PROVAS E ARGUMENTAÇÕES EM GEOMETRIA ATRAVÉS DE DIFERENTES MÍDIAS: UM RELATO DE EXPERIÊNCIA.

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1 PROVAS E ARGUMENTAÇÕES EM GEOMETRIA ATRAVÉS DE DIFERENTES MÍDIAS: UM RELATO DE EXPERIÊNCIA. Jorge Luís Costa, jorge@jlcosta.pro.br, Regina Célia Grando, regina.grando@saofrancisco.edu.br, Universidade São Francisco - Itatiba/SP INTRODUÇÃO A formação do professor de matemática, entendida como um processo contínuo, encontra nos grupos cooperativos/colaborativo um potencial extraordinário, pois nas trocas de experiências e nas discussões seus participantes constroem e solidificam seus conhecimentos. Isto fica muito explícito neste relato de experiência sobre desigualdade triangular vivenciado no grupo, sujeito da minha pesquisa. Este relato faz parte da minha pesquisa de mestrado na qual proponho investigar os processos de argumentações, provas e validações em atividades de investigações geométricas em diferentes mídias num ambiente de trabalho colaborativo. O SUJEITO Este grupo, denominado Grupo Colaborativo de Geometria Grucogeo, foi constituído em agosto de 2003 com o objetivo inicial de criar um ambiente propício para o desenvolvimento de pesquisa na e sobre a prática pedagógica (NACARATO ET AL, 2006, p.198). Ele é formado por professoras formadoras, alunos do curso de pós-graduação, professores universitários, professores da rede pública do ensino fundamental e médio, e alunos do curso de licenciatura em Matemática. Ele reúne-se semanalmente às segundas-feiras, das 17:00 as 19:00 horas, nas dependências da Universidade São Francisco, campus de Itatiba, na sala do Núcleo de Pesquisa em Educação Matemática - NEPEM. Entendemos este grupo como sendo de dimensão colaborativa, dentro da perspectiva assumida por vários pesquisadores (Boavida e Ponte, 2002; Fiorentini, 2004; Nacarato, 2005; Nacarato et. al, 2006), podendo caracterizá-lo como aquele tipo de grupo que representa uma forma particular de cooperação que envolve trabalho conjuntamente realizado de modo a que os actores envolvidos aprofundem mutuamente o seu conhecimento (BOAVIDA, PONTE, 2002, p.4) e que o seu trabalho traz como característica a voluntariedade, identidade e espontaneidade (NACARATO, 2006, p.201). No período em que o freqüentei, março de 2006 a junho de 2007, a dinâmica usada nas reuniões era a apresentação de uma tarefa exploratória/investigativa, de interesse comum, que normalmente possibilitava o uso de diferentes mídias. Este trabalho era realizado em pequenos grupos que criavam suas conjecturas,

2 estruturavam suas justificativas ou provas e redigiam o registro que posteriormente era apresentado e discutido por todos. Além das discussões sobre os aspectos práticos da atividade, as professoras formadoras faziam a articulação com os fundamentos teóricos-epistemológicos e metodológicos para o ensino da Geometria (NACARATO, 2006, p.201). Na coleta de dados para a pesquisa foram usados vídeogravações, audiogravações e anotações. Num período anterior ao da minha participação, havia ainda uma outra característica das atividades: sua preparação de forma coletiva, a aplicação em sala de aula por parte de um ou mais professores participantes do grupo e posteriormente a apresentação e discussão dos resultados alcançados. Foi próximo desta perspectiva que se originou este relato. A ATIVIDADE A atividade, trabalhada em sala de aula pelo professor PP e apresentada ao grupo, foi a desigualdade triangular, conforme dito anteriormente. Estamos considerando-a investigativa, pois temos uma situação aberta, que permite ao aluno envolver-se na actividade desde o seu primeiro momento. De igual modo, na elaboração de estratégias, na generalização de resultados, no estabelecimento de relações entre conceitos e áreas da Matemática, na sistematização de idéias e resultados (PONTE ET AL, 2000, p.1). Por ser uma atividade com proposta aberta é que foi possível ao professor PP explorá-la tão amplamente, garimpando informações e tecendo conjecturas. Na apresentação da atividade ao grupo o professor explica: Durante as férias organizei o material. Já na primeira semana de aula eu fiz a atividade (...) até por questão do planejamento. Apliquei o material, colhi alguns registros dos alunos. (...) Alguns deles eu digitei ai nessas duas páginas, uma para 5ª série e a outra para 6ª série. Fiz no mesmo dia com as duas turmas. (...) Ela [a atividade] consistia em jogar três dados e haviam palitos com seis cores diferentes e de acordo com os números que caiam nos dados eles pegavam os três palitos correspondentes e verificavam se aqueles três palitos formariam ou não o triângulo. Se formando o triângulo, eles já responderiam aqui no lado, na tabela. (...)

3 Cada cor correspondia a um tamanho específico. Fiz minha unidade com um centímetro e meio. A partir de um centímetro até seis unidades. As fontes usadas para a discussão no grupo foi o conjunto de registro feito pelos alunos e as impressões do professor PP. A partir destes, procurou-se entender como os alunos mobilizaram seus conhecimentos durante a atividade. FRAGMENTOS Fizemos o recorte de alguns fragmentos da reunião, que nos permitiu uma análise tendo como foco central o problema da nossa pesquisa. Concreto e abstrato Nesta atividade, os palitos e os dados podem ser considerados recursos didáticos, que segundo Paes(2000),... são os elementos utilizados como suporte experimental na organização do processo de ensino e de aprendizagem. Sua finalidade é servir de interface mediadora para facilitar na relação entre professor, aluno e o conhecimento em um momento preciso da elaboração do saber (p.2-3). Porém, eles podem não cumprir seu objetivo e até mesmo causar uma dificuldade. Veja o registro que o professor PP traz, de um grupo da 6ª série: Primeiramente, chegamos à conclusão que se pegarmos o palito maior e ao somarmos os dois menores desse igual, não formaria triângulo. (...) Dois, chegamos à conclusão que se os palitos forem do mesmo tamanho formarão o triângulo (...) Quando chegamos à última jogada, logo vimos que não daria certo, pois a soma dos palitos menores era do mesmo valor do maior. Só que no lugar disso deu certo. Então, chegamos à conclusão que os palitos estavam com defeito. Apesar do cuidado do professor em fazer um bom acabamento, raramente se escapa de problemas desta natureza: pequenas diferenças entre os palitos. Por isso, Paes (2000) alerta que não se pode focar o ensino na exclusiva manipulação de objetos, esquecendo a estreita relação que deve haver entre a experiência e a reflexão (p.2) e ainda que é fundamental a competência do professor.

4 Generalização e linguagem Segundo Santos (2005), Na aula de Matemática, a comunicação pode ser entendida, (...), como todas as formas de discursos, linguagens utilizadas por professores e alunos para representar, informar, falar, argumentar, negociar significados. (p. 117) Assim, quando participa de uma atividade exploratória/investigativa o aluno terá que usar a linguagem, no mínimo, em dois momentos: (a) no de negociação com o seu grupo defendendo, via argumentos, seu ponto de vista; e (b) no momento de expressar a resposta ou conclusão do seu grupo para sala. Observa-se nos registros dos alunos a falta de uma linguagem clara e objetiva, dificultando o entendimento da resposta e, até mesmo, do raciocínio empregado. Na pergunta proposta pelo professor PP, Quando três palitos formam ou não triângulos?, obteve-se respostas do tipo: (1) Porque o número, tamanho e a forma são diferentes. (2) Porque os palitos são pequenos ou às vezes os números não tem formas iguais; (3) Quando as três partes se juntam; (4) Depende das medidas; Numa postura reflexiva, o professor PP reconhece a necessidade de uma intervenção junto aos alunos, tentando fazê-los entender a necessidade reformular seu raciocínio ou reformular a forma como ele foi expressado. Ponte et al. (2000) afirma que uma das maneiras de apoiar o progresso dos alunos na sua actividade é através de perguntas adequadas (p.17). Figuras prototípicas e conceito Um outro elemento que fica muito marcante nos registros dos alunos é a questão das figuras prototípicas. Gravina (1996), escreve que os livros escolares iniciam com definições, nem sempre claras, acompanhadas de desenhos bem particulares. (...) Isto leva os alunos a não reconhecerem desenhos destes mesmos objetos quando em outra situação (p.2)

5 Discutimos este assunto ao analisarmos, junto com o professor PP, os relatos de um grupo de alunos da 5ª série: Tem um exemplo aqui, na 5ª série, lá no grupo 6, quando um aluno respondeu que depende das medidas, por exemplo, se for 6, 5 e 1 não dá pra formar, agora se for 6, 5, 4 dá um triangulo reto, em uma das jogadas deste grupo apareceram os números 2, 5, 5 foi negativa quanto à formação do triângulo, acharam que não daria pra formar porque parecia com a letra A. Em outro relato, agora numa outra 6ª série, os alunos confundem figuras planas com espaciais, o professor PP relata que (...) havia uma discussão em relação ao que é ser triângulo, quando que... eles falavam assim... viam ali os três palitos ali no quadro e diziam: aquilo ali não é triângulo é pirâmide. Quando o professor PP pede aos seis alunos pertencentes a um dos grupos que escrevessem o que é triângulo, recebe como resposta de cinco deles, que triângulos é formado por partes iguais e ao mostrar um triângulo isóscele, onde a base é um pouco menor que as outras duas, eles identificaram como pirâmide. Num outro relato, os alunos afirmam que conseguimos formar o triângulo, pois o menor palito ficou na base. Observa-se neste caso o protótipo da base do triângulo como sendo a parte de baixo e não um dos lados que se toma como um referencial para análise. O estagiário TH que acompanhou o professor PP na aplicação da atividade, relatou que em determinado momento foi ao quadro e exemplificou para os alunos algumas representações de triângulo desenhando-os em diferentes posições. A professora formadora RG aproveita e questiona-o qual o triângulo que ele desenhou. A princípio ele afirma que não se lembra, mas em seguida afirma que foi um triângulo eqüilátero, reforçando assim a idéia do quanto a figura prototípica está impregnada em nossa formação. CONSIDERAÇÕES Apesar desta atividade não trazer uma prova ou demonstração como resultado direto, por meio de sua análise pudemos fazer uma série de reflexões amplas sobre elementos que interferem nelas: a limitação do material usado nas atividades exploratórias/investigativas, conceitos matemáticos deficientes e falta de linguagem matemática apropriada para estruturar uma argumentação. Por estas análises, que é uma pequena amostra do todo da atividade, pudemos reconhecer a potencialidade do trabalho com as atividades

6 exploratório/investigativas e o quanto que a análise em um grupo pode contribuir para o aperfeiçoamento do mesmo. As dificuldades detectadas nos registros dos alunos e a falta dos conceitos básicos sobre triângulos só foram possíveis de ser identificadas por que a atividade não tinha uma pergunta direcionada, fechada. Provavelmente muitos desses alunos, mesmo não dominando os conceitos de triângulo, resolveriam com sucesso vários exercícios. No dia desta análise, estávamos em 13 pessoas, sendo, uma professora formadora, dois alunos da pós-graduação, três professores da rede pública de ensino e sete alunos da graduação. O assunto, desigualdade triangular, não era desconhecido por nós, porém as análises feitas permitiram um aprofundamento teórico e conceitual que enriqueceu em muito nosso conhecimento geométrico. REFERÊNCIAS Boavida, Ana Maria; Ponte, João Pedro da. Investigação colaborativa: Potencialidades e problemas. In GTI (Ed.). Reflectir e investigar sobre a prática profissional. Lisboa: APM, 2002, p GRAVINA, Maria Alice. Geometria dinâmica: Uma nova abordagem para o aprendizado da geometria. IN: Anais do Simpósio Brasileiro de Informática na Educação. 1996, p NACARATO, Adair Mendes. A escola como locus de formação e de aprendizagem: possibilidades e riscos da colaboração. IN: Cultura, formação e desenvolvimento profissional de professores que ensinam Matemática. FIORENTINI, Dario; NACARATO, Adair Mendes (Org.). São Paulo: Autêntica, 2005, p NACARATO, Adair Mendes et al. Professores e futuros professores compartilhando aprendizagens: dimensões colaborativas em processos de formação. IN: A formação do professor que ensina matemática. NACARATO, Adair Mendes; PAIVA, Maria Auxiliadora Vilela (Org.). Belo Horizonte: Autêntica, 2006, p PAES, Luiz Carlos. Uma análise do significado da utilização de recursos didáticos no ensino da geometria. ANPED, PONTE, João Pedro da, OLIVEIRA, Hélia, BRUNHEIRAS, Lina, VARANDAS, José Manuel, FERREIRA, Catarina. O trabalho do professor numa aula de investigação matemática SANTOS, Vinício de Macedo. Linguagem e comunicação na aula de Matemática. IN: Escrituras e leituras na Educação Matemática. NACARATO, Adair Mendes; LOPES, Celi Espasandi (Org.). Belo Horizonte: Autêntica, 2005, p