Anais do XV ENCITA 2009, ITA, Outubro, 19-22, 2009,

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1 Anais do 5 O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA XV ENCITA / 009 Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos SP Brasil Outubro 9 a 009. INTERPOLAÇÃO PARABÓLICA EM INTEGRADOR DE EULER COM MÉTODO DAS DERIVADAS MÉDIAS PERMITINDO PASSO VARIÁVEL NA SOLUÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES AUTÔNOMOS Ricardo Itiro Sabota Tominaga ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica H8-C 35 Praça Mal. Eduardo Gomes nº50 - Campus do CTA São José dos Campos - SP Bolsista PIBIC-CNPq ris.tominaga@gmail.com Paulo Marcelo Tasinaffo ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Ciência da Computação Praça Mal. Eduardo Gomes nº50 - Campus do CTA São José dos Campos - SP tasinafo@ita.br Neste trabalho é apresentada uma maneira de se obter uma interpolação por parábola de dois pontos originados na solução de um sistema dinâmico autônomo não-linear sem a necessidade de um terceiro ponto. Para isso é necessária a representação das funções de derivadas médias da solução desse sistema por uma rede neural artificial do tipo feedforward a qual necessita apenas de um integrador numérico do tipo Euler para fornecer a solução discreta do sistema. A interpolação por parábola possibilitará a variabilidade do tamanho do passo da solução com relevante sucesso. Contudo a cada interpolação a solução original precisará de uma parábola distinta. Este obetivo é atingido com o uso de dois importes teoremas o teorema do valor médio diferencial e integral. Um problema prático de simplificação é considerado para o teste dessa nova metodologia. Palavras chave: interpolação parabólica rede neural derivada média passo variável Euler.. Introdução Redes neurais artificiais têm sido usadas para a identificação de sistemas dinâmicos e teoria de controle para sistemas dinâmicos autônomos não-lineares de plantas do mundo real (e.g. Narendra and Parthasarath 990; Hunt et al 99). A metodologia usual na criação dos esquemas de controle neural tem sido baseada num modelo discreto nãolinear de entrada/saída NARMA (Nonlinear Auto Regressive Moving Average) para a aproximação do sistema dinâmico (e. g. Chen and Billings 99). No ento há duas dificuldades com essa metodologia. A primeira é o auste da ordem do modelo de entrada/saída e a segunda é quando há inevitavelmente muitas entradas resuldo em muitas conexões neurais e parâmetros relacionados e consequentemente na complicação do treinamento supervisionado da rede. Uma alternativa é a utilização simultânea de um integrador numérico de equações diferenciais ordinárias e uma rede feedforward (Wang and Lin 998; Rios Neto 00). Isso resulta em uma série de vantagens (i) a rede neural precisará aprender somente a função de derivadas instâneas ou taxa de variação do estado do sistema que é apenas uma função estática (ii) a rede pode prever o comportamento do sistema a qualquer momento (Wang and Lin 998) sem precisar fixar um passo para o tempo como o método NARMA (iii) precisão local pode ser austada por métodos existentes de variação automática da ordem ou tamanho de passo do integrador (e.g. Prothero 980) e (iv) pode ser feita a estimação do erro de predição global acumulado (e.g. Rios Neto and Rama Rao 990). Dessa forma Wang e Lin introduziram em 988 o termo RKNN s (Runge-Kutta Neural Networs) na literatura referente às redes neurais artificiais para mapeamento de sistemas dinâmicos não-lineares. A teoria de controle usando integradores numéricos neurais foi apresentada recentemente (Rios Neto 00) e a primeira característica importe disso é a dificuldade em se utilizar integradores numéricos de alta ordem porque há vários obstáculos na determinação da função gradiente quando se combina redes feedforward e integradores numéricos usando o conceito de retropropagação (bacpropagation). Assim (Tasinaffo 003) desenvolveu o termo derivada média dentro de um integrador do tipo Euler ou integrador de primeira ordem com passo de tempo fixo onde a rede neural representa apenas a função de derivadas médias do sistema original e não mais a função de derivadas instâneas. A vantagem dessa técnica é a simplificação da retropropagação presente no treino da rede e na teoria de controle preditiva e adaptativa. Entreto o método das derivadas médias fornece apenas a solução discreta para o sistema. Então nesse trabalho se propõe uma melhora capaz de permitir a variabilidade do passo da solução através da interpolação de pontos vizinhos da solução por uma parábola e sem a necessidade de um ponto intermediário.

2 Anais do XV ENCITA 009 ITA Outubro Metodologia O treinamento de uma rede neural com as derivadas médias do sistema dinâmico deseado permite a obtenção de uma solução discreta. Sea t a derivada média da -ésima saída fornecida pela rede com t = t + t e o -ésimo estado da saída referida. Tem-se que + i = t. + i. Assim sabem-se os seguintes pontos ( t ) e + i ( t ) +. Aproximando-se a curva entre esses pontos por uma parábola têm-se as seguintes equações (). i =. t + β. t + γ () =. t + β. t + γ + i + + No ento há três incógnitas. A terceira equação () vem da aplicação dos teoremas do valor médio * diferencial e integral sobre a curva real entre os pontos extremos. Chega-se à conclusão que existe um t ( t t + ) tal que i * d && ( t ) = = ψ. Como estamos aproximando ( t ) = t + β t + γ temos que dt i * && ( t ) = = ψ. t ψ Resolvendo-se o sistema nas incógnitas tem-se (3). = () = ψ (3) β = t - ( t + + t ) ψ ( - γ = t t+ ψ t + ) d dt O problema agora é a obtenção do valor de = ψ obtém-se (4). t ψ. Aplicando-se a regra da careia sobre d d d dt dt dt n = + L + n d dt = L M n d n dt θ = = L M o θ n θ n (4) O vetor i pode ser obtido por uma simples retropropagação da rede á treinada com as derivadas médias. Já o vetor θ i representa as derivadas instâneas do sistema. Para se evitar o treinamento de outra rede neural com as derivadas instâneas é feita a aproximação da derivada instânea pela média com a condição de se utilizar um passo pequeno. Assim temos (5). d dt o (5)

3 Anais do XV ENCITA 009 ITA Outubro Por fim os coeficientes podem ser obtidos por (6). = o 3. Testes e Resultados β = t - ( t + + t ) o ( - γ = t t+ o t + ) Esta seção tem por finalidade apresentar os testes e resultados da implementação da interpolação parabólica em um exemplo prático. 3.. Sistema Dinâmico O sistema dinâmico escolhido para o teste foi o pêndulo simples acoplado a um carrinho móvel (Fig.). (6) As equações que descrevem esse sistema são (7). Fig. Representação do sistema dinâmico escolhido. x& = x; -bx g cos x sin x - x sin x x& = x& 3 = x4 -bx - 3x4 sin x3 g x3 x& 4 = - 3 cos x3 3 cos x cos x3 (7) = M + m = I + ml 3 = ml 4 = 3 Os valores para as constes do sistema estão na tabela Tab.. Tab. Constes utilizadas para o sistema dinâmico. Massa do carrinho M=0.5 Massa da haste m=0. Comprimento da haste l=0.3 Momento de inércia do pêndulo I=0.006 Coeficiente de força viscosa b= Aceleração da gravidade g=0

4 Anais do XV ENCITA 009 ITA Outubro Foi escolhido esse sistema dinâmico pois a rede neural artificial que será treinada para aprender a função de derivadas médias do sistema terá intervalos de treinamento para cada variável de estado e como a simulação será sem controle é necessário que o sistema tenha seu comportamento contido nos intervalos de treinamento. 3.. Treinamento Foram treinadas duas redes neurais artificiais na arquitetura feedforward bacpropagation com o método das derivadas médias utilizando-se o algoritmo de treinamento do gradiente. As discretizações do tempo escolhidas foram t = 0 e t = 05. O número de neurônios na camada interna foi de 3. As funções de ativação da camada interna foram do tipo sig com lambda igual a. As funções de ativação da camada externa foram do tipo puramente linear. A taxa de aprendizado escolhida foi 00. Para t = 0 o erro quadrático médio alcançado foi de 84.0^-6 e para t = 05 foi de 350.0^ Simulação O sistema foi simulado com as condições iniciais (8). O inste inicial foi 0s o final foi 0s. Os resultados foram os seguintes: x 0 0 = x& 0 = 0 (8) θ0 = 05 & θ = 0 Fig. Simulação com passo de 0

5 Anais do XV ENCITA 009 ITA Outubro Fig. 3 Simulação com passo de 05 Pode-se perceber que to para a simulação com passo de 0 quanto para a simulação com passo de 05 os pontos originados da função de derivadas médias neural integrada por Euler estão bem próximos da solução originada da função de derivadas original integrada por Runge-Kutta. Isso era de se esperar uma vez que o erro quadrático médio de treino alcançado para as redes foi baixo e o método das derivadas médias apresenta pouca divergência em relação à solução. As diferenças aparecem quando se compara a interpolação parabólica para os dois passos. Para o passo de 0 a interpolação parabólica acompanhou bem a solução original com certa suavidade mesmo nas extremidades das parábolas. Já para o passo de 05 a interpolação parabólica não acompanhou bem a solução original mostrando inclusive aparentes pontos de quebra nas extremidades das parábolas. Isso pode ser explicado por dois fatores um deles é o fato de se ter usado uma aproximação da derivada instânea pela derivada média o outro é que se trata de uma interpolação parabólica sendo que não necessariamente as curvas que estão sendo aproximadas são parábolas. 4. Conclusão A interpolação parabólica em integrador de Euler com método das derivadas médias permitiu passo variável da solução do sistema com certas restrições. Quando o passo satisfatório for suficientemente pequeno poder-se-á realizar a interpolação parabólica com uso de apenas uma rede neural treinada com as derivadas médias e considerando a aproximação feita para a derivada instânea. Quando o passo satisfatório não for suficientemente pequeno será necessário o treino de mais uma rede neural com as derivadas instâneas. Esse caso torna o método não muito vantaoso pois se perde tempo com mais um treinamento além de se acumular mais o erro de treinamento dessa rede. 5. Agradecimentos O aluno gostaria de agradecer ao professor Paulo Marcelo Tasinaffo pelo apoio e atenção dispensados na realização desse proeto sem os quais seria impossível a realização dele. Um agradecimento especial ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) que gerou a oportunidade de desenvolver um proeto de grande interesse para a ciência.

6 Anais do XV ENCITA 009 ITA Outubro Referências - Chen S.; Billings S. A. Neural networs for nonlinear dnamic sstem modelling and identification. Int. J. Control v. 56 n. p Hunt K. J.; Sbarbaro D.; Zbiowsi R.; Gawthrop P. J. Neural networs for control sstems A surve. Automatica v. 8 n. 6 p Nov Narendra K. S.; Parthasarath K. Identification and control of dnamical sstems using neural networs. IEEE Transactions on Neural Networs v. n. p. 4-7 March Prothero A. 980 Estimating the accurac of numerical solution to ordinar differential equations In: gladwell I. And Saers D. K. Eds. Computational Techniques for Ordinar Differential Equations Academic Press London. - Rios Neto A.; Rama Rao K. A stochastic approach to global error estimation in ODE multistep numerical integration. Journal of Computational and Applied Mathematics v. 30 n. 3 p Rios Neto A. Dnamic sstems numerical integrators in neural control schemes. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE REDES NEURAIS Rio de Janeiro RJ Brasil. Anais... Rio de Janeiro: Conselho Nacional de Redes Neurais 00 p CD-ROM. - Tasinaffo P. M. Estruturas de integração neural feedforward testadas em problemas de controle preditivo p. INPE-0475-TDI/945. Tese (Doutorado em Ciências Espacial) Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais São José dos Campos Wang Y.-J.; Lin C.-T. Runge-Kutta neural networ for identification of dnamical sstems in high accurac. IEEE Transactions On Neural Networs v. 9 n. p March 998.