EXPLORANDO A HEURÍSTICA DM-GRASP PARA O PROBLEMA DAS P-MEDIANAS

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1 EXPLORANDO A HEURÍSTICA DM-GRASP PARA O PROBLEMA DAS P-MEDIANAS Thales W. Barra, Luis F. M. Santos, Richard Fuchshuber Alexandre Plastino, Simone L. Martins Universidade Federal Fluminense Niterói RJ Brasil {tbarra, lsantos, rfuchshuber, plastino, simone}@ic.uff.br RESUMO Metaheurísticas representam uma importante classe de técnicas para resolver, aproximadamente, problemas de otimização combinatória para os quais o uso de métodos exatos é impraticável. Uma versão híbrida da metaheurística GRASP, que incorpora técnicas de mineração de dados, chamada DM-GRASP, tem obtido resultados promissores. Um dos principais parâmetros desta heurística é o tamanho do conjunto que armazena as melhores soluções obtidas, chamado conjunto elite. O objetivo deste trabalho é investigar os efeitos da variação deste parâmetro na heurística e determinar seu melhor valor. Para este estudo, o problema das p-medianas foi utilizado. PALAVRAS CHAVE. Metaheurística Híbrida, GRASP, Mineração de Dados. Áreas: Metaheurística, Otimização Combinatória, Mineração de Dados. ABSTRACT Metaheuristics represent an important class of techniques to solve, approximately, hard combinatorial optimization problems for which the use of exact methods is impractical. A hybrid version of the GRASP metaheuristic that incorporates a data mining process, called DM-GRASP, has achieved promising results. One of the main parameters in this heuristic is the size of the set that stores the best solutions, called elite set. The objective of this work is to investigate the effects of variation of this parameter and to determine its best value. For this study, the p-median problem was used. KEYWORDS. Hybrid Metaheuristic, GRASP, Data Mining. Areas: Metaheuristics, Combinatorial Optimization, Data Mining. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1131

2 1. Introdução Metaheurísticas representam uma importante classe de técnicas para resolver, aproximadamente, problemas de otimização combinatória para os quais o uso de métodos exatos é impraticável. Pesquisas demonstraram que a combinação desses métodos com técnicas e conceitos de outras áreas tem o potencial de melhorar o desempenho e a robustez dos mesmos (Talbi (2002)). A heurística DM-GRASP (Data Mining GRASP) é uma versão híbrida da metaheurística GRASP (Greedy Randomized Adaptative Search Procedure) (Resende e Ribeiro (2003)) que incorpora técnicas de mineração de dados e que tem apresentado resultados promissores (Plastino et al. (2009), Ribeiro et al. (2006), Santos et al. (2005), Santos et al. (2006), Santos et al. (2008)). A metaheurística GRASP já foi aplicada com sucesso a diversos problemas (Festa e Resende (2002)). Nesse método, a busca por soluções é realizada através de um processo iterativo, no qual cada iteração é composta de duas fases: construção e busca local. Na fase de construção, uma solução completa é gerada, e então, na fase de busca local, a sua vizinhança é explorada até que se obtenha uma solução que seja ótima localmente. Processos de mineração de dados são caracterizados pela extração automática de informações úteis, implícitas em bases de dados, sob a forma de regras e padrões (Han (2006)). No contexto do DM-GRASP, um algoritmo de mineração é utilizado para reconhecer padrões em soluções sub-ótimas, os quais são utilizados para guiar a busca por melhores soluções. A heurística híbrida DM-GRASP é dividida em duas partes. Na primeira, um conjunto de n iterações, como definidas no GRASP, é executado. Em seguida, um algoritmo de mineração de dados é executado sobre o conjunto elite, que contém as melhores soluções obtidas, para extrair os padrões que caracterizam as soluções sub-ótimas. Na segunda fase, são executadas outras n iterações adaptadas, nas quais os padrões são utilizados para guiar a construção das soluções. Essa proposta híbrida foi utilizada com sucesso em quatro problemas de otimização combinatória: problema de empacotamento de conjuntos (Ribeiro et al. (2006)), problema da maximização da diversidade (Santos et al. (2005)), problema de replicação de servidores em transmissão multicast confiável (Santos et al. (2006)) e o problema das p-medianas (Plastino et al. (2009)). Na versão original do DM-GRASP, o processo de mineração de dados é executado apenas uma vez, exatamente na metade do número total de iterações. O MDM-GRASP (Multi Data Mining) é uma versão adaptativa do DM-GRASP onde o algoritmo de mineração é executado diversas vezes, em momentos determinados dinamicamente, conforme o comportamento de cada instância do problema em questão. Em todas as aplicações realizadas anteriormente, o tamanho do conjunto elite foi fixado inicialmente e arbitrariamente em 10, o que não necessariamente caracteriza a melhor escolha. O objetivo deste trabalho é avaliar o desempenho do DM-GRASP e do MDM-GRASP variando o tamanho do conjunto elite, na tentativa de se identificar uma cardinalidade ideal para este conjunto. Para esse estudo inicial, será utilizado o problema das p-medianas. O restante deste artigo está organizado da seguinte forma. A metaheurística GRASP, a sua versão híbrida DM-GRASP, e a variante adaptativa do DM-GRASP, chamada MDM- GRASP, são descritas na Seção 2. Na Seção 3, define-se o problema das p-medianas. Nas Seções 4 e 5, são apresentados e analisados os resultados dos experimentos computacionais obtidos pelo DM-GRASP e MDM-GRASP, respectivamente. Finalmente, na Seção 6, são apresentadas as conclusões e direções para trabalhos futuros. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1132

3 2. As Metaheurísticas GRASP, DM-GRASP e MDM-GRASP Esta seção apresenta a metaheurística GRASP e as suas variantes híbridas DM-GRASP e MDM-GRASP GRASP Greedy Randomized Adaptive Search Procedures A metaheurística GRASP é um método para obtenção de soluções de boa qualidade para problemas de otimização combinatória. Desde sua criação, essa metaheurística vem sendo utilizada com considerável sucesso em diversos problemas computacionalmente intratáveis (Festa e Resende (2002)). Sua idéia central é combinar um algoritmo guloso com um componente aleatório. Algoritmos gulosos são geralmente iterativos e, a cada iteração, incluem na solução em construção o elemento que traz o melhor incremento possível na sua qualidade. Apesar de levarem a boas soluções, normalmente não atingem soluções ótimas. O objetivo da introdução do componente aleatório é possibilitar a diversificação das soluções construídas. O GRASP é um processo iterativo, sendo cada iteração composta de duas fases: construção e busca local. Na primeira fase, uma solução é construída, sem que seja necessariamente um ótimo local. Na segunda fase, a vizinhança dessa solução é percorrida até que se encontre uma solução que seja um ótimo local. O processo é repetido até que um critério de parada seja atingido. A melhor solução encontrada dentre todas as iterações é retornada como resultado. A Figura 2.1 contém o pseudocódigo do GRASP para um problema de maximização. A fase de construção, ilustrada pela Figura 2.2, constrói a solução elemento por elemento. A cada passo, os elementos que não estão na solução são avaliados por uma função gulosa. Os elementos com melhor avaliação são incluídos numa lista, chamada Lista Restrita de Candidatos (LRC). O critério para inclusão de um elemento na lista pode ser definido usando-se um parâmetro α [0, 1]. Suponha que, num problema de maximização, o elemento com melhor avaliação tenha o valor maior_val. A LRC pode ser composta por todos os elementos com avaliação no intervalo [α maior_val, maior_val]. Um elemento é selecionado aleatoriamente dessa lista e inserido na solução. Note que esse processo seria puramente guloso se α = 1, e puramente aleatório se α = 0. procedimento GRASP(α) 1. melhor_sol ø; 2. repita 3. sol Fase_de_Construcao(α); 4. sol Busca_Local(sol); 5. se Aval(sol) > Aval(melhor_sol) então 6. melhor_sol sol; 7. fim-se 8. até Criterio_de_Parada(); 9. retorne melhor_sol; Figura 2.1: Pseudocódigo da metaheurística GRASP A fase de busca local está baseada no conceito de vizinhança de uma solução. A vizinhança N de uma solução s é definida a partir de uma operação O que se realiza sobre s para se gerar uma nova solução. O conjunto de todas as soluções que podem ser geradas a partir de s por O constitui a vizinhança N de s. Nessa fase, a vizinhança da solução é percorrida e, se uma solução melhor for encontrada, é realizada uma nova busca local nessa solução. Quando não se XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1133

4 encontram mais soluções melhores dentro de uma vizinhança, conclui-se que um ótimo local foi atingido e a busca local termina. procedimento Fase_de_Construcao(α) 1. sol ø; 2. candidatos elementos do domínio 3. repita 4. LRC Constroi_LRC(α, candidatos); 5. s Escolha_Aleatoria(LRC); 6. sol sol U {s}; 7. candidatos candidatos \ {s} 8. até Solucao_Completa(sol); 9. retorne sol; Figura 2.2: Pseudocódigo da fase de construção do GRASP 2.2 A Heurística Híbrida DM-GRASP Processos de mineração de dados são caracterizados pela extração automática de informações úteis a partir de bases de dados, na forma de regras e padrões. A idéia que motiva a aplicação desta nova técnica em conjunto com o GRASP é a possibilidade de se encontrar padrões que representem características das melhores soluções geradas, o que pode auxiliar a busca por soluções mais próximas do valor ótimo em um menor tempo computacional, como já demonstrado em alguns trabalhos que utilizam outros métodos para obter estas boas características das soluções (Fleurent e Glover (1999), Lin e Kernighan (1973), Lodi e Libling (1999)). A versão híbrida do GRASP que incorpora um módulo de mineração de dados, denominada DM-GRASP, encontra-se ilustrada na Figura 2.3. Sua execução é dividida em duas etapas: na primeira, chamada fase de geração do conjunto elite, é executada uma determinada quantidade de iterações do GRASP (num_it_conj_elite), e um conjunto de soluções, chamado conjunto elite, é criado para armazenar as melhores tam_elite soluções encontradas ao longo dessas iterações. Em seguida, é executado um algoritmo de mineração de dados para extrair padrões (conjuntos frequentes) das soluções desse conjunto elite. Os padrões extraídos são conjuntos de elementos que aparecem frequentemente em soluções do conjunto elite. A quantidade de padrões a serem minerados é definida pelo parâmetro qtd_padroes. O parâmetro chamado suporte mínimo (sup_min) indica o número mínimo de vezes que um trecho de solução deve aparecer para ser considerado um padrão. Na etapa seguinte, chamada fase híbrida, são executadas novas iterações do GRASP. Nessas iterações, a fase de construção é modificada para usar os padrões encontrados como soluções iniciais parciais. A fase de busca local permanece igual. 2.3 A Heurística Híbrida MDM-GRASP Na versão original do DM-GRASP, o processo de mineração de dados é executado apenas uma vez, exatamente na metade do número total de iterações. O MDM-GRASP (Multi Data Mining) é uma versão adaptativa do DM-GRASP, que tem se destacado por obter soluções de maior qualidade, com um tempo computacional menor. A idéia principal desta estratégia é executar o processo de mineração de dados: (a) assim que o conjunto elite se torna estável o que significa a não alteração do conjunto elite durante um determinado número de iterações e (b) sempre que o conjunto elite sofrer alterações e se tornar, novamente, estável. Acredita-se que executar a mineração de dados mais de uma vez aproveita a evolução gradual do conjunto elite e permite a extração de padrões refinados. No XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1134

5 MDM-GRASP, não existem momentos predeterminados para a extração de padrões; os momentos são determinados dinamicamente, conforme o comportamento de cada instância do problema. Na implementação corrente, considera-se que o conjunto elite está estável se ele não sofreu nenhuma alteração durante o número de iterações equivalente a 5% do total de iterações. Por exemplo, para um total de 500 iterações, o conjunto elite deve ficar 25 iterações sem ser modificado para ser considerado estável. Este valor foi obtido após a execução de experimentos utilizando diversos valores. 3. O Problema das p-medianas Esta seção define o problema das p-medianas e descreve as instâncias utilizadas nos experimentos computacionais. 3.1 A Definição do Problema O problema das p-medianas é um problema NP-Difícil amplamente conhecido (Kariv e Hakimi (1979)) e que já foi aplicado a muitos problemas reais de localização (Tansel et al. (1983)). É definido como se segue. Definimos F como um conjunto de m facilidades em potencial e C um conjunto de n clientes. A função d : C F R avalia a distância entre um cliente e uma facilidade em potencial. Dado um inteiro positivo, p, p m, o problema das p-medianas consiste em identificar um subconjunto R de F tal que R = p e a soma das distâncias de cada cliente em C até a facilidade mais próxima em R seja minimizada. Sem perder a generalização, consideramos F = C, isto é, em cada posição de cliente, existe uma facilidade em potencial. procedimento GRASP_Hibrido(num_it_conj_elite, tam_elite, qtd_padroes, sup_min, α) 01. melhor_sol ø; 02. Conjunto_Elite ø; 03. para it 1 até num_it_conj_elite faça 04. sol Fase_de_Construcao(α); 05. sol Busca_Local(sol); 06. Atualiza_Conjunto_Elite(Conjunto_Elite, sol, tam_elite); 07. se Aval(sol) > Aval(melhor_sol) 08. melhor_sol sol; 09. fim se 10. fim para 11. Padroes MCF(Conjunto_Elite, qtd_padroes, sup_min); 12. p Proximo_Padrao(Padroes); 13. repita 14. sol Fase_de_Construcao_Adaptada(p, α); 15. sol Busca_Local(sol); 16. se Aval(sol) > Aval(melhor_sol) 17. melhor_sol sol; 18. fim se 19. p Proximo_Padrao(Padroes); 20. até Critério_de_Parada(); 21. retorne melhor_sol; Figura 2.3: Pseudocódigo do DM-GRASP XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1135

6 3.2 Instâncias do problema Foram utilizadas oitenta instâncias para o problema das p-medianas, as mesmas que foram adotadas nos experimentos realizados em Gamal e Salhi (2003). Existem quatro grupos, com 20 instâncias cada. As instâncias do primeiro grupo (G50) possuem 50 clientes e p variando de seis até 25, com incremento de um. No segundo (G287), terceiro (G654) e quarto (G1060) grupos, as instâncias possuem, respectivamente, 287, 654 e 1060 clientes, com p variando de cinco até cem, com incremento de cinco. Para todas as instâncias os valores ótimos são conhecidos. 4. Resultados experimentais para o DM-GRASP Nesta seção, os resultados dos experimentos computacionais obtidos pelo DM-GRASP são apresentados. Os algoritmos foram implementados em C++ e compilados com g++ (gcc) Os testes foram realizados em um computador Intel Core 2 Quad Q6600 (2.4GHz) com 3GB de memória RAM, executando Linux (kernel ). Foram utilizados 15 tamanhos diferentes para o conjunto elite, variando entre 2 e 60. Para cada tamanho, foram realizadas 10 execuções do DM-GRASP, com sementes aleatórias diferentes (1-10). O parâmetro α foi definido como 0,2 e cada execução constituiu-se de iterações. As Figuras 4.1 e 4.2 apresentam os resultados relacionados à qualidade das soluções obtidas por cada tamanho de conjunto elite. A Figura 4.1 exibe o número de vezes (eixo das ordenadas) que cada tamanho de conjunto elite (eixo das abcissas) obteve o melhor resultado, isto é, o menor desvio em relação ao ótimo, para cada grupo de instâncias, desconsiderando as instâncias onde os resultados foram sempre os mesmos. O conjunto elite de tamanho 10 destacase, claramente, por obter o melhor resultado geral. Figura 4.1: Número de vezes que cada tamanho de conjunto elite alcançou a melhor solução. A Figura 4.2, que mostra a soma dos desvios em relação ao ótimo de cada instância, indica que, embora o tamanho do conjunto elite igual a dez tenha se destacado por alcançar mais vezes as melhores soluções, a diferença entre as soluções obtidas com os diferentes tamanhos de conjunto elite são pequenas. Tal fato indica que o tamanho do conjunto elite não influencia significantemente na qualidade das soluções obtidas pelo DM-GRASP. A Figura 4.3 ilustra a variação no custo das soluções obtidas nas fases de construção e busca local, ao longo das iterações de uma execução do DM-GRASP com instância G287, p = 70 e conjunto elite de tamanho: (a) 2, (b) 10, (c) 35 e (d) 60. A queda existente na milésima iteração dos quatro gráficos coincide com o ponto onde o algoritmo de mineração de dados é acionado. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1136

7 Após a extração dos padrões, a qualidade das soluções geradas tanto na fase de construção quanto na busca local aumenta significativamente, conforme observado em outros trabalhos (Plastino et al. (2009), Ribeiro et al. (2006), Santos et al. (2005), Santos et al. (2006), Santos et al. (2008)). É possível observar, contudo, que a variação no tamanho do conjunto elite não gera uma mudança significativa na qualidade das soluções geradas na fase híbrida, isto é, após a extração de padrões. Este comportamento também foi observado nas execuções para outras instâncias. Figura 4.2: Diferença em relação à solução ótima para cada tamanho de conjunto elite. A Tabela 4.4 apresenta os tempos computacionais das execuções do DM-GRASP com os diferentes tamanhos de conjunto elite. A primeira coluna indica o tamanho do conjunto elite utilizado. As quatro colunas seguintes contêm os tempos computacionais de cada grupo. A última coluna indica o tempo total gasto na execução dos quatro grupos, para cada tamanho do conjunto elite. Nota-se que os tempos de execução aumentam à medida que o tamanho do conjunto elite aumenta. Isto se deve ao aumento no tempo gasto no processo de mineração de dados, já que um conjunto elite com mais elementos torna mais complexa a identificação de padrões. 5. Resultados experimentais para o MDM-GRASP Nesta seção, os resultados dos experimentos computacionais obtidos pelo MDM-GRASP são apresentados. As instâncias e os parâmetros utilizados foram os mesmos usados na Seção 4. As Figuras 5.1 e 5.2 apresentam os resultados relacionados à qualidade das soluções obtidas por cada tamanho de conjunto elite. A Figura 5.1 exibe o número de vezes (eixo das ordenadas) que cada tamanho de conjunto elite (eixo das abcissas) obteve o melhor resultado, isto é, o menor desvio em relação ao ótimo, para cada grupo de instâncias, desconsiderando as instâncias onde os resultados foram sempre os mesmos. É possível observar que, de maneira geral, conjuntos elite menores tendem a obter resultados melhores e que, à medida que o tamanho do conjunto elite aumenta, os resultados tendem a piorar. A Figura 5.2, que mostra a soma dos desvios em relação ao ótimo de cada instância, indica que o MDM-GRASP é mais sensível à variação no tamanho do conjunto elite, sendo significativamente mais eficiente com tamanhos de conjunto elite menores. À medida que se aumenta o tamanho do conjunto elite, é possível observar uma tendência de afastamento em relação aos valores ótimos. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1137

8 (a) (b) (c) (d) Figura 4.3: Execução do DM-GRASP com conjunto elite de tamanho: (a) 2, (b) 10, (c) 35 e (d) 60. Tamanho do conj. elite G50 G287 G654 G1060 Total 2 9,14 625, , , ,33 3 9,51 640, , , ,08 4 9,63 641, , , ,30 5 9,57 627, , , , ,07 612, , , , ,01 614, , , , ,09 635, , , , ,36 701, , , , ,69 857, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,14 Tabela 4.4: Tempos computacionais do DM-GRASP XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1138

9 A Figura 5.3 ilustra a variação no custo das soluções obtidas nas fases de construção e busca local, ao longo das iterações de uma execução do MDM-GRASP com instância G287, p = 70 e conjunto elite de tamanho: (a) 2, (b) 10, (c) 35 e (d) 60. É possível notar que, quanto menor o conjunto elite, mais cedo este se torna estável, e como consequência, a fase híbrida é antecipada. Além disso, a rápida estabilização dos conjuntos elite faz com que a identificação de padrões seja processada com maior freqüência ao longo da execução. Na instância exibida na Figura 5.3, a execução com conjunto elite de tamanho 2 (a) processou cinco vezes o algoritmo de mineração, ao passo que com conjunto de elite de tamanho 10 (b) foram três execuções. Já com os tamanhos 35 (c) e 60 (d), o algoritmo de mineração foi acionado apenas uma vez. Figura 5.1: Número de vezes que cada tamanho de conjunto elite alcançou a melhor solução. Figura 5.2: Diferença em relação à solução ótima para cada tamanho de conjunto elite. A Tabela 5.4 apresenta os tempos computacionais das execuções do MDM-GRASP com os diferentes tamanhos de conjunto elite, e está organizada da mesma forma que a Tabela 4.4. Nota-se um aumento mais regular nos tempos computacionais conforme o tamanho do conjunto elite aumenta, em relação ao que foi observado na Tabela 4.4. Tal fato ocorre porque, além do XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1139

10 aumento no tempo gasto na execução do algoritmo de mineração de dados conforme o tamanho do conjunto elite aumenta, existe uma redução no tempo necessário para se executar cada iteração da fase híbrida, quando comparada com as iterações da fase de geração do conjunto elite. Esta redução ocorre por dois motivos: primeiramente, o tempo gasto na construção de uma solução é menor, pois esta tem como ponto de partida um padrão, e portanto menos elementos precisam ser selecionados e adicionados à solução sendo gerada. Segundo, as soluções geradas na fase de construção com padrões são, em geral, melhores, o que reduz o esforço necessário para a fase de busca local encontrar um ótimo local. (a) (b) (c) (d) Figura 5.3: Execução de uma instância com conjunto elite de tamanho: (a) 2, (b) 10, (c) 35 e (d) Conclusões O objetivo deste trabalho foi avaliar o comportamento das heurísticas DM-GRASP e MDM-GRASP de acordo com a variação do tamanho do conjunto elite utilizado, que corresponde a um dos principais parâmetros destas heurísticas e que, em estudos anteriores, foi pouco explorado. O problema das p-medianas foi utilizado como caso de teste. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1140

11 De acordo com os resultados experimentais, considerando-se a qualidade das soluções obtidas, o DM-GRASP mostrou-se pouco sensível às variações no tamanho do conjunto elite, pois os desvios dos resultados obtidos em relação aos valores ótimos foram bastante similares para todos os tamanhos de conjunto elite avaliados. Já o MDM-GRASP mostrou-se bastante sensível às variações do tamanho do conjunto elite. À medida que estes tamanhos aumentaram, a qualidade das soluções obtidas foi significativamente degradada. Surpreendentemente, conjuntos elite com apenas duas soluções levaram aos melhores resultados. Isto se deve ao fato de que, quanto menor o conjunto elite, mais rapidamente este se estabiliza, o que traz dois benefícios: a fase híbrida, que explora regiões mais promissoras do espaço de busca, é antecipada e a identificação de padrões é realizada com maior freqüência, o que possibilita o uso de padrões mais refinados. Foi observado também, tanto para o DM-GRASP quanto para o MDM-GRASP, que conjuntos elite maiores tornam mais complexa a execução do algoritmo de mineração de dados, e que, a partir de certo ponto, o tempo gasto na identificação de padrões causa um aumento considerável para o tempo total de execução da heurística, o que evidencia que grandes conjuntos elite devem ser evitados. Os experimentos realizados neste trabalho utilizaram as mesmas instâncias para o problema das p-medianas adotadas em Gamal e Salhi (2003). Uma avaliação complementar seria realizar os mesmos experimentos utilizando-se as instâncias disponíveis em Beasley (1990) com o objetivo de ratificar os resultados. Os resultados apresentados neste trabalho foram obtidos no contexto de um problema de otimização combinatória específico, o problema das p-medianas, e, portanto, como trabalhos futuros, os mesmos experimentos poderiam ser realizados para problemas com características distintas, de forma a verificar se os resultados observados neste trabalho, no comportamento das heurísticas, podem ser generalizados. Agradecimentos: Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq e FAPERJ. Tamanho do conj. elite G50 G287 G654 G1060 Total 2 6,26 425, , , ,08 3 7,09 463, , , ,61 4 7,54 489, , , ,36 5 7,77 476, , , , ,70 506, , , , ,33 554, , , , ,96 619, , , , ,90 711, , , , ,76 913, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,05 Tabela 5.4: Tempos computacionais do MDM-GRASP XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1141

12 Referências Beasley, J.E. (1990), OR-Library: distributing test problems by electronic mail, Journal of the Operational Research Society 41(11) pp Festa, P. e Resende, M. (2002), GRASP: An annotated bibliography, em Ribeiro, C. C. e Hansen, P. (Eds.), Essays and Surveys in Metaheuristics, Kluwer Academic Publishers, Fleurent, C. e Glover, F. (1999),Improved Constructive Multistart Strategies for the Quadratic Assignment Problem Using Adaptive Memory, INFORMS J. on Computing, 2, Gamal, M. D. H. e Salhi S. (2003), A cellular heuristic for the multisource Weber problem, Computers & Operations Research, 30, pp Han, J. e Kamber, M. (2006), Data Mining: Concepts and Techniques, Morgan Kaufmann. Plastino, A., Fonseca, E. R., Fuchshuber, R., Martins, S. L., Freitas, A. A., Luis, M., e Salhi, S. (2009), A hybrid data mining metaheuristic for the p-median problem. SIAM International Conference on Data Mining (SDM). Kariv, O. e Hakimi, L. (1979), An algorithmic approach to network location problems, part ii: The p-medians, SIAM Journal of Applied Mathematics, 37, Lodi, K. A e Liebling, T.M. (1999), An evolutionary heuristic for quadratic 0-1 programming, European Journal of Operational Research, 119, Lin, S. e Kernighan, B.W. (1973), An effective heuristic algorithm for the traveling salesman problem.,operations Research, 21: Resende, M e Ribeiro, C., Greedy Randomized Adaptive Search Procedures, em Glover, F. e Kochenberger, G. (Eds.), Handbook of Metaheuristics, , Ribeiro, M. H., Plastino, A. e Martins, S. L. (2006), Hybridization of GRASP Metaheuristic with Data Mining Techniques, Journal of Mathematical Modeling and Algorithms, 5:1, Santos, L. F. M., Milagres, R., Albuquerque, C., Plastino, A. e Martins, S. L. (2006), A Hybrid GRASP with Data Mining for Efficient Server Replication for Realiable Multicast, Proceedings of the IEEE GLOBECOM Conference. Santos, L. F. M., Plastino, A. e Martins, S. L. (2008), Applications of the DM-GRASP Heuristic: A Survey, International Transactions in Operational Research, 15, Santos, L. F. M., Ribeiro, M. H., Plastino, A. e Martins, S. L. (2005), A Hybrid GRASP with Data Mining for the Maximum Diversity Problem, Proceedings of the International Workshop on Hybrid Metaheuristics, Talbi, E. G. (2002), A Taxonomy of Hybrid Metaheuristics, Journal of Heuristics, 8:5, Tansel B. C., Francis, R. L. e Lowe, T. J. (1983), Location on networks: A survey, Management Science, 29, XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1142