Um Modelo Baseado na Busca Tabu Aplicado ao Problema do Escalonamento do Job-shop com Setup e Data de Entrega

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1 Um Modelo Baseado na Busca Tabu Aplicado ao Problema do Escalonamento do Job-shop com Setup e Data de Entrega Gilberto Irajá Müller 1, Antonio Gabriel Rodrigues 1, Arthur Tórgo Gómez 1 1 Universidade do Vale do Rio dos Sinos UNISINOS Av. Unisinos, 950 Bairro Cristo Rei CEP São Leopoldo irajamuller@terra.com.br, antonio.gabriel@gmail.com, breno@unisinos.br Abstract. In this paper it is presented a model applied to Job-shop Scheduling Problem which considers the makespan, total tardiness times and total stop times. The model proposed is composed for: (i) an objective function that reflects the optimization strategies, and (ii) arquitecture that is divided in five phases. The model used the Tabu Search algorithm which, through two strategies neighborhoods generation, searching the objective function optimization. The model architecture is based in the Group Technology, in the Dispatching Rules, in the Tabu Search algorithm to deal the Part Selections and Scheduling Problems. The results and analysis are presented in the final of this paper. Resumo. Neste trabalho é apresentado um modelo aplicado ao Job-shop Scheduling Problem que considera o tempo total de produção (makespan), o tempo total de atraso e o tempo total de paradas. O modelo é composto por: (i) uma função objetivo que reflete as estratégias de otimização, e de (ii) uma arquitetura que está dividida em cinco fases. O modelo utilizou o algoritmo Busca Tabu que, através de duas estratégias de geração de vizinhanças, busca a otimização da função objetivo. A arquitetura do modelo baseia-se na Tecnologia de Grupo, nas Regras de Despacho e no Algoritmo Busca Tabu para tratar os Problemas de Seleção de Partes e do Escalonamento. Os resultados e análises são apresentados ao final deste trabalho. 1. Introdução O Job-shop Scheduling Problem (JSP) pode ser descrito por: n jobs, onde cada job é composto por j operações que devem ser processadas em m máquinas. Cada operação j utiliza uma das m máquinas com um tempo de processamento fixo. Cada máquina processa uma operação por vez sendo que não ocorre interrupção. As operações devem ser processadas em ordem através de um roteiro pré-estabelecido. O problema consiste em encontrar um escalonamento que obedeça as precedências de operações nas máquinas tal que minimize o makespan C max dado o processamento do último job. Seja J = {0, 1,..., n, n + 1} o conjunto de operações a serem escalonadas e M = {1,..., m} o conjunto de máquinas. As operações 0 e n + 1 não possuem duração e representam o início e fim da operação. Para as operações inter-relacionadas possuem dois tipos de restrições: (i) a de precedência em que cada operação j será escalonada depois de todas as operações predecessoras P j forem finalizadas e (ii) a operação somente será escalonada se a máquina estiver ociosa. Representaremos o tempo de processamento fixo por d j, o tempo final do processamento da operação j por F j. Para o escalonamento, utilizaremos um vetor de tempos de finalização (F 1, F m,..., F m+1 ) e A(t) para o conjunto de operações a serem processadas no tempo t; r j,m = 1 se a operação j é processada na máquina m e r j,m = 0, caso contrário. O modelo do JSP pode ser definido por [Gonçalves et al. 2005]: Minimize F n+1 (C max ) (1) F k F j d j, j = 1,..., n + 1; k P j, (2)

2 j A(t) r j,m 1, m M; t 0, (3) F j 0, j = 1,..., n + 1. (4) A função objetivo (1) busca minimizar o tempo total de produção (makespan). A restrição (2) assegura a precedência das relações entre operações e a restrição (3) assegura o processamento de uma operação por vez. Por fim, a restrição (4) garante a não-negatividade. Dessa forma, o artigo possui a seguinte organização: na Seção 2, são apresentados os problemas abordados para o JSP e o método utilizado; na Seção 3, são apresentadas as características da meta-heurística Busca Tabu; na Seção 4, é conceituado o modelo proposto e, por fim, na Seção 5 são apresentados os resultados da validação e as conclusões finais. 2. Problemas Abordados Nesta seção são apresentados dois problemas que são abordados na geração do modelo proposto aplicado ao JSP. O primeiro problema está relacionado com a fase pré-operacional e o segundo é abordado na fase operacional[stecke 1986], são eles: seleção de partes: existem diversos métodos para a geração das Famílias de Partes (FP), sendo destacados a Inspeção Visual, Classificação por Codificação e Análise por Fluxo de Produção (formulação matricial, programação matemática e particionamento de grafos) [Jha 1991]. As FPs são formadas através do agrupamento das partes, baseada nas similaridades, tais como: forma geométrica, processo, similaridade por um mesmo conjunto de ferramentas entre outros e é considerado um problema NP-Completo [Jha 1991]. O modelo proposto utilizou o método de Análise por Fluxo de Produção proposto por Kusiak [Kusiak and Chow 1987] denominado de Cluster Identification; escalonamento de partes: o escalonamento das partes num JSP é um problema de difícil solução, ou seja, NP-Hard [Garey et al. 1976]. O objetivo está em seqüenciar os jobs em um conjunto de máquinas através de rotas pré-definidas em função do tempo [Blazewicz et al. 1996]. Inúmeros métodos de otimização foram propostos para a solução do JSP [Zoghby et al. 2004], sendo destacado os métodos de otimização e os métodos aproximativos. Para os métodos de otimização são citadas a Programação Inteira, a Relaxação Lagrangeana, as Técnicas de Surrogate e o Branch and Bound [Balas et al. 1979]. Nos métodos aproximativos são destacados os algoritmos iterativos Busca Tabu, as Redes Neurais, os Algoritmos Genéticos, a Têmpera Simulada e o GRASP [Blazewicz et al. 1996], [Glover and Laguna 1997] e [Gonçalves et al. 2005]. Para resolver o problema do escalonamento de partes foi utilizado o algoritmo Busca Tabu em virtude da complexidade do problema e dos diversos trabalhos relacionados. 3. Busca Tabu A meta-heurística Busca Tabu (BT) teve origem a partir de uma solução para problemas de programação inteira; posteriormente foi dada uma descrição do método para uso geral em problemas de otimização combinatória [Adams et al. 1988]. Basicamente, a BT, que foi projetada para encontrar boas aproximações para a solução ótima global de qualquer problema de otimização, possui três princípios fundamentais: (i) uso de uma estrutura de dados (lista) para guardar o histórico da evolução do processo de busca, (ii) uso de um mecanismo de controle para fazer um balanceamento entre a aceitação ou não de uma nova configuração, com base nas informações registradas na lista tabu referentes às restrições e aspirações desejadas e (iii) incorporação de procedimentos que alternam as estratégias de diversificação e intensificação [Glover and Laguna 1997]. Para a utilização da BT, é fundamental a definição da função objetivo f do problema em questão. Após esta definição, é gerada uma solução inicial viável independente (Regra de Despacho). Sendo que, para a geração da solução inicial, é obrigatório que esta faça parte do conjunto de soluções possíveis da instância do problema. Na figura 1, é possível visualizar a lista tabu e as interações entre os componentes de diversificação e intensificação [Viana 1998].

3 Figura 1. Estratégia de busca da BT. [Viana 1998] 4. Modelo O modelo proposto apresenta uma formulação que é a função objetivo para a otimização do escalonamento das partes e de uma arquitetura baseada no modelo de planejamento de produção para o Sistema de Manufatura Flexível (SMF) proposto por Stecke [Stecke 1986] Formulação A formulação utilizada para a otimização do escalonamento das partes é mostrada a seguir, onde: m = número de máquinas, n = número de partes, i = índice para a parte, k = índice para a máquina, De i = data de entrega da parte e Dsp ik = data da saída de produção. Onde: Minimizar f(e, p) = p 1.makespan(e, p) + p 2.atraso(e, p) + p 3.parada(e, p) (5) m n makespan(e, p) = makespan ik, tal que makespan ik > 0 (6) k=1 i=1 m n atraso(e, p) = (Dsp ik De i ), tal que (Dsp ik De i ) > 0 (7) k=1 i=1 m n parada(e, p) = parada ik, tal que parada ik > 0 (8) k=1 i=1 p 1, p 2, p 3 0. (9) A função objetivo (5), que busca a minimização, é definida pela variável e (escalonamento), que representa a dimensão temporal e a variável p (Famílias de Partes), representa a dimensão física para o modelo proposto. É formada por três variáveis de decisão que refletem estratégias de otimização. A variável de decisão makespan(e,p) representa o tempo total de produção (6), ou seja, é o tempo inicial do primeiro job processado em produção até o tempo final do último job processado. A variável de decisão atraso(e, p) representa o tempo total de atraso (7). O tempo total de paradas de produção é representada pela variável de decisão parada(e,p) e significa o tempo entre dois lotes de produção (8). Por fim, a restrição (9) assegura a não-negatividade das variáveis. Conforme apresentado na Seção 2, sobre o Problema do Escalonamento, é apresentado abaixo o algoritmo BT modificado que utiliza a função objetivo supracitada.

4 while (niter - melhiter < nbmax) do for m máquina do f fmelhor; niter melhiter + 1; p p ; Gerar V e de soluções (e, p ) i em N e(e, p ) ou f((e, p ) i) < A(f(e, p )); Atualizar Lista T abu L e A(z); if f(e, p ) < fmelhor then fmelhor f(e, p ); endif Gerar V p de soluções (e, p) i em N p(e, p) ou f((e, p) i) < A(f(e, p)); Atualizar Lista T abu L e A(z); if f(e, p ) < fmelhor then fmelhor f(e, p ); endif p p ; e e ; endfor if fmelhor < f then melhiter niter; endif endw Algoritmo 1: Algoritmo BT modificado A cada iteração um ótimo local é escolhido e a partir dele é gerada uma nova vizinhança. Para evitar ciclos e mínimos locais é implementada uma lista de movimentos reversos proibidos chamada de lista tabu (L). Caso a iteração obtenha uma melhora na função f, utiliza-se a função critério de aspiração A, que admite o movimento até então proibido. Para as condições de parada do algoritmo, pode-se utilizar um número máximo de iterações (nbmax) sem que ocorra melhoria na função f ou executar até que alcance o valor mínimo Arquitetura A arquitetura para a Seleção e Escalonamento de Partes está dividida em cinco fases de aplicação conforme é apresentado na Figura 2. Figura 2. Arquitetura do Modelo A primeira fase é responsável por obter a demanda de produção através das informações contidas no banco de dados, sendo recuperadas as informações técnicas da parte e a data de entrega. Na segunda fase ocorre a geração da matriz parte versus máquina aplicando o algoritmo de identificação de agrupamentos. Na terceira fase, é utilizado a Regra de Despacho chamada de FP, ou seja, através do seqüenciamento das partes a partir das FPs é gerado o escalonamento inicial. A partir do escalonamento inicial, é possível realizar a quarta fase que consiste na aplicação do algoritmo BT para a otimização do escalonamento. Após a geração do escalonamento final é gravado este num plano de produção, possibilitando assim observar seus históricos e compará-los com o escalonamento efetivo. 5. Resultados A etapa de validação do modelo proposto é realizada através da comparação com trabalhos clássicos que propõem a solução do JSP [Blazewicz et al. 1996][Jain and Meeran 1998][Zoghby et al. 2004]. Para testar

5 o desempenho da arquitetura são utilizadas diversas instâncias do JSP de modo a realizar a validação em diversos ambientes (número de partes x número de máquinas). Para a validação, foram utilizadas as instâncias propostas por Muth [Muth and Thompson 1963] denominada de FT06, FT10 e FT20, e as instâncias propostas por Lawrence [Lawrence 1984] denominadas de LA01, LA06, LA11, LA16, L21, LA29 e LA Instância genérica A instância genérica para o problema do JSP possui as seguintes definições: (i) a primeira linha define a dimensão da matriz (n x m), onde o n representa o número de partes para o problema em questão e o m representa o número de máquinas, (ii) as demais linhas representam a rota para cada parte, onde: a variável M ilustra a máquina e a variável T ilustra o tempo de processamento, (iii) as colunas ímpares representam o número da máquina que a parte deverá ser processada e (iv) as colunas pares representam o tempo de processamento da parte em cada máquina. A Figura 3 ilustra a instância. Figura 3. Estrutura Genérica de uma Instância do JSP 5.2. Trabalhos selecionados Através dos trabalhos que propõem a resolução do JSP [Jain and Meeran 1998][Zoghby et al. 2004], foram selecionados alguns autores em função do tipo de algoritmo utilizado e da sua importância na evolução do estado da arte. A Tabela 1 mostra os autores selecionados e o algoritmo utilizado. Tabela 1. Autores selecionados para a validação do modelo Autor Algoritmo Ano Storer [Storer et al. 1992] Busca no espaço 1992 Aarts [Aarts et al. 1994] Algoritmos genéticos 1994 Dorndorf [Dorndorf and Pesch 1995] Algoritmos genéticos 1995 Nowicki [Nowicki and Smutnicki 1996] Busca Tabu 1996 Wang [Wang and Zheng 2001] Genético híbrido e Têmpera simulada 2001 Aiex [Aiex et al. 2003] GRASP 2003 Gonçalves [Gonçalves et al. 2005] Algoritmos genéticos híbridos Configuração Para a configuração do algoritmo BT modificado foi atribuído o valor de 100 para o número máximo de iterações sem obter melhora na função objetivo (nbmax) e, para o tamanho da lista tabu, foi atribuído 15. Em virtude dos autores selecionados utilizarem o makespan para os seus experimentos, os pesos (p 1, p 2 e p 3 ) para a função objetivo foram fixados em 100, 1 e 1, respectivamente, de modo a privilegiar a variável de decisão makespan. É importante ressaltar que o modelo proposto, além de otimizar o makespan, possui uma arquitetura que tem como objetivo o gerenciamento entre as datas de entrega (minimização do atraso) e a produtividade (velocidade de produção). As demais abordagens supracitadas otimizam somente o makespan, desconsiderando as datas de entrega e a produtividade do sistema. Como as instâncias não possuem as datas de entrega para a parte, e o modelo proposto às utiliza como estratégia de otimização, foram fixadas todas as partes com a mesma data de entrega. O modelo foi implementado em Delphi 7 e seus experimentos executados em um hardware Athlon XP RAM com sistema operacional Windows XP Pro.

6 5.4. Validação Os resultados da validação são mostrados na Tabela 2. Nela é apresentada a instância do problema, a dimensão do problema (número de partes x número de máquinas), a solução ótima conhecida (SOC), a solução obtida pelo modelo proposto (MP) e a solução dos autores selecionados. Tabela 2. Estratégia que privilegia a produtividade Instância NxM SOC MP Gonçalves Aiex Wang Nowicki Dorndorf Aarts Storer FT06 6x FT10 10x FT20 20x LA01 10x LA06 15x LA11 20x LA16 10x LA21 15x LA29 20x LA40 15x Através da Tabela 2 é possível fazer um comparativo entre o modelo proposto e a solução ótima conhecida. Nota-se que o makespan com a maior diferença em relação à SOC diferencia-se em 7 unidades de tempo (LA40), equivalendo a uma diferença de 0,57%. De maneira a validar o modelo, os resultados esperados atingiram o objetivo, ou seja, em muitos casos alcançando a SOC e, em outros casos, aproximando-se. As instâncias que tiveram diferenças em relação à SOC, sofreram influência, embora pequena, das demais varíaveis (atraso e parada) e seus pesos da função objetivo. Ao avaliar a função objetivo, considerouse para o problema do makespan, um peso significativamente maior para a variável de decisão makespan do que as demais variáveis, direcionando assim a BT para a otimização do makespan. Observa-se também que, após a validação, além de contemplar o makespan, o modelo proposto realizou o gerenciamento entre as datas de entrega (atraso) e a produtividade (velocidade de produção) do sistema de produção, mesmo privilegiando a variável de decisão makespan. A capacidade do modelo em gerenciar estratégias diferentes de escalonamento e, não somente o makespan, ocorre em virtude das variáveis de decisão que compõem a função objetivo e que abordam estratégias de escalonamento, tais como: (i) makespan, (ii) tempo total em atraso e (iii) tempo total parado em produção Conclusões Este trabalho teve como objetivo apresentar um modelo aplicado ao Escalonamento do Job-shop. O modelo implementado está baseado numa função objetivo que reflete, através das variáveis de decisão e seus pesos respectivos, estratégias de escalonamento. A arquitetura do modelo é responsável por tratar os problemas de Seleção e de Escalonamento das Partes. Através das estratégias de escalonamento, foi possível demonstrar a flexibilidade e versatilidade do modelo. Foram utilizadas na validação, diversas instâncias para o problema do Job-shop e conclui-se que o modelo proposto pode ser considerado mais uma abordagem para o escalonamento de produção, devido a sua flexibilidade em trabalhar com algumas estratégias de escalonamento e em virtude das outras abordagens citadas na etapa de validação não gerenciarem o conflito entre as datas de entrega (atraso) e a produtividade do sistema de produção (velocidade de produção). Como extensão futura deste trabalho, sugere-se a validação do modelo através de instâncias de grande escala, o aprimoramento dos métodos de geração e escolha de vizinhança e, por fim, propor instâncias para o JSP que considerem as datas de entrega e paradas de produção dado que as instâncias utilizadas foram adaptadas para a validação do modelo. Referências Aarts, E. H. L., Laarhoven, P. J. M. V., Lenstra, J. K., and Ulder, N. L. J. (1994). A computational study of local search algorithms for job shop scheduling. ORSA Journal on Computing, 6:

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