Universidade de Mogi das Cruzes Engenharia Elétrica LABORATÓRIO DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS II. Docente - José Roberto Marques

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1 Universidade de Mogi das Cruzes Engenharia Elétrica LABORATÓRIO DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS II Docente - José Roberto Marques TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT) Objetivos: Esse laboratório tem a finalidade de demonstrar o uso da DFT e da FFT no cálculo do espectro de formas de onda comuns no campo da engenharia elétrica. O primeiro exercício consiste no cálculo dos espectros de amplitude e potência de uma onda senoidal de amplitude 2 e frequência de 1000 Hz, da qual se pretende adquirir 1000 amostras, utilizando uma taxa de amostragem de 8000 Hz. Assim: x t = 2sen 2π1000t x n = 2sen 2π1000nT s = 2sen 2π n uma vez que T s =1/fs=1/8000 x n = 2sen π 4 n A DFT de uma sequência de N dados é definida como: N 1 kn X k = x(n)w N n=0 para k = 0,1 2, N 1 O espectro de amplitudes da mesma é definido por: A k = 1 N (Real X k )2 + (Imag X k ) 2 para k = 0,1 2, N 1 Para a condição unilateral: Note que A k = 1 N 2 N X(0) para k = 0 X k para k = 1,2 N 1 Sendo que a frequência de cada componente k é: f = kf s N Correspondentemente a fase do espectro é dada por: 1

2 φ k = arctg Imag[X k ] Real[X k ] para k = 0,1 2, N 1 O espectro de potências também é utilizado em algumas aplicações e sua definição é: P k = 1 N 2 X(k) 2 = 1 N 2 (Real X k )2 + (Imag X k ) 2 para k = 0,1 2, N 1 Similarmente, para a condição unilateral: P k = 1 N 2 [X 0 ]2 para k = 0 2 N 2 [X k ]2 para k = 1,2 N 1 A resolução de frequência é: Δf = f s N PROGRAMA/EXERCÍCIO Antes de avançar desse ponto procure entender cada linha de código com seu significado. Isso vai melhorar seu entendimento de como o MatLab funciona. close all;clear all;clc %Gerando uma sequência temporal fs=8000; %Taxa de amostragem N=1000; %Número de pontos de dados n=0:1:n-1; t=n/fs; x=2*sin(2*pi*1000*t); plot(t,x); xlabel('tempo (s)'); ylabel('amplitude'); pause %Aplicando oalgoritmo da DFT pause xf=abs(fft(x))/n; %Calcule o espectro de amplitudes P=xf.*xf; %Calcule oespectrodepotências f=[0:1:n-1]*fs/n; %Mapeie os dados de frquência para a frequência em Hz subplot(2,1,1); plot(f,xf);grid xlabel('frequência (Hz)'); ylabel('espectro de Amplitude (DFT)'); subplot(2,1,2);plot(f,p);grid xlabel('frequêcia (Hz)'); ylabel('espectro de Potências (DFT)'); pause % converta o conjunto para espectro unilateral xf(2:n)=2*xf(2:n); % Obtenha o espectro unilateral P=xf.*xf; % Calcule o espectro de Potências f=[0:1:n/2]*fs/n; % Frequências acima da frequência de Nyquist subplot(2,1,1); plot(f,xf(1:n/2+1));grid xlabel('frequência (Hz)'); ylabel('espectro de Amplitudes (DFT)'); subplot(2,1,2);plot(f,p(1:n/2+1));grid xlabel('frequência (Hz)'); ylabel('espectro de Potëncias (DFT)'); pause 2

3 % preencha com pontos zero até completar 1024 pontos x=[x,zeros(1,24)]; N=length(x); xf=abs(fft(x))/n;%calcule o espectro de amplitudes com os zeros adicionados P=xf.*xf; %Calcule o espectro de potências f=[0:1:n-1]*fs/n; %Map o espectro de frequências em (n) para (Hz) subplot(2,1,1); plot(f,xf);grid xlabel('frequência (Hz)'); ylabel('espectro de amplitudes (FFT)'); subplot(2,1,2);plot(f,p);grid xlabel('frequência (Hz)'); ylabel('espectro de potências (FFT)'); pause % Converta o espectro bilateral para a unilateral xf(2:n)=2*xf(2:n); P=xf.*xf; f=[0:1:n/2]*fs/n; subplot(2,1,1); plot(f,xf(1:n/2+1));grid xlabel('frequência (Hz)'); ylabel('espectro de amplitudes (FFT)'); subplot(2,1,2);plot(f,p(1:n/2+1));grid xlabel('frequência (Hz)'); ylabel('espectro de potências (FFT)'); Modificações no programa: 1) Adicione à componente de 1000 Hz a componente abaixo: 2sen 2π800t Observe o espectro. 2) Adicione à componente de 1000 Hz a componente Observe o espectro. 2sen 2π7000t 3) Adicione à componente de 1000 Hz a componente Observe o espectro. 2sen 2π9000t Explique os resultados espectrais obtidos por cada componente inserida nos questionamentos (1), (2) e (3). Desafio: Dado o algoritmo fft() que roda no arduino duo, faça-o funcionar na obtenção do espectro da onda dada por: x t = 2sen 2π1000t Amostrada a 8192 Hz. Utilize inicialmente 64 amostras (resolução = 128 Hz/ponto) e tente obter um resultado para 512 amostras (resolução = 16 Hz/ponto). Nome do algoritmo: FFT.ino 3

4 Variáveis e características xr: Arranjo de números reais que compõe a entrada de dado, também corresponde a saída de dados. Deve conter uma sequência de 2 m elementos, onde m é um número interiro positivo maior que zero. xi; corresponde a entrada de números imaginário de entrada e saída de dados. N=npt é o número de pontos (npt=m) npt deve ser uma potência de 2 tais como: 4, 8, 16, isign indica se a DFT deve ser da transformada (isign = -1) e no caso de sua inversa (isign=+1). O sketch para arduino duo abaixo realiza algumas funções básicas,tais como: A interrupção do timer TC2, permite a aquisição de N pontos (N=2 m onde m é um inteiro). Esses pontos são armazenados em um arranjo (xr[ ]). Após a aquisição dos dados o sketch chama a função fft() que realiza a operação de obtenção da transformada discreta de Fourier,cujos pontos são N números complexos na forma polar.a sequência do sketch transforma esses números complexos para a forma polar. A sequência do sketch gera um gráfico do tipo histograma montado com asteriscos (*) tendo em cada base a frequência correspondente. PROCEDIMENTOS DE USO DO SKETCH FFT A) Utilize um gerador de funções para aplicar uma onda de 1280 Hz na entrada A0 do arduino due,. Essa onda deve ter 2 Vpp e offset=1.65 V. Certifique esses valores utilizando o oscilocópio que está disponível na bancada. Não se esqueça de ligar o terminal comum (terra). B) Carregue o sketch no arduino due, compile-o e ative a saída de terminalpara visualizar a operação do sistema. Você deverá ver uma linha de asteriscos na posição 1280 Hz do histograma e uma outra (réplica) em 6912 (fs-f= ). Note que a frequência de dobramento (Nyquist) é 8192/2=4096. ATENÇÃO: O sketch está utilizando um fator de escala de 100 vezes, portanto tudo que você está obtendo esta multiplicado por

5 Caso você queira alterar isso é só modificar a variável escala=10 ou 1, porem haverá perda de visibilidade dos dados do histograma.m Se a onda estiver despolarizada (Offset = 1.65 V) não haverá valor na frequência zero. Experimente mudar o valor da tensão de offset para 2,65 V e realize novamente o procedimento acima. Observe o resultado na componente de frequência zero. C) Volte a fixar o offset=1,65 V e aplique agora uma onda quadrada, rode o sketch e verifique o comportamento do histograma.note que ondas quadradas não possuem componentes harmônicas pares. Compare os valores obtidos com a função de dcomposição de uma onda quadra pela série de Fourier. O SKETCH /* Autor: José Roberto Marques*/ /*Universidade de Mogi das Cruzes-2018*/ /*DISCIPLINA: PROCESSAMENTO DIGITALDE SINAIS II*/ #define PI int fs=8192; int const N=64; //frequência de amostragem //numero de pontos double xr[n],xi[n]; int n,x,j,flag_print; int i, k, isign, npt,escala; double X[N],FI[N]; float delta_f; int Nlog2; //numero de estágios necessários void setup() { Serial.begin(9600); //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// pinmode(21, OUTPUT); //teste do sistema de amostragem ////////////Configuração do timer 1 - canal0 /////////////////////// pmc_set_writeprotect(false); pmc_enable_periph_clk(id_tc3); // desabilite a habilitação dos registradores pmc // habilite do periferico de clock TC3 5

6 pmc_set_writeprotect(false); pmc // desabilite a proteção de escrita dos registradores TC_Configure(TC1, 0, TC_CMR_WAVE TC_CMR_WAVSEL_UP_RC TC_CMR_TCCLKS_TIMER_CLOCK2); TC_SetRC(TC1, 0, /8/fs); TC_Start(TC1, 0); // enable timer interrupts on the timer TC1->TC_CHANNEL[0].TC_IER=TC_IER_CPCS; // IER = habilitação do registro de interrupção TC1->TC_CHANNEL[0].TC_IDR=~TC_IER_CPCS; // IDR = desabilitação do reginterrupt disable register NVIC_EnableIRQ(TC3_IRQn); analogwriteresolution(12); // Fixe a resolução do DAC p/a 12 bit (4096 niveis) analogreadresolution(12); // Fixe a resolução do ADC p/a 12 bits n=0; flag_print=0; xi[n]={0.0; npt=n; isign=-1; escala=100; void loop() { if(flag_print==1){ fft(); Serial.println(); Serial.println(); Serial.println("RESULTADO NA FORMA RETANGULAR"); for(i=0;i<npt;i++){ Serial.print(xr[i]); Serial.print(" + "); Serial.print(xi[i]); Serial.println("i"); //Calculo do módulo e fase de cada componente 6

7 for(i=0;i<npt;i++){ X[i]=2*sqrt(xr[i]*xr[i]+xi[i]*xi[i])/npt; FI[i]=atan(xi[i]/xr[i]); //lidandocom as excessoes if(xr[i]<0 & xi[i]<0) FI[i]=-FI[i]; if(xr[i]<0 & xi[i]>0) FI[i]=PI+FI[i]; if(xr[i]<0 & xi[i]<0) FI[i]=-(PI+FI[i]); FI[i]=180*FI[i]/PI; X[0]=X[0]/2; Serial.println(); Serial.println("FORMA POLAR do espectro unilateral (ângulo em graus)"); for(i=0;i<npt;i++){ Serial.print(X[i]); Serial.print("/_"); Serial.println(FI[i]); delta_f=fs/n; Serial.println("ESPECTRO UNILATERAL"); for(j=0;j<npt;j++){ Serial.print((int)j*delta_f); for(k=0;k<=x[j]-1;k++) Serial.print("*"); Serial.println(); n=0; xr[n]={0;; xi[n]={0; Serial.println("OUTRO FRAME"); NVIC_EnableIRQ(TC3_IRQn); 7

8 flag_print=0; while(); void fft(void) { int j,jpow,jksum,j1,j2=0,k,nptd2,nptm1; double ur, ui, wr, wi, tr, ti, dnpt; //fixando alguns limites nptm1=npt-1; nptd2=npt/2; //calculo de log2(npt) log2_npt(); Serial.print("Nlog2="); Serial.print(Nlog2); //divida todos os elementos por npt se este for uma inversa if(isign==(+1)) { dnpt=((double)(npt)); for(j=0;j<npt;j++){ xr[j] /= dnpt; xi[j] /= dnpt; //executandoa operaçáo de reversao de bit for(j1=0;j1<nptm1;j1++){ if(j1<j2) { tr=xr[j2]; ti=xi[j2]; xr[j2]=xr[j1];xi[j2]=xi[j1]; xr[j1]=tr; xi[j1]=ti; k=nptd2; 8

9 while(k<j2+1){ j2 -= k; k /= 2; j2 += k; // for(n=0;n<npt;n++){ // Serial.println(xr[n]); // //calcule a DFT for(j=0;j<nlog2;j++){ ur=1.0; ui=0.0; jpow=pow(2.0, j+1); k=jpow/2; wr=cos(pi/k);wi=isign*sin(pi/k); for(j1=0;j1<k;j1++){ for(j2=j1;j2<npt;j2+=jpow){ jksum=j2+k; tr=xr[jksum]*ur-xi[jksum]*ui; ti=xi[jksum]*ur+xr[jksum]*ui; xr[jksum]=xr[j2]-tr; xi[jksum]=xi[j2]-ti; xr[j2] += tr; xi[j2] += ti; tr=ur;ti=ui; ur=tr*wr-ti*wi;ui=tr*wi+ti*wr; void log2_npt(void) { Nlog2=(int)((log(npt)/log(2.0))); /////INTERRUPÇÃO DO TIMER PARA AQUISIÇÃO DOS DADOS////// 9

10 //TC1 ch 0 void TC3_Handler(){ TC_GetStatus(TC1, 0); //reset o bit de interrupção digitalwrite(21,1 ); //verificador de superposicao de smostragem x=analogread(a0); xr[n]=(double)(x-2047)*1.65*escala/2047; n++; if(n==n){ NVIC_DisableIRQ(TC3_IRQn); flag_print=1; digitalwrite(21,0); //fim do verificador de superposicao de amostragem RELATÓRIO: Relate os resultados de todos os experimentos realizados indicando suas conclusões sobre o uso do matlab e as limitações que o arduino due possui para a realização da tarefa de estimador de espectro relacionando inclusive a relação que existe entre a frequência de amostragem e a precisão na determinação efetiva de uma determinada componente harmônica. Discuta a condição de uma determinada frequência não ser um múltiplo exato da frequência de amostragem. Como isso influencia a determinação do espectro 10