APLICAÇÃO DE UMA HEURÍSTICA GRASP PARALELA AO PROBLEMA DA P-MEDIANA

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1 APLICAÇÃO DE UMA HEURÍSTICA GRASP PARALELA AO PROBLEMA DA P-MEDIANA Celso Louça Junior (IC), Cláudia Maria Pereira Barros (IC), Marcelo Lisboa Rocha (PQ) Departamento de Ciência da Computação, UNIRG Alameda Madrid Nº 545, Jardim Sevilha, Gurupi-TO. {cclda2003, Resumo: O problema da P-Mediana, consta de dado um grafo, localizar no mesmo, p nós (denominados medianas), de forma a minimizar a soma das distâncias de cada nó até sua mediana mais próxima. Dado que várias situações práticas reais, tais como: localizações de facilidades (depósitos, centros de atendimento, entre outros), de dispositivos de telecomunicações (concentradores, torres de celulares, etc), além de agrupamentos de dados em classes (clusterização); podem ser vistos como um problema da P-Mediana, assim, é de grande importância um método que encontre boas soluções num tempo razoável. Desta forma, este trabalho propõe a paralelização de uma heurística GRASP para este fim. Palavras-Chave: P-Mediana, Paralelização, GRASP. Abstract: The P-Median problem, consist of a given graph, locate in it, p points (named medians), to minimize the sum of distances from each point to its nearest median. In several real praticals situations as: facilities locations (warehouses, reception centers, etc), telecommunications devices (concentrators, mobile phones towers, etc), and grouping data in classes (clustering); can be seen as a P-Median problem. This is of great importance a method to find good solutions in a reasoning time. In fact, this paper proposes the paralelization of a GRASP heuristic to this end. Key-Words: P-Median, Paralelization, GRASP. 1. INTRODUÇÃO Problemas de localização tratam de decisões sobre onde localizar facilidades, considerando clientes que devem ser servidos de forma a otimizar um certo critério (Drezner, 1995). O termo facilidades pode ser substituído por fábricas, depósitos, escolas, etc., enquanto que clientes se referem a depósitos, unidades de vendas, estudantes, etc. Em geral, as facilidades podem tanto ser selecionadas como centros a serem localizados como podem também ser alocados ao subconjunto de centros abertos. Por isso, tais problemas também são conhecidos como problemas de localizaçãoalocação, devido ao processo de alocação dos outros centros aos centros abertos. As aplicações de problemas de localização de facilidades são a localização de escolas, postos de saúde, corpo de bombeiros, ambulâncias, viaturas de polícia, pontos de ônibus fábricas, depósitos, torres de transmissão, lojas de franquias, entre outros. Dado o número de aplicações práticas do problema da P-Mediana, faz-se importante o desenvolvimento e utilização de técnicas que encontrem soluções boas para o problema num tempo computacional satisfatório. Vindo de encontro a esta necessidade, tem-se a proposta deste trabalho que é a paralelização de uma heurística GRASP. As seções seguintes deste trabalho estão organizadas como se segue. Na Seção 2, será apresentado o problema da P-Mediana. Já na Seção 3, uma descrição a respeito da heurística GRASP, dos seus componentes utilizados no problema específico e da sua implementação seqüencial e paralela. Na Seção 4, serão apresentados os teste e resultados computacionais. Finalmente na Seção 5, a conclusão será apresentada seguida das referências bibliográficas. 2. O PROBLEMA DA P-MEDIANA O problema da P-Mediana é um problema clássico de localização de facilidades e consiste em localizar p facilidades (medianas) em uma rede de modo a minimizar a soma total das distâncias de cada nó de demanda à sua mediana mais próxima.

2 Dado um grafo G = (V,E), deve-se encontrar um subconjunto de vértices Vp V (conjunto de medianas), tal que a soma das distâncias de cada vértice restante até seu vértice mais próximo em Vp seja a menor possível. As primeiras formulações do problema foram apresentadas em (Hakimi, 1964). Em um problema de localização deseja-se estabelecer os locais onde serão sediadas facilidades (fabricas, depósitos, hospitais, escolas, antenas de telecomunicações entre outros) para atender da melhor maneira possível, um conjunto espacialmente distribuído de pontos de demanda, conforme pode ser visualizado na Figura 1. Figura 1. (a) Pontos de Demanda (b) Solução do Problema com 3 medianas. A localização de P-Mediana é reconhecida como um problema NP-Difícil (Garey & Johnson, 1979). Boas soluções podem requerer tempos computacionais excessivos para que possam ser consideradas, por exemplo, no contexto de tomadas de decisão. Neste trabalho é feita uma abordagem para a solução de problemas de P-Mediana. Esta abordagem baseia-se na utilização da heurística GRASP que tem como principal objetivo minimizar a soma das distâncias de cada nó de demanda até sua mediana mais próxima. Serviços públicos, tais como bombeiros, ambulâncias e polícia possuem em comum, o objetivo de responder as chamadas provenientes de cidadãos para atendimento rápido, sendo foco de pesquisa para vários grupos desde o início dos anos 70. Atualmente, a literatura é vasta sobre problemas de localização de serviços urbanos emergenciais devido à sua grande importância tratandose de salvar vidas e prevenir a criminalidade. Com o crescimento das cidades, cada vez mais se tem investido nas áreas que proporcionam bem estar para a população. Nesta perspectiva, estudos vêm sendo realizados a fim de otimizar os gastos e proporcionar melhor atendimento aos interessados Formulação Matemática do Problema Da P-Mediana O problema da P-Mediana considerado neste trabalho pode ser modelado como o seguinte problema de programação inteira 0-1: onde: [dij] é uma matriz simétrica de custo (distância), com dii = 0, i; [xij] é a matriz de alocação, com xij = 1 se o nó i é alocado ao nó j, e xij = 0, caso contrário; xii = 1 se o nó i é uma mediana e xii = 0, caso contrário; p é o número de facilidades (medianas) a serem localizadas; n é o número de nós na rede.

3 As restrições (1) e (3) garantem que cada nó j é alocado a somente um nó i, que deve ser uma mediana. A restrição (2) determina o número exato de medianas a ser localizado (p), e (4) corresponde às condições de integralidade. 3. GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) O GRASP, que em português significa, Processo de busca adaptativa gulosa e randomizada, é muito utilizada na literatura, principalmente para problemas de otimização, conforme descrito em (Resende, 2001), é um método iterativo que consiste de duas fases: Uma fase de construção, na qual uma solução é gerada, elemento a elemento e uma fase de busca local, na qual um ótimo local na vizinhança da solução construída é pesquisado Implementação da Heurística GRASP A heurística GRASP utilizada neste trabalho foi baseada na proposta de (Resende e Werneck, 2004) e que possui as seguintes características principais: Método de Construção: É similar ao algoritmo guloso. Contudo, ao invés de selecionar o melhor entre todas as possíveis opções, ele só considera q < n possíveis inserções (escolhidas de forma uniforme e aleatória) a cada iteração. O melhor entre estes é selecionado. De modo a tornar o processo eficiente e certificar-se de um certo grau de aleatoriedade, foi utilizado q = log2(m/p). Método de Busca Local: É feita utilizando-se o algoritmo proposto por (Resende e Werneck, 2003), onde é apresentado um método que a cada iteração, busca por um par de pontos (um a ser inserido na solução atual, e outro a ser retirado) que levaria a uma melhora na solução se trocados. A heurística GRASP, em sua versão seqüencial foi implementada seguindo o esquema básico apresentado em (Resende, 2001). Já a versão paralela da heurística GRASP, foi implementada seguindo o modelo mestre-escravo, de acordo com o seguinte esquema: O mestre recebe o número de iterações a serem realizadas. O mestre divide o número de iterações pelo número de escravos mais um (aqui, o mestre também processa). O mestre e os escravos executam o mesmo trecho de código referente a heurística GRASP seqüencial, com o seu respectivo número de iterações. O mestre é responsável por coletar as soluções advindas dos escravos em conjunto com a sua própria solução gerada e finalmente selecionar a melhor entre todas. O interesse em se implementar uma versão paralela da heurística GRASP se faz claramente com objetivo de se ter um aumento de desempenho da técnica e pela sua facilidade de implementação, conforme estudos apresentados em (Alvim e Ribeiro, 1998) e (Velarde e Resende, 2003). 4. TESTES E RESULTADOS COMPUTACIONAIS Nesta seção serão apresentados os testes e resultados computacionais realizados sobre a heurística GRASP paralelizada (abreviada aqui como HGP), tanto sobre a qualidade da solução fornecida quanto pelo tempo de execução. Também serão fornecidas comparações nestes aspectos perante outros trabalhos relevantes da literatura Exemplos Testes e Métodos Experimentais A heurística GRASP paralela foi executada em todas as instâncias da OR- Library(Beasley, 1995), onde cada uma das 40 instâncias (pmed01, pmed02,..., pmed40) é um grafo com um valor correspondente para p. Todo nó é um cliente e uma facilidade (mediana) em potencial, e o custo de designar um cliente a uma facilidade é o comprimento do caminho mais curto entre os nós correspondentes. O número de nós nesta classe varia de 100 a 900, e o valor de p de 5 a 200.

4 4.2. Qualidade da Solução e Tempo de Execução A heurística GRASP proposta foi implementada na linguagem C e utilizando a biblioteca de troca de mensagens MPI (SNIR, 1996) para realizar a comunicação entre os processadores. O programa foi executado num cluster de PC's (Duron 1.2 Ghz e 256 MB de RAM), utilizando a configuração padrão do S.O. Conectiva Linux 8.0. Para se obter um comportamento médio da técnica proposta, foram executadas 20 repetições da mesma, utilizando apenas um processador (versão seqüencial), para cada uma das 40 instâncias da OR-Library. Este comportamento pode ser observado na Tabela 1. Problema n p Ótimo Solução Média Desvio % Médio Tempo de CPU (s) Tempo de Relógio (s) pmed ,12 0,17 pmed ,17 0,21 pmed ,13 0,22 pmed ,21 0,32 pmed ,22 0,32 pmed ,77 0,81 pmed ,64 0,7 pmed ,59 0,71 pmed ,85 1,11 pmed ,85 1,09 pmed ,51 1,64 pmed ,45 1,56 pmed ,77 1,9 pmed ,18 2,49 pmed ,43 2,78 pmed ,84 3,03 pmed ,75 2,98 pmed ,49 3,96 pmed ,29 4,96 pmed ,1 4,65 pmed ,13 4,35 pmed ,86 5,22 pmed ,76 pmed ,58 7,28 pmed ,35 8,24 pmed ,07 7,48 pmed ,29 7,73 pmed ,48 10,56 pmed ,02 12,19 pmed ,47 15,47 pmed ,86 11,47 pmed ,5 11,13 pmed ,37 19,23 pmed ,37 19,23 pmed ,88 14,46 pmed ,4 17,24 pmed ,6 20,95 pmed ,29 21,07 pmed ,94 20,71 pmed ,02 25,18 27,54 Tabela 1. Desempenho da técnica proposta (HGP) executada com um processador. Como se pode observar na Tabela 1, a HGP é muito robusta, pois apresenta um desvio percentual médio (em relação à solução média) igual a zero para 39 das 40 instâncias, ressaltando que todas estas soluções médias são iguais ao ótimo, e um desvio percentual de 0,02 apenas para uma instância. Já quanto a questão de tempo computacional, a técnica proposta apresenta excelente

5 desempenho, apresentando baixos tempos de execução (menos de 30 segundos de relógio) para todas as instâncias Comparações Com Outras Heurísticas Nesta seção será analisado o comportamento da heurística proposta (HGP) utilizando as instâncias da OR-Library em comparação com outros métodos da literatura. Os outros métodos utilizados na comparação são: VNS: Variable Neighborhood Search de (Hansen e Mladenovic, 1997). VNDS: Variable Neighborhood Decomposition Search de (Hansen et al, 2001). LSH: Lagrangean-Surrogate Heuristic de (Senne e Lorena, 2000). CGLS: Column Generation with Lagrangean/Surrogate Relaxation de (Senne e Lorena, 2002). HYBRID e HYB-SS: Heurística Híbrida utilizando GRASP com Path-Relinking para HYBRID e GRASP sem Path-Relinking para HYB-SS, propostas por (Resende e Werneck, 2004). A Tabela 2 apresenta, para cada um dos métodos considerados, o desvio percentual médio com respeito às melhores soluções conhecidas, como apresentado na Tabela 1, onde quanto menor o valor melhor. Os valores para HGP foram calculados da coluna Desvio % Médio naquela tabela para as instâncias da OR-Library. Técnica HYBRID HYB-SS CGLS LSH VNDS VNS HGP 0,001 0,002 0,101 0,000 0,117 0,354 0,002 Tabela 2. Desvio percentual médio de cada método relativo à melhor solução conhecida. Da Tabela 2 pode-se observar que o comportamento da técnica HGP proposta é comparável às melhores da literatura. Contudo, a partir dos resultados observado na Tabela 3, pode-se concluir que a técnica HGP-2 e HGP-4 é a mais eficiente entre os métodos comparados neste trabalho, onde HGP é a aplicação da técnica seqüencial (com apenas 1 processador), HGP-2 é a aplicação da técnica paralela com 2 processadores e HGP-4 é a aplicação da técnica com 4 processadores. Os dados da Tabela 3 foram calculados como a razão entre o tempo em segundos de CPU de cada método e o tempo de execução de HYBRID, conforme estabelecido em (Resende e Werneck, 2004), onde quanto menor o valor apresentado, mais eficiente é a técnica. Técnica HYBRID HYB-SS CGLS LSH VNDS VNS HGP HGP-2 HGP-4 1,00 0,90 55,98 4,13 0,46 5,47 0,48 0,30 0,25 Tabela 3. Razão média entre os tempos de execução obtidos pelos métodos da literatura e o da HGP. Desta forma, observando os resultados da Tabela 2, chega-se a conclusão que a técnica proposta possui um ótimo comportamento quanto a qualidade da solução quando comparada aos outros métodos da literatura, apresentando assim uma grande robustez. Já, com os dados da Tabela 3, verifica-se a grande eficiência da técnica HGP em termos de tempo computacional, principalmente quanto da utilização da computação paralela (HGP-2 e HGP-4), o que a torna a mais eficiente entre todas. 5. CONCLUSÃO Neste trabalho foi apresentada uma aplicação de uma heurística GRASP paralela ao problema da P-Mediana. A principal razão desta aplicação é encontrar boas soluções num pequeno tempo computacional, daí a razão de se utilizar computação paralela. O desempenho da técnica foi testado para 40 instâncias da OR-Library e comparado com os melhores métodos presentes atualmente na literatura, apresentando bons resultados quanto à qualidade das soluções obtidas quanto do tempo de execução, principalmente quando da utilização de

6 computação paralela, o que torna a aplicação do HGP muito interessante, principalmente para grandes instâncias do problema. Chega-se assim a conclusão que os resultados parciais são animadores, soluções boas numa quantidade de tempo razoável. Em termos de trabalhos futuros, há um número de projetos e adaptações propostas que podem acarretar uma melhora da qualidade das soluções obtidas e a redução do tempo de processamento, que são: Aplicação de GRASP reativo, que neste caso implicaria na variação do valor de q. Analisar o efeito do balanceamento de carga sobre o desempenho da técnica quando da utilização de computação paralela. Realizar experimentações desta técnica em conjunto com outras, formando um timeassíncrono. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Lorena, L.; Senne, E. (2001) Local search heuristics for capacitated p-median problems. Networks and Spatial Economics. Resende, M.G.C. and Werneck, R.F. (2003) On the implementation of a swap-based local search procedure for the p-median problem, Proceedings of the Fifth Workshop on Algorithm Engineering and Experiments (ALENEX'2003), Richard E. Ladner (Ed.), SIAM, Philadelphia, pp Resende, M.G.C. and Werneck, R.F. (2004) A hybrid heuristic for the p-median problem, J. of Heuristics, vol. 10, pp Beasley, J.E. (1985) A Note on Solving Large P-Median Problems. European Journal of Operational Research, 21: Snir, M.; OTTO, S.T. and WALKER, D.W. (1996) MPI: The Complete Reference. The MIT Press. Hansen, P. and Mladenovic, N. (1997) Variable neighborhood search for the p-median. Location Science, 5: Hansen, P., Mladenovic, N. and Perez-Brito, D. (2001) Variable neighborhood decomposition search. Journal of Heuristics, 7(3): Senne, E. L. F. and Lorena, L. A. N. (2000) Langrangean/surrogate heuristics for p-median problems. In M. Laguna and J. L. Gonz_alez-Velarde, editors, Computing Tools for Modeling, Optimization and Simulation: Interfaces in Computer Science and Operations Research, pages Kluwer. Senne, E. L. F. and Lorena, L. A. N. (2002) Stabilizing column generation using Lagrangean/surrogate relaxation: an application to p-median location problems. European Journal of Operational Research. Hakimi, S.L. (1964) Optimum location of switching centers and the absolute centers and the medians of a graph, Operations Research, 12: Garey, M. R. et Johnson, D. S. (1979). Computers and Intractability. A Guide to the Theory of NP-Completeness. W. H Freeman and Company. Resende, M.G.C. (2001) Greedy randomized adaptive search procedures (GRASP), Encyclopedia of Optimization, C. Floudas and P.M. Pardalos, eds., Kluwer Academic Press, vol. 2, pp