Resolução de Problemas Com Procura. Capítulo 3

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1 Resolução de Problemas Com Procura Capítulo 3

2 Sumário Agentes que resolvem problemas Tipos de problemas Formulação de problemas Exemplos de problemas Algoritmos de procura básicos Eliminação de estados repetidos Procura com informação parcial

3 Exemplo: Roménia Férias na Roménia; actualmente em Arad Voo parte amanhã de Bucareste Formulação do objectivo: Estar em Bucareste Formulação do problema: Estados: várias cidades Acções: conduzir entre cidades Encontrar solução: Sequência de cidades E.g., Arad, Sibiu, Fagaras, Bucareste

4 Roménia: Arad

5 Roménia: Bucareste

6 Exemplo: Roménia

7 Exemplo: Roménia

8 Exemplo: Roménia Inexistência de mapa Escolhas aleatórias Existência de mapa Possibilidade de considerar sequência de estados Uma vez encontrada uma solução, basta executar uma sequência de acções para atingir o objectivo Procura = encontrar uma solução Execução = sequência de acções que permitem alcançar o objectivo Agente = Formular + Procurar + Executar

9 Agentes que resolvem problemas Função AgenteResolveProblemas (percep) devolve acção Argumento: percep, uma percepção Estático: seq, sequência de acções inicialmente vazia estado, descrição do estado actual obj, objectivo inicialmente vazio prob, formulação do problema estado ActualizaEstado(estado,percep) se seq vazia então obj FormulaObjectivo(estado) prob FormulaProblema(estado,obj) seq Procura(prob) acção FIRST(seq) seq REST(seq) devolve acção

10 Tipo de ambiente/problema Estático (vs. dinâmico) Ambiente não é alterado enquanto agente efectua formulação e resolução do problema Observável (vs. parcialmente observável) Sensores dão acesso ao estado completo do ambiente Discreto (vs. contínuo) Número limitado de percepções e acções distintas claramente definidas Determinístico (vs. estocástico) Estado seguinte é determinado em função do estado actual e da acção executada pelo agente; fase de execução independente das percepções!

11 Formulação do Problema (1/2) Estado inicial em que se encontra o agente Em(Arad) Descrição das acções possíveis Função sucessor-fn: estado <acção,sucessor>* sucessor-fn(em(arad)) = {<Ir(Sibiu),Em(Sibiu)>, <Ir(Timisoara),Em(Timisoara)>, <Ir(Zerind),Em(Zerind)>} Estado inicial e sucessor-fn definem implicitamente o espaço de estados do problema (mapa pode ser interpretado como espaço de estados) Um caminho num espaço de estados é uma sequência de estados resultantes de uma sequência de acções

12 Formulação do Problema (2/2) Teste objectivo que determina se um estado é um estado objectivo Os estados objectivo podem ser explícitos (Em(Bucareste)) ou implícitos (checkmate) Função de custo que atribui um custo numérico a cada caminho Escolhida em função do desempenho pretendido para o agente (rapidez km) Formulação do Problema = estado inicial + acções/ sucessor-fn + teste objectivo + função de custo Solução = sequência de acções que permitem ir desde o estado inicial até um estado objectivo

13 Mundo do aspirador: estados

14 Espaço de Estados: grafo estados? sujidade e localização do robot acções? Esquerda, Direita, Aspirar teste objectivo? não haver sujidade em nenhuma posição função de custo? 1 por acção

15 Exemplo: 8-puzzle estados? Localização das peças acções? Mover espaço esq, dir, cima, baixo teste objectivo? = estado objectivo (dado) função de custo? 1 por movimento [Nota: solução óptima para a família n-puzzle é NP-difícil]

16 Exemplo: montagem estados?: coordenadas das posições chave do robot e do objecto a ser montado acções?: movimentos do robot teste objectivo?: montagem completa função de custo?: tempo de execução

17 Exercício: 8-rainhas Colocar 8 rainhas num tabuleiro 8x8 tal que nenhuma rainha ataca outra rainha (uma rainha ataca outra rainha se estiver na mesma linha, na mesma coluna ou na mesma diagonal)

18 Solução: 8-rainhas Estados: qualquer tabuleiro de 8x8 com 8 rainhas Acções: movimentar uma rainha para uma posição vazia Teste objectivo: 8 rainhas no tabuleiro, nenhuma atacada Função de custo: 1 por movimento

19 Árvores de Procura (1/2) Algoritmo: Simulação da expansão do espaço de procura a partir da geração dos sucessores dos estados já gerados (expansão de estados) Vs. espaço de estados O mesmo estado pode estar em nós diferentes Caminho bem definido

20 Árvores de Procura (2/2) Função ArvoreDeProcura (problema, estratégia) devolve solução ou nãohásolução InicializaArvoreDeProcuraComEstadoInicial(problema) loop se não há candidatos para expansão então devolve nãohásolução EscolheNóFolhaDaArvoreParaExpansao(estratégia) se o nó contém um estado objectivo então devolve solução senão expande o nó e adiciona novos nós à árvore de procura

21 Exemplo: Roménia

22 Árvore de Procura: exemplo Estado inicial Espaço de estados

23 Árvore de Procura: exemplo Existe um único nó folha que pode ser expandido: Arad Nós resultantes da expansão do nó Arad: Sibiu, Timisoara, Zerind

24 Árvore de Procura: exemplo Existem três nós folha que podem ser expandidos: Sibiu, Timisoara, Zerind Nó Sibiu é escolhido pela estratégia de procura como o próximo nó a ser expandido Nós resultantes da expansão do nó Sibiu são adicionados ao conjunto de nós folha

25 Implementação: estados vs. nós Um estado é a representação de uma configuração física Um nó é uma estrutura de dados que constitui parte de uma árvore de procura e que inclui estado, nó pai, acção, custo do caminho g(x), profundidade A função Expande cria novos nós, preenche os vários campos da estrutura nó e usa a função successor-fn do problema para criar os estados correspondentes.

26 Implementação (1/4) Considerem-se definidos os seguintes campos para o tipo NÓ: Estado PaiNó Acção CustoCaminho Profundidade

27 Implementação (2/4) Considerem-se definidas as seguintes funções para o tipo FILA: CriaFila(elemento, ) Vazia?(fila) RemovePrimeiro(fila) Insere(elemento,fila) InsereTodos(elementos,fila)

28 Implementação (3/4) Função ArvoreDeProcura (problema, filafolhas) devolve solução ou nãohásolução filafolhas Insere(CriaNó(EstadoInicial[problema]),filafolhas) loop se Vazia?(filafolhas) então devolve nãohásolução nó RemovePrimeiro(filafolhas) se TesteObjectivo[problema](nó) então devolve solução(nó) filafolhas InsereTodos(Expande(nó,problema),filafolhas)

29 Implementação (4/4) Função Expande (nó, problema) devolve sucessores (conjunto de nós) sucessores conjunto vazio paracada <acção,resultado> em sucessor-fn[problema](estado(nó)) s novo Nó Estado(s) resultado PaiNó(s) nó Acção(s) acção CustoCaminho(s) CustoCaminho(nó) + CustoRamo(Estado(nó), acção, resultado) Profundidade(s) Profundidade(nó) +1 adiciona s aos sucessores devolve sucessores

30 Estratégias de Procura Uma estratégia de procura é caracterizada por escolher a ordem de expansão dos nós Ou em alternativa a ordem de inserção dos nós na fila de folhas

31 Estratégias de Procura As estratégias são avaliadas de acordo com 4 aspectos: Completude: encontra sempre uma solução caso exista (se não existir diz que não há solução) Complexidade temporal: número de nós gerados Complexidade espacial: número máximo de nós em memória Optimalidade: encontra a solução de menor custo Complexidade temporal e espacial são medidas em termos de: r: máximo factor de ramificação da árvore de procura p: profundidade da solução de menor custo (nó com estado inicial tem profundidade 0) m: máxima profundidade do espaço de estados (pode ser )

32 Procura Não Informada Estratégias de procura não informada usam apenas a informação disponível na definição do problema Largura Primeiro Custo Uniforme Profundidade Primeiro Profundidade Limitada Profundidade Iterativa Bi-Direccional Também chamadas estratégias de procura cega

33 Largura Primeiro Expande nó folha de menor profundidade Implementação: folhas colocadas numa fila (FIFO), i.e., novos sucessores são colocadas no fim da lista

34 Largura Primeiro Nó A é expandido: novos nós B e C B está no início da fila: próximo nó a expandir A ordem é irrelevante para nós com a mesma profundidade (pode usar-se ordem alfabética para desempate)

35 Largura Primeiro Nó B é expandido: novos nós D e E C está no início da fila; os outros nós folha (D e E) têm maior profundidade

36 Largura Primeiro Estado actual Fila nós folha: D, E, F, G nós abertos Nós gerados mas ainda não expandidos Nós expandidos: A, B, C nós fechados

37 Largura Primeiro: propriedades Completa? Sim (se r é finito) Tempo? 1+r+r 2 +r 3 + +r p + (r p+1 -r) = O(r p+1 ), i.e. exponencial em p Espaço? O(r p+1 ) (todos os nós por expandir em memória) Óptima? Sim (se custo = 1 por acção); logo não é óptima no caso geral r: máximo factor de ramificação da árvore de procura p: profundidade da solução de menor custo Espaço é o maior problema (mais do que tempo) Se forem gerados nós a 100MB/s então 24h = 8640GB 8.4TB

38 Complexidade: exemplo p=0 A Estado objectivo G Factor de ramificação r=2 Profundidade da solução p=2 p=1 B C Tempo (2 3-2) p=2 D E F G O(2 3 ), i.e, O(r p+1 ) Espaço p=3 H I J L M N O(2 3 ) i.e, O(r p+1 )

39 Exemplo: Roménia Profundidade da Solução? Nº mínimo de nós expandidos até solução? Obs: teste objectivo é feito antes da expansão do nó!

40 Exemplo: solução Profundidade da solução: 3 Nº mínimo de nós expandidos: 12 Obs: estados iguais correspondem a nós diferentes (Arad, Oradea, )

41 Custo Uniforme Expandir nó folha n que tem menor custo g(n) Implementação: folhas = fila ordenada por custo do caminho Equivalente à procura por largura primeiro se todos os ramos tiverem o mesmo custo Completa? Sim, se custo do ramo ε ε é uma constante > 0, para evitar ciclos em ramos com custo 0 Custo do caminho aumenta sempre com a profundidade Tempo? # de nós com g custo da solução óptima, O(r 1+ C*/ε ) onde C * é o custo da solução óptima Todos os ramos com o mesmo custo O(r 1+ C*/ε ) = O(r p+1 ) Espaço? # de nós com g custo da solução óptima, O(r 1+ C*/ε ) Óptima? Sim nós expandidos por ordem crescente de g

42 Custo Uniforme: exemplo D 5 B 2 1 E A 3 F 1 C 2 G Custo associado a cada ramo Ordem de expansão dos nós? Desempate: ordem alfabética Solução encontrada? J L M N

43 Custo Uniforme: exemplo 7 D 2 B 3 E 0 A 4 F 3 C 5 G Ordem de expansão dos nós? A(0), B(2), C(3), E(3), F(4), J(4) Nós folha: G(5), L(5), N(5), D(7), M(7) Solução encontrada? J (custo 4) J L M N

44 Complexidade: exemplo p=0 A 2.1 ε Todos os ramos com custo ε, com excepção do ramo assinalado p=1 B C Objectivo G (C*=3.1ε) Factor de ramificação r=2 p=2 D E F G Tempo e Espaço (2 3-2)+(2 4-4) p=3 O(2 4 ), i.e, O(r 1+ C*/ε ) H I J L M N p=4

45 Profundidade Primeiro Expandir nó folha com a maior profundidade Implementação: listafolhas = fila LIFO (pilha), i.e., sucessores colocados no início da fila

46 Profundidade Primeiro

47 Profundidade Primeiro: propriedades Completa? Não: não encontra a solução em espaços de estados com profundidade infinita/com ciclos Modificação para evitar estados repetidos ao longo do caminho completa em espaços finitos Tempo? O(r m ): problemático se máxima profundidade do espaço de estados m é muito maior do que profundidade da solução de menor custo p Espaço? O(r*m) - espaço linear (só um caminho) Óptima? Não

48 Profundidade Primeiro Implementação: habitualmente recursiva Nós deixam de ser guardados em memória quando todos os seus sucessores são gerados Variante: procura por retrocesso Usa ainda menos memória: O(m) vs. O(r*m) Só é gerado um sucessor de cada vez

49 Profundidade Limitada Profundidade primeiro com limite de profundidade l, i.e., nós com profundidade l não têm sucessores Resolve problema da profundidade infinita Limite pode ser determinado em função do tipo de problema Diâmetro do espaço de estados define máxima profundidade da solução Se p > l não é encontrada solução Complexidade temporal O(r l ) Complexidade espacial O(rl)

50 Exemplo: diâmetro? 9 Distância minima de 9 troços entre quaisquer duas cidades

51 Implementação Recursiva Função ProcuraProfundidadeLimitada (prob,limite) devolve solução ou nãohásolução/corta devolve PPLrecursiva (CriaNó(EstadoInicial[problema]),prob,limite) Função PPLrecursiva (nó,prob,limite) devolve solução ou nãohásolução/corta atingiu_limite? falso se TesteObjectivo[problema](nó) então devolve solução(nó) senão se Profundidade(nó)=limite então devolve corta senão para cada sucessor em Expande(nó,prob) resultado PPLrecursiva (sucessor,prob,limite) se resultado = corta então atingiu_limite verdadeiro senão se resultado corta então devolve resultado se atingiu_limite? então devolve corta senão devolve nãohásolução

52 Implementação Recursiva Algoritmo ProcuraProfundidadeLimitada tem 3 outputs possíveis: Solução: se encontra solução Corta: se não encontra solução mas não chegou a expandir toda a árvore devido ao limite de profundidade Não há solução: se não encontrou solução e expandiu toda a árvore

53 Profundidade Limitada: exemplo A Solução encontrada? Profundidade Primeiro Profundidade Limitada B C l =1 l =2 D E F G J L M N

54 Profundidade Iterativa Profundidade limitada com limite incremental: l=0, l=1, l=2, l=3,, l=p Combina vantagens da largura primeiro e da profundidade primeiro Função ProcuraProfundidadeIterativa (prob) devolve solução ou nãohásolução ciclo limite 0 até resultado ProcuraProfundidadeLimitada(prob,limite) se resultado corta então devolve resultado

55 Profundidade Iterativa l=0

56 Profundidade Iterativa l=1

57 Profundidade Iterativa l=2

58 Profundidade Iterativa l=3

59 Profundidade Iterativa Número de nós gerados na procura em profundidade limitada com profundidade p e factor de ramificação r: N PPL = r 0 + r 1 + r r p-2 + r p-1 + r p Número de nós gerados na procura em profundidade iterativa com profundidade p e factor de ramificação r: N PPI =(p+1)r 0 + pr^1 + (p-1)r^ r p-2 +2r p-1 + 1r p Para r = 10, p = 5, N PPL = , , ,000 = 111,111 N PPI = , , ,000 = 123,456 Esforço adicional = (123, ,111)/111,111 = 11%

60 Profundidade Iterativa: propriedades Completa? Sim Tempo? (p+1)r 0 + pr 1 + (p-1)r r p = O(r p ) Espaço? O(r*p) Óptima? Sim, se custo de cada ramo = 1

61 Procura Bi-Direccional Executar duas procuras em largura em simultâneo Uma a partir do estado inicial (forward, para a frente) Outra a partir do estado final (backward, para trás) Procura termina quando as duas procuras se encontram (têm um estado em comum) Motivação: r p/2 + r p/2 << r p Necessidade de calcular eficientemente os predecessores de um nó Problemática quando estados objectivos são descritos implicitamente (por exº, checkmate)

62 Procura Bi-Direccional: propriedades Completa? Sim, se p é finito e se executa procura em largura primeiro em ambas as direcções Tempo? O(r p/2 ) Espaço? O(r p/2 ) Óptima? Sim, se custo de cada ramo = 1 e se executa procura em largura primeiro em ambas as direcções

63 Resumo dos algoritmos Largura Primeiro Custo Uniforme Profund. Primeiro Profund. Limitada Profund. Iterativa Bi-direccional Completa? Sim a Sim a,b Não Não Sim a Sim a,d Tempo O(r p+1 ) O(r 1+ C*/ε ) O(r m ) O(r l ) O(r p ) O(r p/2 ) Espaço O(r p+1 ) O(r 1+ C*/ε ) O(rm) O(r l) O(rp) O(r p/2 ) Óptima? Sim c Sim Não Não Sim c Sim c,d a completa se r é finito b completa se custo de cada ramo > 0 c óptima se todos os ramos têm o mesmo custo d se ambas as direcções executam procura em largura primeiro

64 Eliminação de Estados Repetidos Não detecção de estados repetidos pode transformar um problema linear em exponencial! Alterar procura em árvore para procura em grafo com análise de nós fechados Optimalidade pode ser afectada se usarmos nós abertos

65 Procura em grafo Função GrafoDeProcura (problema, filafolhas) devolve solução ou nãohásolução fechados conjunto vazio filafolhas Insere(CriaNó(EstadoInicial[problema]),filafolhas) loop se Vazia?(filafolhas) então devolve nãohásolução nó RemovePrimeiro(filafolhas) se TesteObjectivo[problema](nó) então devolve solução(nó) se nó não está em fechados então adiciona Estado(nó) a fechados nó InsereTodos(Expande(nó,problema),filafolhas)

66 Procura com Informação Parcial Problemas nos sensores O estado actual consiste num conjunto de estados acreditados O resultado das acções é conhecido transição entre conjuntos de estados acreditados Problemas de contingência Ambiente parcialmente observável ou resultado das acções é incerto nova informação depois de cada acção Solução dada ao agente é um plano de contingência: acções dependem de condições Problemas de exploração Estados e acções do ambiente são desconhecidos Caso extremo de problema de contingência