Satisfação de Restrições. Capítulo 5 (disponível online)

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1 Satisfação de Restrições Capítulo 5 (disponível online)

2 Sumário Problemas de Satisfação de Restrições (CSPs) Procura com Retrocesso para CSPs Procura Local para CSPs Estrutura dos CSPs

3 Problemas de Satisfação de Restrições Problema de Procura Tradicional: CSP: estado é uma caixa preta qualquer estrutura de dados que suporte função sucessores, função heurística, e teste objectivo estado é definido por variáveis X i com valores do domínio D i Teste objectivo é um conjunto de restrições que especificam combinações possíveis de valores para subconjuntos de variáveis Possível utilização de algoritmos genéricos mais poderosos do que os tradicionais algoritmos de procura

4 Exemplo: Coloração de Mapa Variáveis WA, NT, Q, NSW, V, SA, T Domínios D i = {vermelho, verde, azul} Restrições: regiões adjacentes com cores diferentes e.g., WA NT, ou (WA,NT) {(vermelho,verde), (vermelho,azul), (verde,vermelho), (verde,azul), (azul,vermelho), (azul,verde)}

5 Exemplo: Coloração de Mapa Soluções são atribuições completas e consistentes, e.g., WA = vermelho, NT = verde, Q = vermelho, NSW = verde, V = vermelho, SA = azul, T = verde

6 Grafo de Restrições CSP binário: cada restrição relaciona duas variáveis Grafo de restrições: nós são variáveis, arcos são restrições

7 Variáveis em CSPs Variáveis discretas Domínios finitos: n variáveis, domínio dimensão d O(d n ) atribuições completas e.g., CSPs Booleanos, incluindo satisfação Booleana - SAT (NPcompleto) Domínios infinitos: inteiros, strings, etc. e.g., escalonamento de tarefas, variáveis têm datas de início/fim para cada tarefa Necessidade de uma linguagem de restrições, e.g., InícioTarefa InícioTarefa 3 Variáveis contínuas e.g., datas de início/fim para observações do telescópio espacial Hubble Restrições lineares solúveis em tempo linear usando programação linear

8 Tipos de restrições Restrições unárias referem-se a uma variável, e.g., SA verde Restrições binárias referem-se a pares de variáveis, e.g., SA WA Restrições de ordem superior envolvem 3 ou mais variáveis, e.g., restrições para cripto-aritmética

9 Exemplo: Crypto-aritmética Variáveis: F T U W R O X 1 X 2 X 3 Domínios: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Restrições: Alldiff (F,T,U,W,R,O) O + O = R + 10 X 1 X 1 + W + W = U + 10 X 2 X 2 + T + T = O + 10 X 3 X 3 = F, T 0, F 0

10 CSPs: exemplos reais Problemas de atribuição e.g., quem ensina o quê? Problemas de horários e.g., que aulas são oferecidas, quando e onde? Escalonamento de transportes Escalonamento do processo de fabrico

11 Procura Básica Estados são caracterizados pelas atribuições feitas até ao momento Formulação comum a todos os CSPs: Estado inicial: atribuição vazia { } Função sucessores: atribui um valor a uma variável não atribuída que não entra em conflito com a atribuição actual (falha se não existem atribuições possíveis) Teste objectivo: atribuição actual é completa

12 Procura Básica Notas: Todas as soluções para n variáveis estão à profundidade n usar procura em profundidade primeiro Caminho é irrelevante estado final tem a solução Sendo n = nº de variáveis d = #D (nº de elementos do domínio) então Factor de ramificação r = (n - l )d para a profundidade l, Nº de folhas = n! d n

13 Exemplo {X1, X2, X3}, D = {0, 1} n = nº de variáveis = 3 d = #D = 2 Factor de ramificação r = (n - l )d para a profundidade l l = 0 => r = (3-0)*2 = 6 (X1 = 0, X1 = 1, X2 = 0, X2 = 1, X3 = 0, X3 = 1) l = 1 => r = (3-1)*2 = 4 (Por exemplo, para o nó X1 = 0, temos as seguintes ramificações X2 = 0, X2 = 1, X3 = 0, X3 = 1) l = 2 => r = (3-2)*2 = 2 (Por exemplo, seguindo os nós X1 = 0 e X2 = 0, para este último temos apenas as ramificações X3 = 0, X3 = 1) Nº de folhas = n! d n = 6. 8 = 48 (= 6*4*2)

14 Procura com Retrocesso No entanto, repare-se que atribuições a variáveis são comutativas Ex: [ WA = vermelho então NT = verde ] é o mesmo que [ NT = verde então WA = vermelho ] Pelo que só é necessário considerar atribuições a uma única variável em cada nó r = d e existem apenas d n folhas

15 Procura com Retrocesso A procura em profundidade para CSPs com atribuição a uma única variável em cada nó é denominada procura com retrocesso Procura com retrocesso é o algoritmo básico (não informado) para CSPs Consegue resolver n-rainhas para n 25

16 Procura com Retrocesso Função ProcuraRetrocesso (csp) devolve solução ou falha devolve ProcuraRetrocessoRecursiva({},csp) Função ProcuraRetrocessoRecursiva(atrib,csp) devolve solução ou falha se atrib está completa então devolve atrib var SeleccionaVariávelNãoAtribuída(Variáveis[csp],atrib,csp) paracada valor em OrdenaValores(var,atrib,csp) se valor consistente com atrib dadas Restricões[csp] então adiciona {var=valor} a atrib resultado ProcuraRetrocessoRecursiva(atrib,csp) se resultado falha então devolve resultado remove {var=valor} de atrib devolve falha

17 Retrocesso: exemplo

18 Retrocesso: exemplo

19 Retrocesso: exemplo

20 Retrocesso: exemplo

21 Melhorias ao Retrocesso Métodos genéricos podem trazem grandes ganhos em eficiência: Que variável deve ser atribuída de seguida? Heurística do maior grau Heurística dos valores remanescentes mínimos Por que ordem devem ser atribuídos os valores? Heurística do valor menos restritivo Podemos detectar falhas inevitáveis com antecedência? Forward checking Propagação de restrições (consistência de arcos)

22 Melhorias ao Retrocesso Métodos genéricos podem trazem grandes ganhos em eficiência: Que variável deve ser atribuída de seguida? Heurística do maior grau Heurística dos valores remanescentes mínimos Por que ordem devem ser atribuídos os valores? Heurística do valor menos restritivo Podemos detectar falhas inevitáveis com antecedência? Forward checking Propagação de restrições (consistência de arcos)

23 Heurística do maior grau (Degree Heuristic) Esta heurística escolhe a variável que está envolvida no maior número de restrições com variáveis ainda não atribuídas Exemplo: South Australia é adjacente a todas as outras regiões, pelo que é a que está envolvida no maior número de restrições!

24 Heurística dos valores remascentes mínimos Esta heurística escolhe a variável com o menor número de valores possíveis no domínio

25 Melhorias ao Retrocesso Métodos genéricos podem trazem grandes ganhos em eficiência: Que variável deve ser atribuída de seguida? Heurística do maior grau Heurística dos valores remanescentes mínimos Por que ordem devem ser atribuídos os valores? Heurística do valor menos restritivo Podemos detectar falhas inevitáveis com antecedência? Forward checking Propagação de restrições (consistência de arcos)

26 Heurística do valor menos restritivo Esta heurística, dada uma variável, escolhe o valor que tem menos restrições, ou seja, escolhe o valor que elimina menos valores no domínio das outras variáveis

27 Melhorias ao retrocesso A combinação destas heurísticas permite resolver o problema das 1000-rainhas

28 Melhorias ao Retrocesso Métodos genéricos podem trazem grandes ganhos em eficiência: Que variável deve ser atribuída de seguida? Heurística do maior grau Heurística dos valores remanescentes mínimos Por que ordem devem ser atribuídos os valores? Heurística do valor menos restritivo Podemos detectar falhas inevitáveis com antecedência? Forward checking Propagação de restrições (consistência de arcos)

29 Forward checking Ideia: Manter um registo dos valores que podem ser atribuídos a variáveis ainda não atribuídas Terminar a procura quando existe pelo menos uma variável à qual não pode ser atribuído nenhum valor Forward checking = verificação posterior/olhar em frente

30 Forward checking

31 Forward checking

32 Propagação de restrições Forward checking propaga informação das variáveis atribuídas para as variáveis não atribuídas, mas não tem um mecanismo para detectar falhas antecipadamente: NT e SA não podem ser ambos azuis! Propagação de restrições verifica restrições localmente

33 Consistência de Arcos Do Inglês arc consistency Forma mais simples de propagação assegura consistência de arcos e.g. arco entre X e Y X Y é consistente sse para todos os valores x em X existe algum valor possível y em Y Y X é consistente sse para todos os valores y em Y existe algum valor possível x em X Se uma variável V perde um valor, então os vizinhos de V têm de ser revistos

34 Consistência de Arcos

35 Consistência de Arcos Se X perde um valor, então os vizinhos de X têm de ser revistos

36 Consistência de Arcos Consistência de arcos detecta conflitos mais cedo do que o mecanismo de forward checking Pode ser usado como pré-processador ou depois de cada atribuição Complexidade temporal para AC-3: O(n 2 d 3 ) Um CSP binário tem no máximo O(n 2 ) arcos Cada arco (Xi, Xj) só pode ser inserido na agenda, no máximo d vezes (Xi tem no máximo d valores a apagar) Ver a consistência de um arco pode ser vista em tempo O(d 2 )

37 Algoritmo AC-3 Função AC-3(csp) devolve csp, possivelmente com domínios reduzidos variável local: fila, uma fila ao início com todos os arcos do csp enquanto fila não está vazia (X i,x j ) RemovePrimeiro(fila) se RemoveValoresInconsistentes(X i,x j ) então paracada X k em Vizinhos[X i ] {X j } adiciona (X k,x i ) à fila Função RemoveValoresInconsistentes(X i,x j ) devolve verdadeiro sse remove um valor paracada x em Domínio[X i ] se não existe nenhum valor em Domínio[X j ] que satisfaça a restrição entre X i e X j então remove x de Domínio[X i ]; removido verdadeiro devolve removido

38 Retrocesso + Forward Checking X1 {1,2,3,4} X2 {1,2,3,4} X3 {1,2,3,4} X4 {1,2,3,4} Variáveis {X1,X2,X3,X4} Domínio X1 = Dom X2 = Dom X3 = Dom X4 = {1,2,3,4} Xj = i significa que rainha j está na posição (i,j) [Slides de B.J. Dorr - CMSC 421 course on AI]

39 Exemplo: 4-Rainhas X1 {1,2,3,4} X2 {1,2,3,4} X3 {1,2,3,4} X4 {1,2,3,4}

40 Exemplo: 4-Rainhas X1 {1,2,3,4} X2 {,,3,4} X3 {,2,,4} X4 {,2,3, }

41 Exemplo: 4-Rainhas X1 {1,2,3,4} X2 {,,3,4} X3 {,2,,4} X4 {,2,3, }

42 Exemplo: 4-Rainhas X1 {1,2,3,4} X2 {,,3,4} X3 {,,, } X4 {,2,3, }

43 Exemplo: 4-Rainhas X1 {1,2,3,4} X2 {,,,4} X3 {,2,,4} X4 {,2,3, }

44 Exemplo: 4-Rainhas X1 {1,2,3,4} X2 {,,,4} X3 {,2,, } X4 {,,3, } Consistência de arcos já teria detectado inconsistência!

45 Exemplo: 4-Rainhas X1 {1,2,3,4} X2 {,,,4} X3 {,2,, } X4 {,,, }

46 Exemplo: 4-Rainhas X1 {,2,3,4} X2 {1,2,3,4} X3 {1,2,3,4} X4 {1,2,3,4}

47 Exemplo: 4-Rainhas X1 {,2,3,4} X2 {,,,4} X3 {1,,3, } X4 {1,,3,4}

48 Exemplo: 4-Rainhas X1 {,2,3,4} X2 {,,,4} X3 {1,,3, } X4 {1,,3,4}

49 Exemplo: 4-Rainhas X1 {,2,3,4} X2 {,,,4} X3 {1,,, } X4 {1,,3, } Consistência de arcos já teria encontrado a solução!

50 Exemplo: 4-Rainhas X1 {,2,3,4} X2 {,,,4} X3 {1,,, } X4 {1,,3, }

51 Exemplo: 4-Rainhas X1 {,2,3,4} X2 {,,,4} X3 {1,,, } X4 {,,3, }

52 Exemplo: 4-Rainhas X1 {,2,3,4} X2 {,,,4} X3 {1,,, } X4 {,,3, }

53 Retrocesso inteligente (I) Motivação: O algoritmo BACKTRACKING-SEARCH segue uma política muito simples quando um ramo da procura falha: volta à variável anterior à falha e experimenta com um novo valor. Chama-se a isto CHRONOLOGICAL BACKTRACKING, porque o ponto mais recente de decisão é revisto. Vamos ver de seguida que há alternativas melhores para fazer isto

54 Retrocesso inteligente (I) Motivação: Considere-se a seguinte atribuição: Q = vermelho, NSW = verde, V = azul, T = vermelho SA = conflito! < O que é que faz o BACKTRACKING-SEARCH? Retrocesso alterar valor de T Só que T não foi responsável pelo conflito

55 Retrocesso inteligente (I) Retrocesso com salto: Uma alternativa à BACKTRACKING-SEARCH é saltar (inteligentemente) para a variável mais recentemente instanciada que faz parte do grupo de variáveis que são responsáveis pelo conflito (BACKJUMPING) Ao conjunto das variáveis que causou o conflito chamamos Conjunto de conflito (tipicamente, o conjunto de conflito para uma variável X são as variáveis já instanciadas, ligadas a X por restrições) Neste caso {Q, NSW, V} é o conjunto de conflito

56 Retrocesso inteligente (I) Uma pergunta? Esta técnica será melhor que o forward checking?

57 Retrocesso inteligente (I) Não Na verdade, o Forward checking faz o mesmo (o Backjumping é redundante numa procura que use o Forward checking) Considerando o exemplo anterior, ao atribuir valor a V, descobre que SA deixa de ter soluções possíveis

58 Retrocesso inteligente (II) Apesar de tudo, o retrocesso com salto dirigido ao conflito é uma boa ideia. No entanto, pode ser melhorada

59 Retrocesso inteligente (II) Motivação Considere-se a atribuição (inconsistente) WA = vermelho, NSW = vermelho e suponha-se T = vermelho. Quando formos para NT, Q, V, SA, já não existe nenhuma atribuição consistente Repare-se que o Backjumping e o Conjunto de conflito tal como definido não resolve o problema porque NT não está directamente relacionada com WA e NSW (ou seja, {WA e NSW} não é o seu conjunto de conflito)

60 Retrocesso inteligente (II) Conflit-directed Backjumping Isto leva a uma nova noção de Conjunto de conflito que tem de ir para além de relações directas: nesta nova abordagem o conjunto de conflito de uma variável X passa a ser o conjunto de variáveis já instanciadas que levaram a que X, juntamente com variáveis subsequentes, não tenham uma solução consistente. No caso do exemplo, o conjuto de conflito, de acordo com a nova definição é {WA, NSW}.

61 Retrocesso Inteligente (III) O retrocesso inteligente não evita que o mesmo conflito venha a aparecer novamente noutro ramo da árvore, e.g. T = vermelho, WA = vermelho, NSW = vermelho T = azul, WA = vermelho, NSW = vermelho Repetição de erros pode ser evitada com aprendizagem! Adicionar uma restrição que não permita que volte a acontecer WA = vermelho NSW = vermelho WA vermelho NSW vermelho

62 Procura Local para CSPs Usar algoritmos que usam estados completos, i.e. todas as variáveis atribuídas Para aplicar procura local a CSPs: Permitir estados em que não são satisfeitas todas as restrições Transições entre estados consiste na re-atribuição de valores a variáveis Ordenação de variáveis: seleccionar aleatoriamente qualquer variável para a qual exista um conflito Selecção de valores com a heurística menor número de conflitos (min-conflicts): Escolher valor que viola o menor número de restrições Se existirem vários valores nestas condições escolher um deles aleatoriamente

63 Exemplo: 4-Rainhas Estado: 4 rainhas em 4 colunas (4 4 = 256 estados) Acções: mover rainhas nas colunas Teste objectivo: não há ataques Função de Avaliação: h(n) = número de ataques Dado um estado inicial aleatório, existe uma grande probabilidade de resolver o problema das n-rainhas em tempo quase constante para n arbitrário (e.g., n = )

64 Exemplo: 8-Rainhas Duas iterações são suficientes para resolver o problema Em cada iteração é escolhida uma rainha que esteja em conflito para mudar de posição Nova posição minimiza o número de ataques (local e globalmente) Escolha aleatória entre posições que minimizam de igual modo o número de ataques

65 Procura Local vs. Retrocesso Vantagens Encontra soluções para problemas de grandes dimensões ( rainhas) Tempo de execução da heurística do menor número de conflitos está pouco dependente da dimensão do domínio Desvantagens Não permite provar que não há solução porque não mantém um registo dos estados já visitados

66 Estrutura de Problemas A estrutura de um problema, obtida através da representação em grafo, pode ser usada para facilitar a resolução do problema É importante detectar sub-problemas: melhorias no desempenho Que decisões afectam outras decisões? E.g. não existe nenhuma relação entre Tasmânia e as outras regiões

67 Estrutura em árvore Teorema: se um CSP não tem ciclos, então pode ser resolvido em tempo O(nd 2 ) em vez de O(d n ) Tipicamente um CSP que tem uma estrutura em árvore pode ser resolvido em tempo linear no número de variáveis

68 Aproximação para Árvore Podemos transformar um CSP numa estrutura em árvore adaptando o problema: remoção e colapsagem de nós Remoção de nós: atribuir valores a algumas variáveis t.q. variáveis não atribuídas formem uma árvore Compensa se o número de variáveis a atribuir é pequeno Identificar estas variáveis é NP-difícil! uso de aproximações E.g. atribuir SA

69 Aproximação para Árvore Colapsagem de nós Problema resultante é uma árvore cujos nós são subproblemas Cada sub-problema é resolvido separadamente Soluções resultantes são combinadas

70 Conclusões CSPs são um tipo especial de problemas: Estados definidos por valores atribuídos a um conjunto específico de variáveis Teste objectivo definido a partir de restrições nos valores das variáveis Retrocesso = procura em profundidade primeiro com uma variável atribuída por cada nó Ordenação de variáveis e selecção de valores é importante Forward checking evita atribuições que garantidamente levarão a conflitos no futuro Propagação de restrições (e.g. consistência de arcos) detecta inconsistências adicionais Procura local + h. menor número de conflitos é eficiente Conhecimento da estrutura do problema pode melhorar desempenho