ein? 3.3 Comparando a sala de aula com a população brasileira Se fôssemos usar a sala de aula como estimativa para o crescimento popular brasileiro a partir da década de 1970, escreveríamos: y sala = 90 1, 01 x Mas, usando a evolução histórica na seção anterior obtivemos: y = 90e 0,02x Como comparar essas duas exponenciais? Ou seja como saber se estamos falando coisas semelhantes ou completamente distintas? O truque se chama mudança de base. Vamos passar a expressão 1, 01 x para a base natural: e. Isso é possível se descobrirmos qual o valor c tal que 1, 01 = e c Mas essa equação pode ser resolvida facilmente com o logaritmo: c = ln 1, 01 = 0, , 01 Ou seja: 1, 01 = e 0,01, a substituição direta na expressão para y: y sala = 90 1, 1 x = 90e 0,01x Então note que um crescimento populacional como o da sala teria um coeficiente 0,01 pessoa/ano, ao passo que a população brasileira como um todo, historicamente, seguiu a taxa 0, 02 pessoa/ano. 7 fonte:

7 A discrepância entre os resultados da sala e do valor histórico (aproximado no período ), depende de muitas circunstâncias como o momento histórico, recorte social, etc... daí sua diferença. Também a conta foi feita de maneira simples, diversas aproximações, baixa precisão na nossa estimativa de taxa de natalidade na sala etc... 4 Saturação e arrasto A exponencial por ter assíntota pode ser usada para modelar processos com saturação. Um exemplo de curva com esse fenômeno são as exponenciais graficadas abaixo. Esse efeito pode aparecer por exemplo, a evolução da população da Grande São Paulo: Fonte: wikipedia/dados: IBGE

8 Vemos que o crescimento populacional está evoluindo para um valor constante (ou seja está saturando). Isso se deve a fatores limitantes como disponibilidade de recursos. Outro problema clássico em que aparece a saturação é a queda de um corpo com força de arrasto (resistência do ar). Essa força é proporcional a velocidade de deslocamento do corpo contra o meio fluido 8. Assim um corpo em queda com arrasto apresenta uma velocidade limite (ou terminal), quando a força peso é igualada pela força de resistência, estabelecendo o equilíbrio (aceleração nula), fazendo com que a velocidade permaneça constante. Esse fenômeno pode ser modelado com a força de resistência dada por F r = bv 9, onde b é um coeficiente característico que depende da forma do corpo, da rugosidade de sua superfície, etc... A equação de Newton para este movimento é: P bv = m dv dt A solução desta EDO por separação de variáveis, considerando a velocidade inicial igual a zero (v(0) = 0) é: Note que a velocidade limite é v = mg b ( 1 e bt/m ). mg lim v(t) = t b Considerando um corpo de m = 10kg, que cai sobre ação de uma aceleração da gravidade de g = 10m/s 2 a partir do repouso e com coeficiente de arrasto b = 10Ns/m, vai ter suas velocidades descritas neste modelo pela função Que é graficada abaixo. v = 10 ( 1 e t) 8 o que você pode verificar ao notar que a força sobre sua mão quando está dentro de algum automóvel, aumenta conforme maior a velocidade do carro 9 ou ainda por F r = bv 2

9 Um paraquedas é um exemplo de sistema que pode ser modelado dessa forma. Supondo que a velocidade terminal seja de 1m/s, e a massa do paraquedista mais equipamento seja de 90kg. Então o coeficiente efetivo de arrasto tem que ser dado por: v lim = mg b 1 = b b = 900N s/m O arrasto, como toda força de atrito, quebra a conservação da energia. A energia potencial não é integralmente convertida em energia cinética de queda, e na situação de velocidade limite a energia potencial é integralmente dissipada (energia cinética se torna constante). A força de arrasto F r = bv é a força que introduzimos nos osciladores (massa-mola e pêndulo) nos modelos de osciladores amortecidos. Na eletricidade a força de arrasto é devida aos resistores V = Ri, sendo o sinal negativo introduzido na equação diferencial para a corrente devido á lei de Kirchoff. O sistema elétrico passivo equivalente ao problema da queda de um corpo com arrasto é a curva de carga Q(t) do capacitor ligado em série com um resistor e uma fonte de tensão constante (DC).

10 5 Detalhes técnicos 5.1 O número e O número e, número de Euler (ou número de Nepper), é um número irracional como é o π. Assim como o π ele não é gerado pela solução de um problema algébrico como x 2 = 2. O número e é definido como: ( e = lim n = 2, n n) 1/n... Exercício: Calcule e, usando: a) n = 10, b) n =100, c) n=1000. Note que a estrutura ( n) n tem uma certa semelhança com a estrutura (1 + j) n... Se j = É nessa estrutura que mora a importância do número de Euler. taxa de juros em tempo contínuo (quando cada ciclo de juros fica muito pequeno, como se fosse efetuado à intervalos ainda menores que bilionésmos de segundo 10 ). Considere uma taxa de juros de 100%, j = 1, que atuasse em um perído de n meses. Por mês a taxa seria de j = 1/n. Se você considerasse a evolução dos juros de 1 em 1 mês à essa taxa teria o fator: ( ) n n Se o número de períodos de juros é grande, o juro j de cada sub-período vai ficar muito pequeno (esse sub período, ficando pequeno leva ao tempo contínuo ). Após os muitos n ciclos de juros de 1/n a dívida cresceria do fator e = 2, Ocorre que os processos naturais ocorrem em tempo contínuo... a população brasileira está se reproduzindo nesse segundo, e nesse segundo seguinte em que você está terminando esse parágrafo já nasceu mais uma pessoa... Outra característica do número e que o torna fundamental é a função y = e x, a única função cuja derivada é ela própria. y = e x dy dx = ex O número é tão marcante, que mesmo em funções exponenciais em que ele não apareça explicitamente ele aparece ao ser calculada a derivada (ver quadro abaixo). 10 Menos que isso...

11 Como derivar y = 2 x? dy Resposta: = (ln 2)2x dx 5.2 O logaritmo Usamos o logaritmo para inverter equações exponenciais. Trata-se de uma operação inversa à exponencial (ou, em linhas gerais, dizemos que a função logaritmo é a [função] inversa da [função] exponencial). Em linhas gerais dada a equação: b x = a Que deve ser lida como: qual o número que sendo a base b elevada irá dar o valor a?. Este número, x, será: x = log b a Excetuando-se casos simples não é fácil calcular log b a, a menos que disponhamos de truques. Na calculadora você tem apenas duas bases de logaritmos: a base 10, log 10 e a base e log e = ln. Mas isso não é uma limitação, pois para calcular o logaritmo de qualquer base basta usar a propriedade, chamada mudança de base : 10. log b a = log k a log k b Sendo qualquer a base k adotada 11. De modo que você pode usar tanto a base e quanto a base Exemplo: Se fizer com ln dá no mesmo. log 2 11 = log 11 log 2 = 3, De modo que quando você diz: log 2 11 = 3, , está dizendo que 2 3, = 11. Por fim, note o uso do logaritmo para inverter uma equação é tão simples (ou complexo) quanto a utilização da raiz quadrada para resolvermos algo do tipo: x 2 = 4 (qual o número que elevado ao quadrado dá 4?), cuja resposta positiva 12. é x = 4 = 2. Assim como no caso da raiz quadrada, no geral você não consegue calcular o número se não por aproximações, ou pelo uso de tabelas ou o uso direto da calculadora. 11 Evidentemente k 0 e nem k O valor x = -2, também é raiz. Tipicamente invertemos assim: x 2 = 4 x = ± 4 = ±2