Diagrama do Lugar Geométrico das Raízes

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1 Diagrama do Lugar Geométrico das Raízes Objetivos: Estudar a aplicação de ferramentas de apoio à engenharia tais como Matlab e Scilab para o traçado do diagrama do Lugar das Raízes. Introdução O método do Lugar Geométrico das Raízes (ou Lugar das Raízes) foi desenvolvido por W. R. Evans em Este método representa graficamente o deslocamento dos polos de malhafechada de um sistema linear quando sujeito a variação de um ganho K. É válido notar que é possível definir tal diagrama para variação de outros parâmetros, como por exemplo, a localização de um polo ou um zero. O método do Lugar das Raízes é utilizado em análise e projeto de sistemas de controle lineares, permitindo obter características de estabilidade e de resposta transitória. Seja a seguinte malha de controle: A função de transferência em malha fechada é dada por: T(s) = KG(s) 1 + KG(s)H(s) Os polos de malha fechada são as raízes do polinômio característico dado por: Ainda, PC(s) = 1 + KG(s)H(s) = 0 KG(s)H(s) = 1 A partir de tal expressão é possível definir duas condições para que um determinado ponto s seja polo de T(s): 1. Condição Angular (ou de Fase, ou de Ângulo): G(s)H(s) = ±180 ± 360 N 2. Condição de Módulo: KG(s)H(s) = 1 Nota-se que a Condição Angular é restritiva, logo um ponto só pode ser polo de T(s) se atender a tal requisito. Já a condição de Módulo é utilizada para determinar qual o valor do ganho K que leva a tal polo. Tipicamente considera-se K 0, mas é possível realizar o traçado do Lugar das Raízes para valores de ganho negativos, ou seja, com realimentação positiva. Regras básicas para traçado: 1. Plote no plano real x imaginário os polos e zeros de malha aberta; 2. Determine o número de ramos = número de polos de malha aberta (np); 1

2 3. Determine o número de ramos que vão para infinito = número de polos de malha aberta (np)- número de zeros de malha aberta (nz); 4. Trace o Lugar das Raízes do eixo real: será Lugar das Raízes toda região do eixo real à esquerda de um número ímpar de singularidades (polos ou zeros de malha aberta); 5. Determinação dos pontos de quebra do eixo real: K 1 = 0 onde K = ; σ G(σ)H(σ) 6. Determinação das assíntotas: o número de assíntotas é igual ao número de ramos que vão para infinito. a. Ponto de Partida: σ a = polos zeros np nz b. Ângulo das Assíntotas: θ a = 360N 180 np nz ; 7. Ponto de cruzamento com o eixo imaginário: monte a tabela de Routh e verifique os valores do ganho K que anulam uma linha inteira. Se houverem pontos de cruzamento com o eixo imaginário, este serão dados pelas raízes do polinômio auxiliar formado pelos coeficientes da linha acima da linha anulada. Obs. Os ramos saem dos polos de malha aberta e vão para os zeros de malha aberta (ou zeros no infinito). Os zeros atraem os ramos e os polos repelem. Comandos Importantes: Matlab: o rlocus o rltool ; Scilab: evans 2

3 Exercícios Propostos Considere a seguinte função de transferência do ramo direto: s + 5 A (s) = K (s + 1)(s 2) 1. Verifique a posição dos polos e zeros desse sistema em malha fechada para diversos valores de K>0 (exemplo: K = 0.001, K = 0.5, K = 1, K=5, K = 10, K = 100 e K = 1000, etc). Dica: no Matlab use roots e pzmap; no Scilab use roots e plzr. 2. O que podemos inferir a partir dos valores encontrados no item anterior sobre a relação entre a posição dos polos e dos zeros de malha fechada ao se variar o valor do ganho K? 3. Utilizando as regras básicas para traçado apresentadas esboce o diagrama do Lugar das Raízes. 4. Utilizando as ajudas dos programas Matlab ou Scilab, verifique o funcionamento das funções relacionadas com o traçado do diagrama do Lugar das Raízes (rlocus e evans, respectivamente). 5. Confira seu esboço utilizando o Matlab ou Scilab. 6. O sistema em malha aberta é estável? Qual faixa de valores de K que estabiliza a malha de controle fechada com realimentação negativa unitária? 7. Explore a ferramenta rltool do Matlab. Verifique: a. A caraterística dinâmica do Lugar Geométrico das Raízes: ao variar o ganho modifica-se a posição dos polos de malha fechada; b. Inclua um zero e verifique a sua influência nos ramos preexistentes; c. Inclua um polo e verifique a sua influência nos ramos preexistentes. Anexo: Introdução Scilab O Scilab é um programa livre para apoio a projetos de engenharia de controle. Pode ser obtido em na versão atual ou na versão 5.4 beta 1 (ambos disponíveis para Linux, Windows e Mac OS X). Desenvolvido desde 1990 pelos pesquisadores do INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique) e do ENPC (École Nationale des Ponts et Chaussées), atualmente é mantido e desenvolvido pelo Consórcio Scilab. Sua janela inicial é mostrada na Figura 1. 3

4 Figura 1: Ambiente inicial do Scilab. Seu ambiente inicial é uma linha de comando na qual os cálculos podem ser realizados de forma rápida e interativa. Existe ainda a possibilidade de trabalhar no ambiente SciNotes, de modo que o programa desenvolvido possa ser salvo. Para abrir o editor de programa (mostrado na Figura 2): clique em abrir arquivo. Figura 2: SciNotes. O Scilab possui um grupo de funções disponíveis na sua estrutura básica, entretanto é possível instalar (ou mesmo desenvolver) módulos específicos (que incluem novas funções). Para conhecer e instalar os módulos atualmente existentes para Windows acesse Aplicativos/Gerenciador de Módulos ATOM. Existem três principais caminhos para acessar o help do Scilab: 1. Digite help, o nome da função e pressione enter; 2. Tecle F1; 3. Utilize a aba?: Ajuda do Scilab. 4

5 Figura 3: Navegador de Ajuda. Scilab x Matlab Linguagem semelhante; Scilab é livre e atualmente tem sido alvo de atualizações; Diversos módulos têm sido desenvolvidos, inclusive ferramentas específicas para área de controle; Desenvolvimento do ambiente XCOS, que possui funcionalidade similar ao Simulink/Matlab; Dificuldades no acesso ao help e documentação apropriada. Funções Matemáticas Básicas O Scilab utiliza regras semelhantes as da matemática formal, por exemplo, uma divisão é feita pelos seguintes comandos: -->a=3/4 a = 0.75 Caso não queira que o valor da resposta seja apresentado, coloca-se ao final de cada declaração o caractere ;. Utilizando os caracteres //, é possível também inserir um texto de comentário, conforme o exemplo a seguir. --> b = 2 // sem o caractere ; no final da sentença o resultado é apresentado. b = 2 --> c = 3; // com o caractere ; no final da sentença o resultado não é apresentado. --> d = b+c // o resultado é armazenado na variável d e é apresentado. d = 5 --> b+c // se nenhum nome é atribuído a uma variável ela é armazenada em ans. ans = 5 5

6 O Scilab realiza as operações matemáticas básicas na seguinte ordem: ^ potência; * multiplicação; divisão; + adição; subtração. As operações são realizadas da esquerda para direita, seguindo a ordem de prioridade definida anteriormente. Entretanto, a utilização de parênteses pode afetar tal ordem. --> 1+2^3/4*2 // 1+{[(2^3)/4]*2} ans = 5 --> 1+2^3/(4*2) // 1+[(2^3)/(4*2)] ans = 2 --> (1+2)^3/(4*2) // [(1+2)^3]/(4*2) ans = Variáveis e funções predefinidas O Scilab possui algumas variáveis predefinidas: %s: variável complexa de polinômios (Transformada de Laplace); %T: variável booleana True (verdadeiro); %F: variável booleana False (falso); %pi : valor de π (3, ); %e: número de Euler ( 2, ); %inf: infinito; %i: variável complexa. --> 2*%pi ans = > d=4/%inf d = 0 --> z=2+2*%i z = i O Scilab (pacote básico, sem módulos adicionais) possui ainda várias funções matemáticas predefinidas, tais como funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, raiz quadrada, raiz cúbica, funções lógicas booleanas, entre muitas outras. --> u=sin(3*%pi/4) // o Scilab usa como default a medida de ângulo em radianos u = > v=sqrt(4) //o comando sqrt (square root) executa a operação raiz quadrada v = 2 --> abs(z) // valor absoluto (módulo) da variável z definida anteriormente ans = > exp(-1) // exponencial ans = > log10(100) // logaritmo na base 10 ans = 2. Outras funções básicas: cos(x), tan(x), cotg(x), acos(x), asin(x), atan(x) (ângulo em radianos); real(x) e imag (x) (números complexos); log(x) (base e), log2(x) (base 2); 6

7 modulo(x,y) (resto da divisão entre x e y); round(x) (arredonda o valor de x para o inteiro mais próximo), floor(x) (arredonda para o menor inteiro) e ceil(x) (arredonda para o maior inteiro); Polinômios Para declaração de variável devem ser seguidas as seguintes restrições: Sensível a maiúsculas e minúsculas; Palavra única; Até 24 caracteres; Não pode iniciar com número; Pode conter o caractere _. Para declarar o polinômio P(s) = s 2 + 3s + 2 = (s + 1) (s + 2), existem quatro formas: Pelas raízes: --> P = poly([-1-2], s ); Pelos coeficientes (os coeficientes devem ser colocados do menor grau para o maior): --> P = poly([2 3 1], s, coeff ); Criando a variável s : --> s = poly (0, s ); --> p = s^2+3*s+2; Utilizando a variável %s: A --> p = %s^2+3*%s+2; s raízes podem ser obtidas utilizando o comando roots. --> R = roots(p) R = -1-2 É possível realizar operações entre polinômios, tais como soma, subtração, multiplicação e divisão. Função de Transferência Para se utilizar os comandos específicos de controle é necessário declarar uma função de transferência: defina o polinômio do numerador (num) e do denominador (den) e então faça TF= num/den. Use o comando syslin para definir se é contínuo ou discreto. Exemplo. TF=syslin( c,tf) define uma função de transferência TF contínua. 7

8 A expansão em frações parciais de uma função de transferência é obtida pelo comando pfss(tf). O comando trfmod relaciona a função de transferência com os zeros (raízes do numerador), os polos (raízes do denominador) e o ganho. Exemplo: --> TF = 1/p; --> TF = syslin( c,tf); --> trfmod (TF); Figura 4: Saída do comando trfmod. FERRAMENTA XCOS Na tela principal, o ícone abre o XCOS. O Navegador de paletas apresenta várias classificações de blocos pré-estabelecidas, como Sistemas de tempo contínuo, Operações Matemáticas, dentre outras. Figura 5: Navegador de paletas do XCOS. Juntamente com o Navegador de paletas, é aberto um novo arquivo de trabalho do Xcos, conforme mostra a Figura 6. 8

9 Figura 6: Arquivo para trabalho do XCOS. A opção Sistemas de tempo contínuo apresenta os blocos que são vistos na Figura 7. Figura 7: Tela com os blocos da opção Sistemas de tempo contínuo. O bloco CLR pode ser arrastado para o arquivo de projeto. 9

10 Figura 8: Bloco CLR. A tela de parâmetros do bloco pode ser acessada ao se clicar com o botão direito do mouse no bloco ou pelo atalho ctrl+b. Ligações e outros blocos importantes É possível inserir outros blocos na folha de trabalho, como o bloco Step (encontrado em Fontes) e o bloco Cscope (Receptores). Podemos interligá-los clicando no sinal de conexão existente no bloco e arrastando até o outro bloco, de maneira que uma linha apareça e forme a ligação. Finalmente, é necessário adicionar o bloco CLOCK_c (que irá definir a taxa de amostragem utilizada na simulação numérica) e um block de finalização, END, para definir o tempo total de simulação. O resultado será semelhante ao visto na Figura 9. Simulações Figura 9: Simulação de uma malha de controle aberta. Com o sistema montado na Figura 9, é possível realizar uma simulação clicando em (para um valor de END de 5 segundos). Finalmente, uma janela gráfica é aberta mostrando a saída da planta para uma entrada degrau, conforme mostra a Figura

11 Figura 10: Resultado obtido sem ajuste de parâmetros do bloco Cscope. Note que para o caso com os parâmetros padrão do Cscope o resultado não está corretamente apresentado. Ajustando: Figura 11: Tela de configuração dos parâmetros do bloco Cscope. Temos o seguinte resultado: 11

12 Figura 12: Resultado obtido com ajuste de parâmetros do bloco Cscope. É válido notar que a janela gráfica deve ser fechada a cada simulação para não haver sobreposição incorreta de sinais. 12