Kelly C. Cruz UFABC- Universidade Federal do ABC Santo André, SP, Brazil

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1 HEURÍSTICAS PARA O PLANEJAMENTO DE REDES ÓPTICAS EM FUNÇÃO DA INCERTEZA DA DEMANDA DE TRÁFEGO Kelly C. Cruz UFABC- Universidade Federal do ABC Santo André, SP, Brazil kelly.cruz@ufabc.edu.br Karcius D.R. Assis UFRB Universidade Federal do Recôncavo da Bahia, Cruz das Almas, BA, Brazil karcius@ufrb.edu.br Helio Waldman UFABC- Universidade Federal do ABC Santo André, Brazil helio.waldman@ufabc.edu.br RESUMO Este trabalho tem como objetivo demonstrar possibilidades de dimensionamento de tráfegos em redes ópticas WDM estáticas utilizando projetos de topologia virtual. Para essa análise foram aplicados métodos heurísticos em busca do dimensionamento do tráfego atual e futuro em função da capacidade de canal C da rede. Esta análise se baseia em uma topologia física hipotética e numa previsão de tráfego futuro, também hipotético. Os resultados sugerem que é possível dimensionar a rede para um tráfego futuro, sem reconfiguração de caminhos ópticos, desde que uma capacidade adequada seja estabelecida na fase de planejamento. PALAVRAS CHAVE. Planejamento de Redes Ópticas. WDM. Heurísticas. Outras Aplicações ou Outras Metodologias ABSTRACT This work aims to show the possibility of WDM optical networks planning using the virtual topology. For this analysis were applied heuristcs methods to take current and future traffic with a limited capacity to channel C. This work is for a hypothetical physical topology and for a hypothetical future traffic too. The results suggest that it is feasible to preserve enough open capacity to avoid blocking of future traffic, choosing an appropriate capacity, without network disruption. KEYWORDS. Optical Networks Design. WDM. Heuristics. Other applications or methodologies. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1977

2 1. Introdução A necessidade por disponibilidade de largura de banda vem aumentando cada vez mais nos últimos tempos. Este fato pode ser atribuído tanto ao crescente aumento de números de usuários, como também às aplicações consumistas de maiores recursos, como exemplos podemos listar as que trafegam vídeos, dados e a TV digital. A tecnologia de transmissão por fibra óptica pode prover tráfegos de alto volume, na margem dos Terabits/s. Entretanto, a necessidade de utilização de processamento eletrônico para os pacotes, resulta em um gargalo de nós de processamento eletrônico, dada a incompatibilidade entre os componentes ópticos e eletrônicos em um rede de computadores. Dentre as tecnologias utilizadas para minimizar essa incompatibilidade, está a multiplexagem por divisão de comprimento de onda (WDM), que consiste em modular eletronicamente vários comprimentos de onda por sinais distintos e propagá-los todos ao mesmo tempo na fibra óptica [Murtthy (2002)], [Assis (2002)]. Essas arquiteturas utilizam optical crossconects (OXCs) para interconectar roteadores IP que se comunicam entre si através de caminhos ópticos sem a necessidade de comutação eletrônica add-drop nos nós intermediários, apenas em nós fonte e destino, o que forma uma topologia virtual, [Assis (2002 )]. Os problemas de projetos de topologia virtual e de roteamento e alocação de comprimento de onda são formulados através de técnicas de otimização para maximizar o throughput, diminuir o número de hops da rede ou outras medidas de interesse. Estratégias heurísticas são utilizadas para encontrar soluções próximas a uma solução ótima. A solução ótima pode ser obtida através de métodos de Programação Linear (LP) desde que estas variáveis sejam fracionárias (contínuas). Caso as variáveis assumam algum valor inteiro, esses problemas são resolvidos através de Programação Linear Inteira Mista (MILP) [Ramaswami (1996)]. Entretanto, como o problema de projeto da topologia virtual em redes ópticas é NP (Não Polinomial), ele se torna intratável quando o número de nós na rede cresce. Neste trabalho foi utilizada a formulação MILP de [Ramaswami (1996)] para resolver o problema de projeto da topologia virtual. Em seguida, propomos modificações na formulação para dimensionar o atendimento do tráfego atual e futuro da rede óptica sem reconfiguração dos caminhos ópticos pré-determinados. Duas heurísticas de maximização de atendimento do tráfego são propostas. O ponto chave é dimensionar a rede para atender a demanda atual e a demanda futura com o recurso disponível atualmente, nomeado aqui como capacidade do canal C, sem provocar um aumento da relação custo-benefício e sem interromper o funcionamento da rede. As próximas seções estão organizadas da seguinte maneira: na Seção 2 é apresentado o conceito de projeto da topologia virtual. Na Seção 3 é demonstrada a Primeira Heurística (Heur I) para maximização do atendimento do tráfego e também algumas simulações. Na Seção 4 é apresentada a Segunda Heurística (Heur II) com o mesmo objetivo da seção anterior, mas com características de tráfego atual e futuro diferentes. Na Seção 5, estão as considerações finais. 2. Planejamento da Topologia Virtual Dada uma matriz de tráfego T= (λ (s,d)), onde λ(s,d) é a taxa em pacotes/segundo (ou Gb/s) com origem no nó s e destino no nó d. O problema tradicional representado em [Ramaswami, R. 1996] é o de criar uma topologia virtual G v e rotear o tráfego nesta topologia de forma a minimizar o congestionamento máximo λ max = max ij λ ij. O termo formulação tradicional aplicado neste trabalho se refere ao trabalho de [Ramaswami, R. 1996]. Entende-se que λ ij representa a carga que passa pelo enlace virtual (i,j) da topologia virtual. Logo, λ max é a carga máxima que passa por um enlace virtual, e nós chamaremos esta variável de congestionamento. G p representa a topologia física da rede, o grau da topologia virtual (número de transceptores em cada nó), e W o número de comprimentos de onda disponíveis. Uma descrição informal do problema é descrita a seguir (uma descrição precisa pode ser encontrada em [Ramaswami (1996)]): Min λ max (1) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1978

3 λ max = max ij λ ij (2) Utilizando essa função objetivo para MILP e tendo como base a demanda de tráfego em Gb/s em cada enlace, tem-se como resultado a topologia Virtual G v. Sujeito: Cada enlace virtual em G v deve corresponder a um caminho óptico. Dois caminhos ópticos compartilhando o mesmo arco físico têm que ser alocados em comprimentos de onda diferentes. O número total de comprimentos de ondas disponíveis é no máximo W. Cada nó em G v tem arcos de entrada e arcos de saída. O tráfego é roteado de maneira que o fluxo de uma fonte para o destino seja conservado em cada nó Figura 1. Exemplo de uma topologia virtual G v Figura 2. Exemplo de uma topologia física G p Nos estudos apresentados nas Heurísticas I e II não há a proposta para a criação de uma Topologia Virtual G v e sim o roteamento de tráfego por uma topologia virtual dada, obtida pela formulação tradicional. As heurísticas que nós propomos podem encontrar bons resultados para maximizar o tráfego atendido da rede, utilizando o mínimo de recursos. Pode parecer que o subproblema de roteamento de tráfego não é tão importante quanto os outros subproblemas (determinar rotas físicas para os caminhos ópticos, alocar comprimentos de onda para os caminhos ópticos). Entretanto, esta percepção está errada, pois o subproblema de roteamento de tráfego deve fazer parte de qualquer projeto de topologia virtual e, algumas vezes, de planejamentos de tráfegos incertos [W. Ben-Ameur, H. Kerivin (2005)], [G.F. Italiano etal, (2002)]. Nas próximas seções descrevemos as heurísticas propostas. 3. Heurística I - planejamento da rede baseado no tráfego futuro. Nesta seção propomos uma primeira heurística, chamada Heur I, para dimensionamento da rede. Utilizando como base, a formulação apresentada na seção 2 e realizando algumas adaptações para atendimento no novo objetivo, a Heur I é descrita a seguir: Passo 1: Suponha que o tráfego T= (λ(s,d)) é o tráfego futuro previsto da rede. Aplicando a formulação tradicional, encontramos o congestionamento máximo λ max para esse tráfego futuro e a configuração dos caminhos ópticos. Definimos a capacidade máxima C de cada canal da rede como C = λ max para atender esse tráfego futuro. Passo 2: Pode ocorrer de o projetista da rede ter disponível apenas canais com capacidade menor que C, neste caso ele não conseguirá atender a demanda de tráfego futuro T. Logo, quanto deste tráfego poderemos atender com uma capacidade menor que C? XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1979

4 Desta forma, a nova formulação será: Max E=(E(s,d)) (3) Sujeito: E(s,d) λ(s,d) Capacidade do canal= c, onde c < C. Topologia G v fixa obtida com c = C da formulação tradicional (Passo 1). E(s,d) > 0 E ij c Conservação de fluxo: 0, sd sd E E = E( s, d), j ij j ji E( s, d), sd E ij = E ij, s, d se i s e i d se i=s if i=d onde E ij representa a nova carga no enlace virtual (i,j) resultante de novas restrições na capacidade do enlace. i s d Nosso objetivo é maximizar o tráfego que podemos atender, para uma demanda futura, com uma capacidade limitada de canal. Note que nossa otimização é apenas na topologia virtual. O roteamento e alocação de comprimentos de onda dos caminhos ópticos obtidos no passo 1 não são considerados neste trabalho. Entretanto, isto pode ser feito utilizando diversos algoritmos disponíveis na literatura, como visto em [Zang (2000)] Planejamento da rede com a Heur I. Baseado na tentativa de atendimento do tráfego atual em relação ao tráfego futuro, será simulado o comportamento da rede para uma diminuição gradual da capacidade C do canal. Os dados da matriz de tráfego utilizada para topologia de 6 nós foram obtidos de [Ramaswami (1996)]) e representam a distribuição do tráfego solicitado em cada enlace. Para um estudo real sobre o dimensionamento de tráfegos futuros, devem ser considerados os três tipos de tráfego: voz, dados e IP. Para isso, deve-se tomar como base para o estudo: a população, o número de non-production business employess e o número de hosts Internet nas cidades que serão consideradas para a análise, respectivamente. O tráfego total é dado como sendo a soma destes três tipos de tráfego [Verbrugge (2006)]. A topologia virtual existente (demonstrada sua origem na seção 2) é mostrada na Fig.4. Logo, não há reconfiguração de caminhos ópticos, o que é importante para não provocar a interrupção de operação da rede e, conseqüentemente, a perda de uma grande quantidade de dados. Para a nova matriz do tráfego acomodado para cada novo valor de congestionamento, E(s,d), foi considerado que necessariamente deve haver tráfego em todos os caminhos ópticos existentes, logo devemos adicionar a restrição E(s,d)> 0, para não corrermos o risco de zerarmos o atendimento a alguma demanda. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1980

5 Figura 3. Topologia virtual obtida com grau 2 para a demanda de tráfego futuro Resultados numéricos para a Heur I A matriz λ(s,d) figura o tráfego futuro esperado, demonstrando em cada um dos nós (s,d), a demanda que se espera atender. O estudo é realizado considerando-se os mesmos caminhos ópticos e o mesmo grau de entrada e saída implantado, no caso este número é dois ( =2). Dada a rede com sua topologia virtual criada, analisamos o atendimento do tráfego para a demanda T com capacidades dos canais inferiores a C, atribuídas como c. Desta forma, foi possível analisar como o tráfego é distribuído em cada par fonte-destino para cada nova situação. Os valores selecionados para c foram c=1.5gb/s e c=1.8gb/s. Desta forma busca-se analisar quais canais tiveram atendimento completo ou parcial da demanda esperada onde seria necessária capacidade c = C = 2.04Gb/s para atendimento total. Nas simulações foi utilizado o software de otimização AMPL/CPLEX ( TABELA 1: Simulação para capacidades limitadas C = 2,04 Gb/s c = 1,8 Gb/s c = 1,5 Gb/s (s,d) λ(s,d) E(s,d) gap E(s,d) Gap E(s,d) Gap (Gb/s) (Gb/s) (Gb/s) (Gb/s) 1-2 0,537 0, ,476 0,061 0, ,524 0, , ,508 0, ,710 0, ,486 0,224 0,083 0, ,803 0, , , ,974 0, ,804 0,170 0,271 0, ,391 0, , , ,203 0, , , ,234 0, , , ,141 0, , , ,831 0, , , ,060 0, , , ,453 0, , , ,645 0, , , ,204 0, , , ,106 0, , , ,508 0, , , ,660 0, , ,593 0, ,494 0, ,159 0,335 0,06 0, ,426 0, , , ,682 0, , , ,480 0, , ,293 0, ,174 0, , ,06 0, ,522 0, , , ,879 0, , ,858 0, ,241 0, ,177 0,064 0, ,950 0, , , ,406 0, , , ,175 0, ,060 0,115 0,175 0 XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1981

6 6-4 0,656 0, , , ,193 0, , ,193 0 Logo, as simulações de Heur I encontraram matrizes possíveis E(s,d). Logo, são novas propostas para distribuição do novo tráfego para a nova limitação de capacidade dos canais, sendo que esta respeita o tráfego máximo futuro apresentado em λ(s,d). No caso, foram exibidos na tabela I, os valores obtidos de E(s,d) para capacidade limitada de 1.5 Gb/s e 1.8 Gb/s, até a máxima neste estudo, que é de 2.04 Gb/s (obtida com a formulação tradicional para o tráfego futuro (λ(s,d)). A análise destes limites de capacidades são suficientes para uma visão geral desta primeira parte do nosso estudo. Cada novo valor obtido para E(s,d) foi comparado com o valor do tráfego futuro λ(s,d), de forma a analisar a diferença entre as condições simuladas e as futuras, demonstrados na coluna nomeada gap. Iniciando as simulações com o valor máximo de congestionamento obtido C=2,04 Gb/s para a topologia virtual (Fig.3) do tráfego futuro, pode-se perceber que foi chegado ao valor máximo de atendimento E(s,d) = λ(s,d) visualizando valor 0 em cada gap entre estas matrizes para cada um dos pares fonte destino. A nossa proposta é, será que não é possível atender a este mesmo tráfego lidando com uma capacidade máxima inferior? Partindo para uma capacidade limitada c=1.5 Gb/s, a menor capacidade proposta na tabela 1, pode-se perceber que pela configuração existente, não há problemas para o atendimento de todo o tráfego. Há grande disponibilidade ainda em alguns caminhos virtuais comparando-se ao máximo demonstrado como o futuro em λ(s,d). Como seqüências dos estudos foram simuladas as condições do tráfego em cada um dos pares fonte-destino, para uma capacidade intermediária de 1.8 Gb/s. Neste caso, para cada novo valor verificado na nova matriz E(s,d), pode-se observar que ainda há atendimento da demanda em todos os pontos, o que ocorreu nessa transição de c=1.5 Gb/s para c=1.8 Gb/s, foi a aproximação do tráfego atual em alguns pares fonte-destino em relação aos valores futuros. Alguns pares fonte-destino que antes apresentavam restrição de acomodação de tráfego, agora chegaram a sua capacidade máxima, tal como o par E(5,1) que antes apresentava um gap de (em relação ao tráfego futuro) e agora chega ao seu limite, gap=0. Desta forma percebeu-se que na estrutura atual, a ótima utilização da rede (atendimento de tráfego atual e futuro) é obtida com um limite de capacidade de 2.04 Gb/s. Para atendimento de valores maiores (tráfegos futuros mais densos), há a necessidade de otimização da topologia virtual existente; como por exemplo, aumentando o grau virtual de forma a maximizar o número de caminhos ópticos e reduzir o tráfego em cada um dos nós atendendo a aumentos futuros. Logo, se os recursos são limitados, capacidades limitadas devem ser impostas, c < C, sacrificando o atendimento total de alguns pares fonte-destino em favorecimento da redução de custos (já que a capacidade do canal está diretamente relacionada com o custo de transponders ópticos e roteadores). 4. Heurística II Dimensionamento futuro para redes em operação. A heurística I não considera uma demanda de tráfego já existente, e sim projeta a rede em função da previsão futura. Entretanto, se considerarmos uma rede existente com tráfego atendido e enlaces virtuais em operação, contando com o aumento da população e crescente utilização de aplicações, esta rede possui um tempo limite para atendimento perfeito de toda a demanda solicitada. Qual seria a melhor forma de adequar esta rede às novas demandas, futuras? Mantendo-se o projeto dos caminhos ópticos, dos enlaces virtuais, contando apenas com um aumento da capacidade, como poderia ser dimensionado o prazo de sobrevivência desta rede? Para responder a esta questão nós propomos a Heurística II, chamada Heur 2, que também não caracteriza alterações físicas pela dificuldade e pelo custo que este tipo de ação proporciona. Esta nova heurística caracteriza-se da seguinte forma: XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1982

7 Passo 1: Considerando como existente a estimativa de tráfego futuro previsto da rede, no caso T= (λ(s,d)). Passo 2: A situação atual é definida pela matriz P=(P(s,d)) onde temos como base a capacidade atual que atende a essa matriz, C=P max. Passo 3: Partindo do valor P max inicial proposto em 2, é atribuída uma nova capacidade maior do que P max para análise do comportamento do tráfego visando o atendimento futuro apresentado por λ(s,d). De forma que sendo estipulada qual poderá ser a nova capacidade a ser dimensionada, pode-se verificar se este valor atenderá total ou parcial a cada ponto da matriz λ(s,d). Passo 4: Com o novo valor de capacidade sugerido, uma nova matriz de tráfego E(s,d) é dimensionada de forma que: P(s,d) <= E(s,d) <= λ(s,d) (4) Passo 5: O fator que caracterizará o atendimento ou não, será o gap, demonstrado pela variável g[s,d], onde: g[s,d] = λ[s,d] E[s,d] (5) O que caracterizará que o trafego de um par fonte-destino foi atendido dentro do novo cenário, será quando gap for igual a 0. Utilizando as mesmas restrições de conservação de fluxo da Heur I, podemos obter os resultados descritos a seguir Planejamento da rede com a Heur II Nesta seção aplicamos a Heur II. Tomamos se i s como and base uma rede hipotética brasileira [Assis (2002 )] apresentada com = 1 (Fig.4) e = 2 (Fig.5) e matriz de tráfego mostrada na tabela 2. se d Os dados de tráfego para cada par fonte-destino da tabela 2 foram estimados tomando como base as previsões fornecidas para o crescimento se i=s da população pelo IBGE ( Mediante estes dados e mais fatores que influenciam no cálculo para tráfego futuro [IBCN (2007)], foi também possível montar as matrizes de tráfego para os anos 2008, 2009 e 2010 que são as matrizes λ(s,d) propostas nas tabelas 3, 4 e 5. TABELA 2: Matriz de tráfego P(s,d) em Mb/s para as Figuras 4 e 5. (2007) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1983

8 TABELA 3: Matriz de tráfego λ(s,d) em Mb/s para o ano TABELA 4: Matriz de tráfego λ(s,d) em Mb/s para o ano TABELA 5: Matriz de tráfego λ(s,d) em Mb/s para o ano XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1984

9 Figura. 4. Rede hipotética brasileira ( = 1). Figura. 5. Rede hipotética brasileira ( = 2) Resultados numéricos para a Heur II. Utilizando a Heur II para cada matriz λ(s,d), foi informada uma nova capacidade, maior do que a atual, de forma a analisar o atendimento do tráfego em cada situação. Lembrando que dentro dos resultados, a matriz E(s,d) surge como o tráfego atendido para a capacidade sugerida, sendo que somada a ela a matriz g(s,d) resultante (tráfego não atendido ou gap), têm-se como resultado o valor da matriz λ(s,d): [λ(s,d)] = [E(s,d)] + [g(s,d)] (6) Dentro destes valores, podemos analisar até quando a matriz poderá atender ao tráfego futuro para a nova capacidade investida, sempre em Mb/s. Foram realizadas simulações com a Heur II para as duas topologias virtuais propostas nas figuras 4 e 5. Abaixo, a progressão dos resultados para ambos os casos. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1985

10 COMPARATIVO gap sd g(s,d) capacidade (Mb/s) Figura 6. Progressão valores g(s,d) para a rede com = 1 (Configuração da Fig. 4) Os dados simulados para as matrizes λ(s,d) são referentes às progressões dos anos de 2008, 2009 e O gap total para todos os pares fontes destino é dado por sd gap(s,d), sendo o mesmo utilizado na demonstração gráfica. Para os dados de 2008, o gap passa a ser 0 para valores superiores a Neste ponto a estimativa futura foi atendida em todos os pares fonte destino. Neste mesmo ponto para 2009 e 2010 há tráfego não atendido. Desta forma, visualmente é possível estimar as condições da rede atual para cenários futuros. Ou seja, com quanto de aumento de capacidade conseguimos manter a minha rede compatível com a demanda e por quanto tempo. CO MPARATIVO E(s,d) sd E(s,d) capacidade (Mb/s) Figura 7. Progressão valores E(s,d) para a rede com = 1 (configuração da Fig.4) O gráfico da Fig.7, exibe os dados para a nova matriz E(s,d) montada de acordo com as novas capacidades empregadas. Os valores utilizados na demonstração gráfica são o total para todos os pares fontes destino E(s,d) dado por sd E(s,d). Por estes dados, é possível visualizar a razão do crescimento para cada novo valor de capacidade. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1986

11 COMPARATIVO gap sd g(s,d) capacidade (Mb/s) Figura 8. Progressão valores g(s,d) para = 2 A Fig.8 mostra a mesma perspectiva para a os valores da matriz g(s,d) para a rede com valor de =2. (Configuração da Fig. 5). COMPARATIVO E(s,d) sd E(s,d) capacidade (Mb/s) Figura 9. Progressão valores E(s,d) para = 2 A Fig.9 demonstra a progressão da soma dos valores dos pares fonte destino (s,d) para a matriz E para a rede com valor de =2.(Configuração da Fig.5). 5. Conclusões Diante do exposto, concluímos que com a heurística I (Heur I), baseada na disponibilidade de recursos atuais (capacidade de canal), podemos fazer uma estimativa da real possibilidade de atendimento do tráfego, a partir de uma condição ótima para atendimento das matrizes de tráfego conhecidas, quanto eu poderia reduzir o serviço (em capacidade) para manter o atendimento, reduzindo os custos. A previsão de tráfego futuro para o planejamento de redes é indispensável, entretanto a disponibilidade de recursos, que é um fator de custo, é o que dita o quanto podemos atender. Neste último caso, a heurística II (Heur II) se torna mais adequada. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1987

12 Sabendo-se que o custo de um canal aumenta de acordo com a capacidade do mesmo, pode ser preferível diminuir a capacidade de atendimento do tráfego futuro em alguns pares fontedestino em função da relação custo/benefício. Assim, a rede pode ser desenhada para atendimento atual e realizadas simulações propostas na Heur II para viabilização de tráfegos futuro no dado momento necessário. Evidentemente, pode haver pares fontes-destino que devam ter sempre gap=0, em função de características como QoS. Em ambos os estudos, não foram criados caminhos. Logo, não há reconfiguração de caminhos ópticos, o que é importante para não provocar a interrupção de operação da rede e, conseqüentemente, a perda de uma grande quantidade de dados. Um estudo interessante seria atribuir capacidades diferentes para os enlaces virtuais, em função desse QoS, mas isso é assunto para estudos futuros. Referências. Assis, K. D. R. e Waldman, H. (2002), An Integrated Design for Topologies of Optical Networks, IEEE/SBrt International Communication Symposium. Assis, K. D. R. e Waldman, H. (2002 ), Redes Ópticas Estáticas para o Tráfego IP, X Simpósio Brasileiro de Microondas e Optoeletrônica, 6, Assis, K. D. R. e Waldman, H. e Calmon, L. C. (2002 ), Virtual Topology Design for a Hypothetical Optical Network, Revista Telecomunicações n.1, 05, IBCN(2007), Murtthy, C. S. R. e Gurusamy, M. (2002), WDM optical networks: concepts, design, and algorithms, Prentice Hall, New Jersey. Ramaswami, R. e Sivarajan, K. N. (1996), Design of Logical Topologies for Wavelength- Routed Optical Networks, IEEE/ JSAC, 14, Verbrugge, S. and Colle, D. and Maesschalck, S. and Pickavet, M. and Demeester P. (2006), On planning of optical networks and representation of their uncertain input parameters, Photonic Network Communications, 11, Zang, H. e Jue, J. P. e Mukherjee, B. (2000), A review of routing and wavelength assignment approaches for wavelength-routed optical networks, Optical Networks Magazine, W. Ben-Ameur, H. Kerivin, Routing of uncertain traffic demands, Optimization and Engineering, 3, pp , G.F. Italiano, S. Leonardi, G. Oriolo, Design of networks in the hose Randomization model. in International Workshop on Approximation and Algorithms in Communication Networks, pp , Carleton Scientific Press, 2002 XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1988