12º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Guayaquil, 10 a 13 de Novembro de 2015

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1 12º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Guayaquil, 10 a 13 de Novembro de 2015 NOVA METAHEURÍSTICA APLICADA A PROBLEMAS REAIS DE ENGENHARIA MECÂNICA Oliveira Coelho, V.M.*, Mendes Platt, G.º, de Almeida Corrêa Júnior, C.¹ *Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politécnico Nova Friburgo, RJ, Brasil, ºUniversidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politécnico Nova Friburgo, RJ, Brasil, ¹Universidade Federal Fluminense, Instituto do Noroeste de Educação Superior Santo Antônio de Pádua, RJ, Brasil. * vcoelho@iprj.uerj.br, º gmplatt@iprj.uerj.br, ¹ cleberacj@id.uff.br Palavras-chave: Algoritmo Alcateia, Engenharia Mecânica, Vaporização Retrógrada Dupla, Problema de Cinemática Robótica Inversa. RESUMO Neste trabalho são apresentados os resultados obtidos através da aplicação da nova metaheurística, denominada Algoritmo Alcateia, em problemas reais encontrados na Engenharia Mecânica. O algoritmo Alcateia foi criado a partir da observação e análise comportamental dos lobos durante o processo de caça. Tal análise é realizada levando em consideração as relações hierárquicas presentes na alcateia, colocando em voga as posições dos lobos na comunidade e a possível troca de comando (lobo alfa) caso um indivíduo encontre uma melhor presa, denotada como a melhor solução dos problemas computacionais. Os problemas abordados neste trabalho são o cálculo de pontos de orvalho em sistemas termodinâmicos que apresentam vaporização retrógrada dupla (VRD) e o problema de cinemática robótica inversa (CRI). Os resultados indicam que este novo algoritmo é capaz de encontrar a raiz física com a maior pressão do problema da VRD e foi capaz de encontrar 10 das 16 soluções físicas do problema de CRI. PALAVRAS-CHAVE: Algoritmo Alcateia, Engenharia Mecânica, Vaporização Retrógrada Dupla, Cinemática Robótica Inversa.

2 INTRODUÇÃO Os métodos estocásticos (também referidos como metaheurísticas) são métodos de otimização de busca global que utilizam a aleatoriedade durante sua execução, não necessitando da avaliação das derivadas das funçõesobjetivo. Tais métodos podem ter caráter populacional, ou seja, é criado um número n de elementos quaisquer para fazer a busca conforme a sua heurística. Dentre tais métodos, podem ser citados: Algoritmos Genéticos [1], Particle Swarm Optimization (PSO) [2], Ant Colony Optimization (ACO) [3], Simulated Annealing (SA) [4], Water Wave Optimization (WWO) [5]. Dentre estes, somente o algoritmo Simulated Annealing não apresenta a característica populacional. De acordo com [6], o termo metaheurística representa um conjunto de algoritmos heurísticos genéricos estudados desde a década de Esses métodos mimetizam diversos processos físicos e/ou biológicos e/ou comportamentais para realizar a busca da solução para problemas de otimização, conforme afirma [7]. Com o passar das décadas, vários métodos estocásticos foram surgindo, utilizando os preceitos dos processos realizados na natureza, como os métodos referidos acima. A necessidade de novas metaheurísticas (para problemas complexos) e a existência de um grande número de processos naturais são as forças-motrizes para o surgimento de novos métodos estocásticos. Conforme afirma [8], o algoritmo Alcateia foi criado a partir da análise dos comportamentos dos lobos durante o processo de caça. A estrutura coletiva, as relações hierárquicas e o comando de um membro líder (denominado de lobo alfa) foram os fatores preponderantes durante o processo de elaboração do algoritmo Alcateia. Neste artigo são abordados dois problemas reais no contexto da Engenharia Mecânica e de Petróleo: o cálculo de pontos de orvalho no problema de vaporização retrógrada dupla (VRD) com a mistura binária formada pelas substâncias etano e limoneno, e o problema da cinemática robótica inversa (CRI), como avaliadores da robustez dessa nova metaheurística. Esses problemas podem ser denominados testes difíceis (hard problems) para a nova metaheurística. Para tanto, foi realizado um quantitativo de trinta avaliações do algoritmo em cada problema, apresentando-se estudos referentes aos desvios-padrões e às médias encontradas pelo algoritmo para cada um dos problemas. DESCRIÇÃO DOS PROBLEMAS Nessa seção são apresentados os dois problemas não-lineares. (i) cálculo de pontos de orvalho em sistemas com vaporização retrógrada dupla e (ii) o cálculo da cinemática robótica inversa. Ambos os problemas são sistemas de equações algébricas não-lineares, convertidos em índices de mérito escalares (uma função-objetivo, ou fitness). Problema 1 Vaporização Retrógrada Dupla (VRD) A vaporização retrógrada dupla é um fenômeno termodinâmico que emerge de situações reais e tem aplicações na área de petróleo e processos de extração supercrítica. Esse fenômeno consiste na existência de uma curva de pontos de orvalho em formato de domo duplo ou em formato de S, para temperaturas acima/abaixo da temperatura crítica do componente mais leve (puro), respectivamente. Segundo [9], este fato implica, respectivamente, na existência de quatro ou três raízes para o problema de coexistência de fases. Nesse trabalho, a mistura binária é composta pelas substâncias etano e limoneno. As raízes desse problema estão divididas em dois intervalos: baixa pressão e alta pressão. Em baixa pressão é encontrada somente uma raiz, enquanto em alta pressão são encontradas três raízes extremamente próximas. Esta característica peculiar faz desse problema um desafio para técnicas de resolução de sistemas não-lineares. Nesse trabalho foi utilizado a equação de estado de Peng-Robinson [9] com regras de combinação e mistura clássicas (vdw1). Mais detalhes sobre o modelo termodinâmico empregado podem ser obtidos em [9]. Considerando um sistema não-reativo com c componentes, a coexistência das fases líquida e vapor implica nas relações de equilíbrio: = 0 = 1,, (1) 1 = 0 (2)

3 1 = 0 (3) onde os superescritos V e L são, respectivamente, fase vapor e fase líquida. As composições das fases vapor e líquida são representadas por e. O termo é referente à fugacidade do componente i na fase, sendo calculado por =, onde é a fração molar do componente i na fase. A equação (1) pode ser reescrita como: Então a condição de isofugacidade pode ser expressa por: Simplificando os termos de pressão em ambos os lados, tem-se: = 0 = 1,, (4) ln( ) ln( ) = 0 = 1,, (5) ln( ) ln( ) = 0 = 1,, (6) O problema de equilíbrio de fases fluidas é então definido pelas equações (4, 2, 3) ou por (6, 2, 3). Logo, temse + 2 equações. Mais ainda, esse sistema termodinâmico apresenta variáveis (, = 1,, ;, = 1,, ; e ). Portanto, para misturas binárias, especificando-se uma componente do vetor de composições da fase vapor e a pressão ou a temperatura do sistema, então pode-se calcular a temperatura ou a pressão de orvalho e a composição da fase líquida. Caso o sistema exiba a condição de vaporização retrógrada dupla, a especificação produzirá três ou quatro raízes, correspondendo, respectivamente, por uma curva em formato de S ou uma estrutura de dois domos (duplo domo). As propriedades físicas dos componentes em questão, bem como as especificações detalhadas para o cálculo da VRD neste sistema podem ser encontrados em [9]. Problema 2 Cinemática Robótica Reversa (CRI) O problema de cinemática robótica reversa, segundo [10], está no centro dos algoritmos de controle de computadores para robôs manipuladores. Para ser capaz de posicionar e orientar o mecanismo final em dada forma, um conjunto de variáveis-articuladoras deve ser computado. A complexidade desse problema é altamente dependente da estrutura geométrica do manipulador. O sistema estudado aqui tem um total de oito variáveis e dezesseis possíveis raízes reais. Para maiores informações, ler [10, 11]. A formulação do Problema 2 está apresentada em [12]. ALGORITMO ALCATEIA O algoritmo Alcateia foi criado pelo pesquisador Corrêa Júnior [13]. No trabalho apresentado por [8], o algoritmo Alcateia é explicado da seguinte forma: A ideia primordial do algoritmo Alcateia parte da característica comportamental do lobo alfa em se basear em escolhas plausíveis para a captura da presa, com enfoque no sucesso da caça. Sua base é a ideia central utilizada no algoritmo Luus-Jaakola [14], onde o algoritmo não faz uma busca seguindo um caminho sistemático (do tipo difusivo), mas pode apresentar grandes saltos durante sua execução. Durante a execução do algoritmo Alcateia, os lobos, a cada iteração, estão suscetíveis a evoluções hierárquicas, ou seja, a cada iteração será nomeado como lobo alfa aquele que obteve a melhor solução durante a iteração. Além disso, há o coeficiente de independência que faz com que os outros lobos tendam a seguir a presa ao qual o lobo alfa está caçando, refinando assim a cada iteração a solução encontrada até chegar à solução ótima do problema proposto. Conforme são executados os laços externos (iterações externas), o número de laços internos (iterações internas) é contraído por um parâmetro chamado de coeficiente de contração. A cada redução dos laços internos reduz-se também o raio da região de busca de cada elemento da população. Isso faz com que o processo de busca fique cada vez menor conforme o algoritmo converge para o ótimo global (produzindo uma boa acurácia para os resultados finais). De acordo com a configuração desejada, os elementos do algoritmo podem ser independentes fazer buscas mais distantes do lobo alfa ou menos independentes, utilizando a posição do lobo alfa para fazer a sua busca.

4 Pelo fato de um dos problemas exibir um número infinito de ótimos triviais, ou seja, ótimos globais que não reproduzem um fenômeno físico, o algoritmo foi configurado com alto valor para o coeficiente de independência. Existem outros métodos que mimetizam outros coletivos de animais, como o já citado anteriormente Ant Colony Optimization (ACO) [3], o Lion Optimization Algorithm (LOA) [15] que mimetiza o comportamento organizacional e social dos leões, o Marriage in Honey Bee Optimization (MBO) [16] que mimetiza o processo de reprodução nas colônias de abelhas, o Cat Swarm Algorithm [17] que é baseado no comportamento dos gatos, dentre outros. Mimetizar comportamentos e/ou organizações encontradas na natureza é um processo utilizado já há alguns anos. Essas características que dão certo há milênios são norteadores para as criações e hibridizações dessas metaheurísticas. A seguir, apresenta-se, na Figura 1, o pseudocódigo do algoritmo Alcateia. No algoritmo não há um critério de parada pré-definido, o critério de parada pode ser elaborado de acordo com a aplicação abordada. Neste trabalho foi utilizado como critério de parada quando o valor da função-objetivo relativo ao melhor elemento da população (lobo alfa) for menor do que uma tolerância pré-determinada, abordada aqui como 1 10 e 1 10, respectivamente para os problemas de vaporização retrógrada dupla e cinemática robótica inversa. O algoritmo Alcateia foi implementado em linguagem Scilab (64-bit) [18]. Figura 1: Pseudocódigo do algoritmo Alcateia onde: é o passo de busca inicial; é o número de iterações externas; é o número de iterações internas; é o número de elementos da população; é o coeficiente de contração; é o coeficiente de independência; é um vetor de números randômicos entre 1 e 1; " " é o produto termo-a-termo de vetores; A função min( ) retorna a componente de menor valor de para e sua posição. Os valores ótimos (presas) encontrados pelo algoritmo serão inseridos na matriz x. A partir daí é feita uma busca sobre o valor ótimo que possui o menor valor na função-objetivo, no caso de um problema de minimização. Caso este valor seja o melhor de todos e concluído todas as iterações do algoritmo ele retornará o xalfa, sendo esse a melhor solução encontrada pelo algoritmo.

5 RESULTADOS Ambos os problemas tiveram 30 execuções distintas, de maneira a possibilitar uma avaliação estatística do algoritmo. Para o Problema 1, as configurações do algoritmo Alcateia foram as seguintes: coeficiente de contração = 0,001 e coeficiente de independência = 0,3. Esses parâmetros foram ajustados dessa forma após alguns testes iniciais de calibração do método. O baixo coeficiente de contração se dá devido ao fato de existirem três raízes muito próximas umas às outras; tal característica fazia o algoritmo convergir somente para uma raiz (a de maior pressão). Ademais, graças à complexidade desse problema foi necessário criar algumas restrições, para serem avaliadas somente as raízes que correspondem a um processo físico-químico real, sendo também necessária a contenção da redução do raio de busca do algoritmo, pois esse problema possui infinitas soluções triviais (com a composição do líquido idêntica à do vapor). Esse fato foi de suma importância para a escolha do parâmetro de independência pequeno, ou seja, os elementos da população eram altamente tendenciosos para o local de busca do melhor valor da iteração em questão, evitando soluções triviais. A Tabela 1 apresenta a média, o desvio-padrão, o melhor e o pior valor da função-objetivo do Problema 1. O melhor valor corresponde a um dos ótimos globais pertencentes ao problema enquanto o pior valor corresponde a uma solução trivial próxima de uma das raízes do sistema. A média e o desvio-padrão indicam que o algoritmo Alcateia obteve êxito na busca do mínimo global. Tabela 1: Resultados do Algoritmo Alcateia (Problema 1, 30 execuções). Média Desvio Padrão Melhor Pior 2, , , , A Figura 2 representa a população inicial (típica) criada durante a execução do algoritmo Alcateia na configuração utilizada para o Problema 1. A Figura 3 representa os resultados de uma típica execução do algoritmo Alcateia na configuração utilizada para o Problema 1, sendo que a população está com a cor vermelha, a solução ótima (lobo alfa) está marcada em preto e as raízes físicas estão marcados por x azuis (não há interesse em calcular-se a raiz de baixa pressão, que pode ser facilmente localizada por algoritmos determinísticos, por exemplo). A Figura 4 é uma aproximação da vizinhança das raízes de alta pressão, de maneira a ilustrar que uma das raízes foi localizada de forma acurada. Soluções triviais (paralelas ao eixo das pressões, representando a igualdade de composições entre o líquido e o vapor, independentemente da pressão), bem como ótimos locais do problema também foram identificados. Figura 2: Gráfico da dispersão dos elementos iniciais do algoritmo Alcateia.

6 Figura 3: Gráfico dos resultados finais do algoritmo Alcateia para o Problema 1 Figura 4: Gráfico com os resultados finais com aproximação para as raízes reais. Para o segundo problema, da cinemática robótica inversa, foram utilizados 24 elementos da população. Esse problema é constituído por 8 variáveis, podendo-se obter 16 soluções (ótimos globais). Como já citado anteriormente, o algoritmo teve 30 execuções distintas. O algoritmo Alcateia foi capaz de localizar 10 soluções nas 30 execuções (sem nenhuma estratégia adicional para localização de múltiplos ótimos, ou seja, ocorreu repetições de soluções). Os parâmetros de coeficiente de contração, coeficiente de independência e a tolerância foram, respectivamente, 10, 10 e 10. O coeficiente de independência foi escolhido dessa forma por causa dos muitos resultados que poderiam ser encontrados, para que assim o algoritmo explorasse melhor o domínio do problema. Para esse problema não foi necessário a utilização de condicionais além dos limites inferiores e superiores tratados pelo problema. O algoritmo obteve êxito em encontrar 10 raízes, das 16 raízes pertencentes ao problema, durante as 30 distintas execuções. A Tabela 2 apresenta as raízes, ótimos globais, encontrados pelo algoritmo Alcateia.

7 Tabela 2: Ótimos Globais encontrados pelo Algoritmo Alcateia Mínimo 1 0, , , , , , , ,78813 Mínimo 2 0, , , , , , , ,78813 Mínimo 3 0, , , , , , , ,78813 Mínimo 4 0, , , , , , , ,78813 Mínimo 5 0, , , , , , , ,84930 Mínimo 6 0, , , , , , , ,84930 Mínimo 7 0, , , , , , , ,84930 Mínimo 8 0, , , , , , , ,84930 Mínimo 9 0, , , , , , , ,24583 Mínimo 10 0, , , , , , , ,24583 A Tabela 3 apresenta a média, o desvio-padrão, o melhor e o pior valor da função-objetivo do Problema 2. O melhor ponto corresponde a um dos ótimos globais pertencentes ao problema. O algoritmo também encontrou uma raiz na qual havia uma pequena perturbação no quinto elemento, uma possível causa dessa perturbação é a proximidade desse elemento ao número zero. A média e o desvio-padrão indicam que o algoritmo alcateia obteve êxito na busca do mínimo global, os valores de melhor e pior ponto avaliado pela função-objetivo são ótimos globais distintos pertencentes ao problema abordado. CONCLUSÃO Tabela 3: Resultados do Algoritmo Alcateia (Problema 2, 30 execuções). Média Desvio Padrão Melhor Pior 1, , , ,22 10 Nesse trabalho são apresentados os resultados da aplicação da nova metaheurística conhecido como Algoritmo Alcateia aplicado à dois problemas reais da Engenharia Mecânica. Os resultados indicam que esse novo método (algoritmo) de otimização estocástico é uma ferramenta útil para a resolução de problemas do mundo real. As modificações feitas durante o percurso do trabalho foram somente referentes aos limites do domínio dos problemas, devido à complexidade dos problemas abordados. Os resultados encontrados são satisfatórios em comparação aos apresentados na literatura, fomentando assim a aplicação desse novo algoritmo a novos problemas oriundos de situações reais. Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro aos órgãos de fomento Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). NOMENCLATURA fugacidade da substância i na fase vapor fugacidade da substância i na fase líquida fração molar do componente i na fase líquida fração molar do componente i na fase vapor coeficiente de fugacidade do componente i na fase vapor coeficiente de fugacidade do componente i na fase líquida passo de busca, intervalo [ ] Le número de laços externos Li número de laços internos número de elementos do algoritmo (lobos). c coeficiente de contração id coeficiente de independência

8 aux x xalfa fxalfa variável auxiliar vetor de números randômicos entre 1 1 conjunto de elementos iniciais conjunto de elementos atualizados ótimo global na iteração valor do ótimo global aplicado à função-objetivo REFERÊNCIAS 1. J.H. Holland, Adaptation in Natural and Artificial Systems: In introductory analysis with applications to biology, control, and artificial intelligence, University of Michigan Press., J. Kennedy, R.C. Eberhart, A new optimizer using particle swarm theory. In Proceedings of the sixth international symposium on micro machine and human Science. New York, NY, M. Dorigo, C. Blum, Ant colony optimization theory: A Survey, Theoretical Computer Science. vol. 344, pp , S. Kirkpatrick, Jr. C.D. Gelatt Jr., M.P. Vecchi, Optimization by Simulated Annealing, Science. vol. 220, pp , Y.-J. Zheng, Water Wave Optimization: a new nature-inspired metaheuristic, Computers & Operations Research, vol. 55, pp. 1-11, F. Glover, Future paths for integer programming and links to artificial intelligence, Computer Operational Research, vol. 13, pp , F.G. Freitas, C.L.B. Maia, D.P. Coutinho, G.A.L. Campos, J.T. Souza, Aplicação de Metaheurísticas em problemas de Engenharia de Software, 2º Congresso Tecnológico Infobrasil, V.M. Oliveira Coelho, Alcateia: Um método bio-inspirado para otimização, Monografia. Universidade Federal Fluminense, Santo Antônio de Pádua, RJ, G.M. Platt, I.N. Bastos, R.P. Domingos, Calculation of double retrograde vaporization: Newton s Methods and hyperheuristic approach, Journal of Nonlinear Systems and Applications. pp , R. Manseur, K.L. Doty. A Robot Manipulator with 16 real inverse kinematic sets, The international Journal of Robotics Research, vol. 8, nº. 5, pp , O. Poliakov, Y. Pashkov, M. Kolesova, O. Chepenyuk, M. Kalinin, V. Kramar, New Laguerre s Type Method for Solving of a Polynomial Equation Systems, World Academy of Science, Engineering and Technology, vol. 6, pp , G.M. Platt, Application of the Flower Pollination Algorithm in nonlinear algebraic systems with multiple solutions, In Engineering Optimization IV, Taylor & Francis, C.A. Corrêa Jr., Algoritmo Alcateia, Comunicação Pessoal, R. Luus, T.H.I. Jaakola, Optimization by direct search and systematic reduction of the size of search region, AIChE Journal, vol. 19, pp , M. Yazdani, F. Jolai, Lion Optimization Algorithm (LOA): A Nature -Inspired Metaheuristic Algorithm, Journal of Computational Design and Engineering, H.A. Abbas, MBO: Marriage in honey bees optimization A haplometrosis polygynous swarming approach. In Evolutionary Computation. Proceedings of the 2001 Congress on, IEEE, S.-C. Chu, P.-W. Tsai, J.-S. Pan, Cat swarm optimization, PRICAI 2006: Trends in Artificial Intelligence. Springer, pp , Scilab Enterprises (2015). Scilab: Free and Open Source software for numerical computation (WINDOWS, Version (64-bit) [Software]. Disponível em: