É possível levar um sapo ao lago?

Transcrição

1 É possível levar um sapo ao lago? Resumo da atividade Nesta atividade o professor proporá aos alunos um jogo de tabuleiro, sem contar para os alunos que o objetivo do jogo é impossível de se alcançar. Os alunos deverão ser estimulados a tentar o quanto puderem chegar ao objetivo. Quando eles começarem a notar que há algo estranho, o professor procurará mostrar que provar que algo é impossível não é tão simples assim. Ao final da atividade, o professor provará para os alunos que é mesmo impossível chegar a este objetivo. A ideia é que, depois desta atividade, os alunos entendam um pouco como os matemáticos conseguem provar que algo é impossível.

2 Apresentação do jogo O jogo a ser proposto é constituído por: Um tabuleiro como o de xadrez ou o de damas. Nos desenhos apresentamos um tabuleiro 9 x 9, mas outros formatos (9 x 9, 10 x 10, 20 x 30, etc) também podem ser utilizados. Três peças verdes, chamadas de sapos. Uma peça azul, chamada de lago. No início do jogo as quatro peças ocupam um pedaço 4 x 4 do tabuleiro, conforme a Figura 1. Figura 1: como é o início do jogo O objetivo do jogo é levar um dos sapos ao lago seguindo as regras descritas abaixo.

3 Regras do jogo O lago ficará parado ao longo de todo o jogo, enquanto os sapos poderão ser movidos de acordo com as seguintes regras. 1. Em cada rodada apenas um sapo se moverá. Ele irá de uma casa a outra no tabuleiro. 2. Este sapo deverá pular por cima de um outro sapo (chamado de sapo pivô) 3. O pulo é feito da seguinte forma: o sapo que pula vai para a casa oposta à que atualmente ocupa com relação ao sapo pivô. Por exemplo: a. se o sapo que pula está na mesma linha e três colunas à direita do sapo pivô, ele continua na mesma linha e vai para três colunas à esquerda do sapo pivô; b. se o sapo que pula está 2 linhas para cima e 3 colunas para a esquerda do sapo pivô, ele passa a estar 2 linhas para baixo e 3 colunas para a direita do sapo pivô. Caso a casa oposta esteja fora do tabuleiro ou já esteja ocupada por outro sapo, o pulo não pode ser executado. 4. Se o sapo que pula cai na casa no lago, o jogo termina. As figuras 2, 3 e 4 ilustram uma sequência de possíveis rodadas a partir da posição inicial. Em cada figura a seta laranja indica o pulo e o sapo pivô está marcado com a borda vermelha. Figura 2: o sapo que pula estava uma linha a cima e na mesma coluna que o sapo parado.

4 Figura 4: o sapo que pula estava uma linha acima e uma coluna à esquerda do sapo parado Figura 3: o sapo que pula estava duas linhas abaixo e uma coluna à direita do sapo parado

5 Estágios da atividade 1) Explorando o jogo O professor deverá levar o jogo para a sala de aula, explicar suas regras e objetivo e assegurar- se de que os alunos entenderam como se joga. Deverá permitir que os alunos tentem ao máximo chegar ao objetivo de botar um sapo no lago. 2) Problematizando o impossível Em algum momento os alunos notarão que não dá para cumprir o objetivo do jogo. A tarefa do professor é, então, problematizar o não dá. Alguns comentários possíveis. Tem coisas que parecem impossíveis e não são. Tinha gente que dizia que era impossível ter um veículo mais pesado que o ar, mas aí inventaram o avião. Quem disse que não dá? Vai ver que você só não achou a solução! Imagine que o teu patrão pede uma solução, você diz que não conseguiu e ele diz que vai te demitir para chamar alguém mais competente. Como você o convenceria que não vale a pena? Como é que não tem solução? Veja só: se as peças começassem assim [figuras 5 e 6], seria possível, não é? Por que não é possível do outro jeito? [Ressaltamos que não é tão simples ver a possibilidade no segundo caso. Isto sugere que difícil é diferente de impossível.] Figura 5: se o jogo começasse assim, seria possível chegar ao lago com apenas dois pulos

6 Figura 6: aqui também dá para chegar ao lado com dois pulos (você consegue ver como?). 3) Provando a impossibilidade Depois de fomentar a polêmica, o professor irá apresentar (de forma leve e mais visual do que formal ) uma demonstração de que é mesmo impossível chegar ao objetivo. O professor deve enfatizar que a demonstração é diferente de tentar e não conseguir porque ela cobre todas as tentativas que qualquer pessoa poderia fazer. É importante Primeiro passo: enxergar porque não dá O professor deve pedir que os alunos imaginem que os quadrados estão pintados com quatro cores, da forma apresentada na figura 7 (é recomendado apresentar um tabuleiro colorido ao vivo ). Depois ele deve pedir que os alunos joguem o jogo segundo a condição inicial original e vejam se percebem algo relacionado às cores. Idealmente, os alunos vão notar um padrão (que pode ser apontado, caso eles não notem): a cor da casa de cada sapo nunca muda [ver figuras 8, 9 e 10 para exemplos]. Isto já dá um argumento diferente da tentativa e erro para demonstrar que não dá. Afinal, nenhum sapo começa de casa vermelha e portanto nenhum dos sapos chegará à casa vermelha do lago ou a qualquer outra casa vermelha. Neste momento é importante dar a chance para que os alunos testem estas afirmações na prática, eventualmente considerando outros inícios possíveis para o jogo.

7 Figura 7: a configuração inicial no tabuleiro com 4 cores Figura 8: o sapo que pula vai de uma casa branca para outra

8 Figura 9: o sapo que pula vai de uma casa lilás para outra. Figura 10: o sapo mais uma vez troca uma casa lilás por outra

9 Segundo passo: uma explicação mais detalhada Após apresentar a explicação pelas cores, o professor pode dar uma justificativa mais detalhada e formal de porque ela prova que é de fato impossível chegar ao lago. Por que quatro cores? Numere as linhas do tabuleiro de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita [figura 11]. Veja que as cores distinguem as casas da seguinte forma. Linha ímpar, coluna ímpar - > cor branca Linha par, coluna ímpar - > cor preta Linha ímpar, coluna par - > cor vermelha Linha par, coluna par - > cor lilás Por que a cor do sapo se preserva? Basta ver que o sapo que começa numa coluna par sempre estará numa coluna par, e que o mesmo vale para as linhas. Vamos ver porque isto funciona analisando um primeiro caso. Se o sapo que pula está c colunas à esquerda do pivô, ele vai andar 2c colunas para a direita. Ou seja, a mudança no seu número de coluna é sempre par. Como a soma de par com par é par, se o seu número original de coluna era par, vai continuar par. Do mesmo modo, como ímpar + par = ímpar, se ele começou de ímpar vai continuar ímpar. O mesmo raciocínio vale para quando o pivô está do outro lado, ou para os números de linha Figura 11: o tabuleiro com as linhas e colunas numeradas.

10 Conclusão e comentários adicionais Na maior parte do tempo os pesquisadores em Matemática se deparam com a tarefa de provar que algo é possível, por exemplo, que um problema tem solução. A atividade proposta reproduz de maneira simples um outro tipo de situação: a de provar que uma determinada coisa é impossível. Note que provar que é possível é provar que dá : ou seja, basta encontrar uma solução. Já provar que é impossível é algo mais complexo: ao invés de apresentar uma solução, temos que explicar porque uma solução não existe. O exemplo acima mostra que isto pode ser feito com alguma criatividade. A ideia principal foi mostrar que há elementos invariantes no jogo, ou seja, elementos que não mudam com o tempo (no caso, a cor da casa de cada sapo) que proíbem a existência de uma solução. Eis uma outra classe de problemas em que invariantes aparecem. Imagine dois pedaços de corda nos formatos apresentados abaixo. Será que é possível botar cada uma destas cordas no formato de círculo abaixo sem arrebentar as respectivas cordas? Este problema, que parece apenas um passatempo, na verdade faz parte da chamada Teoria de Nós. Esta é uma área importantíssima da Matemática e que tem relações com Física. Não é difícil demonstrar que isto é de fato possível no primeiro caso: basta mostrar como se faz e o problema está resolvido. Já o caso trevo de três folhas seria parecido com o nosso

11 jogo. Mesmo com muitas tentativas, os alunos não conseguiriam atingir o objetivo, mas provar que o objetivo é impossível é bem mais difícil. De fato, a prova matemática de que é impossível também usa a ideia de invariantes. Muitos outros problemas interessantes usam invariantes de uma maneira ou de outra. Referências O jogo é baseado em um problema do seguinte livro. ZEITZ, P. The art and craft of problem solving, 2007, John Wiley & Sons. Para saber mais sobre Teoria de Nós, recomendamos as seguintes fontes. Artigo da Wikipedia em inglês: KAUFMANN, L. Knots and Physics (Fourth Edition), 2013, World Scientific Publishing. (Para conexões com a Física.)