RACIOCÍNIO LÓGICO. AUTOR: PROF. EDGAR ABREU

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1 RACIOCÍNIO LÓGICO AUTOR: PROF. EDGAR ABREU

2 2 EDITAL INSS (15/12/2011) 1. Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; valores lógicos das proposições; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade; conectivos; proposições simples; proposições compostas. 2. Tautologia. 3. Operação com conjuntos. 4. Cálculos com porcentagens. Quantidade de questões esperada: 3 a 5 de um total de 60 Sumário MÓDULO 1 INRODUÇÃO A LÓGICA MATEMÁTICA MÓDULO 2 OPERAÇÕES BÁSICAS MÓDULO 3 ARGUMENTOS LÓGICOS MÓDULO 4 RESOLVENDO PROBLEMAS MÓDULO 5 PORCENTAGEM QUESTÕES DE CONCURSOS... 30

3 3 MODÚLO 1. INTRODUÇÃO A LÓGICA MATEMÁTICA 1.1 SETENÇA X PROPOSIÇÃO Proposição: Permite ser julgado verdadeiro ou falso. Possui um único valor lógico Exemplos: O concurso para o INSS será um sucesso O edital demorou para ser publicado Papai Noel trouxe o edital do INSS de presente de Natal 7 5 = 10 Sentença: Nem sempre permite julgar se é verdadeiro ou falso. Pode não ter valor lógico Exemplos: 1. Será que agora vai? 2. Maz Bah tchê! 3. Vai estudar! 4. A frase dentro desta aspa é uma mentira 5. X + 5 = 20 Note que as sentenças exclamativas, imperativas ou interrogativas não admitem um único valor lógico, V ou F. Já as sentenças 4 e 5 não é proposição pois não conseguimos atribuir um único valor lógico. No item 5 por exemplo, se X é igual a 15 o valor lógico é V se for diferente de 15 então o valor lógico será F. Conclusão: Toda proposição é uma sentença, porém nem toda sentença é uma proposição 1.2 NEGAÇÃO SIMPLES Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição. No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos: PROPOSIÇÃO Ronaldo se aposentou Hebe Camargo não possui tempo de serviço para se aposentar NEGAÇÃO Ronaldo não se aposentou Hebe Camargo possui tempo de serviço para se aposentar Agora tente negar a proposição abaixo: Eu não vou passar no concurso do INSS Opção 1: Eu vou passar no concurso do INSS Opção 2: Não é verdade que eu não vou passar no concurso do INSS Isso mesmo, a negação de uma negação é uma afirmação!

4 4 O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira ( ) ou um sinal de til (~), antecedendo a frase. Vamos simbolizar a proposição p = A mulher é mais eficiente que o homem. p= A mulher não é mais eficiente que o homem. Proposições compostas em que está presente o conectivo e são ditas conjunções. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ^. Exemplo: Grêmio é freguês do São Paulo e O Internacional perde para o Mazembe. Proposição 1: Grêmio é freguês do São Paulo Proposição 2: O Internacional perde para o Mazembe. Conetivo: e Vamos chamar a primeira proposição de p a segunda de q e o conetivo de ^ Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p^q AGORA É A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses: H1: p: Grêmio não é freguês do São Paulo q: O Internacional perde para o Mazembe. H2: p: Grêmio é freguês do São Paulo q: O Internacional não perde para o Mazembe. H3: p: Grêmio não é freguês do São Paulo q: O Internacional não perde para o Mazembe. H4: p: Grêmio é freguês do São Paulo q: O Internacional perde para o Mazembe. 1.3 e - CONJUNÇÃO p q P ^ Q H1 F V F H2 V F F H3 F F F H4 V V V

5 5 1.4 ou - DISJUNÇÃO Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por. Portanto, se temos a sentença: Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother Proposição 1: Estudo para o concurso Proposição 2: assisto o Big Brother Conetivo: ou Vamos chamar a primeira proposição de p a segunda de q e o conetivo de v Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p v q AGORA É A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses: H1: p: Estudo para o concurso q: assisto o Big Brother Brasil. H2: p: Não Estudo para o concurso q: assisto o Big Brother Brasil. H3: p: Estudo para o concurso q: Não assisto o Big Brother Brasil.. H4: p: Não Estudo para o concurso q: Não assisto o Big Brother Brasil. p q P v Q H1 V V V H2 F V V H3 V F V H4 F F F 1.5 SE... ENTÃO... : (CONDICIONAL) Recebe o nome de condicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo Se... Então... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por. Portanto, se temos a sentença:

6 6 Se eu tenho o diploma de nível médio, então sou mais inteligente que o Tiririca Proposição 1: eu tenho o diploma de nível médio Proposição 2: sou mais inteligente que o Tiririca Conetivo: se.. então Vamos chamar a primeira proposição de p a segunda de q e o conetivo de Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q AGORA É A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses: H1: p: eu tenho o diploma de nível médio q: sou mais inteligente que o Tiririca H2: p: Não tenho o diploma de nível médio q: sou mais inteligente que o Tiririca H3: p: Não tenho o diploma de nível médio q: Não sou mais inteligente que o Tiririca H4: p: eu tenho o diploma de nível médio q: Não sou mais inteligente que o Tiririca p q P Q H1 V V V H2 F V V H3 F F V H4 V F F SE E SOMENTE SE... : (BICONDICIONAL) Recebe o nome de bicondicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo... se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por. Portanto, se temos a sentença: Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa Proposição 1: Maria compra o sapato Proposição 2: O sapato combina com a bolsa Conetivo: se e somente se

7 7 Vamos chamar a primeira proposição de p a segunda de q e o conetivo de Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q AGORA É A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses: H1: p: Maria compra o sapato q: O sapato não combina com a bolsa H2: p: Maria não compra o sapato q: O sapato combina com a bolsa H3: p: Maria compra o sapato q: O sapato combina com a bolsa H4: p: Maria não compra o sapato q: O sapato não combina com a bolsa p q P Q H1 V F F H2 F V F H3 V V V H4 F F V 1.7 TAUTOLOGIA Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,... que a compõem Exemplos: Gabriela passou no concurso do INSS ou Gabriela não passou no concurso do INSS Não é verdade que o professor Zambeli parece com o Zé gotinha ou o professor Zambeli parece com o Zé gotinha Ao invés de duas proposições, nos exemplos temos uma única proposição, afirmativa e negativa. Vamos entender isso melhor. Exemplo: Grêmio cai para segunda divisão ou o Grêmio não cai para segunda divisão Vamos chamar a primeira proposição de p a segunda de ~p e o conetivo de V

8 8 Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p V ~p AGORA É A SUA VEZ: H1: p: Grêmio cai para segunda divisão ~p: Grêmio não cai para segunda divisão H2: p: Grêmio não vai sair campeão ~p: Grêmio cai para segunda divisão p ~p p v ~p H1 V F V H2 F V V Logo temos uma TAUTOLOGIA! Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,... que a compõem Exemplos: O Zorra total é uma porcaria e Zorra total não é uma porcaria Suelen mora em Petrópolis e Suelen não mora em Petrópolis Ao invés de duas proposições, nos exemplos temos uma única proposição, afirmativa e negativa. Vamos entender isso melhor. Exemplo: Lula é o presidente do Brasil e Lula não é o presidente do Brasil Vamos chamar a primeira proposição de p a segunda de ~p e o conetivo de ^ Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p AGORA É A SUA VEZ: H1: p: Lula é o presidente do Brasil ~p: H2: p: Lula não é o presidente do Brasil ~p: 1.8 CONTRADIÇÃO

9 9 p ~p p ^ ~p H1 V F F H2 F V F Logo temos uma CONTRADIÇÃO! 1.9 RESUMO Agora iremos criar tabelas com o resumo e principais tópicos estudados neste capítulo. SENTENÇA VERDADEIRO FALSO SE.. LÓGICA SE... p p = V p = F ~p p = F p = V SENTENÇA LÓGICA VERDADEIRO SE... FALSO SE.. p q p e q são, ambos, verdade p q um dos dois for verdade ambos, são falsos p q p = V e q = F nos demais casos que não for falso p q p e q tiverem valores lógicos iguais um dos dois for falso p e q tiverem valores lógicos diferentes

10 10 MODÚLO 2. OPERAÇÕES BÁSICAS COM CONETIVOS LÓGICOS Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p q, ou simplesmente por p = q EQUIVALÊNCIAS: 1ª p ^ p = p Exemplo: Professor Ed é feliz e feliz = Professor Ed é Feliz Construindo a tabela: P V p ^ p V 2.1 EQUIVALÊNCIA DE CONETIVOS F F 2ª p ou p = p Exemplo: Joaquina foi a praia ou a praia = Joaquina foi a praia p V F p ^ p V F 3ª p q = (p q) ^ (q p) Exemplo: Trabalho no TRE se e somente se estudar para o concurso = Se trabalho no TRE então estudo para o concurso e se estudo para o concurso então trabalha no TRE

11 11 Tabela p q P q V V q p (P q) ^ (q p) P q F F V F V F 4ª p q = (~q ~p) Exemplo: Se bebo então sou rico = Se não sou rico então não bebo p q ~q ~p (P q) (~q ~p) V V F F V F V F 5ª p q = (~p ^ q) Exemplo: Se bebo então sou rico = não bebo ou sou rico p q ~p (P q) (~p v q) V F F V V F V F

12 12 6ª Conetivos que são comutativos (podemos trocar a ordem que a solução será a mesma): V, ^, Exemplos: (p q) = (q p) (p V q) = (q V p) (p q) = (q p) 7ª Conetivo que não é comutativo (não podemos trocar a ordem): Exemplos: (p q) (q p) 2.2 NEGAÇÕES DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Agora vamos aprender a negar proposições compostas, para isto devemos considerar que: TABELA: PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO OU CONETIVO p ~p ~p p ^ v Para negarmos uma proposição conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar aquela utilizada em álgebra na matemática. Vamos negar a sentença abaixo 1. ~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q) 2. ~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q) 3. ~(p ~q) = ~(p) ~( ) ~(~q) = (~p v q) 4. ~(~p ~q) = ~(~p) ~( ) ~(~q) = (p v q) Agora vamos aprender a negar uma sentença com um condicional. Para isso devemos trabalhar com a5ª propriedade de equivalência de conetivos demonstradas na página 10, onde: p q = (~p q) Então temos: 5. ~( p q) = ~( ~p q) = ~(~p) ~( ) ~(q) = (p ~q)

13 13 Agora é a sua vez: Sabendo que um bicondicional é igual a dois condicionais, propriedade 3 da página 9. Tente fazer a negação da sentença abaixo: 6. ~( p q) 2.3 RESUMO PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO COMPOSTA (p v q) (~p ~q) (p q) (~p v ~q) (p q) (p ~q) (p q) (p ~q) v (q ~p)

14 14 MODÚLO 3. ARGUMENTOS COM: TODOS, ALGUM E NENHUM 3.1 ARGUMENTOS - INTRODUÇÃO Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra proposição final, que será conseqüência das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expressões: Todo, algum, nenhum ou outras similares Exemplo: 1: Todas pessoas aposentadas pelo INSS possui mais de 60 anos de idade. 2: Todas as pessoas com mais de 60 anos de idade são gastam com remédio todos os meses. Assim, caso as proposições, argumentos, 1 e 2, estejam corretos, podemos concluir que: Conclusão : Todos os aposentados pelo INSS gastam com remédio todos os meses. Nem todos os argumentos são válidos. Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se eles são válidos ou inválidos! SIMNOLOGIA: SENTENÇA PARA TODO x (elemento) EXISTE x (elemento) SIMBOLOGIA 3.2 ARGUMENTOS VÁLIDOS Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Para concluiurmos se um argumento é válido ou não, devemos olhar APENAS como ele foi construído sem nos prendermos ao texto ou conhecimentos prévios sobre o assunto. Abaixo segue um exemplo de um argumento válido. 1: Todos os Policiais Federais são homens violentos. 2: Nenhum homem violento é casado. Conclusão: Portanto, nenhum Policial Federal é Casado. Apesar de parecer um absurdo, o argumento acima está correto. Se considerarmos como hipóteses verdadeira que os itens 1 e 2 estão corretos, a conclusão é consequencia das hipóteses, por uma propriedade de transitiva.

15 15 Para concluir se um silogismo é verdadeiro ou não, devemos construir conjuntos com as premissas dadas. Para isso devemos considerar todos os casos possíveis, limitando a escrever apenas o que a proposição afirma. no exemplo acima temos que Todos os Policiais Federais são homens violentos, mas nesta proposição não deixa claro se Todos as pessoas violentas são Policiais Federais. Por este motivo temos sempre que trabalhar com todas as hipóteses, considerando também este caso. Vamos representar a proposição em conjunto Este conjunto mostra exatamente o que a proposição fala. TODO PF é Violento, porém não podemos concluir que TODO violento é PF, assim trabalhamos com a hipótese de existirem pessoas violentas que não são Policiais. 2: Nenhum homem violento é casado. Com a expressão nenhum a frase acima afirma que o conjunto dos casados e dos vilentos não possuem elementos comuns. Logo devemos construir conjuntos separados. SOLTEIROS Logo é correto afirmar que, nenhum Policial Federal é Casado, já que estes conjuntos não possuem elementos em comum. 3.3 ARGUMENTOS INVÁLIDOS Dizemos que um argumento é inválido também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Vamos considerar um exemplo similar ao anterio com apenas uma pequena alteração na proposição 2 e na conclusão. 1: Todos os Policiais Federais são homens violentos.

16 16 2: Alguns homens violentos são casados. Conclusão: Portanto, existem Policiais Federais que são Casados. A uma primeira leitura pode parecer um argumento válido (silogismo), porém ao considerarmos todas as hipóteses possíveis iremos descobrir que as proposições são insuficientes para a conclusão, tratando então de uma falácia. Representação do argumento 1: Todos os Policiais Federais são homens violentos. Lembre-se que: TODO PF é Violento, porém não podemos concluir que TODO violento é PF, assim trabalhamos com a hipótese de existirem pessoas violentas que não são Policiais. Podemos representar a hipótese 2 de duas formas, uma como a banca quer que você entenda, de maneira errada, conforme abaixo: 2: Alguns homens violentos são casados Assim existiria um conjunto X de policiais que são violentos e casados. PF X Portanto, poderíamos concluir existem Policiais Federais que são Casados. Mas devemos considerar todas as hipóteses, imagine que os conjuntos sejam divididos da forma abaixo: Neste exemplo, todo policial federal é violento, alguns violentos são casados, ou seja, as hipóteses são satisfeitas. PF Mas não existem policiais casados. Assim a conclusão é precipitada!

17 17 As Proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. As Proposições da forma Todo A é B estabelecem que o conjunto A é um subconjunto de B. Note que não podemos concluir que A = B, pois não sabemos se todo B é A. Como negar estas Proposições: 3.4 NEGAÇÃO DE TODO, ALGUM E NENHUM PROPOSIÇÃO TODO ALGUM NEGAÇÃO ALGUM OU EXISTE PELO MENOS NENHUM Exemplos: PROPOSIÇÃO Todo A é B Algum A é B NEGAÇÃO Algum A não é B ou Existe pelo menos um A que não seja B Nenhum A é B

18 18 MODÚLO 4. RESOLVENDO PROBLEMAS 4.1 METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS As questões de lógica cobradas em concursos, em geral, são textos formados por proposições e conetivos. Para resolver qualquer questão é necessário traduzir este texto para uma linguagem lógica, operar dentro desta linguagem e no final traduzir da linguagem lógica de volta para o texto, conforme modelo abaixo: TEXTO Traduz os testos para uma linguagem lógica matemática LÓGICA Traduz a resposta em lógica para um texto OPERA Aplica as propriedades de lógica que aprendemos Exemplo 4.2.1: A negação da sentença: Se Teobaldo estuda então será aprovado no concurso Passo 1: Simbolizar as proposições acima p: Teobaldo estuda q: Teobaldo é aprovado no concurso Conetivo: Se então (condicional) 4.2 RESOLVENDO PROBLEMAS DE NEGAÇÃO Passo 2: Representar logicamente a sentença: (p q) Passo 3: Negar a sentença aplicando propriedades de lógica: ~(p q) = ~(~p q) Lembrar da propriedade de equivalência ~(~p q) = (p ~q) Negar as proposições e o conetivo Passo 4: traduzir da lógica para o texto novamente p: Teobaldo estuda = e q = Teobaldo não é aprovado no concurso. (poderia usar também a expressão: não é verdade que Teobaldo é aprovado no concurso)

19 19 Juntando tudo temos a negação da sentença que será: Teobaldo estuda e não é aprovado no concurso Exemplo 4.2.2: (CESPE DETRAN/ES 2010) A negação da proposição "Não dirija após ingerir bebidas alcoólicas ou você pode causar um acidente de trânsito" é, do ponto de vista lógico, equivalente à afirmação "Dirija após ingerir bebidas alcoólicas e você não causará um acidente de trânsito". 1: Simbolizar as proposições acima ~p: não dirija após ingerir bebidas alcoólicas (note que a proposição p possui um não em seu texto, por isso estamos representando por ~p ao invés de usar somente p) q: Você pode causar um acidente de trânsito Conetivo: ou (conjunção) 2: Representar logicamente a sentença: (~p q) 3: Negar a sentença aplicando propriedades de lógica: ~(~p q) = (p ~q) Negar as proposições e o conetivo 4: traduzir da lógica para o texto novamente p: dirija após ingerir bebidas alcoólicas = e q = você não causará um acidente de trânsito Juntando tudo temos a negação da sentença que será: Dirija após ingerir bebidas alcoólicas e você não causará um acidente de trânsito Exemplo 4.2.3: Qual a negação da sentença: Estudo se e somente se não chover. Esta parece simples, mas é trabalhosa. Temos que transformar esta bi condicional em duas condicionais e negar. 1: Simbolizar as proposições acima p: Estudo ~q: não chover Conetivo: bicondicional ( ) 2: Representar logicamente a sentença: (p ~q) 3: Aplicando propriedades de lógica: RESOLUÇÃO ~(p ~q) =~[ (p ~q) (~q p)] EXPLICAÇÃO Propriedade de equivalência do bi condicional

20 20 ~(p ~q) ~( ) ~(~q p) Negar TUDO (distributividade) ~(~p ~q) ~(q p) Negamos a disjunção e usamos a propriedade de equivalência do condicional (p q) (~q ~p) Negamos as duas expressões 4: traduzir da lógica para o texto novamente p: estudo ~p: não chove q: chove ~q: não chove = e = ou Juntando tudo temos a negação da sentença que será: estudo e chove ou não estudo e não chove 4.3 RESOLVENDO PROBLEMAS DE ARGUMENTOS Agora iremos estudar como resolver as questões com argumentos que não utilizam as expressões: todos, nenhum ou algum. Exemplo Se prova é fácil, então sou funcionário do INSS. 2. Não sou funcionário do INSS. Sabendo que as duas proposições acima são verdadeiras, podemos concluir que: A prova não é fácil. Resolução: 1: Simbolizar as proposições acima p: A prova é fácil q: sou funcionário do INSS ~q= não sou funcionário do INSS Conetivo: condicional ( ) 2: Representar logicamente a sentença: 1. (p q) = V 2. ~q = V 3: Aplicando propriedades de lógica: Ora, se ~q = V logo q = F. Assim temos a seguinte situação:

21 21 p q? V F Como sabemos o condicional será falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa. Como a segunda proposição é FALSA e este condicional é VERDADEIRO, obrigatoriamente a primeira proposição deve ser FALSA, logo, p=f 4: traduzir da lógica para o texto novamente: a prova não é fácil Exemplo Robinho come ou dorme 2. Se Robinho come então não joga bola 3. Robinho joga bola Sabendo que as três proposições acima são verdadeiras, podemos concluir que é verdade que: Robinho dorme. Resolução: 1: Simbolizar as proposições acima p: Robinho come q: dorme ~r= não joga boa r: joga bola Conetivos: condicional ( ) e disjunção ( ) 2: Representar logicamente a sentença: 1. (p q) = V 2. (p ~r) = V 3. r = V 3: Aplicando propriedades de lógica: Ora, se r = V logo ~r = F. Vamos fixar ~r=f e testar a proposição 2 a fim de descobrir o valor lógico de P, sabendo que o condicional deve ser verdadeiro. hipóteses p ~r h1 V F F h2 F V F

22 22 Como sabemos o condicional será falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa. Como a segunda proposição é FALSA e este condicional é VERDADEIRO, obrigatoriamente a primeira proposição deve ser FALSA, logo, p=f Agora vamos fixar a informação p=f e testar na sentença 1 e tentar descobrir o valor lógico de q, sabendo que a sentença como todo é verdadeira hipóteses p q h1 F F F h2 F V V Como p é falso e a sentença é verdadeira obrigatoriamente o valor de q deve ser verdadeiro já que a disjunção para ser verdadeira pelo menos uma das proposições devem ser verdadeiras. Assim concluímos que q=v 4: traduzir da lógica para o texto novamente: Robinho dorme Exemplo Rejão não é bruto ou habilidoso 2. Rejão não é bruto se e somente se Carruira é habilidoso 3. Carruira é habilidoso Sabendo que as três proposições acima são verdadeiras, podemos concluir que é verdade que: Rejão é habilidoso. 1: Simbolizar as proposições acima ~p: Rejão não é bruto q: Rejão é habilidoso ~p= Rejão não é bruto r: Carruira é habilidoso Conetivos: condicional ( ) e disjunção ( ) 2: Representar logicamente a sentença: 1. (~p q) = V 2. (~p r) = V 3. r = V 3: Aplicando propriedades de lógica: Ora, se r = V vamos fixar r=v e testar a proposição 2 a fim de descobrir o valor lógico de ~p, sabendo que o bicondicional deve ser verdadeiro.

23 23 hipóteses ~p r h1 V F F h2 F V F Como sabemos o bicondicional será falso se as duas proposições tiverem valores lógicos diferentes. Para que o bicondicional seja verdadeiro é necessário que ambas proposições tenham o mesmo valor lógico. Como a segunda proposição é FALSA e este bicondicional é VERDADEIRO, obrigatoriamente a primeira proposição deve ser FALSA, logo, p=f Agora vamos fixar a informação p=f e testar na sentença 1 e tentar descobrir o valor lógico de q, sabendo que a sentença como todo é verdadeira hipóteses p q h1 F F F h2 F V V Como p é falso e a sentença é verdadeira obrigatoriamente o valor de q deve ser verdadeiro já que para que a disjunção seja verdadeira pelo menos uma das proposições devem ser verdadeiras. Assim concluímos que q=v 4: traduzir da lógica para o texto novamente: Rejão é habilidoso Exemplo 4.4.1: Considere a seguinte proposição: "Se o Policial é honesto, então o Policial é Honesto ou Médico é trabalhador. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza uma tautologia. p= Policial é honesto q = Médico é trabalhador Resolvendo: p (p q) Sentença dada ~p ( p q) propriedade da igualdade de um condicional ( ~p p) q Associação Verdade q Tautologia (sempre será verdadeiro) Verdade Verdadeiro sempre. Logo estamos diante de uma Tautologia. 4.4 RESOLVENDO PROBLEMAS DE FATORAÇÃO

24 24 MODÚLO 5. PORCENTAGEM 5.1 TAXA UNITÁRIA DEFINIÇÃO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira. Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, esta taxa pode ser representada por uma fração, cujo o numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100. COMO FAZER 10 10% = = 0, % = = 0, % = = 0, % = = 0, , 5 1,5% = = 0, % = = 2, AGORA É A SUA VEZ: 15% 20% 4,5% 254% 0% 63% 24,5% 6% Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que se não sabemos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% sofreu um aumento de 20%, logo está valendo 120% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto, após o acréscimo. 120 Fator de Capitalização = 1, = 5.2 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO

25 25 O Fator de capitalização Trata-se de um número no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de capitalização por 1,2 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 60,00. CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária, lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR: o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45 o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2 ENTENDENDO O RESULTADO: Aumentar o preço do meu produto em 20% deve multiplicar por 1,2 Exemplo 1.3.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará a custar x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00 COMO FAZER: 130 Acréscimo de 30% = 100% + 30% = 130% = = 1, Acréscimo de 15% = 100% + 15% = 115% = = 1, Acréscimo de 3% = 100% + 3% = 103% = = 1, Acréscimo de 200% = 100% + 200% = 300% = = AGORA É A SUA VEZ: Acréscimo Calculo Fator 15% 20% 4,5% 254% 0% 63% 24,5% 6%

26 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que se não sabemos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% sofreu um desconto de 20%, logo está valendo 80% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto, após o acréscimo. 80 Fator de Descapitalização = 0,8 100 = O Fator de descapitalização trata-se de um número no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar. Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00. CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR: o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65 o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8 ENTENDENDO O RESULTADO: Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20% deve multiplicar o valor deste produto por 0,80 Exemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará a custar x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00 COMO FAZER:

27 27 70 Desconto de 30% = 100% 30% = 70% = = 0, Desconto de 15% = 100% 15% = 85% = = 0, Desconto de 3% = 100% 3% = 97% = = 0, Desconto de 50% = 100% 50% = 50% = = 0, AGORA É A SUA VEZ: Desconto Calculo Fator 15% 20% 4,5% 254% 0% 63% 24,5% 6% 5.4 ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isto acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão deste tipo. O erro cometido neste tipo de questão é básico, o de somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização. Vejamos abaixo um exemplo de como é fácil se confundir se não temos estes conceitos bem definidos: Exemplo 5.4.1: Os bancos vem aumentando significativa as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20% no 2 semestre de Assim podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas tarifas aumentadas em: a) 50% b) 30% c) 150%

28 28 d) 56% e) 20% Ao ler esta questão, muitos candidatos de deslumbram com a facilidade e quase por impulso marcam como certa a alternativa a (a de apressadinho ). Ora, estamos falando de acréscimo sucessivo, vamos considerar que a tarifa média mensal de manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos: Após receber um acréscimo de 30% 10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00 Agora vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2 semestre de ,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60 Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano. Como o valor inicial das tarifas eram de R$ 10,00, concluímos que as mesmas sofreram uma alta de 56% e não de 50% como achávamos anteriormente. COMO RESOLVER A QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA: Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3 o Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3 o Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2 1,3 x 1,2 = 1,56 Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% é igual a 1 (ver módulo 1.2) Logo as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 1 = 0,56 = 56% COMO FAZER Exemplo 5.4.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% dobre o seu valor, em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é: a) 10% maior b) 10 % menor c) Acréscimo superior a 5% d) Desconto de 84% e) Desconto de 16% Resolução: Aumento de 20% = 1,2 Aumento de 40% = 1,4 Desconto de 50% = 0,5

29 29 Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto) Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos: 1 0,84 = 0,16 Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. (Alternativa E) Exemplo O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto trabalhar na véspera da prova do concurso público da CEF, após este susto, começou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupado com o excesso de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relação ao peso que tinha no início é: a) 8% maior b) 10% maior c) 12% maior d) 10% menor e) Exatamente igual Resolução: Perda de 20% = 0,8 Aumento de 25% = 1,25 Aumento de 25% = 1,25 Perda de 20% = 0,8 Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1 Conclui-se então que o professor possui o mesmo peso que tinha no início. (Alternativa E)

30 30 Questões de Concurso

31 31 TIPO 1: Argumentos Válidos com conetivos COMO IDENTIFICAR CONHECIMENTOS PRÉVIOS o Existência de Premissas o Conetivos lógicos (E, OU, Se...Então) Tabelas Verdades: o OU: Só é F se ambas for F o E: Só é V se ambas for V o Se...Então: Só é F se 1º V e 2º F 1. Considere as premissas como verdade COMO RESOLVER 2. Deduzir com base nas premissas se a conclusão é Válida ou não (Falácia) Exemplo 1.1: (FCC) Um argumento é composto pelas seguintes premissas: I. Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser superada. II. Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão fantasioso. III. Os superávits serão fantasiosos. Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser: a) A crise econômica não demorará a ser superada. b) As metas de inflação são irreais ou os superávits serão fantasiosos. c) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos. d) Os superávits econômicos serão fantasiosos e) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada. Passo 1: Do português para os símbolos lógicos I. Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser superada. ~P ~ P ~ Q ~ II. III. Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão fantasioso. P ~R Os superávits serão fantasiosos. P ~ R R Passo 2: Considere as premissas como verdade

32 32 PREMISSA 1 PREMISSA 2 PREMISSA 3 VERDADE VERDADE VERDADE ~ P ~ Q P ~ R R Passo 3: Substitui a premissa 3 em 2 e analise. o Como na premissa 3 vimos que R é V logo ~R = F. o Como P é uma proposição, o mesmo pode ser F ou V. Vamos testar CONCLUSÃO: R=V P ~ R F V F F P ~ R F V F V F F Como a premissa 2 é verdade e caso a proposição P tenha valor V teremos uma premissa falsa, logo chegamos a conclusão que P = F. Passo 3: Substitui a premissa 2 em 1 e analise. o Como na premissa 2 vimos que P é F logo ~P = V. o Como Q é uma proposição, o mesmo pode ser F ou V. o Analisando o condicional temos: ~ P ~ Q V V V V F F Logo ~Q = V, assim Q = F Passo 4: Traduzir as conclusões para o português. Premissa 1: P = F o as metas de inflação não são reais Premissa 2: Q = F o crise econômica não demorará a ser superada Alternativa A 1. (ANPAD) - Laura é surfista ou Mário é paisagista. Se Nair é decoradora, Oscar não é bailarino. Se Oscar não é bailarino, Mário não é paisagista. Ora, Laura não é surfista e Suzi não é desenhista; pode-se, então, concluir corretamente que a) Laura não é surfista e Mário não é paisagista. b) Laura não é surfista e Nair é decoradora. c) Mário é paisagista e Oscar é bailarino. d) Nair não é decoradora e Oscar não é bailarino. e) Nair é decoradora e Suzi não é desenhista.

33 33 2. (ANPAD) Sejam as preposições: I. Se Carlos trair a esposa, Larissa ficará magoada. II. Se Larissa ficar magoada, Pedro não irá ao jogo. III. Se Pedro não for ao jogo, o ingresso não será vendido. IV. Ora, o ingresso foi vendido. Portanto, pode-se afirmar que: a) Carlos traiu a esposa, e Pedro não foi ao jogo. b) Carlos traiu a esposa, e Pedro foi ao jogo. c) Carlos não traiu a esposa, e Pedro foi ao jogo. d) Pedro foi ao jogo, e Larissa ficou magoada. e) Pedro não foi ao jogo, e Larissa não ficou magoada. 3. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: A ou B o Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: o A: Carlos é dentista o B: Se Enio é economista, então Juca é arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. 4. (ANEEL 2004 ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, a) estudo e fumo. b) não fumo e surfo. c) não velejo e não fumo. d) estudo e não fumo. e) fumo e surfo. 5. (MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor. c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor. d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor. e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.

34 34 6. (ANPAD) Se o governo aumenta a taxa de juros, então as exportações aumentam. Embora o que se sabe é que as exportações aumentaram, o que podemos concluir é que a) a taxa de juros aumentou. b) a taxa de juros diminuiu. c) as exportações aumentaram. d) as exportações diminuíram. e) as exportações aumentaram, e a taxa de juros também. 7. (ANPAD) - Em uma determinada maternidade estavam num mesmo quarto cinco mães: Marta, Juliana, Vanessa, Giovana e Rosa, e suas filhas: Betina, Clara, Renata, Judite e Lúcia, não necessariamente nessa ordem. Os enfermeiros do hospital afirmaram o seguinte: I. Se Betina é filha de Marta, então Clara não é filha de Juliana. II. Clara é filha de Juliana, ou Renata é filha de Vanessa. III. Se Judite não é filha de Giovana, então Betina é filha de Marta. IV. Nem Renata é filha de Vanessa nem Lúcia é filha de Rosa. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que a) Renata é filha de Vanessa, ou Betina é filha de Marta. b) se Clara é filha de Juliana, Betina é filha de Marta. c) Judite é filha de Giovana, e Clara é filha de Juliana. d) Judite não é filha de Giovana, e Clara é filha de Juliana. e) Judite é filha de Giovana, e Betina é filha de Marta.

35 35 TIPO 2: Argumentos Válidos com TODO, ALGUM e NENHUM COMO IDENTIFICAR o Existência de Premissas o Termos: Todo, Algum e Nenhum Diagrama: CONHECIMENTOS PRÉVIOS TODO NENHUM ALGUM COMO RESOLVER 1. Considere as premissas como verdade. 2. Desenhar todas as possibilidades. Exemplo 2.1: (ANPAD) - Considerando como verdades que ALGUMAS PESSOAS SÃO PACÍFICAS e que NENHUM HOMEM É PACÍFICO. Então é necessariamente verdadeiro que: a) Nenhum homem é pessoa b) Alguma pessoa é homem c) Algum homem é pacífico d) Alguma pessoa não é homem e) Nenhuma pessoa é homem Passo 1: Representar a primeira premissa ALGUMAS PESSOAS SÃO PACÍFICAS A A B B A = Pessoas B = Pacíficas AB = Pessoas Pacíficas Passo 2: Representar a segunda premissa, NENHUM HOMEM É PACÍFICO

36 36 REPRESENTAÇÃO 1 C A A B B A = Pessoas B = Pacíficas AB = Pessoas Pacíficas C = Homens REPRESENTAÇÃO 2 C C A A Passo 3: Conclusões. 1. Pode existir ou não homem pessoas 2. Nenhum homem é pacífico 3. Existem pacíficos que são pessoas Passo 4: Análise as alternativas e marque. A B B A = Pessoas B = Pacíficas AB = Pessoas Pacíficas C = Homens CA= Pessoas Homens Correto alternativa D 8. (ANPAD) - Considere os argumentos abaixo. I Alguns animais são amarelos e algumas coisas amarelas são comestíveis. Logo, alguns animais amarelos são comestíveis. II Todas as cobras têm duas asas. Todos seres de duas asas têm pernas. Logo, todas as cobras têm pernas. III Todos os poetas são pobres e alguns pobres são honestos. Logo, alguns poetas são honestos. Indicando-se os argumentos válidos por V e as falácias por F, os argumentos I, II e III são, respectivamente, a) F V F. b) F F V. c) F F F. d) V F V. e) V V V.

37 37 9. (ANPAD) Considere os seguintes conjuntos formados por uma premissa seguida de uma conclusão. I. Algum avô é economista. Logo, algum economista é avô. II. Nenhum arquiteto é cantor. Logo, nenhum cantor é arquiteto. III. Todo advogado é poeta. Logo, todo poeta é advogado. Qual(is) é (são) argumento(s) válido(s)? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e II. d) Apenas II e III. e) I, II e III. 10. (ANPAD) Dado que todo americano é patriota e que existem patriotas importantes, pode-se concluir que a) existem americanos importantes. b) Existem patriotas que são americanos. c) Não existem americanos importantes. d) Todo patriota é americano e importante. e) Existem patriotas que são americanos e importantes. 11. (ANPAD) - Sejam dadas as afirmações: I. Todo professor é estudioso. II. Todo professor tem capacidade de aprender. III. Carol é estudiosa. IV. Marisa não é professora, mas é estudiosa. Logo, pode concluir: a) Carol tem capacidade de aprender. b) Marisa tem capacidade de aprender. c) Se um indivíduo é estudioso, então ele é professor. d) Não existem indivíduos que são estudiosos e não são professores. e) Existem pessoas que têm capacidade de aprender e que são estudiosas. 12. (ANPAD) Todo ladrão é desonesto. Alguns desonestos são punidos. Portanto, pode-se afirmar que: a) alguns punidos são desonestos. b) Nenhum ladrão é desonesto. c) Nenhum punido é ladrão. d) Todo ladrão é punido. e) Todo punido é ladrão.

38 (ESAF) Das premissas: A: Nenhum herói é covarde. B: Alguns soldados são covardes. Pode-se corretamente concluir que: a) Alguns heróis são soldados b) Alguns soldados não são heróis c) Nenhum herói é soldado d) Alguns soldados são heróis e) Nenhum soldado é herói 14. (AFCE TCU 99 ESAF) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que "Nenhum músico é poeta", então, também é necessariamente verdade que a) nenhum músico é escritor b) algum escritor é músico c) algum músico é escritor d) algum escritor não é músico e) nenhum escritor é músico

39 39 TIPO 3: Negação o Texto como: COMO IDENTIFICAR o Qual a negação de... o Se... = V então o a sentença com valor F será... Regras Negação: o Negação do OU = E o Negação do E = OU CONHECIMENTOS PRÉVIOS o Negação do Se...Então = Repete o primeiro E Nega segundo. o Negação de TODO: Existe alguém que não... o Negação de Existe: Ninguém ou não existe o Negação de Ninguém: Alguém, ou existe 1. Traduzir as porposições de texto para símbolos COMO RESOLVER 2. Aplicar as propriedades de negação 3. Traduzir a resposta em símbolos para Texto. Exemplo 3.1: (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva Passo 1: Traduzir do texto para símbolos lógicos. o P = Estar chovendo o Q = Levar Guarda Chuva o Conetivo: Se... Então ( ) P Q Passo 2: Aplicar as propriedades de negação. Neste caso repetir a primeira proposição E Negar a segunda. ~( P Q) = P ~ Q

40 40 Passo 3: Traduzir o resultado encontrado para texto novamente. Está Chovendo e não levo o guarda chuva. Alternativa E 15. (ANPAD) - Dizer que a afirmação: Todos os economistas são médicos é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte informação é verdadeira: a) Pelo menos um economista não é médico b) Nenhum economista é médico c) Nenhum médico é economista d) Pelo menos um médico não é economista e) Todos os não médicos são não economistas 16. (ANPAD) - Assinale a alternativa que apresenta a negação da proposição Se a concentração e a dedicação forem afetivas, então o aprendizado é consequência. a) A concentração e a dedicação são efetivas, e a aprendizagem é consequência. b) A concentração e a dedicação são efetivas, e a aprendizagem não é consequência. c) A concentração e a dedicação não são efetivas, e a aprendizagem é consequência. d) A concentração e a dedicação são efetivas, ou a aprendizagem não é consequência. e) A concentração e a dedicação não são efetivas, e a aprendizagem não é consequência. 17. (ANPAD) A negação da proposição Todo homem taxista dirige bem é a) Existem mulheres taxistas que dirigem bem. b) Existe um homem taxista que dirige bem. c) Existe pelo menos um homem taxista que dirige bem. d) Existe pelo menos um homem taxista que não dirige bem. e) Todas as mulheres taxistas dirigem bem. 18. (CVM/2000) Dizer que a afirmação todos os economistas são médicos é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas

41 41 TIPO 4: Equivalência 19. (AFC 2002 ESAF) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 20. (GEFAZ/MG-2005) A afirmação Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que Pedro está em Roma e Paulo está em Paris. b) Não é verdade que Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris. c) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris. d) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris. e) É verdade que Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris. 21. (MPOG/2001) Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 22. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a Pedro é economista, então Luísa é solteira é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira,pedro é economista; d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. 23. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

42 (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a Pedro é economista, então Luísa é solteira é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira,pedro é economista; d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

43 (ANPAD) É uma tautologia: TIPO 5: Contradições e Tautologia a) Paulo é estudante ou não é verdade que, Paulo é estudante e Ivo é bancário. b) Paulo é estudante ou não é verdade que, Paulo é estudante ou Ivo é bancário. c) Paulo não é estudante ou não é verdade que, Paulo é estudante ou Ivo é bancário. d) Paulo não é estudante ou não é verdade que, Paulo é estudante e Ivo é bancário. e) Paulo não é estudante ou Ivo não é bancário, e Paulo é estudante. 26. (ANPAD) Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. a) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. b) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. c) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano. 27. (TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza: (A) um silogismo. (B) uma tautologia. (C) uma equivalência. (D) uma contingência. (E) uma contradição. 28. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

44 (ANPAD) - Dado que a proposição P é verdadeira, Q é falsa e R é verdadeira, pode-se afirmar que as proposições compostas têm como valores-verdade (V, se verdadeiro; F, se falso), respectivamente, a) F V V. b) F V F. c) V V F. d) V F V. e) V V V. TIPO 6: Teste de Hipóteses V ou F 30. (ANPAD) Sejam dadas as seguintes proposições compostas em que P e Q são proposições verdadeiras e R é uma proposição falsa: I. II. III. IV. V. A sequencia CORRETA do respectivo valor verdade de cada uma das proposições compostas acima é a) V V V F V. b) V F F V F. c) V V V V V. d) F V F F V. e) F V V F F. 31. (ANPAD) - Dado que as proposições O dia está ensolarado e Estou na praia, respectivamente simbolizadas por P e Q, são verdadeiras, NÃO se pode concluir como verdadeira a proposição; a) b) c) d) e)

45 45 TIPO 7: Teste de Hipóteses - Problemas 32. (ANPAD) - Uma empresa produz três produtos, P1, P2 e P3, cujas demandas são diferentes. Sabe-se que: I P1 tem alta demanda, II P2 não tem alta demanda e III P3 não tem baixa demanda. Considerando-se que apenas uma das assertivas acima é verdadeira, pode-se afirmar que as demandas de P1, P2 e P3 são respectivamente, a) Alta, média e baixa. b) Baixa, alta e média. c) Baixa, média e alta. d) Média, alta e baixa. e) Média, baixa e alta. 33. (ANPAD) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: I. O primeiro diz: Eu sou o ladrão. II. O segundo diz: É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão. III. O terceiro diz: Eu sou o ladrão. Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. 34. (AFC 2002 ESAF) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: I. A loura: Não vou à França nem à Espanha. II. A morena: Meu nome não é Elza nem Sara.

46 46 III. A ruiva: Nem eu nem Elza vamos à França. O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loura é Sara e vai à Espanha. b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e) A loura é Elza e vai à Alemanha 35. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo, a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco. e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis. GABARITO 1 C 2 C 3 B 4 E 5 C 6 C 7 C 8 A 9 C 10 B 11 E 12 A 13 B 14 D 15 A 16 D 17 D 18 A 19 A 20 D 21 D 22 E 23 A 24 E 25 A 26 A 27 B 28 A 29 A 30 A 31 C 32 B 33 B 34 E 35 C