UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA GEOMETRIA EPIPOLAR. Prof. Alvaro Muriel Lima Machado

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA GEOMETRIA EPIPOLAR Prof Alvaro Muriel Lima Machado 1

2 Geometria epipolar 2

3 Geometria epipolar Segmento base: interliga os dois centros de projeção C e C ; 3

4 Geometria epipolar Plano epipolar: todos os planos que contêm o segmento base; 4

5 Geometria epipolar Linhas epipolares: intersecções do plano epipolar com as imagens; 5

6 Geometria epipolar Epipolos: intersecções da linha que passa pelos centros de projeção (base estendida) com os planos das imagens 6

7 Geometria epipolar Geralmente os epipolos não se encontram dentro dos limites físicos das imagens 7

8 Geometria epipolar Em imagens paralelas ao segmento base (normalizadas) os epipolos ficam no infinito 8

9 Geometria epipolar Fonte: Schenk,

10 Geometria epipolar Muitos algoritmos de visão computacional e fotogrametria digital assumem que os pares de fotografias estejam dispostos de forma que suas feições conjugadas apareçam na mesma linha Esta configuração é freqüentemente referida como registro em geometria epipolar Ela epressa o fato de que as linhas epipolares são relacionadas com as linhas das imagens Esta condição é satisfeita quando os eios das câmaras de um sistema de visão estéreo são paralelos entre si e perpendiculares à base das câmaras 10

11 Geometria epipolar O termo imagens em geometria epipolar, freqüentemente usado, não epressa o seu significado porque o conceito de geometria epipolar é independente da orientação particular do estereopar Para epressar o fato de que linhas epipolares devem ser paralelas às linhas das imagens (confinando entidades conjugadas a uma mesma linha), Schenk (1999) recomenda a utilização do termo imagens normalizadas 11

12 Geometria epipolar Imagens normalizadas simplificam o processo de pesquisa de pontos conjugados em um estereopar porque eles se encontram em uma mesma linha Isto repretava uma enorme vantagem computacional no passado, mas considerando a sempre crescente capacidade de processamento, esta vantagem se torna menos significativa, muito embora ainda importante Para dificultar mais, as imagens normalizadas se relacionam com os estereopares; cada novo estereopar eige novas imagens normalizadas 12

13 Geometria epipolar Para se obter imagens normalizadas, a partir de sua posição original, deve-se efetuar uma transformação tal que os eios das câmaras se tornem perpendiculares ao segmento base Além disso, os eios devem estar contidos em um plano que contenha o segmento base Pode-se imaginar facilmente o infinito número de posições normalizadas obtidas pela rotação do plano com os eios das câmaras em torno do segmento base 13

14 Objetivo Geral: Facilitar a busca (automática) de feições homólogas em um estereopar (par de imagens consecutivas que apretam sobreposição) Objetivo Específico: Enquadrar uma mesma feição em linhas idênticas de duas imagens digitais 14

15 Transformação de imagem original para normalizada O enfoque utilizado para o cálculo de imagens normalizadas eige que as orientações interior e eterior de um par de fotografias sejam conhecidas Com os parâmetros de orientação interior pode-se sempre mudar entre coordenadas de imagem (coluna e linha) e fotocoordenadas (mm) A orientação eterior das imagens originais fornece três ângulos de rotação e as posições dos respectivos centros de projeção de ambas as imagens 15

16 Transformação de imagem original para normalizada A transformação das imagens originais para imagens normalizadas pode ser pensada como consistindo em dois passos Primeiro, as imagens são convertidas para sua verdadeira posição vertical, e daí para sua posição normalizada A primeira transformação, a partir da posição original para a vertical verdadeira, envolve simplesmente uma rotação com a matriz de rotação transposta R T da orientação eterior A seguir, a imagem é transformada de vertical verdadeira para sua posição normalizada Isto envolve rotacionar a imagem vertical verdadeira em torno do segmento base Assim, necessita-se da matriz de rotação da base, denotada por R b 16

17 A matriz de normalização é o produto de duas matrizes: a matriz de rotação da imagem original para a imagem vertical verdadeira, e a matriz de rotação da base R T R = R R N Como é a transposta da matriz de rotação da orientação eterior, ela é diferente para cada imagem e deve ser determinada para ambas as imagens do estereopar b T 17

18 BX = X C X C BY = Y C Y C BZ = Z C Z C BY = arctan BX φ = arctan BX BZ 2 + BY 2 + Ω = 2 Fonte: Adaptado de Schenk,

19 cos cos cos + + = cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos ),, ( M com outra ordem de rotação R R = cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos ),, ( M Segue-se que, para calcular e tem-se a alternativa: E D tg M M = = cos cos cos ),, ( ),, ( = M M arctg

20 Transformação de imagem original para normalizada Ω A rotação influencia a forma geométrica das imagens reamostradas para a geometria epipolar Sempre que se rotaciona imagens, a área abrangida se torna MAIOR A fim de otimizar a área útil do estereograma, adota-se o valor médio dos ângulos 20

21 Fonte: Schenk,

22 T1 = Orientação Interior 22 + = 2 1)* ( 2 1)* ( 0 0 y L C y P N P N L C P P y Se origem CSE = (0,0) e y são fotocoordenadas (em mm), e C e L são coordenadas de imagem; P e P y repretam o tamanho do piel segundo os eios X e Y, respectivamente; N C e N L repretam a qtde total de colunas e linhas na imagem, respectivamente

23 T1 = Orientação Interior 23 e y são fotocoordenadas (em mm), e C e L são coordenadas de imagem; P e P y repretam o tamanho do piel segundo os eios X e Y, respectivamente; N C e N L repretam a qtde total de colunas e linhas na imagem, respectivamente = 2 1)* ( 2 1)* ( 0 0 y L C y P N P N L C P P y Se origem CSE = (1,1)

24 Fonte: Schenk,

25 y n n T2 = Transformação Colinear ou Projetiva = = f f n n r r r r r + r + r + r y y y y r r r r f f f f com a seguinte função inversa (Kraus, 1992) 0 = f0 y0 = f0 r r r r n n n n + r + r + r + r y y y y n n n n r r r r f f f f n n n n 25

26 Fonte: Schenk,

27 Resolução das imagens normalizadas Sempre que se rotaciona imagens, a área abrangida se torna MAIOR Preservação do Tamanho de piel T Q = Dist / T Preservação da Quantidade de piels Q T = Dist / Q As imagens normalizadas de um estereopar tem como característica: - Mesmo tamanho de piel; - Mesma quantidade de linhas 27

28 Resolução das imagens normalizadas 1) A partir dos quatro cantos das imagens originais determinam-se os limites das fotocoordenadas no espaço das imagens normalizadas; quais sejam: min e, ma e, y min e, y ma e (imagem normalizada da esquerda) min d, ma d, y min d, y ma d (imagem normalizada da direita) 2) Os limites em y são empregados para a determinação da qtde de linhas e os limites em para a determinação de colunas, usando-se a relação com o tamanho do piel; 3) Define-se desta forma a origem e os tamanhos das imagens normalizadas 28

29 Fonte: Schenk,

30 T4 = Processo de reamostragem 30

31 T4 = Processo de reamostragem Método de Reamostragem Vizinho mais próimo Interpolação bilinear Splines bicúbicas Polinômio de Lagrange Entorno de interpolações Adições Multiplicações Erros de Interpolação ,7% ,7% ,3% Apro 0 Fonte: ANDRADE, J BITTENCOURT Fotogrametria SBEE Curitiba,

32 T4 = Processo de reamostragem Vizinho mais próimo R(k,l) = A(i,j) para d < 0,5 e dy < 0,5 R(k,l) = A(i+1,j) para d 0,5 e dy < 0,5 R(k,l) = A(i,j+1) para d < 0,5 e dy 0,5 R(k,l) = A(i+1,j+1) para d 0,5 e dy 0,5 Fonte: ANDRADE, J BITTENCOURT Fotogrametria SBEE Curitiba,

33 T4 = Processo de reamostragem Interpolação bilinear R(k,l) = A(i,j) + + d*(a(i+1,j) - A(i,j)) + + dy*(a(i,j+1) A(i,j)) + + d*dy*(a(i,j) A(i+1,j) A(i,j+1) +A(i+1,j+1)) Fonte: ANDRADE, J BITTENCOURT Fotogrametria SBEE Curitiba,

34 T4 = Processo de reamostragem Splines bicúbicas df ( ) = para < 1 df ( ) = para 1 < 2 df ( ) = 0 para 2 a(n) = A(i-1,j+n-2)*df(d+1) + + A(i,j+n-2)*df(d) + + A(i+1,j+n-2)*df(d-1) + + A(i+2,j+n-2)*df(d-2) para n = 1,2,3,4 R(k,l) = a(1)*df(dy+1) + a(2)*df(dy) + + a(3)*df(dy-1) + a(4)*df(dy-2) Fonte: ANDRADE, J BITTENCOURT Fotogrametria SBEE Curitiba,

35 T4 = Processo de reamostragem Polinômio de Lagrange a(n) = A(i-1,j+n-2)*(d-1)*(d-2)*d/(-6) + + A(i,j+n-2)*(d+1)*(d-1)*(d-2)/2 + + A(i+1,j+n-2)*(d+1)*(d-2)*d/(-2) + + A(i+2,j+n-2)*(d+1)*(d-1)*d/6 para n = 1,2,3,4 A(k,l) = a(1)*(dy-1)*(dy-2)*dy/(-6) + + a(2)*(dy+1)*(dy-1)*(dy-2)/2 + + a(3)*(dy+1)*(dy-2)*dy/(-2) + + a(4)*(dy+1)*(dy-1)*dy/6 Fonte: ANDRADE, J BITTENCOURT Fotogrametria SBEE Curitiba,

36 REFERÊNCIAS 01 ANDRADE, J BITTENCOURT Fotogrametria SBEE Curitiba, AUGUSTO, Eduardo G G Normalização de Estereogramas e sua Aplicação na Geração de Modelos Numéricos de Elevações Rio de Janeiro, 1999 Dissertação (Mestrado em Ciências Cartográficas) Secretaria de Ciência e Tecnologia, Instituto Militar de Engenharia 03 CHO, Woosug; SCHENK, Toni; MADANI, Mustafá Resampling Digital Imagery to Epipolar Geometry OSU, Columbus, KRAUS, Karl Photogrammetry Volume 1 - Fundamentals and Standard Processes Verlag, Bonn, LUGNANI, João Bosco Introdução à Fototriangulação Imprensa Universitária da UFPR, Curitiba, MIKHAIL, E M; BETHEL, J S; MCGLONE, J C Introduction to Modern Photogrammetry John Wiley & Sons, Inc New York, SCHENK, Toni Digital Photogrammetry Vol I TerraScience - Ohio, STRAUCH, J C Mercedes Correlação de Imagens Digitais Curitiba, 1991 Dissertação (Mestrado em Geociências) - Setor de Tecnologia, Universidade Federal do Paraná 36

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