PLACAS DE VEÍCULOS - DESVENDANDO OS MISTÉRIOS

Transcrição

1 PLACAS DE VEÍCULOS - DESVENDANDO OS MISTÉRIOS Vamos estudar as questões de análise combinatória através de um exemplo. Só para relembrar: análise combinatória é aquela parte da Matemática que trata das diversas organizações diferentes que podemos dar a um determinado número de elementos de um conjunto. Vamos tomar o exemplo do número das placas de veículos no Brasil. Para começar, lembremos que cada veículo tem uma identificação da placa (3 letras mais 4 algarismos) que o seguirá, desde de seu licenciamento e que não será reaproveitada, após sua baixa. Portanto, cada combinação de 3 letras e 4 números irá identificar um único veículo, sendo inutilizada, quando da baixa de tal veículo junto ao DETRAN. O nosso exemplo irá se basear no conjunto de 4 algarismos. Para começo de conversa: existem números, de 4 dígitos, formados pelos algarismos de 0 a 9. São os números inteiros que vão de 0000 a Entretanto, o número de placa 0000 não é utilizado. Restam, portanto, para utilização: 9999 números para as placas de veículos.a questão proposta é: desses 9999 números diferentes, quantos não possuem nenhum algarismo repetido? Quantos possuem um algarismo repetido e dois outros diferentes entre si e do repetido? Quantos números existem com dois grupos diferentes de dois algarismos, iguais entre si? Quantas placas existem com 3 algarismos repetidos? E, finalmente, quantos são os números de placas em que os quatro algarismos são iguais? Para que possamos assimilar melhor a solução da questão iremos resolvê-la de maneira inteiramente artesanal. Isso significa: fazendo um esquema que atenda as proposições da questão e a contagem das opções que as atendam. No passo número 1 vamos verificar quantas possibilidades existem para placas sem repetições. Ora, nesse caso, definido o primeiro algarismo, isto é, aquele que representa o número de milhares e que poderá assumir 10 valores, o segundo algarismo, aquele que representa o número de centenas, poderá assumir 9 valores. O terceiro, que representa o número de dezenas, por sua vez 8 e o quarto 7. Logo, o número de possibilidades será: 10x9x8x7 = 5040., ou seja, existem 5040 números de placas de veículos (4 algarismos), sendo que nenhum desses algarismos se repete (evidentemente que a afirmação é válida para o mesmo conjunto de 3 letras). As 5040 placas com 4 algarismos diferentes representam: (5040 / 9999) x 100% = 50,41% do total de placas. No segundo passo, vamos examinar as possibilidades para um algarismo repetido e dois outros diferentes entre si e do repetido. Pois bem, nesse caso, o primeiro algarismo (ordem estabelecida sem considerar a posição relativa dos algarismos no número) pode assumir 10 valores e um dos outros 3 terá o mesmo valor deste primeiro. Ora, restam então 9 valores

2 possíveis para o segundo algarismo diferente e 8 para o terceiro. Portanto, as hipóteses, em primeira análise são: 10 x 9 x 8 = 720. Entretanto, será necessário considerar-se as posições relativas dos algarismos no número formado. Ou seja, o grupo de 2 algarismos repetidos poderá compor as posições: 1 e 2, 1 e 3, 1 e 4, 2 e 3, 2 e 4 ou 3 e 4 (observe que, em se tratando de algarismos iguais, não há que se falar em inversão de posições entre eles). Logo, o total de combinações que atendem à hipótese levantada é dado por: 720 x 6 = 4320, ou seja, existem 4320 números de placas (com mesmo grupo de 3 letras na mesma posição relativa) em que existe a repetição de 1 algarismo, com os outros 2 diferentes entre si e do algarismo repetido. As 4320 hipóteses levantadas representam: (4320 / 9999) x 100% = 43,20% do total de hipóteses possíveis. O desafio agora é representado pelo número de placas em que: existem 2 grupos de 2 algarismos iguais entre si e diferentes daqueles do outro grupo. Nesse caso, o primeiro algarismo (não considerada posição relativa) poderá ter 10 valores, ou seja, qualquer algarismo de 0 a 9. Ora, como o segundo grupo de 2 algarismos não pode ter o mesmo valor do primeiro, definido o valor do primeiro, restarão para ele 9 valores possíveis. Portanto, serão: 10 x 9 as opções verdadeiras. Observe que: ao considerarmos as 10 hipóteses para o primeiro grupo e as 9 para o segundo, já teremos levado em conta as possibilidades de inversão da posição dos 2 grupos. Entretanto, será necessário considerar agora que: os algarismos repetidos do primeiro grupo poderão ocupar as posições 1 e 2, 1 e 3 ou 1 e 4, restando as outras para o outro grupo. Logo, o número de hipóteses válidas será: 90 x 3 = 270, que representa: (270/ 9999) x 100% = 2,70%. Certamente, muitos de nossos leitores/visitantes terão dificuldades em entender o raciocínio mostrado acima. Para melhor compreensão, recorramos a um exemplo real. Pense no caso em que o número 0 ocupe as 2 primeiras casas. Ora, quem poderá então ocupar a segunda e a terceira? Isso mesmo, o 1, 0 2, o 3, o 4, o 5, o 6, o 7, o 8 ou o 9. Note então o funcionamento da primeira parte de nosso raciocínio, no lugar do 0 poderemos utilizar qualquer algarismo de 0 a 9 (ou seja: 10 opções). Definido o primeiro grupo de 2 algarismos repetidos, devemos partir para a definição do segundo. Ora, restaram outros 9 números diferentes daquele usado no primeiro grupo (hipóteses válidas = 10 x 9 = 90). Detalhe essencial: observe que: se o primeiro grupo é: 00 e o segundo 11, por exemplo o 0011 e o 1100 já foram contados, visto que: 0 00 e 11 já foram levados em conta nas 10 hipóteses válidas para o primeiro algarismo, assim como 0 00 e o 11 nas 9 hipóteses para o segundo grupo). Isso significa que aqui não existe a necessidade de se multiplicar por 2. Continuemos a pensar em 00 para o primeiro e 11 para o segundo grupo. Ora, poderíamos fazer: 0011, 0101, ou 0110, ou seja, 3 alternativas para as posições relativas. Então o total de hipóteses

3 válidas é: 90 x 3 = 270. Ao nosso ver, este é o ponto mais difícil de ser entendido em todo o raciocínio apresentado para resolver a questão proposta. O quarto passo se refere à existência de 3 algarismos repetidos e 1 outro diferente. Ora, o algarismo repetido poderá ser ocupado por 10 valores diferentes (0 a 9). Restam, portanto, 9 alternativas para o outro valor (ainda uma vez insistimos que esse raciocínio elimina a necessidade de se analisarem as inversões). O número de alternativas para esta primeira consideração são: 10 x 9 = 90. Resta considerar que, os 3 algarismos repetidos podem ocupar as posições: 1, 2 e 3 ou 1,2 e 4, 1,3 e 4 ou, 2,3 e 4. Portanto, existem 90 x 4= 360 hipóteses válidas, o que representa: (360/ 9999) x 100% = 3,60%. A última alternativa é representada por 4 algarismos repetidos. Este caso se resove com um raciocínio breve e conclusivo: as repetições poderão se dar com qualquer algarismo de 0 a 9: 0000, 1111, 2222, Ora, serão em princípio 10 hipóteses. Entretanto, o número 0000 não é utilizado para placas de veículos, restando então 9 números válidos com 4 algarismos repetidos, o que representa: (9/ 9999) x 100% = 0,09% Ora da onça beber água: o somatório de todas as hipóteses levantadas deve, obrigatoriamente, ser igual a 100%: 50, ,20 + 2,70 + 3,60 + 0,09 = 100,00%. Upa, vencemos!!! Por: Sebastião Alves da Silva Filho - 1ª versão em , às 14h27min - revisto e atualizado em , às 09h10min.

4 À MÁQUINA O QUE É DA MÁQUINA - AO HOMEM A CRIATIVIDADE Computadores são totalmente incapazes de raciocinar, esta afirmação é inteiramente verdadeira. Igualmente verdadeira é a afirmação: pessoas não se sentem bem ao executar tarefas altamente repetitivas. Pois bem, nada mais verdadeiro então que o cabeçalho deste texto. Ora, seria considerada "ofensa grave" a atribuição a um aluno do ensino médio por exemplo, da tarefa de escrever os números inteiros (0000 a 9999) que podem representar a parte numérica de uma placa de um veículo, no Brasil. Ainda mais ofendido ficaria nosso aluno se lhe atribuíssemos, como tarefa complementar a de, analisando 1 a 1 os números, apontar aqueles com 0, 1, 2, 3 ou 4 repetições de algarismos. Entretanto, o computador executaria tal tarefa com muita disciplina e total correção. Observemos no entanto que, o computador só fará a tarefa com perfeição se receber as "orientações corretas". Ou seja, caberá ao nosso aluno elaborar um programa de computador que repasse as instruções corretas ao computador para que ele realize com correção a tarefa. Onde está a vantagem disso, visto que, para "orientar o computador" em sua tarefa nosso aluno/herói deverá antes aprender a resolver o problema que nos aflige. Ora, mais uma vez o cabeçalho: à máquina o que é da máquina, executar a tarefa repetitiva de considerar 1 a 1 todos os números, enquadrando-os na respectiva categoria a pesquisar e, no final, consolidando os dados obtidos. Ao homem a tarefa criativa de "ensinar" ao computador os critérios para fazer a classificação de cada número. Até me emociono diante de tanta beleza, verdadeira obra de arte juntar a "paciência da máquina" que com uma tremenda agilidade e rapidez irá resolver a tarefa que ao homem sempre será enfadonha. Nada porém funciona com toda essa perfeição. A tarefa de construir um modelo matemático que resolva a questão, assim como transformá-lo posteriormente em instruções, baseadas em uma linguagem de programação, capazes de solucionar o problema também apresenta um grau razoável de dificuldades. Para que não fiquemos apenas na especulação, vamos mostrar, passo a passo, a construção do tal modelo matemático. A primeira idéia que se nos apresenta é a de gravar inicialmente, na memória do computador, através de nosso futuro programa, todos os números de 0001 a Quase certamente, qualquer programador começará por aí. E se lhe dissermos que isso não será necessário? Você verá, acompanhando nossa narrativa que é possível resolver a questão sem escrever sequer um dos 9999 números válidos. O primeiro passo de nossa tarefa será criar um sistema que permita ao computador transitar pelos números, de 1 em 1, partindo-se do 1 e chegando-se ao Sabe-se que a melhor forma de se resolver um problema, via programação de computadores é dividi-lo em etapas

5 com o menor tamanho e complexidade possíveis. Vamos então, ao invés de percorrermos todo o número, percorrer suas partes, ou seja, milhares, centenas, dezenas e unidades. Em computação isso será feito construindo um laço (loop em Inglês) para cada uma das entidades (milhares, centenas, dezenas e unidades). Um laço poderá ser construído com o uso da palavra PARA. Veja a construção do laço das milhares: PARA(i>= 0 E i<10000). Com esse laço iremos atribuir todos os valores de milhares de 0 a 9. O i é uma variável de incremento. Observe, entretanto, que, na continuidade da solução, enquanto i (representando o número de milhares) se mantém em 0, as centenas irão variar de 0 a 9, ídem para as dezenas e também unidades. Teremos então um conjunto de laços (1 para milhares, outro para centenas, outro para dezenas e um último para unidades), utilizando-se para incremento as variáveis: j, k e l. Quando todos laços se encontrarem posicionados no valor 0, teremos o número 0000 que será descartado, tendo em vista que não se utilizam placas com número A partir daí as variações irão começar no laço mais interno, ou seja, nas unidades (variação de k). O próximo número será o 0001, seguindo-se o 0002, 0003,...,0009. Estando no valor 9 para as unidades, o próximo incremento irá romper o laço. Neste momento, diremos ao computador para zerar as unidades e incrementar as dezenas em 1 e teremos o número Ao chegarmos ao número 0099, o próximo incremento irá abrir o laço das dezenas. Faremos então as dezenas igual a zero e incrementaremos em um o laço das centenas, gerando o número Imagine como se dará o processo ao incrementarmos o número Ao percorrermos os 4 laços integralmente, isto é, fazendo com que os valores i, j,k e l variem de 0 a 9, teremos passado pelos 9999 números válidos. Lembre-se que o computador fará tudo isso em uma pequena fração de segundo. Agora bastará rechear o nosso bolo, ou seja, no interior do laço das unidades inserir as condições que desejamos, para cada hipótese da questão proposta e criar um contador para assimilar os resultados. Por exemplo, para 0 repetições diremos que serão contados os números em que se obedeçam às seguintes condições: i j, i k, i l, j k, j l, k l. As demais condições, para as outras hipóteses buscadas podem ser vistas e analistas através do link citado abaixo. Siga o link contido abaixo e veja um script em javascript que resolve a questão. Para acessar o código fonte, clique com o botão direito do mouse sobre a página do script e selecione: "ver código fonte da página". SOFTWARE PLACAS