RECONFIGURAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE DISTRIBUIÇÃO UTILIZANDO ALGORITMO HÍBRIDO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA MIGUEL PEREIRA SANTOS NETO RECONFIGURAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE DISTRIBUIÇÃO UTILIZANDO ALGORITMO HÍBRIDO Salvador 2014

2 i MIGUEL PEREIRA SANTOS NETO RECONFIGURAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE DISTRIBUIÇÃO UTILIZANDO ALGORITMO HÍBRIDO Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, da Universidade Federal da Bahia, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de concentração: Sistemas de Potência. ORIENTADOR: Prof. Dr. Niraldo Roberto Ferreira Salvador 2014

3 ii S237 Santos Neto, Miguel Pereira Reconfiguração de sistemas elétricos de distribuição utilizando algoritmo híbrido / Miguel Pereira Santos Neto. Salvador, f. : il. color. Orientador: Prof. Dr. Niraldo Roberto Ferreira. Dissertação (mestrado) Universidade Federal da Bahia. Escola Politécnica, Energia elétrica - distribuição. 2. Algoritmo. 2. Redes elétricas. I. Ferreira, Niraldo Roberto. II. Universidade Federal da Bahia. III. Título. CDD:

4 iii MIGUEL PEREIRA SANTOS NETO RECONFIGURAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE DISTRIBUIÇÃO UTILIZANDO ALGORITMO HÍBRIDO Dissertação de mestrado apresentada como parte dos requisitos para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica do curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal da Bahia. Banca Examinado Salvador, 18 de julho de 2014.

5 iv Dedico este trabalho aos meus pais, aos meus familiares e a minha esposa pela dedicação e apoio em todos os momentos difíceis.

6 v Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, PPGEE, pela oportunidade de realização de trabalhos em minha área de pesquisa. Aos colegas do PPGEE pelo seu auxílio nas tarefas desenvolvidas durante o curso e apoio na revisão deste trabalho.

7 vi RESUMO A Reconfiguração de Sistemas Elétricos de Distribuição Radial é uma ferramenta importante para o planejamento e/ou operação do sistema e consiste em uma técnica de modificar a topologia da rede por meio da abertura e/ou fechamento de chaves com o objetivo de minimizar as perdas de potência ativa do sistema. Trata-se de um problema de otimização, sujeito a restrições de radialidade, de difícil solução devido a sua natureza discreta e combinatorial. A explosão combinatorial para problemas dessa natureza é iminente e se agrava à medida que o número de chaves manobráveis aumenta, causando um elevado tempo de processamento de algoritmos que em muitos casos torna o método de otimização inviável. Com o avanço dos sistemas digitais de processamento de dados, técnicas modernas de otimização vêm sendo propostas baseadas em algoritmos heurísticos que utilizam a intuição a respeito do problema e de sua estrutura para resolvê-lo de forma rápida. Com isso, neste trabalho é apresentada uma metodologia híbrida para resolver o problema da Reconfiguração de Sistemas de Distribuição Radial de Energia Elétrica. A estratégia consiste em combinar técnicas, encontradas na literatura, para redução do esforço computacional e intensificação da busca ao Algoritmo de formigas Ant System. Assim, o algoritmo híbrido (AS_hibrido), proposto neste trabalho, foi construído por meio da associação de Metaheurísticas (Ant System e Busca Tabu) com métodos auxiliares de simplificação de rotinas computacionais (Método de Aceleração e Fluxo de Carga Simplificado) e estratégias de redução da convergência prematura (Deposição exponencial do feromônio). Para testar a eficácia da metodologia proposta foram realizados testes com sistemas de 16, 33, 69 e 84 barras, estes resultados são comparados com os resultados encontrados na literatura. O AS_hibrido convergiu em todos os sistemas testados com valores de perda de potência condizentes com a literatura, apresentando redução do esforço computacional em relação a outros algoritmos testados neste trabalho. Além disso, A metodologia de construções das configurações do AS_hibrido garante que todas as topologias exploradas sejam puramente radiais, dispensando assim a verificação. Palavras-chaves: Reconfiguração. Algoritmo de formigas. Ant System. Algoritmo de formigas hibrido. Rede de Distribuição. Busca Tabu. Sistemas Elétricos de Distribuição. Rede Radial.

8 vii ABSTRACT The Reconfiguration of Radial Distribution Systems Electrical is an important tool for planning and/or operation of the system and consists of a technique to modify the topology of the network by opening and/or closing keys with the goal to minimize losses active power system. This is an optimization problem, subject to restrictions of radial, difficult to solve due to its discrete and combinatorial nature. The combinatorial explosion for such problems is imminent and worsens as the number of operable keys increases, causing a high time processing algorithms that in many cases makes the method impractical optimization. With the advancement of digital data processing system, modern optimization techniques have been proposed based on heuristic algorithms using intuition about the problem and its structure to solve it quickly. Thus, this work presents a hybrid methodology to solve the problem of reconfiguration of Radial Electric Power Distribution Systems. The strategy consists in combining methods of reducing the computational effort and the intensification of the search algorithm Ant System. Thus, the hybrid algorithm (AS_hibrido), proposed in this paper, was constructed through the combination of metaheuristics (Tabu Search and Ant System) with auxiliary methods of simplify computational routines (Method of Acceleration and Load Flow Simplified) and strategies of reduction of the premature convergence (exponential pheromone deposition). To demonstrate the effectiveness of the proposed methodology, tests were performed with distribution systems of 16, 33, 69 and 84 buses, these results are compared with results found in literature. The AS_hibrido converged in all systems tested with values of loss of power consistent with the literature, with reduced computational effort compared to other algorithms tested in this work. Furthermore, the methodology of building configurations AS_hibrido ensures that all topologies explored are purely radial, thus no verification. Keywords: Reconfiguration. Ants Algorithm. Ant System. Algorithm Hybrid Ant. Distribution Network. Tabu Search. Electricity distribution systems. Radial network.

9 viii SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO O PROBLEMA DA RECONFIGURAÇÃO DE SED PROBLEMATIZAÇÃO OBJETIVOS Gerais Específicos PUBLICAÇÕES E/OU SUBMISSÕES DECORRENTES DA PESQUISA ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO METODOLOGIAS PARA RECONFIGURAÇÃO DE SISTEMA ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÃO MÉTODOS HEURÍSTICOS METAHEURÍSTICA COLÔNIA DE FORMIGAS Inspiração biológica Comparação entre Formigas Reais e Formigas Artificiais Breve histórico Ant System Operador de Pesquisa Local do ACO com Busca Tabu Método de Aceleração do Algoritmo Colônia de Formigas Método de Decaimento Exponencial do Feromônio FLUXO DE CARGA PARA SISTEMAS RADIAIS MÉTODO DA SOMA DE POTÊNCIAS (MSP) MÉTODO SIMPLIFICADO ALGORITMO HÍBRIDO PARA RECONFIGURAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE DISTRIBUIÇÃO ANT SYSTEM PARA RECONFIGURAÇÃO DE REDES Exemplo: Sistema de 5 barras Construção de configurações radiais IMPLEMENTAÇÃO DO ANT SYSTEM ANT SYSTEM COMBINADO COM BUSCA TABU (AS_BT) ANT SYSTEM COMBINADO COM MÉTODO DE ACELERAÇÃO (AS_MA) ANT SYSTEM COM DECAIMENTO EXPONENCIAL DO FEROMÔNIO (AS_DEF) ANT SYSTEM COM FLUXO DE POTÊNCIA SIMPLIFICADO (AS_FS) IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO ALGORITMO AS_HIBRIDO RESULTADO DAS SIMULAÇÕES SISTEMA DE 16 BARRAS SISTEMA DE 33 BARRAS SISTEMA DE 69 BARRAS SISTEMA DE 84 BARRAS CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS... 67

10 ix 6.1 CONSIDERAÇÕES FINAIS PROPOSTAS DE DESENVOLVIMENTOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A DADOS DOS SISTEMAS TESTADOS A1 SISTEMA DE 16 BARRAS A2 SISTEMA DE 33 BARRAS A3 SISTEMA DE 69 BARRAS A4 SISTEMA DE 84 BARRAS... 81

11 x LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1: Rota escolhida pela maioria das formigas Figura 2: Escolha da rota Figura 3: Algoritmo do ACO Figura 4: Estratégia de Busca Local Figura 5: (a) Trilha construída pela formiga k1, (b) Trilha construída pela formiga k2 e (c) Trilhas frequentemente visitadas pelas formigas k1 e k Figura 6: Algoritmo de aceleração combinado com ACO Figura 7: Processo de detecção na redução padrão Figura 8: Comportamento da taxa de evaporação em função de ( 0 = 0,99) Figura 9: Comportamento da taxa de evaporação em função de 0 ( = 50) Figura 10: Convergência do algoritmo sem a utilização do Decaimento Exponencial do Feromônio Figura 11: Convergência do algoritmo utilização o Decaimento Exponencial do Feromônio 24 Figura 12: Ramo de um Sistema de Distribuição Figura 13: Sistema de Distribuição para o exemplo do funcionamento do MSP Figura 14: Estado dos nós e das ligações Figura 15: Escolha aleatória das ligações Figura 16: Fluxograma do gerador de configurações radiais utilizando colônia de formigas. 37 Figura 17: Exploração da colônia de formigas posicionamento inicial Figura 18: Exploração da colônia de formigas - 1 iteração Figura 19: Exploração da colônia de formigas - 2 iteração Figura 20: Exploração da colônia de formigas - 3 iteração Figura 21: Exploração da colônia de formigas - 4 iteração Figura 22: Fluxograma Ant System aplicado ao problema de Reconfiguração Figura 23: Configuração Radial para o Sistema de Distribuição de 16 barras Figura 24: Identificação dos nós de derivação que limitam os ramos que contém as chaves abertas Figura 25: Fluxograma do Algoritmo de Formigas com Busca Tabu Figura 26: Rede de quatro nós de carga e 7 ligações Figura 27: Configurações radiais obtidas da rede inicial Figura 28: Fluxograma do Algoritmo de Formigas com Método de Aceleração... 48

12 xi Figura 29: Fluxograma do AS com Decaimento Exponencial do Feromônio Figura 30: Fluxograma do AS combinado com Fluxo de Potência Simplificado Figura 31: Fluxograma do Algoritmo híbrido AS_hibrido Figura 32: Sistema de 16 barras Configuração inicial Figura 33: Tempo de execução dos algoritmos testados para o Sistema de 16 barras Figura 34: Tensões obtidas para o sistema de 16 barras Figura 35: Sistema de 33 barras Configuração inicial Figura 36: Tempo de execução dos algoritmos testados para o Sistema de 33 barras Figura 37: Tensões obtidas para o sistema de 33 barras Figura 38: Sistema de 69 barras Configuração inicial Figura 39: Tempo de execução dos algoritmos testados para o Sistema de 69 barras Figura 40: Tensões obtidas para o sistema de 69 barras Figura 41: Sistema de 84 barras Configuração inicial Figura 42: Tempo de execução dos algoritmos testados para o Sistema de 84 barras Figura 43: Tensões obtidas para o sistema de 84 barras... 65

13 xii LISTA DE TABELAS Tabela 1: Dados do sistema exemplo Tabela 2: Resultados das iterações Tabela 3: Posições da roleta Tabela 4: Arredondamento da probabilidade nas ligações Tabela 5: Intervalos numéricos para construção da roleta Tabela 6: Vizinhos imediatos das chave abertas Tabela 7: Chaves abertas após a permutação Tabela 8: Contabilizando a frequência de visitas nas ligações Tabela 9: Registro das ligações que alcançaram o limite de visitas nas últimas iterações Tabela 10: Parâmetros de entrada para as simulações computacionais Tabela 11: Resultados obtidos para o sistema de 16 barras Tabela 12: Resultados obtidos para o sistema de 33 barras Tabela 13: Resultados obtidos para o sistema de 69 barras Tabela 14: Resultados obtidos para o sistema de 84 barras... 64

14 xiii LISTA DE ABREVIATURAS ACO: Ant Colony Optmization ACS: Ant Colony System AS: Ant System AS_ANT: Simulated Annealing combinado com algoritmo de formigas AS_BT: Ant System combinado com Busca Tabu AS_DEF: Ant System combinado com Decaimento exponencial do feromônio AS_FS: Ant System combinado com fluxo de potência simplificado AS_HIBRIDO: Ant System híbrido AS_MA: Ant System combinado com Método de Aceleração BT: Busca Tabu DEF: Decaimento Exponencial do Feromônio MA: Método de Aceleração do Ant System MMAS: Máx-Mín Ant System MSP: Método de Soma de Potências MSPC: Método de Soma de Potências Completo MSPS: Método de Soma de Potências Simplificado PREACO: Pattern Reduction Enhanced Ant Colony Optimization PVC: Problema do Caixeiro Viajante RSED: Reconfiguração de sistemas de Elétricos de Distribuição SA: Simulated Annealing SED: Sistema Elétrico de Distribuição

15 1 1 INTRODUÇÃO O Setor Elétrico Brasileiro opera, atualmente, em um modelo no qual as empresas de energia são induzidas a propor estratégias que visem à melhoria da eficiência dos serviços de distribuição, principalmente no que tange a confiabilidade e a redução das perdas. As perdas representam custos adicionais para a empresa de distribuição, custos estes que não podem ser eliminados, mas sim minimizados. Para isto, algumas técnicas podem ser utilizadas, como por exemplo: recondutoramento, instalação de banco de capacitores, elevação da tensão da rede e reconfiguração da rede de distribuição. Dentre estas técnicas, a opção pela reconfiguração é a que exige menor investimento para a empresa distribuidora de energia elétrica, pois permite a utilização de recursos já existentes no sistema, conforme GOMES (2005). Assim, o estudo de Reconfiguração dos Sistemas Elétricos de Distribuição propõe determinar uma topologia da rede elétrica que pode proporcionar não só redução das perdas de potência ativa, mas também o aprimoramento de outros requisitos de desempenho do sistema, tais como (OLIVEIRA, 2009): Balanceamento de carga: permite aliviar alimentadores da rede com carregamento crítico, resultando em redução de perdas, maior confiabilidade e segurança; Isolamento de trechos: a reconfiguração permite o isolamento de um trecho da rede que tenha apresentado defeito permanente; Restabelecimento: consiste no retorno da rede ao estado original após o reparo de um trecho defeituoso, através de realocação de carga; Planejamento da operação: a reconfiguração é uma tentativa a ser considerada para o planejamento visando a determinação da topologia da rede durante o período diário de operação; Planejamento de médio e longo prazo: a reconfiguração permite determinar a topologia em que a rede irá operar no futuro, dentro de um horizonte de planejamento de 5 a 10 anos; Planejamento de manutenção: a manutenção de linhas de distribuição implica na retirada temporária de serviço destas linhas, através do isolamento do trecho correspondente;

16 2 Aumento das margens de carregamento: a reconfiguração permite o aumento da margem de carregamento dos Sistemas Elétricos de Distribuição (SED), contribuindo para a melhoria da estabilidade de tensão nestes sistemas; Continuidade e qualidade: a confiabilidade e a qualidade do serviço de distribuição de energia elétrica consideram a continuidade do fornecimento deste insumo. De uma forma geral, a reconfiguração dos Sistemas Elétricos de Distribuição (SED) pode ser usada como uma ferramenta de planejamento e/ou de controle em tempo real da operação do sistema. A operação online requer respostas rápidas para que possam ser tomadas as devidas ações de controle no comando automático dos sistemas. Visa-se a restauração dos serviços pelo isolamento de zonas de fornecimento com defeitos do tipo curto-circuito ou mesmo um balanceamento de carga com o propósito de reduzir as perdas. Já no planejamento da operação o tempo de obtenção das respostas não assume um papel tão importante quanto no caso anterior. No planejamento da operação buscam-se configurações com vistas a obter uma estratégia ótima de operação com minimização de perdas, atendimento da demanda diária com boa qualidade de serviço (perfil adequado da magnitude das tensões, confiabilidade etc). Além da redução dos custos de operação (MANTOVANI et al., 2000). 1.1 O PROBLEMA DA RECONFIGURAÇÃO DE SED A reconfiguração da rede é um problema que envolve a modificação do estado (aberto-fechado) das chaves de interligação, de forma a modificar a topologia da rede. Tratase portanto, de um problema combinatorial 1 e sujeito às restrições operacionais e de cargas. A dimensão do espaço de busca, incluindo configurações factíveis e não factíveis, vai depender do número de chaves manobráveis e pode ser determinado pela relação 2 n, onde n representa o número de chaves envolvidas na busca de uma configuração ótima. É possível verificar por essa relação combinatória que quanto maior o número de chaves manobráveis mais complexa e difícil se torna a resolução do problema. O crescimento do número de possibilidades é denominado explosão combinatorial. Além disso, vale ressaltar que algumas destas configurações não são permitidas, ou porque levam a um sistema desconectado com várias ilhas ou a sistemas não radiais. Outras ainda não são factíveis, por violarem as restrições operacionais e de carga do problema (AMASIFEN et al., 2005; GOMES, 2005; DELBEM, 2002, apud PEREIRA, 2010). 1 É um problema que possui um conjunto finito de soluções viáveis, porém pode ser muito grande.

17 3 Devido a estes fatores, a busca examinando-se todas as configurações possíveis torna o processo oneroso e inviável para sistemas reais (MANTOVANI et al., 2000). Um dos primeiros trabalhos sobre reconfiguração de redes de distribuição com objetivo de minimizar as perdas técnicas 2 foi apresentado por Merlin & Back (1975), utilizando a técnica de otimização discreta conhecida na literatura como Branch and Bound 3. Entretanto, sua aplicação para sistemas reais não é tão simples devido ao alto esforço computacional exigido (GOMES, 2005). Pesquisas têm sido feitas para se encontrar métodos que resolvam o problema de reconfiguração de forma a proporcionar um esforço computacional cada vez menor. Com este intuito, é possível encontrar na literatura alguns trabalhos que utilizam diferentes técnicas e métodos de inteligência artificial 4 aplicados a reconfiguração de redes. Alguns métodos podem ser citados, como por exemplo, Simulated Annealing (CHANG & KUO, 1994), algoritmo genético (AMASIFEN et al., 2005), Colônia de formigas (SU et al., 2005) e Busca Tabu (ABDELAZIZ et al., 2010). Dentre estes métodos, o Algoritmo Colônia de Formigas ou ACO (Ant Colony Optmization) vem se destacando devido a sua eficiência em resolver problemas de reconfiguração de redes. Nas últimas décadas, modificações no método vêm sendo propostas no intuito de viabilizar a sua aplicação para sistemas de grande porte. Algumas destas técnicas perpassam pela utilização de métodos eficientes de eliminar redundâncias computacionais, utilização de um método simplificado de fluxo de potência, aplicação de um método de pesquisa local e uso de estratégias que impeçam a convergência prematura do ACO. Assim, o principal desafio consiste em melhoria da qualidade da solução e na redução do esforço computacional. 1.2 PROBLEMATIZAÇÃO Em relação à utilização do Algoritmo Colônia de Formigas para resolver o problema de Reconfiguração de Sistemas Elétricos de Distribuição surgem os seguintes questionamentos: Como reduzir o esforço computacional sem proporcionar degradação da 2 É a energia ou demanda que se perde durante seu transporte. 3 É um algoritmo para encontrar soluções ótimas em problemas de otimização, especialmente em otimização combinatória. 4 São dispositivos computacionais que possuam ou multipliquem a capacidade racional do ser humano de resolver problemas.

18 4 qualidade da solução? Quais melhoramentos podem ser obtidos no algoritmo utilizando a Busca Tabu como método de pesquisa local? Como minimizar o efeito da convergência prematura? 1.3 OBJETIVOS Gerais Contribuir para o estudo da reconfiguração ótima de redes em Sistemas Elétricos de Distribuição, utilizando modelo híbrido de otimização por Colônia de Formigas com Busca Tabu, tendo em vista a redução do esforço computacional e a obtenção de boas soluções para o problema Específicos Analisar as características da Reconfiguração Ótima dos Sistemas Elétricos de Distribuição; Estudar o método heurístico ACO e suas variantes; Pesquisar métodos que diminuam o custo computacional do Algoritmo Colônia de Formigas; Analisar o algoritmo Busca Tabu para executar pesquisa local no ACO; Descrever o fluxograma do algoritmo híbrido; Pesquisar dados para os Sistemas Elétricos de Distribuição a fim de realizar as simulações; Implementar os algoritmos propostos utilizando o ambiente de programação do Matlab; Realizar as simulações; Analisar os resultados. 1.4 PUBLICAÇÕES E/OU SUBMISSÕES DECORRENTES DA PESQUISA SANTOS NETO, M. P.; FERREIRA, N. R. Reconfiguração de Sistemas Elétricos de Distribuição Utilizando Colônia de Formigas Combinado com Busca Tabu. In:

19 5 V Simpósio Brasileiro de Sistemas Elétricos-SBSE 2014, Foz do Iguaçu PR, SANTOS NETO, M. P.; FERREIRA, N. R. Reconfiguração de Sistemas Elétricos de Distribuição Utilizando Algoritmo de Formigas com Método de Aceleração. In: V Simpósio Brasileiro de Sistemas Elétricos-SBSE 2014, Foz do Iguaçu - PR, SANTOS NETO, M. P.; SANTOS, L. L.; FERREIRA, N. R. Reconfiguração de Sistemas Elétricos de Distribuição Utilizando Simulated Annealing Combinado com Algoritmo de Formigas. In: V Simpósio Brasileiro de Sistemas Elétricos- SBSE 2014, Foz do Iguaçu - PR SANTOS NETO, M. P.; FERREIRA, N. R. Ant System rápido com Busca Tabu Aplicado à Reconfiguração de Sistemas Elétricos de Distribuição. In: XX Congresso Brasileiro de Automática 2014, Belo Horizonte MG, (Aceito para publicação) 1.5 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO Este trabalho está estruturado da seguinte maneira: o Capitulo 1 apresenta a introdução, o Capítulo 2 apresenta metodologias que podem ser utilizadas para reconfiguração de sistemas elétricos de distribuição, os principais conceitos relacionados à meta-heurística ACO, além de uma análise das estratégias fundamentais para entendimento do algoritmo híbrido proposto; o Capítulo 3 apresenta o método para cálculo do fluxo de potência; o Capítulo 4 apresenta a construção dos algoritmos combinados com as diversas estratégias, culminando com a implementação do AS_hibrido; o Capítulo 5 apresenta os resultados obtidos para os sistemas experimentais que foram adotados, bem como as comparações com outros resultados obtidos na literatura; e, finalmente, o Capítulo 6 apresenta as conclusões obtidas decorrentes dos resultados alcançados no presente trabalho, assim como tópicos promissores para propostas de trabalhos futuros.

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21 7 2 METODOLOGIAS PARA RECONFIGURAÇÃO DE SISTEMA ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÃO Os métodos de otimização baseiam-se na utilização de técnicas que tem por escopo a otimização de alguma(s) função(ões) objetivo sujeito(s) a um conjunto de restrições. Os problemas de otimização podem ser classificados em determinísticos (método clássico) e não-determinísticos. O modelo é dito determinístico sempre que para um determinado conjunto de dados de entrada se produz a mesma solução. São baseados nos cálculos de derivadas de primeira e segunda ordem ou de uma aproximação dessas derivadas. Possuem como limitações (MEDEIROS & KRIPKA, 2012): Dificuldades em identificar soluções ótimas globais, pois são dependentes do ponto de partida; Dificuldade de trabalhar com variáveis discretas; Dificuldade de operar com funções não diferenciáveis; Necessidade de que a função objetivo seja contínua e diferenciável no espaço de busca. O modelo é dito não-determinístico se para um mesmo conjunto de dados de entrada é possível produzir soluções distintas, pois procuram imitar fenômenos ou processos encontrados na natureza, ou seja, são compostos por um conjunto de regras e métodos que conduzem à resolução relativamente rápida de problemas complexos, mas não asseguram que esta seja a melhor. Com isso, obtêm-se ganhos em termos da eficiência computacional em detrimento da precisão das respostas encontradas. Usam somente a avaliação da função objetivo e introduzem no processo de otimização dados e parâmetros estocásticos 5, além de não empregar o cálculo de derivadas, mas sim atuam diretamente na busca das soluções no espaço viável (MEDEIROS & KRIPKA, 2012). Em problemas de reconfiguração, devido à natureza discreta (chave aberta-fechada) e à possibilidade de explosão combinatorial inerente ao modelo, a resolução do mesmo por técnicas de otimização determinística torna-se pouco atraente, dando espaço para algoritmos não-determinísticos baseados em heurísticas (PEREIRA, 2010). 5 São parâmetros que tem origem em eventos aleatórios.

22 8 2.1 MÉTODOS HEURÍSTICOS Os métodos heurísticos podem ser definidos como sendo técnicas de procura por boas soluções em um problema de otimização a um custo computacionalmente compensatório (FRAGA, 2006). Os métodos heurísticos podem ser classificados em: (FRAGA, 2006) Heurísticas construtivas (MCDERMOTT et al., 1999) As soluções são construídas elemento a elemento, seguindo algum critério de classificação, até que se tenha uma solução viável; Heurísticas de refinamento (CHAVES et al., 2012) Partem de uma solução inicial viável qualquer e tentam melhorá-la através de operações diversas, até que não seja mais possível ou exista algum outro critério de parada; Heurísticas hibridas (ZHOU & DENG, 2009) Combinam estratégias de duas ou mais heurísticas; Metaheurísticas (OLIVEIRA, 2009) É um método heurístico utilizado para resolver de forma genérica problemas de otimização. Utilizam combinação de escolhas aleatórias e conhecimento histórico dos resultados anteriores adquiridos pelo método para se guiarem e realizar suas buscas pelo espaço de pesquisa em vizinhanças dentro do espaço de pesquisa, o que evita paradas prematuras em ótimos locais. Podem ser classificados com base na forma de exploração do espaço de soluções, em pelo menos duas categorias: Busca local É feita através de movimentos aplicados sobre a solução corrente, em busca de uma outra solução de melhor qualidade em sua vizinhança; Busca populacional Armazena um conjunto de boas soluções e as combina de formas diversas. Esta combinação tenta reunir os bons atributos presentes nas soluções e gerar uma outra ainda melhor. Por se tratar de um método promissor, na literatura é possível encontrar muitos trabalhos que utilizam as metaheurísticas para resolver problemas combinatoriais, como em Dorigo et al. (1996) com o Ant System, Chiang e Jean-Jumeau (1990) com o Simulated Annealling, Choi e Kim (2000) com o Genetic Algorithm, Fraga (2006) com o Tabu Search.

23 9 2.2 METAHEURÍSTICA COLÔNIA DE FORMIGAS Conforme Bonebeau et al. (1999, apud FRAGA, 2006) a otimização por Colônia de Formigas ou ACO (Ant Colony Optmization) é uma metaheurística que busca, através de formigas artificiais, possíveis resultados, ótimos ou próximos deste, no contexto de um dado problema. São considerados um dos algoritmos mais bem sucedidos de inteligência coletiva, por possuir um elevado nível de organização e tem sido aplicado em diversas classes de problemas combinatoriais, como no problema do caixeiro viajante (DORIGO, 1992), problema quadrático de alocação (MANIEZZO & COLORNI, 1999), problemas de agendamento scheduling (COLORNI et al., 1994), roteamento de veículos (BULLNHEIMER et al., 1999), roteamento de redes (BONABEAU et al., 1998), coloração de grafos (COSTA & HERTZ, 1997). Em sistemas elétricos, podem-se citar algumas de suas aplicações como alocação de banco de capacitores (CHANG, 2008), alocação de chaves de manobras (TSENG & LIU, 2002), alocação de unidades geradoras (SISHAJ et al., 2006), despacho econômico (HOU et al., 2002), fluxo de carga (VLACHOGIANNIS et al., 2005), planejamento de circuitos primários (GOMEZ et al., 2004) e reconfiguração de Sistemas Elétricos de Distribuição (SU et al., 2005). Para se aplicar o método Ant Colony Optimization (ACO) a algum problema de otimização combinatorial, é necessário que o mesmo possa ser descrito por um conjunto de pontos adjacentes por onde os agentes possam se movimentar. No caso de Reconfiguração de Sistemas Elétricos de Distribuição, estes pontos representam as barras do sistema e as arestas que interligam estes pontos são as linhas de distribuição (PEREIRA, 2010) Inspiração biológica A observação do comportamento coletivo e o alto padrão de organização das formigas, na natureza, chamam a atenção dos pesquisadores. Isso porque, em seu habitat natural, as formigas sempre conseguem descobrir o menor caminho entre o formigueiro e uma fonte de alimento. Observou-se que para alcançar este objetivo, elas utilizam da cooperação e de um mecanismo de comunicação indireta chamada feromônio (SOUZA et al., 2010).

24 10 A Figura 1 ilustra o comportamento das formigas em busca da fonte de alimento. Na figura (desde (a) até (c)), nota-se como a quantidade de feromônio (representada por linhas tracejadas) sobre os caminhos aumenta conforme as formigas se deslocam. Figura 1: Rota escolhida pela maioria das formigas. (Do próprio autor) Este comportamento pode ser descrito conforme FRAGA (2006) e PEREIRA (2010) da seguinte forma: Inicialmente as formigas exploram aleatoriamente a área ao redor do formigueiro à procura de comida. Enquanto se deslocam depositam sobre o solo uma substância volátil chamada feromônio, que as auxiliam em sua exploração. Desta forma, a trilha ou caminho estabelecido pela formiga ficará marcado por um rastro dessa substância química. Quando esta descobre uma fonte de alimento, retorna à colônia seguindo este caminho, reforçando o depósito de feromônio; As formigas que percorreram o menor caminho até a fonte de alimento, retornam à colônia antes daquelas que escolhem caminhos mais longos. Portanto, o caminho de menor comprimento possuirá uma maior concentração de feromônio que as demais e, consequentemente, atrairá um número maior de formigas. As demais formigas sentem a presença da substância química no solo e tendem a escolher o caminho com maior concentração, reforçando o feromônio sobre ele;

25 11 Com o tempo, o feromônio sofre processo de evaporação e a concentração dessa substância nos caminhos pouco visitados ou não utilizados vão diminuindo, evitando que estes continuem a influenciar na decisão das formigas Comparação entre Formigas Reais e Formigas Artificiais Segundo Dorigo et al. (1999) e Payá-Zaforteza et al. (2010), As formigas artificiais criadas para o algoritmo proposto possuem muitas semelhanças e diferenças com relação às formigas reais encontradas na natureza. Entre as semelhanças encontradas destacam-se: Cooperação entre os indivíduos da colônia: Tanto na natureza quanto no mundo virtual as formigas cooperam entre si através da deposição e remoção do feromônio; Trilha de feromônio: O feromônio depositado pelas formigas atuam nas duas realidades, modificando o ambiente e, consequentemente, fixando o aprendizado gerado pelas formigas; A busca por caminhos mais curtos: As formigas virtuais ou reais partilham alguns objetivos em comum, como encontrar o caminho mais curto; Inteligência/coletividade: Nas duas realidades, a inteligência é obtida através da coletividade, pois o comportamento individual é insuficiente ou aleatório; Comportamento estocástico A forma probabilística é característica às duas realidades. Entretanto as formigas artificiais possuem algumas características que não são encontradas nas formigas reais. Sendo assim, Dorigo et al. (1999) destaca: Natureza do movimento: Nas formigas reais, os movimentos são contínuos, enquanto nas artificiais são discretos; Memória: As formigas reais não possuem uma estrutura de memória como no caso das virtuais, que as impeça de realizar movimentos; Feromônio: O depósito de feromônio no mundo artificial ocorre com base na qualidade da solução encontrada.

26 Breve histórico A ideia surgiu com Marco Dorigo et al. (1996), por meio do algoritmo Ant System (AS), utilizado, inicialmente, para resolver o problema do caixeiro viajante, por ser de natureza NP-difícil 6, ou seja, para solução de problemas combinacionais, e, portanto, para um domínio de variáveis discretas (FRAGA, 2006). A principal característica do Ant System é a atualização (incremento) do feromônio ao final de cada ciclo somente para os agentes que conseguiram construir uma solução completa, ou seja, uma rota/caminho interligando todas as cidades (problema do caixeiro viajante) (PEREIRA, 2010). A partir deste algoritmo, variantes do método foram propostos com o objetivo de melhorar o desempenho do AS (REBELO, 2008). A primeira melhoria introduzida, tendo como base o AS, foi chamada de estratégia elitista. Consistia em dar um reforço adicional de feromônio aos arcos pertencentes à melhor solução global (STÜTZLE & HOOS, 2000). Outra importante melhoria feita no algoritmo AS foi a chamada AS rank. Nela a cada iteração, as formigas são classificadas de acordo com sua performance e apenas uma fração das melhores formigas poderá depositar feromônio (BULLNHEIMER et al., 1999). Outra modificação do algoritmo AS padrão foi chamada de MAX-MIN Ant System (MMAS). A principal característica é evitar a rápida convergência dos resultados e/ou a possibilidade que a busca fique presa em ótimos locais. A estratégia do algoritmo é introduzir limites máximos e mínimos à quantidade de feromônio presentes nos arcos (STÜTZLE & HOOS, 2000). Uma importante modificação realizada no algoritmo AS padrão é chamada de Ant Colony System (ACS). Esta versão do ACO possui como diferencial, o fato de introduzir a atualização local do feromônio. Esta atualização é feita sempre ao final de cada transição do agente (STÜTZLE & HOOS, 2000). 6 São os problemas não-polinomiais em que não se conhece uma solução determinística capaz de ser executada em tempo polinomial.

27 Ant System Para entender o funcionamento do método ACO, a seguir é apresentado a formulação do algoritmo Ant System aplicado ao problema do caixeiro viajante (PCV). Na construção da rota, cada formiga deve escolher um caminho, dentre as possibilidades de trilhas, tendo como base o seu conhecimento individual (distância entre as cidades) e coletivo (quantidade de feromônio depositado nas ligações), conforme Figura 2. A cada iteração o conhecimento coletivo é atualizado. Figura 2: Escolha da rota (Do próprio autor) A escolha, então, deve ser feita de forma probabilística. Com isso, a probabilidade de um agente k que se encontra em uma cidade j, possuindo Ψ (conjunto de cidades vizinhas de j que não foram visitadas pelo agente k), visitar uma cidade z utilizando uma determinada trilha é dada pela equação de transição (1): P k jz jz jz, jl jl l 0 se z se z (1) onde P k jz é a probabilidade do agente k visitar uma cidade z utilizando a trilha jz; τ jz é a quantidade de feromônio sobre a trilha jz; η jz é uma informação heurística dada pelo inverso da distância entre as cidades jz; α e β os pesos atribuídos ao feromônio e a informação

28 14 heurística, respectivamente e j compreende a cidade onde a formiga se encontra em um determinado instante (PEREIRA, 2010). Com base na equação (1) é possível verificar que a probabilidade de escolha de um caminho é proporcional ao rastro de feromônio e a atratividade 7 do mesmo. Em uma rápida análise dos pesos, α e β, que podem ser atribuídos à quantidade de feromônio e à informação heurística, respectivamente, é possível verificar que se α=0, então será considerado apenas a distância entre as cidades, podendo proporcionar soluções de baixa qualidade. Por outro lado, se for considerado β=0, estaria levando em consideração apenas a quantidade de feromônio, o que poderia causar uma convergência prematura do método. Em ambos os casos, as rotas encontradas poderiam não ser ótimas (BONABEAU; DORIGO; THERAULAZ, 1999, apud PEREIRA 2010). Após os agentes completarem um ciclo, as rotas interligando todas as cidades terão o feromônio atualizado sobre os seus caminhos, conforme equação (2), também conhecida como atualização global. Na ( jz) (1 ) ( jz) k jz k 1 Obedecendo ao critério estabelecido na equação (3): (2) Q, seo agente k utilizou a conexão jz nasuarota D k k (3) jz 0, caso contrário Onde ρ (0, 1] é a taxa de evaporação do feromônio, N a é o número de formigas, é a quantidade de feromônio deixada pelo agente k no percurso da rota jz, Q é um parâmetro definido empiricamente de acordo com as características do problema e D k é o comprimento da rota construída pelo agente k. A taxa de evaporação é utilizada para remover parte do feromônio, reduzindo a quantidade da substância nos arcos. Isso evita que as formigas fiquem presas em ótimos locais 7 Característica que determina a capacidade das trilhas em atrair as formigas, representado pela informação heurística.

29 15 e, ao mesmo tempo, diminui a probabilidade de escolha de arcos que não foram atualizados recentemente (FRAGA, 2006). O cálculo da informação heurística para o caso do caixeiro viajante pode ser determinada fazendo: 1 (4) jz d jz Onde d jz é a distância entre as cidades interligadas pela ligação jz. A atualização tem como objetivo concentrar a pesquisa em regiões do espaço de busca com distâncias reduzidas. Figura 3: De forma geral, o pseudocódigo do ACO pode ser resumido conforme algoritmo da 1. Inicializar parâmetros e matrizes 2. Enquanto a condição não for satisfeita faça 3. s = Construir soluções 4. τ = Atualizar feromônio 5. Pesquisa local 6. End 7. Retornar solução Figura 3: Algoritmo do ACO (TSENG et al., 2010) Uma vez que as soluções foram construídas, podem-se aplicar ações opcionais chamadas busca local (TSENG et al., 2010) Operador de Pesquisa Local do ACO com Busca Tabu De um modo geral, a busca local no ACO pode ser usada de forma opcional para melhorar a qualidade da solução. A estratégia é ilustrada na Figura 4. O principal inconveniente das buscas locais é a estagnação em ótimos locais (uma solução que é melhor que qualquer da sua vizinhança) e assim a solução atual fica presa em sua vizinhança. Então surgem três principais formas de sair desta situação (ZVIETCOVICH, 2006):

30 16 Voltar e começar a busca a partir de outra solução inicial É adequado naqueles casos em que os ótimos locais se distribuem aleatoriamente no espaço de soluções. Porém, em muitos casos se observa que os ótimos locais tendem a concentrar-se em pequenas regiões no espaço de soluções, o que dificulta a obtenção da solução ótima; Permitir movimentos de deterioração da solução atual Essa estratégia consiste em aceitar soluções correntes que sejam piores que a melhor solução atual segundo algum critério de aceitação pré-estabelecido; Modificar a estrutura da vizinhança Consiste na utilização de alguma metaheurística com o objetivo de melhorar o algoritmo de busca local, evitando que o procedimento fique preso em um ótimo local. Nos últimos anos a metaheurística Busca Tabu vem se destacando, dentre as heurísticas de melhoramento, por se mostrar um método eficiente, dotado de memória adaptativa de curto e longo prazo (GUIMARÃES & CASTRO, 2005). Início Solução inicial Si fornecida por algum algoritmo de construção. Encontrar Sv correspondente a melhor solução da vizinha de Si. Sv ϵ N(Si) Sv é melhor que Si? sim Si = Sv não Fim Figura 4: Estratégia de Busca Local (Tseng et al., 2010) O algoritmo de Busca Tabu (BT) é um procedimento adaptativo, utilizado em conjunto com outros métodos heurísticos, os guiando para a superação das limitações dos ótimos locais, ou seja, oferece uma exploração contínua dentro de um espaço de busca, além

31 17 de forçar o algoritmo a explorar novas áreas, evitando a convergência prematura em ótimos locais. Tem a sua forma básica estruturada nas ideias de Glover (1989, 1990) e é baseado em procedimentos heurísticos 8 que permitem explorar o espaço de busca e encontrar novas soluções além daquelas encontradas em uma busca local. A BT consiste de movimentos que partem de uma solução corrente em busca de outras soluções até que o critério de parada seja satisfeito. Cada solução x dentro do espaço de busca Y (x ϵ Y), tem uma solução vizinha N(x), tal que N(x) Y, e cada solução vizinha x ϵ N(x) é alcançado partindo de x por uma operação chamada movimento. Usualmente os sistemas de distribuição operam na forma radial por serem mais econômicos e mais simples de serem projetados. Com isso, uma solução para este problema x pertencente ao espaço de busca Y (x ϵ Y) deve incluir a restrição da radialidade. A restrição da radialidade é um problema de difícil representação matemática e, por isso deve ser tratado adequadamente tendo o intuito de não gerar esforço computacional excessivo devido às verificações de radialidade, ou seja, deve possuir um método eficiente de gerar novas soluções que sempre sejam radiais. Segundo Guimarães e Castro. (2005), o algoritmo BT é diferente de um algoritmo de busca local, pois permite o uso inteligente do histórico da pesquisa para influenciar os seus procedimentos de busca do futuro, devido à diversificação do procedimento. Esta estratégia é obtida por meio do uso de uma memória constituída por duas listas que podem ser: Lista Tabu É a memória de curto prazo, onde contêm as soluções recentemente visitadas. Assim, quando novas soluções surgem e são melhores que as armazenadas anteriormente, a solução armazenada é retirada da memória e armazenada a nova solução; Lista Elite É a memória de longo prazo, onde são armazenadas as melhores soluções visitadas. Durante a procura por um ótimo global, o algoritmo mantém duas listas: Lista Elite (memória de longo prazo) e Lista tabu (memória de curto prazo). As melhores soluções visitadas são armazenadas na Lista Elite. A Lista Tabu contém as soluções recentemente visitadas. Todas as vezes que uma nova solução ou um movimento é feito, ele é comparado com as soluções gravadas na Lista Tabu. Se a nova solução está na Lista Tabu ela é 8 Um algoritmo é heurístico quando utiliza a intuição a respeito do problema e de sua estrutura para resolvê-lo de forma rápida.

32 18 considerada ilegal e então é descartada. Esta estratégia impede o retorno a configurações anteriormente visitadas evitando ciclagem. As soluções são mantidas na Lista Tabu durante um certo número de operações conhecido com Período Tabu. À medida que as iterações prosseguem, soluções antigas são apagadas da Lista Tabu enquanto as novas são incorporadas nela. Em alguns casos o número de configurações vizinhas pode ser muito grande, e avaliar a função objetivo de cada uma dessas configurações para encontrar aquela que apresente melhor desempenho, pode demandar um elevado esforço computacional. Por isso, pode ser utilizada a estratégia de diminuir o tamanho da vizinhança, ou da lista de configurações candidatas, visando diminuir este esforço. A definição e caracterização eficiente da vizinhança de uma configuração proporcionam que a busca continue além do mínimo local, permitindo movimentos que não aprimoram o valor da função objetivo, além de modificações na estrutura da vizinhança de soluções subsequentes, entretanto isso depende do problema Método de Aceleração do Algoritmo Colônia de Formigas A constante busca pelo melhoramento do método ACO atrai, cada vez mais pesquisadores, a estudar estratégias que possam ser incorporadas a este algoritmo com o objetivo de reduzir o esforço e o tempo computacional. Nesse intuito, (TSENG et al., 2010) apresentou um algoritmo de aceleração aplicado ao problema do caixeiro viajante que, incorporada ao ACO, possibilita a diminuição da redundância de cálculos durante o processo de convergência e,consequentemente, redução significativa no tempo computacional. A proposta do algoritmo é motivada pela observação de que trilhas que possuem pouca tendência de modificar durante o processo de formação, podem ser consideradas como parte das soluções finais e, portanto, podem ser comprimidos e removidos para eliminar a redundância computacional nas iterações posteriores (TSAI et al., 2009). A Figura 5 mostra um exemplo de redundância de movimentos que podem ocorrer durante a iteração N de duas formigas k1 e k2 (TSENG et al., 2010). Para o problema do caixeiro viajante, numa excursão de 5 cidades, realizadas por duas formigas, a Figura 5 mostra em (a) a exploração da formiga k1, construindo o caminho , enquanto em (b) a formiga k2 em sua exploração constrói o caminho e

33 19 finalmente em (c) temos a trilha 1-4 e 2-5 sendo usadas pelas duas formigas. O ideal seria não repetir a rotina de cálculos, ou seja, se a ligação for frequentemente visitada, então pode ser ocultada do espaço de busca para evitar redundância computacional (TSENG et al., 2010). Figura 5: (a) Trilha construída pela formiga k1, (b) Trilha construída pela formiga k2 e (c) Trilhas frequentemente visitadas pelas formigas k1 e k2. Adaptado de (TSENG et al., 2010) O algoritmo de aceleração tem por objetivo identificar estas ligações visando redução do tempo computacional. O algoritmo pode ser visto na Figura 6: 1. Inicializar parâmetros e matrizes 2. Enquanto a condição não for satisfeita faça 3. s = Construir soluções 4. τ = Atualizar feromônio 5. Pesquisa local 6. Redução padrão 7. End 8. Retornar solução Figura 6: Algoritmo de aceleração combinado com ACO. (TSENG et al., 2010) Comparando o algoritmo apresentado na Figura 6 com o algoritmo padrão do ACO Figura 3, verifica-se a introdução de uma rotina na linha 6, chamada Redução Padrão. O procedimento do algoritmo de redução padrão é composto por três operações, conforme (TSAI et al., 2013): Detecção: Tem a responsabilidade de detectar as subsoluções que possuem a tendência de não serem modificadas, devido ao fato destas arestas estarem sendo visitadas com maior frequência; Compressão: Responsável por armazenar as subsoluções detectadas pelo procedimento anterior;

34 20 Remoção: Responsável por retirar as subsoluções detectadas e comprimidas nos procedimentos anteriores, do espaço de busca do AS. O operador de detecção é responsável pela identificação das ligações que possuem alta probabilidade de fazer parte da solução final. A Figura 7 mostra o algoritmo de redução padrão: 1. % Registrar o número de vezes que cada ligação é atravessada 2. Para i=1:n 3. υ jz υ jz Fim para i 5. % Fazer as ligações atravessadas ω ou mais vezes como comuns 6. Para cada ligação e jz 7. Se υ jz ω 8. ζ jz 1 9. Fim se 10. Fim para Figura 7: Processo de detecção na redução padrão. (TSENG et al., 2010) Onde n é o comprimento da solução, υ é a matriz registradora de visitas das formigas, ω é o limite usado para determinar se uma ligação e jz pode ser comprimida, ζ é a matriz registradora das ligações que alcançaram o limite de visitas (ligações comuns). O limite ω pode ser estabelecido pela quantidade de formigas m que atravessam uma determinada ligação em um determinado intervalo de iterações π, ou seja, para uma quantidade π de iterações é verificado quais ligações alcançaram o limite ω de visitas. Modificando os parâmetros m e π poderemos estabelecer o limite adequado para melhor eficiência do algoritmo. Dessa forma, quanto menor o valor de ω mais rápido o algoritmo AS converge, por outro lado, pode proporcionar redução da qualidade da solução. (TSENG et al., 2010). O registro de quantas vezes cada ligação é atravessada pelas formigas é feita por meio da matriz υ, como mostrado nas linhas 2 à 4. A atualização desta matriz é feita a cada expedição do algoritmo AS até que se atinja o intervalo π iterações. Atingido o limite de iterações, a matriz υ será inicializada para nova contabilização de visitas, ou seja, o intervalo de iterações (π) é um parâmetro estabelecido para inicialização da contabilização de visitas nas ligações dado pela matriz υ. Para cada expedição do AS, a matriz υ é analisada para verificar quais ligações alcançaram o limite pré-estabelecido ω de visitas. Se uma ligação da matriz υ possuir um

35 21 número de visitas maior ou igual ao limite pré-estabelecido ω, então esta ligação será considerada uma das componentes da solução do problema. O registro das ligações que alcançaram o limite ω é realizado por meio da matriz ζ, de forma que, se υ jz for maior que ω, então ζ jz 1, como descrito nas linhas 6 à 10. Uma vez conhecida a matriz ζ, o próximo passo é comprimir e remover estas subsoluções. O primeiro e importante passo é modificar o cálculo da probabilidade expresso na equação (1), para garantir que o AS sempre selecione a ligação que tenha alcançado ζ jz 1, por esta ter uma alta probabilidade de ser parte da solução final (TSENG et al., 2010; TSAI et al., 2013). Dessa forma, o método de cálculo da probabilidade do ACO expresso pela equação (1) deve ser modificado, como mostrado na equação (5): P k jz 1, jz jz, jl jl l 0, jz 1 se z se z (5) Esta modificação, mostrada na equação (5), garantirá que o ACO sempre escolherá a ligação jz comum, se, e assim ter uma alta probabilidade de ser uma solução parcial. Ou em outras palavras, o algoritmo será forçado a selecionar uma determinada ligação jz para ser a próxima subsolução se (TSENG et al., 2010; TSAI et al., 2013) Método de Decaimento Exponencial do Feromônio Em SHERAFAT et al. (2008) é proposto uma modificação na forma de evaporação do feromônio depositado pelas formigas durante a execução do algoritmo. O método está baseado em utilizar uma função exponencial na equação (2). A escolha pela função exponencial é bastante propícia, devido à possibilidade de gerar valores da taxa de evaporação compreendidos no intervalo [0,1] com velocidade de crescimento controlado para evitar a convergência prematura. A modificação da taxa de evaporação é calculada pela equação (6).