O PROBLEMA DA ÁRVORE CAPACITADA COM DEMANDAS NÃO- UNITÁRIAS: HEURÍSTICA COM FATOR PESO x CUSTO

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1 O PROBLEMA DA ÁRVORE CAPACITADA COM DEMANDAS NÃO- UNITÁRIAS: HEURÍSTICA COM FATOR PESO x CUSTO Paulo Maurício Laurentys de Almeida * paulomla@gmail.com Lucas Guimarães de Oliveira * lucasgui@gmail.com * Departamento de Engenharia de Produção Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos, 6627, Anexo PCA, Belo Horizonte MG, CEP RESUMO Este trabalho trata do caso específico do problema da Árvore Capacitada Geradora de Custo Mínimo (ACGMC) cujas demandas dos vértices são não-unitárias. Várias heurísticas e algoritmos exatos já foram propostos no intuito de solucionar o problema. O principal objetivo deste trabalho é propor uma heurística que considera em sua resolução os pesos (demandas) dos vértices para a obtenção de custos reduzidos e analisar seu impacto nos resultados obtidos e no tempo computacional gasto em comparação com outros resultados vigentes na literatura. PALAVRAS CHAVE. Árvore capacitada geradora de custo mínimo. Demandas nãounitárias. Heurística construtiva. OC Otimização Combinatória ABSTRACT This paper deals with a specific case of Capacitated Minimum Spanning Tree problem (CMSTp) with non-unit demand in their nodes. Several heuristics and exactly algorithms has been proposed with solving problem intention. The main objective of this paper is propose a new constructed heuristic that it considers in its resolution the weights(demands) of the nodes to get reduced costs. This paper presents the computational results and compares them with other effective results in the current literature of this subject. KEYWORDS. Capacitated minimum spanning tree. Non-unit demand. Constructed heuristics. CO - Combinatorial Optimization [1925]

2 1. Introdução Seja G ( V, E) um grafo conexo não-orientado onde V = { 0,1,..., n} representa o conjunto de vértices do grafo e E representa o conjunto de arestas ( i, j) do grafo, são associados a cada vértice i V um peso b e a cada aresta e E um custo. Existe um i vértice central, aqui denominado R, em que todos os demais nós devem estar interligados (não necessariamente eles são adjacentes a R). Dado uma árvore T viável para a Árvore Capacitada Geradora de Custo Mínimo (ACGMC), as componentes desta solução são os subgrafos induzidos ao se eliminarem o nó central e suas arestas incidentes em T. O problema da ACGCM consiste em determinar uma configuração entre as diversas componentes possíveis que minimize o custo total (soma de todos da conexão) e que respeite a restrição de que o peso de cada componente (soma de dado. b i c es para todo vértice i incluso na componente) seja menor que um valor inteiro Q Para o caso em que todos os valores de b i são iguais, o problema é dito de demandas unitárias. Neste caso, cada componente poderá suportar Q vértices. Porém, esse trabalho se dedica a analisar o caso em que os pesos dos vértices diferem entre si. Este caso é conhecido na atual literatura como de demandas não-unitárias. O problema da ACGCM com demandas não-unitárias nos vértices é comprovado como NP-Hard. Essa afirmação pode ser feita a partir do fato de que para o caso em que o custo de todos os arcos é zero o problema da ACGCM se modifica para o problema do Bin Packing. Uma prova mais elaborada a respeito da complexidade desse problema foi apresentada por Papadimitriou (1978). Ele demonstrou que o caso de demanda unitária nos vértices e para 3 Q [ V / 2] o problema é NP-Hard. Dentre os vários autores na literatura, alguns se destacam por proporem heurísticas eficientes. Esau e Williams (1966) se destacam por introduzirem o problema na literatura ao propor uma heurística de economia com o objetivo de reduzir os custos em um projeto de sistema de teleprocessamento. Tal heurística utiliza a idéia de ganhos, ou economias, como critério de seleção de arcos que menos impactam no custo total da rede. Iterativamente, essa heurística conecta o par de vértices que, interligados resultam no menor aumento do custo total da rede e não violam a restrição de capacidade se agrupados em uma mesma componente do grafo. Em Amberg et al. (1996), uma solução na vizinhança de T é obtida pela troca de um par de nós entre duas componentes ou através da movimentação de um nó de uma componente para outra. Para o caso unitário do problema, a complexidade obtida foi da ordem de 2 3 O ( nq ) para deslocamentos unilaterais e O( nq ) para o caso de troca de pares entre componentes. Para Sharaiha et al. (1997), uma solução na vizinhança de T é obtida pela execução de operações de recortes e colagens de parte de uma componente no vértice raiz ou em outra componente. Ahuja et al. (2001) é responsável por uma estrutura de vizinhança conhecida como troca múltipla (Multi-Exchange Neighborhood Structures). Esta proposição é tratada como uma generalização do enfoque de Amberg et al. (1996) e Sharaiha et al. (1997) apresentadas anteriormente. Ahuja et al. (2001) define uma solução na vizinhança de T pela troca múltipla envolvendo várias componentes. Cada sub-grafo contribui com um único nó ou um conjunto de nós. Através da aplicação dos métodos de busca local GRASP e Busca-Tabu, essa heurística, baseada em estrutura de vizinhança, obteve resultados satisfatórios para o caso de demanda unitária. Recentemente, em Souza et al. (2003), foi proposta uma heurística GRASP baseada na reconexão de arcos (path-relinking) com melhorias obtidas a partir da aquisição de dados históricos de curto ou longo prazo oriundos durante o processo de resolução do problema. c e [1926]

3 2. Objetivo Esse trabalho tem como objetivo principal propor uma heurística construtiva para o problema da ACGCM com demandas não-unitárias. Tal heurística foi elaborada a partir de uma característica singular do problema analisado, a variação nos valores de demanda entre os nós da rede. Os resultados obtidos para cada um dos problemas de teste analisados são comparados com seus respectivos Upper Bounds obtidos a partir do trabalho de Gouveia e Lopes (2005). A análise comparativa mostra que, para a grande maioria das instâncias dos problemas testados, os resultados apresentaram-se competitivos em tempo computacional aceitável. 3. A Heurística Construtiva Proposta Certas características do algoritmo aqui proposto aproximam-se da metaheurística GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) discutida por Feo e Resende (1995), embora a mesma não seja usada diretamente. A metaheurística GRASP é baseada em duas fases: i) Heurística Construtiva, no qual se cria um procedimento gerador de uma solução viável e ii) Busca Local, no qual, através da definição de uma vizinhança, busca-se melhorar a solução viável de entrada. O presente artigo apresenta a primeira destas fases. Tais similaridades citadas inicialmente são: o uso de parâmetros adaptativos para limitação de uma lista de vértices candidatos ou RCL (Restricted Candidate List), do uso do critério aleatório para seleção de vértices dentro dessa lista que virão a ser conectados, da repetição do procedimento por um número máximo de iterações dado por uma constante MAXITER e da atualização da melhor resposta obtida. A partir da definição do problema foi proposta uma heurística construtiva que utiliza a singularidade do problema, a diferença entre os pesos dos vértices, como critério para construção de uma solução viável. No entanto, basear-se somente no critério de peso pode resultar em um método de resolução extremamente aleatório e pouco eficaz visto que pode não existir uma relação aparente entre peso de vértice e custo da rede. Com o objetivo de corrigir tal desvio e verificar uma possível correlação entre estas variáveis, desenvolveu-se um fator para associar uma relação de variáveis de peso (capacidade e demanda) e uma relação de custo incorrido (custo incorrido por componente em relação ao custo global da rede). Este índice referente às componentes foi denominado fatorqc e pode ser definido como segue abaixo: capacutilizada c Q fatorqc c = Custo Custo c Total tal que: capacutilizada c = b i O numerador do fator representa, em porcentagem, o quanto da capacidade de uma componente está sendo utilizada. A variável capacutilizada C representa a soma dos pesos dos vértices de uma componente c. Assim, o numerador indica, por exemplo, em uma rede que a capacidade Q seja 100 e a soma dos pesos da componente ( ) seja igual a 30, irá apresentar um resultado igual a 30% de capacidade utilizada. Essa baixa utilização da capacidade indica que esta componente ainda pode suportar outras ligações com outros vértices que ocasionalmente pode acarretar em redução do custo global da rede. Por outro lado, essa taxa de utilização precisa estar associada ao custo desse vértice em face do custo das demais n i= 1, c n b i, c i= 1 [1927]

4 componentes da rede. O denominador do fator expressa uma percentagem do custo que uma componente c incorre em relação ao custo total da rede na iteração corrente. Em projeto de redes, este custo pode ser composto por diversos parâmetros, por exemplo: comprimento (metragem), tipo de material (fibra-ótica, condutores elétricos com base em cobre, dentre outros), bitola do material, custos de instalação e manutenção referentes ao meio transmissor. De modo simplificado, esta relação exprime o quão custoso se resultam as ligações de uma determinada componente dentro do contexto do grafo. Se este valor tender a zero, menor é chance de que a componente seja escolhida para recombinação, pois ela não incorrerá muito custo para a rede. Se este valor tender a um, trata-se de uma oportunidade de redução do custo da rede através de tentativas de combinações. O valor 1 (um) foi utilizado como referência na análise do fatorqc pois trata-se de uma relação entre dois percentuais. Quando um percentual for equivalente a um outro (independente dos valores tenderem a zero, um ou qualquer outro intermediário), a relação terá sempre valor 1. Quando o numerador definido pelo percentual de capacidade utilizada tender a zero (valor muito baixo), o fator tenderá a zero. De forma inversa, quando o denominador explicitado como o percentual de custo incorrido por uma componente na rede tender a zero, o resultado do fator explodirá para infinito (valor muito alto). A Tabela 1 explicita esse comportamento: % Custo Incorrido da Componente (Denominador) (Tende a Um) Alto (Tende a Zero) Baixo % Capacidade Utilizada (Numerador) (Tende a Um) (Tende a Zero) Alto Baixo 1 (Caso Intermediário) 0 (Caso de maior Interesse) (Caso de menor Interesse) 1 (Caso Intermediário) Tabela 1 Quadro com os valores extremos para o fatorqc A caracterização e interpretação de cada combinação inversa (alto-baixo, baixo-alto) entre o numerador e denominador do fator estão listadas na Tabela 2: Fator QC < 1 Fator QC > 1 O numerador é menor que o denominador. O numerador é maior que o denominador. O uso da capacidade da componente é menor em O uso da capacidade da componente é maior em relação ao custo incorrido da componente na rede. relação ao custo incorrido da componente na rede. Em grande parte dos casos, indica as componentes Em grande parte dos casos, indica as componentes que possuem capacidade ociosa, ou seja, que possuem alta capacidade utilizada, ou seja, componentes potenciais para a realização de componentes que já não mais são interessantes novas ligações. para escolha. Realizar novas ligações significa ter a Indica que a probabilidade de reduzir o custo via oportunidade de realizar mais combinações que novas combinações é pequena, pois a demanda da resultem em um custo reduzido. componente já é próxima a capacidade. O alto custo incorrido (denominador) também O baixo custo incorrido (denominador) expressa expressa uma oportunidade de melhorar o custo de que a componente já é bem aproveitada no critério uma componente específica. de custo. Tabela 2 Quadro com a caracterização de faixas extremas dos valores do fatorqc O valor do fatorqc próximo de 1 significa que a utilização do peso e o percentual de custo incorrido na ligação se equilibram. Isso gera um caso intermediário entre os descritos no quadro acima e sua interpretação pode indicar dois casos: i) baixa utilização da demanda e baixo [1928]

5 custo incorrido e ii) alta utilização da demanda e alto custo incorrido. O primeiro caso é interessante devido à baixa utilização da demanda e o segundo caso pelo alto custo incorrido. O cálculo do fatorqc é feito iterativamente para todos os vértices da rede seguido da ordenação desses valores. A escolha dos candidatos para a RCL segue a idéia da metaheurística GRASP descrita anteriormente, através da regra abaixo, que ilustra como os fatores da lista são escolhidos: min( FatorQC) FatorQC' min( FatorQC) + α [max( FatorQC) min( FatorQC)] tal que 0 α 1 A escolha é orientada do menor valor para o maior deles, isto é, para α = 1, todos os fatores são escolhidos e na medida em que se reduz esse valor, os maiores são deixados de fora da escolha. A partir da escolha aleatória de um vértice da RCL faz-se uma tentativa de ligação desse vértice com redução de custo e então uma nova escolha aleatória dos vértices contidos na RCL é feita. As demais iterações da heurística respeitam os passos descritos na seção anterior e estão elucidados no pseudo-código apresentado abaixo: Inicialização: Liga todos os nós no vértice central formando uma configuração de rede estrela (star net); Critério de Parada: O número da iteração corrente é menor que MAXITER? Sim continue; Não pare; Iteração: Cria uma lista RCL baseada no somatório de pesos de cada vértice i de uma componente seguindo a regra: min( FatorQC) FatorQC' min( FatorQC) + α [max( FatorQC) min( FatorQC)] tal que 0 α 1 Escolha randômica de uma componente na lista RCL; Calcula complemento Q da componente escolhida tal que Q = Q Cria a Lista_de_Viaveis com os vértices j que possuírem b j Q ; w b i T = 1 Calcula os Ganhos entre todos os vértices i da componente escolhida com os vértices j da Lista_de_Viáveis; Para o melhor ganho, conectar os vértices i* e j*; Retorna (Melhor_Solucao_Obtida) Figura 1 Pseudo-código da heurística construtiva proposta Para facilitar a compreensão do fatorqc e da heurística proposta, um exemplo numérico pode ser dado. Para um valor de capacidade Q = 100 são exemplificadas 5 componentes. Cada componente possui um conjunto de vértices que incorrem percentuais de peso e custo de acordo com as colunas C e D respectivamente. Como explicitado na fórmula do fatorqc, o percentual de peso útil leva em consideração a demanda utilizada com relação à capacidade Q das componentes e, na coluna D, o percentual de custo incorrido da componente com relação ao custo total da rede. O fatorqc implica na divisão entre as colunas C e D. A Tabela 3 demonstra esses campos calculados e já exemplifica os ítens ordenados crescentemente utilizando como critério o valor do fatorqc: A B C D E Componente Peso Útil da Componente % Peso Util da Componente (para Q = 100) % Custo Incorrido da Componente ; Fator QC (C/D) ,25 0,35 0, ,15 0,20 0, ,20 0,20 1, ,40 0,15 2, ,30 0,10 3,00 Tabela 3 exemplo numérico de uso do fatorqc [1929]

6 Para um valor de α = 0,6, o vetor RCL fica restrito aos seguintes limites inferiores e superiores: Limite Inferior = min( fatorqc) = 0,71 Limite Superior = min( fatorqc ) + α [max( fatorqc ) min( fatorqc )] = 0,71 + 0,6*(3-0,71) = 2, RCL: 0,71 0,75 1,00 2,67 3,00 Tabela 4 Vetor RCL com as componentes pertencentes ao intervalo definido Limitado pelo valor α, as duas componentes que possuem fatorqc maiores que 2,08 são eliminadas do RCL e uma das três componentes que pertencem ao intervalo do RCL é escolhida randomicamente para tentativa de melhoria de custo. A demanda complementar à componente escolhida é calcula de forma a selecionar quais os vértices da rede são capazes de efetivar as ligações. A escolha é feita também aleatoriamente. Este passo iterativo ocorre até que um número máximo de iterações seja atingido. 4. Análise dos Resultados Os testes aqui descritos foram realizados em um Pentium IV que utiliza Sistema Operacional Microsoft Windows XP Professional, com 256MB-RAM e 2,0 GHZ de memória. Os algoritmos foram implementados através da linguagem C++ com o compilador Dev-C++ versão Para analisar a heurística proposta por meio de um critério mais rigoroso, os problemas de teste utilizados foram os mesmos utilizados por Gouveia e Lopes (2005). Os problemas de teste são divididos em três grupos: TC, TE e TR As variações do número de vértices do problema e da restrição de capacidade Q estão indicadas nas tabelas de teste 5, 6 e 7 e as diferenças na eficiência dos resultados obtidos são discutidas. A priori convém salientar a diferença básica entre os tipos de problemas citados. Nos problemas TC, o nó central está localizado no centro da rede, enquanto o TE está localizado no extremo da rede. Os problemas TR são problemas em que os custos dos arcos são valores inteiros gerados aleatoriamente no intervalo [1,100]. A posição do vértice central varia, e pode ser tanto no centro da rede, quanto em um extremo. Os testes foram gerados para valores de α iguais a 0.9, 0.7, 0.5 e 0.2. Nas tabelas 5, 6 e 7 o valor de α foi representado por a. O valor de MAXITER é o mesmo para todos os resultados encontrados e é igual a A restrição de capacidade por sua vez assumiu quatro valores distintos: 100, 125, 150 e 200. As tabelas 5, 6 e 7 (que representam respectivamente os problemas TC, TE e TR) apresentam os resultados encontrados e os comparam com os resultados de Upper Bounds obtidos por Gouveia e Lopes (2005). Os melhores resultados conseguidos foram destacados em negrito e estes são comparados diretamente com seus respectivos Upper Bounds na coluna % Gap. Para os problemas de teste TC, os resultados de custo encontrados variaram bastante entre si. A partir da tabela fica claro afirmar que os piores valores encontrados surgiram na resolução com α igual a 0,5. Uma explicação plausível para isso, se refere ao fato de que a cada iteração, o limite inferior da lista RCL tende a crescer já que o numerador, associado à capacidade da componente, aumenta e o denominador, que apresenta o custo relativo da componente na rede, diminui. Por isso, algumas possibilidades de combinação deixam de ser aproveitadas. Essa tendência se mostrou constante para os problemas de teste TE e TR. De fato, dentre os valores de α utilizados, o único que apresentou desempenho ruim em todos os problemas, para todas as instâncias e para todos os valores de Q utilizados foi α igual a 0,5. Ainda para os problemas de teste TC, foi verificado que para α igual a 0,2 e para problemas cujo número de vértices é menor que 80, os melhores resultados foram encontrados. Para α igual a 0,7 e número de vértices igual a 80, os melhores custos foram encontrados. Uma explicação para esse fato, reside na própria natureza combinatória do problema. Quando o número de vértices é grande, à medida que cada iteração é executada, aumenta a probabilidade de [1930]

7 uma vértices deixar de integrar a RCL. Caso seja feita uma ligação que aumente a capacidade utilizada, o fator mínimo irá aumentar e os candidatos que irão figurar a RCL diminuir. O último valor utilizado 0,9 gera o problema já citado anteriormente: uma grande possibilidade de combinações do problema prejudica as iterações do algoritmo e pioram a solução final. Teste n Q Custo QC Custo QC Custo QC Custo QC U.B. % Gap a=0.2 a=0.5 a=0.7 a=0.9 TC ,0% TC ,0% TC ,0% TC ,0% TC ,3% TC ,7% TC ,4% TC ,6% TC ,1% TC ,1% TC ,6% TC ,4% TC ,0% TC ,6% TC ,2% TC ,6% Tabela 5 Comparação dos resultados obtidos pela heurística proposta e seus respectivos Upper Bounds para o problema TC Para o problema TE, todos os argumentos apresentados anteriormente se modificam já que, a própria natureza do problema é diferente. Como o vértice central se encontra nas laterais do arranjo físico do problema, os melhores resultados foram obtidos através dos testes que consideram um número grande de combinações durante a resolução. Em outras palavras, para α igual a 0,7, os melhores resultados foram encontrados. Teste n Q Custo QC Custo QC Custo QC Custo QC U.B. % Gap a=0.2 a=0.5 a=0.7 a=0.9 TE ,0% TE ,4% TE ,4% TE ,0% TE ,0% TE ,8% TE ,7% TE ,8% TE ,5% TE ,0% TE ,0% TE ,4% TE ,6% TE ,1% TE ,4% TE ,1% Tabela 6 Comparação dos resultados obtidos pela heurística proposta e seus respectivos Upper Bounds para o problema TE Por último os problemas TR apresentaram grande variação entre os resultados e diferente das duas instâncias anteriores, nenhum padrão de resposta para os valores de α. Por se [1931]

8 tratar de um problema cujo arranjo físico é aleatório no que se refere ao posicionamento do vértice central, podemos afirmar que em determinados momentos o problema será mais parecido com os problemas TC e em outros momentos o problema será como os problemas TE. Portanto, os melhores resultados foram obtidos para α igual a 0,9, o que significa que, embora bons resultados tenham sido encontrados, isso só foi possível através do aumento da lista de candidatos restritos (RCL). Teste n Q Custo QC Custo QC Custo QC Custo QC U.B. % Gap a=0.2 a=0.5 a=0.7 a=0.9 TR ,0% TR ,0% TR ,0% TR ,5% TR ,0% TR ,0% TR ,2% TR ,7% TR ,0% TR ,0% TR ,3% TR ,6% TR ,4% TR ,0% TR ,1% TR ,5% Tabela 7 Comparação dos resultados obtidos pela heurística proposta e seus respectivos Upper Bounds para o problema TR Em relação aos tempos computacionais, a heurística QC apresentou grande variabilidade. Destaca-se aqui o fato de que para n igual a 60 e 80, os tempos médios obtidos foram respectivamente superiores a 120 e 300 segundos. 5. Conclusão O trabalho apresentado aborda o problema ACGMC para o caso em que as demandas associadas a cada vértice são não-unitárias. A importância prática deste problema, juntamente com sua dificuldade de resolução, pode ser entendida como motivadora para o desenvolvimento de novas técnicas e metodologias que possibilitem ou estimulem novos resultados e novas pesquisas para o tema em foco. Inicialmente, foi constatada uma carência do uso das variáveis de peso na resolução de instâncias da ACGMC de caso não unitário nas demandas dos vértices. Baseado nisso, foi proposta a Heurística QC baseada não somente na demanda, mas sim em um fator que mede o balanço entre peso de vértices e custo incorrido em componentes. Por lidar bem com o trade-off existente entre essas variáveis, os resultados obtidos pela Heurística QC foram bem competitivos se comparados com os melhores resultados na literatura apresentados por Gouveia e Lopes (2005). É perceptível também que este desvio tende a aumentar com o aumento do tamanho das instâncias. Os tempos computacionais foram considerados razoáveis e por isso, viabilizam o uso de uma fase de busca local. Uma característica que se mostrou bastante evidente durante a fase de testes de validação do algoritmo foi a sensibilidade dos resultados com relação aos valores dos parâmetros adaptativos. [1932]

9 Referências Ahuja, R.K., Orlin, J.B. & Sharma, D. Multi-exchange neighborhood structures for the capacitated minimum spanning tree problem, já apareceu em Mathematical Programming em Amberg, W., Domschke, & Voss, S. Capacitated minimum spanning tree: Algorithms using inteligent search, Combinatorial Optimization: Theory and Practice 1, p.9 40, Esau, L.R. & Williams, K.C. On Teleprocessing System Design. IBM Systems Journal, p , Feo, T.A. & Resende, M.G.C. Greedy randomized adaptive search procedures, Journal of Global Optimization 6, p , Gouveia, L. & Lopes, M. J. The Capacitated Minimum Spanning Tree Problem: On Improved Multistar Constraints. European Journal Of Operational Research 160, p.47 62, Papadimitriou, C. The Complexity Of The Capacitated Tree Problem. Networks, 8, p , Sharaiha, Y., Gendreau, M., Laporte, G. & Osman, I. A tabu search algorithm for the capacitated shortest spanning tree problem, Networks 29, , Souza, M. C., Duhamel, C. & Ribeiro, C. C. C. A Grasp Heuristic For The Capacitated Minimum Spanning Tree Problem Using A Memory-Based Local Search Strategy. Metaheuristics: Computer Decision-Making. Kluwer, p , [1933]