Semicondutores. CF086 - Introdução a Física do Estado Sólido 1

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1 Semicondutores CF086 - Introdução a Física do Estado Sólido 1

2 Introdução Vimos que um dado sólido pode apresentar bandas de energia, que podem estar totalmente vazias, totalmente preenchidas ou parcialmente preenchidas. 2

3 Introdução Isolante em T = 0: bandas vazias ou totalmente preenchidas. A última banda preenchida num isolante está separada da banda vazia imediatamente superior por um gap. Num isolante, o gap é alto ( > 3 ev) e a resistividade elétrica também (ρ Ω m). 3

4 Introdução Para gaps da ordem de alguns décimos de ev até 3 ev, temos semicondutores. As resistividades são menores (ρ Ω m) (para metais, ρ 10 8 Ω m). 4

5 Introdução Por causa do gap menor, quando T 0 há uma probabilidade de ocupação dos estados maior, de modo que os elétrons que atravessam o gap é um pouco maior material conduz para T 0. 5

6 Introdução Outra grandeza importante é a densidade de portadores. Vamos comparar os comportamentos para isolantes e condutores. 6

7 Introdução Densidade de estados para elétrons livres (3D): D ε = 2m ħ V 4π 2 ε1 2 D(ε) fornece o número de estados, mas não diz se ele está ocupado. Distribuição de Fermi-Dirac f ε = 1 e β ε μ + 1 f ε, T = 0 = ቊ 1, ε < μ 0, ε > μ 7

8 Introdução Número médio de elétrons: D ε f(ε). Em metais, T = 0: banda semipreenchida. Os níveis são preenchidos até uma energia máxima: energia de Fermi E F. 8

9 Introdução Quando T 0: D(ε) é o mesmo, mas f(ε) muda em torno de E F = μ(t = 0), na faixa ±2k B T em torno de E F. Os elétrons excitados termicamente dão origem à corrente elétrica. Para metais, ocorre excitação em qualquer T. Estimativa do número relativo de elétrons: ΔN T /N 1 % (T = 300 K, quadro). 9

10 Semicondutores A ideia é similar para semicondutores e isolantes. As bandas são separadas por um gap. Última banda preenchida: banda de valência (BV). Banda vazia superior à BV: banda de condução (BC). Diferença entre o topo da BV e a base da BC: gap E g. 10

11 Semicondutores Potencial químico μ(t), ou nível de Fermi: próximo ao meio do gap, varia pouco com T (veremos depois). μ(t) regula o fluxo de partículas (Termodinâmica). D ε = 0 no gap. Não é dada apenas por D ε ε

12 Semicondutores Para T = 0, f ε = 0 se ε > μ(0). Logo, f ε = 0 para ε > E g. Não há elétrons de condução. Para T > 0, f(ε) permite alguns elétrons na BC. Estimativa (T = 300 K, quadro): ΔN/N 10 52, E g = 6 ev. ΔN/N 10 9, E g = 1 ev. 12

13 Semicondutores Note que, quando T cresce, o número de elétrons excitados termicamente cresce, e a condutividade aumenta. Esse comportamento é oposto ao exibido por metais, onde ρ cresce com T (e a condutividade decresce). Em metais, σ met = e2 m N V τ el e τ el diminui com T, pois há mais colisões. Semicondutores têm coeficientes de temperatura para a resistividade negativos propriedade que os fez se destacarem no séc. XIX. 13

14 Semicondutores A excitação térmica pode fazer com que elétrons passem da BV para a BC. Essa é a origem da condutividade intrínseca do semicondutor. Semicondutor intrínseco: condutividade é dominada por efeitos térmicos. 14

15 Semicondutores Ao excitar um elétron da BV para a BC, a BV fica com a ausência de um elétron. A BV estava totalmente preenchida. Assim, o momento total dela era nulo. Não há movimento ordenado de cargas ao aplicar um campo elétrico fraco (E campo k B T). Com um elétron a menos, o momento total deixa de ser nulo, e tornase possível alterar estados eletrônicos na BV. 15

16 Semicondutores A ausência de um elétron se comporta como uma carga positiva, chamada buraco. O buraco tem carga oposta à do elétron. Elétrons no topo da BV têm massas efetivas negativas, pois a BV é côncava para baixo. Ausência dos elétrons (buracos) têm massas efetivas positivas. 16

17 Semicondutores Ao aplicar um campo elétrico sobre os buracos, eles se comportam de maneira normal movem-se no mesmo sentido que o campo. Há outros modos de alterar a condutividade, além do térmico. Incidindo radiação com energia da ordem do gap ou maior, os elétrons da BV podem ser fotoexcitados fotocondutividade. Semicondutores podem ser usados como fotodetectores. 17

18 Semicondutores Há outro modo de alterar a condutividade impurezas. Suponha que uma pequena quantidade de arsênio (As) seja introduzida na rede de germânio (Ge). 18

19 Semicondutores Ge: tetravalente, As: pentavalente. Ao trocar Ge As, o As faz 4 ligações com o Ge, e um elétron fica flutuando em torno do As. O As se comporta como um núcleo com uma carga positiva +e, envolto por um elétron orbitando esse núcleo átomo de hidrogênio, com níveis discretos dentro do gap. Há algumas diferenças. 19

20 Semicondutores O meio blinda a força elétrica permissividade elétrica ε, e não ε 0. Permissividade elétrica relativa ε r. A massa do elétron é substituída pela massa efetiva m. E n d = 1 4πε 2 m e 4 2ħ 2 n 2 = m mε r 2 E n H Estimativa: E 1 d 0,01 ev, para m = 0,2m, ε r =

21 Semicondutores O pequeno valor da energia dos níveis doadores faz com que seja fácil excitar termicamente os portadores para a BC. Os níveis doadores ficam logo abaixo da BC, no nível E d, abaixo de E c. As é uma impureza doadora. 21

22 Semicondutores Considere a substituição de um Ge por um gálio (Ga). Ga: trivalente. A ideia é similar, mas agora temos falta de um elétron, e não excesso. Há um núcleo de carga e e um buraco orbitando esse núcleo. A situação é simétrica, mas os níveis são próximos à BV. 22

23 Semicondutores Os níveis são níveis de buracos. Assim, elétrons podem passar da BV para estes níveis aceitadores (de elétrons) por excitação térmica. Surge um nível aceitador E a logo acima de E v da BV. 23

24 Semicondutores Quando elétrons passam da BV para um nível aceitador E a, geram buracos na BV, que podem conduzir. Ga: impureza aceitadora. Semicondutor tipo n (negativo): níveis doadores. Semicondutor tipo p (positivo): níveis aceitadores. 24

25 Semicondutores Representação gráfica: Semicondutor extrínseco: semicondutor dopado. 25

26 Semicondutores Num semicondutor intrínseco (não dopado), o número de estados vazios na BV é igual ao número de elétrons na BC. μ (nível de Fermi) fica próximo ao centro do gap. Bandas simétricas: μ T = 0 = E v + E g 2 26

27 Semicondutores Semicondutor extrínseco: situação mais complicada. Semicondutor tipo n: em T = 0, μ fica entre E d e E c. Quando T cresce, elétrons passam de E d para E c, e μ cai. Quando metade dos elétrons passa de E d para E c, μ = E d. Aumentando T, elétrons da BV passam para a BC, e μ cai ainda mais, indo em direção a E v + E g /2. 27

28 Semicondutores Semicondutor tipo p: em T = 0, μ fica entre E v e E a. Quando T cresce, buracos passam de E d para E v, e μ cresce, indo em direção a E v + E g /2, de forma similar ao que ocorre no tipo n. 28

29 Semicondutores O próprio gap varia com T: As dimensões da rede se alteram, e, com isso, as bandas e os intervalos entre elas também mudam. A distribuição de fônons varia com T, e isso influi nas bandas. 29

30 Semicondutores Há dois tipos de gaps: Gap direto: mínimo da BC e máximo da BV ocorrem para o mesmo valor de k. Assim, eles estão verticalmente alinhados num gráfico E k. Note que o momento transferido pelo fóton é muito pequeno quando comparado com o do elétron. Os vetores k para o elétron antes e depois da transição são iguais. 30

31 Semicondutores Gap indireto: mínimo da BC e máximo da BV ocorrem para valores diferentes de k. Para haver conservação de momento, um fônon deve participar da transição. O fônon pode ser absorvido + ou criado. E g = ħω ± ħω k c = k i + Ԧq 31

32 Semicondutores Os níveis de energia importantes em transições eletrônicas são os que ficam próximos ao topo da BV e na base da BC. De forma genérica, estas bandas pode ser escritas como E k = E c + ħ2 2 μν k μ M 1 k ν, elétrons E k = E v ħ2 2 μν k μ M 1 k ν, buracos 32

33 Semicondutores E c : base da BC, E v : topo da BV. M: tensor de massa efetiva. Na forma diagonal, temos 2 E k = E c + ħ 2 k 1 + k k 2 3, elétrons 2m 1 2m 2 2m 3 2 E k = E c ħ 2 k 1 + k k 2 3, buracos 2m 1 2m 2 2m 3 As bandas são elipsoides de energia constante (em k). 33

34 Semicondutores Si: 6 bandas de condução em Bandas de valência degeneradas em k = 0. 34

35 Semicondutores Ge 35

36 Propriedades dos Buracos Buracos: carga oposta à do elétron. Vetor de onda do elétron: k e. Vetor de onda do buraco (hole): k h = k e Nível de energia zero no topo da BV. Elétrons nela têm energias negativas. Assim, a energia do buraco é ε h k h = ε e k e 36

37 Propriedades dos Buracos Velocidade do buraco: Ԧv h = Ԧv e h ε h k h = e ε e k e Massa efetiva: m h = m e Equação de movimento sob campo eletromagnético: ħ dk h dt = e E + Ԧv h B 37

38 Propriedades dos Buracos Densidade de corrente: elétrons na BC: ԦJ e buracos na BV: ԦJ h as duas orientam-se no mesmo sentido Notar que ԦJ = σe ԦJ = ρ Ԧv ρ = N V Q = nq Q = ±e É importante poder determinar n efeito Hall. 38

39 Efeito Hall Na presença de um campo magnético, temos ou, reescrevendo, r: tensor resistividade elétrica ԦJ = σ B E E = r B ԦJ r ij = σ 1 ij 39

40 Efeito Hall Para determinar r ij, usa-se a configuração abaixo, chamada configuração padrão. 40

41 Efeito Hall Na situação estacionária J y = 0. Assim, Desenvolvendo, E x E y = r xx r xy r yx r yy J x0 E x = r xx B J x, E y = r yx B J x Magnetoresistividade longitudinal: r xx B = E x J x 41

42 Efeito Hall Magnetoresistividade transversal (resistividade Hall): Coeficiente Hall: Tensão Hall: r yx B = E y J x R H = r yx B = E y J x B V H = YE y 42

43 Efeito Hall Modelo 1: um tipo de portador (elétrons), banda isotrópica, densidade numérica n e massa efetiva m. meio dissipativo: modelado por um tempo de relaxação τ. Equação de movimento: d Ԧv m dt = ee e Ԧv B m τ Ԧv 43

44 Efeito Hall Situação estacionária: dv dt = 0 Ԧv = eτ eτ E m m Ԧv B Frequência cíclotron: ω c = eb m 44

45 Efeito Hall Desenvolvendo, chega-se a (quadro): J x = ne2 τ m E x ω c τe y 1 + ω 2 c τ 2 J y = ne2 τ ω c τe x + E y m 1 + ω 2 c τ 2 Então: r B = m ne 2 τ 1 ω c τ ω c τ 1 45

46 Efeito Hall Magnetoresistividade longitudinal: r xx = m ne 2 τ Magnetoresistividade transversal: r yx = B ne Coeficiente Hall: R H = 1 ne 46

47 Efeito Hall Modelo 2: dois portadores: elétrons: massa efetiva m 1 = m 1, densidade numérica n, tempo de relaxação τ 1, frequência cíclotron ω 1. buracos: massa efetiva m 2 = m 2, densidade numérica p, tempo de relaxação τ 2, frequência cíclotron ω 2. 47

48 Efeito Hall Magnetocondutividade: soma das duas contribuições: σ B = A 1 C 1 C 1 A 1 + A 2 C 2 C 2 A 2 = A 1 + A 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 A 1 + A 2 onde: A i = σ i 1 + ω i 2 τ i 2 C i = σ iω i τ i 1 + ω i 2 τ i 2 σ i = n ie 2 τ i m i ω i = eb m i 48

49 Efeito Hall Magnetoresistividade longitudinal: r xx B = σ 1 + σ 2 + σ 1 ω 2 2 τ σ 2 ω 1 2 τ 1 2 σ 1 + σ σ 1 ω 2 τ 2 σ 2 ω 1 τ 1 2 Se B = 0, ω 1 = ω 2 = 0, e 1 r xx B = 0 = σ 1 + σ 2 Note que r xx B > r xx (0) para qualquer B 0. 49

50 Efeito Hall Se ocorrer σ 1 ω 2 τ 2 = σ 2 ω 1 τ 1 temos n = p Nesse caso, r xx se B. Se n p, r xx satura quando B. 50

51 Efeito Hall Para a magnetoresistividade transversal, temos r yx = σ 2ω 2 τ ω 1 2 τ 1 2 σ 1 ω 1 τ ω 2 2 τ 2 2 σ 1 + σ σ 1 ω 2 τ 2 σ 2 ω 1 τ 1 2 Quando B, temos (verificar) r yx = B p n e e o coeficiente Hall fica R H = 1 p n e 51

52 Efeito Hall Quântico Em condutores bidimensionais, em baixas temperaturas e campos magnéticos intensos, ocorre o efeito Hall quântico. Curva da resistividade Hall (r yx ) em função de B exibe platôs que são múltiplos de h e 2 = 25812,806 Ω Correspondentemente, r xx = 0 nesses platôs. 52

53 Efeito Hall Quântico Os valores de r yx são dados por r yx = h e 2 1 l l Z: efeito Hall quântico usual. l = P, onde P, Q Z, Q ímpar: Q efeito Hall quântico fracionário. 53

54 Portadores em função de T Queremos o número de portadores por volume em função de T. Impurezas influenciam nos valores, mas é possível obter resultados gerais, que não dependem disso. Na BC, temos n c elétrons por volume e densidade de estados por volume g c ε = D c V. Então, n c T = න g c ε ε c 1 e β(ε μ) + 1 dε 54

55 Portadores em função de T Na BV, temos p v buracos por volume e densidade de estados por volume g v ε = D v V. Então, ε v p v T = න gv ε 1 e β(μ ε) + 1 dε μ é influenciado pelas impurezas. Para conhecer μ, é preciso ter informações sobre elas. 55

56 Portadores em função de T Se ocorrer ε c μ k B T μ ε v k B T é possível obter resultados importantes sem conhecer μ precisamente. Se essa condição é válida, temos um semicondutor não degenerado. Se não é valida, então o semicondutor é degenerado, e não é possível usar os resultados abaixo. 56

57 Portadores em função de T Considerando a condição de não degenerescência, temos (quadro): Definimos n c T = e β(εc μ) න g c ε e β(ε εc) dε ε c N c T = න g c ε e β(ε εc) dε ε c 57

58 Portadores em função de T Então: n c T = e β ε c μ N c T De forma similar, temos e ε vgv P v T = න ε e β(εv ε) dε p v T = e β μ ε v P v T 58

59 Portadores em função de T As energias envolvidas para os elétrons e buracos são da ordem de k B T. Com isso, é possível escrever g i ε = 1 2π 2 2m i ħ 2 3/2 ε ε i e, considerando as bandas com forma parabólica em torno da base da BC e do topo da BV, temos, para a BC, ε k = ε c + ħ2 k 2 2m c 59

60 Portadores em função de T Com isso, achamos (quadro) N c T = 1 4 2m c πβħ 2 3/2 e P v T = 1 4 2m v πβħ 2 3/2 60

61 Portadores em função de T Então, obtemos n c T = 1 4 2m c πβħ 2 3/2 e β(ε c μ) e p v T = 1 4 2m v πβħ 2 3/2 e β(μ ε v) 61

62 Portadores em função de T A partir disso, obtemos que é a lei de ação de massas. n c T p v T = N c T P v T e βe g Para semicondutor intrínseco, n c T = p v T = n i T 62

63 Portadores em função de T Então, n i T = πβħ 2 3/2 m c m v 3/4 e βe g/2 Além disso, achamos também (quadro) μ T = ε v + E g k BT ln m v m c 63

64 Portadores em função de T Ex.: 64

65 Portadores em função de T Semicondutor extrínseco: n c p v = Δn ( 0) Lei de ação de massas é válida, e escrevemos n c T p v T = n i 2 Desenvolvendo, chegamos a (quadro) n c p v = Δn 2 + 4n i 2 2 ± Δn 2 65

66 Portadores em função de T Obtemos, também, Δn n i = 2 sinh β μ μ i que indica qual a importância das impurezas para o número de portadores. Note que ε c μ i k B T μ i ε v k B T Δn/n i só é apreciável quando μ não é comparável a μ i. 66

67 Portadores em função de T Semicondutor não degenerado: μ O(μ i ) e Δn n i 1 níveis de impurezas não são importantes. Nesse caso, n c = Δn p v 2 + n i Δn 2 ± Δn 2 2 A concentração do portador majoritário é outro portador. Δn n i 2 vezes maior que a do 67

68 Portadores em função de T Se Δn > 0, n c p v, e temos um semicondutor tipo n (excesso de elétrons). Se Δn < 0, p v n c, e o semicondutor é tipo p (excesso de buracos). 68

69 Portadores em função de T Vamos agora estimar a influência de T nos níveis das impurezas. Os níveis das impurezas doadoras ficam em ε d, logo abaixo de ε c. Os níveis aceitadores ficam em ε a, logo acima de ε v. Há N d impurezas doadoras por volume, e N a impurezas aceitadoras por volume. Portadores em níveis de impurezas não interagem (hipótese). 69

70 Portadores em função de T Cada nível doador pode estar vazio, ter um elétron ou dois elétrons. Essa última configuração tem energia muito alta, e é pouco provável. Número médio de ocupação de um nível qualquer (Termodinâmica: grande-canônico) n = σ N je β(e j μn j ) σ e β(e j μn j ) 70

71 Portadores em função de T Para um dado nível doador, temos N j = 0 ou N j = 1 ( ou ). n = eβ(ε d μ) Assim, o número médio de elétrons nos níveis doadores é N d n d = eβ(ε d μ) 71

72 Portadores em função de T Para os níveis aceitadores, a ideia é similar, trocando-se elétrons por buracos. Assim, N a p a = eβ(μ ε a) Queremos generalizar a condição n c = p v válida para equilíbrio térmico em semicondutores intrínsecos. 72

73 Portadores em função de T Conservação de carga: n c + n d p v + p a = N d N a Condição para semicondutor não degenerado: ε d μ k B T μ ε a k B T 73

74 Portadores em função de T Se esta condição é verificada, ocorre n d N d, p a N a Assim, praticamente todos os níveis de impurezas estão ionizados (vazios doadores, com elétrons aceitadores). Conservação de carga fica n c + n d = N d N a = Δn 74

75 Portadores em função de T Então, n c p v = 1 2 N d N a 2 + 4n i 2 1/2 ± 1 2 (N d N a ) e N d N a n i = 2 sinh β μ μ i 75

76 Portadores em função de T Regime intrínseco: n i N d N a : n c p v = n i ± 1 2 (N d N a ) Regime extrínseco: n i N d N a : n c p v = 1 2 N d N a + n i 2 N d N a 2 N d N a ± 1 2 N d N a 76

77 Portadores em função de T Se N d > N a : n c = N d N a, p v = n i 2 N d N a Se N d < N a : n c = n i 2 N a N d, p v = N a N d 77

78 Portadores em função de T Em baixas temperaturas, ou para altas concentrações de impurezas, uma das frações n d ou p a (não ambas) pode deixar de ser desprezível N d N a nível não está totalmente ionizado. A densidade de portadores dominante diminui com T. 78

79 Portadores em função de T Outro efeito em T baixa é a possibilidade de ocorrer tunelamento entre os níveis de impurezas, por causa da superposição das funções de onda hopping. 79

80 Portadores em função de T Ge dopado com Sb 80

81 Junção pn Vamos agora investigar um dispositivo formado por semicondutores: junção pn. 81

82 Junção pn Hipóteses: 1. Semicondutor tipo n: apenas níveis doadores, tipo p: apenas níveis aceitadores. 2. 1D (direção x). 3. Junção ocorre em x = 0. Região de depleção: d p < x < d n. 4. Impurezas tipo n: densidade N a (x). Tipo p: densidade N d (x). 5. Densidades dadas por N d x = ቊ N d, x > 0 0, x < 0 N a x = ቊ 0, x > 0 N a, x < 0 6. Impurezas ionizadas saturação longe da junção. 82

83 Junção pn Considere os semicondutores separados: Tipo n: μ entre E c e E d. Tipo p: μ entre E v e E a. Diferença: eδφ. 83

84 Junção pn Colocando os semicondutores em contato: 84

85 Junção pn A diferença no potencial químico gera fluxo de elétrons do lado n para o p. O lado p fica negativo na região da junção. O lado n fica positivo. Surge campo elétrico na junção. BV e BC na região p são mais altos que na região n. Diferença: eδφ. 85

86 Junção pn O campo elétrico orienta-se de n p. O potencial elétrico correspondente aumenta de p n. Eles aparecem numa região chamada de região de depleção. Fora dela o potencial é constante e o campo é nulo. Em geral, há circulação de cargas nos dois sentidos. 86

87 Junção pn Num dado instante, algum elétron da BV na região p é excitado termicamente à BC da região p. Posteriormente, ele pode seguir para a BC da região n. Isso dá origem à corrente térmica. Noutro instante, algum elétron num nível da BC do lado n abaixo da BC do lado p, pode sofrer flutuação em energia e atingir energia compatível com a BC-p, passando para ela. Essa é a corrente de recombinação. 87

88 Junção pn No equilíbrio térmico, sem potencial externo, a corrente total é nula. A aplicação de uma tensão externa modifica o comportamento da corrente de recombinação, sem alterar a corrente térmica. 88

89 Junção pn O potencial elétrico altera o hamiltoniano do sistema da seguinte forma: Com isso, temos e H n = E n k eφ x n c x = N c T e β(ε c eφ x μ) p v x = P v T e β μ ε v+eφ x 89

90 Junção pn Saturação (longe da junção): Graficamente N d = n c = N c T e β(ε c eφ μ) N a = p v = P v T e β μ ε v+eφ 90

91 Junção pn Definindo: temos a condição (quadro) Δφ = φ φ( ) eδφ = E g + k B T ln N an d N c P v que é uma condição de contorno para o problema. 91

92 Junção pn Para achar φ x, é preciso trabalhar com a equação de Poisson (em 1D): Na saturação: 2 φ = d2 φ ρ x dx2 = ε ρ x = e[n c x p v x + N a x N d (x) Em princípio, combinar estas equações resulta numa equação diferencial solúvel numericamente. 92

93 Junção pn Estimativa mais útil (quadro): potencial só varia na região de depleção: d p x d n. A densidade fica ρ x = 0, x< d p en a, d p <x<0 en d, 0<x<d n 0, x>d n Para x < d p e x > d n, o campo é nulo, e o potencial é constante. 93

94 Junção pn Após resolver a equação de Poisson, o potencial fica φ x = φ, x < d p φ x = φ + en a 2ε x + d p 2, dp < x < 0 φ x = φ en d 2ε x d n 2, 0 < x < d n φ x = φ, x > d n 94

95 Junção pn Graficamente: 95

96 Junção pn A continuidade do campo e do potencial em x = 0 fornece e N a d p = N d d n Δφ = e 2ε (N ad p 2 + N d d n 2 ) Com isso, é possível determinar a largura da região de depleção. 96

97 Junção pn Para d p, temos d p = N d 1 2εΔφ N a N d + N a e 1/2 e, para d n, ficamos com d n = N a 1 2εΔφ N d N d + N a e 1/2 97

98 Junção pn Largura total: w = d n + d p = N a + N d N a N d 2εΔφ e 1/2 Ex.: para Δφ 1 V, ε = F/m e N a, N d na faixa a portadores/cm 3, temos w A e campos da ordem de V/m. 98

99 Junção pn Na junção pn usual, N a N d e ambos não são muito grandes. É interessante considerar o caso onde N a, N d ou ambos são grandes. Temos as junções p + n:n a N d. pn + : N d N a. p + n + : ambos são grandes. 99

100 Junção homopolar Podemos combinar portadores de mesmo tipo, formando junções homopolares, onde apenas um tipo de portador é relevante. p + p: acúmulo de buracos no lado p. n + n: acúmulo de elétrons no lado n. Elas facilitam a condução, ao contrário da junção pn. 100

101 Junção sob Tensão Externa Vamos agora considerar o efeito da aplicação de uma tensão externa à junção. Ocorre deslocamento do equilíbrio sob tensão externa. Recordando, na junção elétrons passam naturalmente do lado n para o p. Considere uma fonte de tensão contínua, com terminais (+) e (-). 101

102 Junção sob Tensão Externa Ao conectar o terminal (+) no lado n e o (-) no p, o campo elétrico na região da junção fica mais intenso. A altura da barreira de potencial aumenta. O efeito é dificultar a passagem de elétrons no sentido n p. Com isso, a corrente de recombinação diminui. 102

103 Junção sob Tensão Externa A corrente térmica não é alterada, pois depende apenas de T. Assim, elétrons vão de p n, e corrente flui de n p. Essa é a corrente de polarização reversa, e é pequena. 103

104 Junção sob Tensão Externa Conectando o terminal (+) ao lado p e o (-) ao n, a situação se inverte. A altura de barreira diminui, o campo elétrico fica menos intenso, e a corrente de recombinação cresce muito. Há corrente elétrica no sentido p n. Esta é a corrente de polarização direta, que é 4-5 ordens de grandeza maior que a reversa (tipicamente). 104

105 Junção sob Tensão Externa Vamos considerar que V > 0 corresponde à polarização direta, e V < 0 à reversa. 105

106 Junção sob Tensão Externa Diferença de potencial na junção sob tensão externa: Δφ = Δφ 0 V Δφ 0 : ddp para V = 0 (situação de equilíbrio). A aplicação da tensão externa altera os limites da região de depleção: d p = N d 1 2ε Δφ 0 V N a N d + N a e 1/2 d n = N a 1 2ε Δφ 0 V N d N d + N a e 1/2 106

107 Junção sob Tensão Externa Largura total: w = d n + d p = N a + N d N a N d 2ε Δφ 0 V e 1/2 Interessa-nos investigar as correntes na região da junção pn. Convenção: j: densidade de corrente elétrica. J: densidade de corrente numérica. 107

108 Junção sob Tensão Externa Relação entre as densidades: j e = ej e, j h = ej h Quando V = 0, J e = J h = 0 compensação entre corrente térmica e de recombinação. Para elétrons: J e = J e term e βev 1 J e term : densidade numérica de corrente térmica em V =

109 Junção sob Tensão Externa Para buracos: J h = J h term e βev 1 J e term : densidade numérica de corrente térmica em V = 0. Densidade resultante (vetorial): j = e J h term + J e term e βev 1 Como determinar os coeficientes? Outra abordagem. 109

110 Junção sob Tensão Externa Correntes podem ser geradas por campos elétricos ou por gradientes de concentração de portadores (correntes de difusão). Em 1D: J h = μ h p v E D p dp v dx J e = μ e n c E D n dn c dx Estas equações combinam as relações Ԧj = σe Ԧj = D ϱ 110

111 Junção sob Tensão Externa μ e e μ h : mobilidade de elétrons e buracos (μ i > 0). A mobilidade é dada por μ = Ԧv E De Ԧj = ρ Ԧv sai σ e = enμ e σ h = epμ h σ = σ h + σ e = e(μ e n + μ h p) 111

112 Junção sob Tensão Externa D p e D n : coeficientes de difusão para buracos e elétrons. São grandezas positivas, e relacionadas com μ i pelas relações de Einstein: μ e = ed n k B T μ h = ed p k B T 112

113 Junção sob Tensão Externa A condutividade pode ser modelada por σ = ne2 τ m Com isso, a mobilidade pode ser escrita como μ e = eτ e col m e μ h = eτ h col m h τ i col : tempo médio de colisões para o portador i. m i : massa efetiva do portador i. 113

114 Junção sob Tensão Externa Equação de continuidade: Ԧj + ρ t = 0 Escrevendo em termos das densidades numéricas, temos n e t = J e x p v t = J h x Entretanto, estas equações não consideram a transferência de cargas entre as bandas. 114

115 Junção sob Tensão Externa Levando em conta as transferências de cargas, obtemos n e t = dn c dt g r J e x p v t = dp v dt g r J h x Índice g-r: geração recombinação. Modelo para essas taxas: dn c dt g r = n c n c 0 τ n dp v dt g r = p v p v 0 τ p n i 0 : valores de equilíbrio. τ i : tempo médio de recombinação. 115

116 Junção sob Tensão Externa Note que, em geral, τ i τ i col, pois as colisões são intrabandas e as recombinações são interbandas. Tipicamente, τ i col s, e τ i s. Com isso, temos 0 n e t = n c n c τ n J e x p v t = p v p v τ p 0 J h x 116

117 Junção sob Tensão Externa Situação estacionária para V 0: 0 J e x + n c n c = 0 τ n 0 J h x + p v p v = 0 τ p Caso particular: ԦE pequeno e concentração de portadores majoritários constante: d 2 n c D n dx 2 n 0 c n c d 2 p v = 0 D p τ n dx 2 p 0 v p v = 0 τ p 117

118 Junção sob Tensão Externa Comprimentos de difusão: distâncias características em que as concentrações voltam aos valores de equilíbrio. L n = D n τ n L p = D p τ p Solução considerando que estamos do lado n da junção: p v = p v + p v x 0 p v e (x x 0)/L p 118

119 Junção sob Tensão Externa Estimativa para as densidades numéricas de corrente: J h term = n i 2 N d L p τ p J term e = n 2 i L n N a τ n A densidade de corrente fica j = en i 2 D n N a L n + D p N d L p e βev 1 Lembrar que n i 2 = 1 4 2m c πβħ 2 3/ m v πβħ 2 3/2 e βe g 119

120 Junção sob Tensão Externa Corrente de saturação: V : j = en i 2 D n N a L n + D p N d L p 120

121 Junção sob Tensão Externa Se V > 0 polarização direta: corrente apreciável. Se V < 0 polarização reversa: corrente baixa. retificador 121

122 Transistor p + : altamente dopada: emissor. n: fracamente dopada e fina: base. p: moderadamente dopada: coletor V E > 0: polarização direta emissorbase. V C 0: polarização reversa basecoletor. 122

123 Transistor Praticamente toda a corrente que entra no emissor segue para o coletor: I C I E. Como V C V E, temos um amplificador de potência. 123