INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER DE PENDENTE DO TEMPO

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1 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER DE PENDENTE DO TEMPO RESUMO Christopher Rodrigues Vieira 1 ;Nilo Mauricio Sotomayo Choque 2 ; 1 Aluno do Curso de Licenciatura em Física; Campus de Araguaína; christopherfisica@bol.com.br PIBIC/CNPq, PIBITI/CNPq ou PIBIC/CNPq/AF ou PIBIC/UFT ou PIVIC/UFT 2 Orientador(a) do Curso de Licenciatura em Física; Campus de Araguaína; nmsch@mail.uft.edu.br Atualmente, a grande oferta e disponibilidade de sistemas de computação de alto desempenho oferecem uma poderosa ferramenta de auxílio para simulação dos fenômenos na Física Quântica. Neste trabalho empregamos a um microcomputador para que realize a resolução da equação de Schrodinger dependente do tempo, empregamos, para este feito o algoritmo de diferenças em finitas central e apresentar a evolução temporal do pacote em forma de animações visuais, também foi usado para à construção do programa o algoritmo de Visscher. O programa foi criando em linguagem Fortran 77. Também foi incluído o modelo de pacote de onda Gaussiano, que separa o pacote de onda em três onde são definidos as partes real; imaginaria e probabilística. A evolução temporal da densidade de probabilidade das partes da função, são os resultados do programa. Para a plotagem dos resultados numéricos dos gráficos foi usado o programa Gnuplot. A simulação computacional deste tipo de equação possibilita a observação e analise de uma onda em direção a uma barreira potencial. Foi enfatizado o emprego de software livre, Linux como sistema operativo, o compilador Gfortran do projeto GNU em Gnuplot. Hoje é possível sair do uso comum do quadro para uma forma mais introdutória ao fenômenos como este no mundo quântico, viabiliza melhor compreensão do assunto para o aluno. Palavras-chave: Equação de Schrödinger; Simulação Computacional ; Integração Numérica. INTRODUÇÃO: A mecânica clássica como determinista, no ano de 1970 tomou-se o conhecimento de que muitos sistemas mecânico clássico (por exemplo, um pêndulo sob a influência da

2 gravidade, sujeito a uma força de fricção e a uma força impulsora periódica) mostram um comportamento caótico para certos conjuntos de valores dos parâmetros do sistema. Em um sistema caótico, o movimento é extraordinariamente sensível aos valores iniciais das posições e velocidades das partículas e as forças que atuam sobre elas, de modo que dois estados iniciais que diferem em uma quantidade não detectável experimentalmente acaba levando o sistema a estados futuros completamente diferentes. Porém de forma probabilística o postulado de Schrödinger, determinou que uma onda possuísse uma posição x em função de um tempo t. Determinada como uma função de estado, que é o estado que muda em função do tempo. Desta forma determinamos que (x,t), possui toda a informação necessária para todo um sistema prevendo-o de forma probabilística um futuro estado da partícula. Este que foi um novo marco para o campo da Mecânica Quântica foi apresentado em 1926 por Erwin Schrödinger. MATERIAL E MÉTODOS Esta equação representa toda a solução numérica para a equação de Schrödinger. Usa uma condição para semi-passos na evolução dos pacotes de onda para a equação de Schrödinger dependente do tempo. A equação é um método implícito porque a função desconhecida esta presente em ambos os lados, para se obter a solução desta equação é necessário ser definido um conjunto de equações lineares para cada etapa do tempo, entretanto, faz-se uma separação de resultados divididos como parte real e imaginaria Gould & Tobochnik, 1996, p Visscher e outros sugeriram uma abordagem alternativa em que ambas as partes de Ψ são tratados separadamente e definidas em momentos diferentes. O algoritmo assegura que a probabilidade total permanece constante. Se deixarmos

3 Esta equação possibilita utilizar uma variação de passo meio médio. Introduzindo este formato na equação de Schrödinger teremos. O desenvolvimento deste projeto ocorreu no LABMADE - Laboratório de Pesquisa em Materiais para Aplicações em Dispositivos Eletrônicos Universidade Federal do Tocantins Campus de Araguaína. Foi utilizado um computador com configurações, Intel Core Ghz, 2 Gigabytes memória RAM e 500 GigaBytes de disco de armazenamento, equipado com sistema operacional Windows XP e software de programação Gfortran para a criação e compilação do programa. Usamos um programa para construção dos gráficos Gnuplot. Desta forma atribuímos um programa que inclui um pacote de onda Gaussiano. O programa desenvolve a evolução de uma onda em direção há um potencial degrau para uma caixa. Para esta caixa será atribuídos valores para altura da barreia a quantidade loops e velocidade das ondas e variação de espaço, assim possibilita analise de energia que tunela a barreira potencial e verificar após o choque o valor de energia repulsada.

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO Neste primeiro gráfico apresentamos o momento inicial da onda, atribuímos os valores para X = -15. Nesta etapa a onda partiu do ponto máximo 20, dado por valor xmáximo = 20 que segue até valor xminimo = -20, para este caso atribuímos a variação de espaço dx = 0.008, é os seus números de passos de sua evolução foram admitido pelos numero de loops. Importante ressaltar que este trabalho determina somente uma previsão probabilística de tal demonstração não definiu como resposta e posição verídica. O pacote mencionado anteriormente apresenta a primeira onda que não possui nenhuma distorção pacote. Para as outras, denominamos como a primeira fase real e a segunda como fase imaginaria apesar de possuir certa semelhança cada uma representa valores diferentes. É notável a distorção, pois sua energia de propagação não é suficientemente superior para sua passagem por completa deste pacote. Neste próximo gráfico apresentamos o momento do impacto com a barreira. É importante destacar que mesmo com grande valor de energia, a barreira seria capaz de repulsar mesmo que uma pequena parte da onda.

5 Todos estes resultados são expressos na imagem seguinte, pois nela está apresentada todas as informações separadas para as partes R,I e P, para seu módulo de probabilidade em variação de espaço x, dependente do tempo t. LITERATURA CITADA 1 - Harvey Gould, Jan Tobochnik, Wolfgang Christian (1996). An Introduction to Computer Simulation Methods - Applications to Physical Systems Chapter Jay S. Bolemon, Computer solutions to a realistic one-dimensional Schrödinger equation, Am. J. Phys. 40, 1511 (1972). 3 - P. B. Visscher, A fast explicit algorithm for the time-dependent Schrödinger equation, Computers in Physics 5 (6), 596 (1991). 4 - G. Baym, Lectures on Quantum Mechanics,Westview Press (1990). A discussion of the Schrödinger equation in imaginary time is given in Chapter B. L. Hammond, W. A. Lester Jr., and P. J. Reynolds, Monte Carlo Methods in Ab Initio Quantum Chemistry, World Scientific (1994). An excellent book on quantum Monte Carlo methods. AGRADECIMENTOS: "O presente trabalho foi realizado com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico CNPq Brasil"