O Jogo do Solitaire. Objetivos. Conteúdos abordados. Metodologia. Materiais. Programa PIBID/CAPES Departamento de Matemática Universidade de Brasília

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1 Programa PIBID/CAPES Departamento de Matemática Universidade de Brasília Objetivos Desenvolver o raciocínio lógico e a habilidade de organiação de estratégias de ação e de seleção de métodos de resolução. Conteúdos abordados Representação gráfica; Função; Sequências numéricas; Metodologia Por meio da análise de um quebra-cabeça o aluno é levado a descobrir novas estratégias para solução do mesmo. Com auílio de conceitos construídos ao longo do caderno, o aluno adquire ferramentas que o permite tirar conclusões sobre a solubilidade do quebra-cabeça estudado. Materiais Tabuleiro; Canetas Autor Thafarel Rodrigues da Costa Orientador Prof. Gu Grebot

2 Resumo teórico O Resta Um é um jogo muito simples cujas leis que governam suas soluções podem ser estudadas com auílio de conceitos matemáticos. Dentre as várias questões que podem ser levantadas, são destacadas: qual é o mínimo de movimentos para resolver o problema? Essa sequência de movimentos é única? Eistem problemas equivalentes? O maior desafio ao estudar este jogo é determinar o número mínimo de movimentos necessários para resolvê-lo. Vários matemáticos e criadores de jogos se dedicaram a este estudo. Henr Ernest Dudene foi um matemático inglês e autor de livros e jogos de lógica, que publicou uma solução para o Resta Um com 9 movimentos. Quatro anos depois, Ernest Bergholt publicou [] em uma revista chamada The Queen uma solução com 8 movimentos (ver aneo). Em 964, anos após a publicação de Bergholt, John Beasle [] provou que uma solução com menos de 8 movimentos não é possível. Para facilitar o estudo do Resta Um, usaremos, a partir de agora, a seguinte notação com objetivo de localiar cada casa dentro do tabuleiro e faer referência a alguns problemas. a a 4 a b b 4 b c c c c 4 c c 6 c 7 d d d d 4 d d 6 d 7 Figura : Notação para descrever cada casa do tabuleiro. e e e e 4 e e 6 e 7 f f 4 f g g 4 g Resolver o quebra-cabeça, de acordo com a notação acima, consiste em remover, por meio de movimentos válidos, todas as peças do tabuleiro e deiar apenas uma peça na posição d4 (d4-complementar). A seguir, há um estudo sobre esse problema e ainda uma ferramenta fundamental para determinar se uma jogada realiada impossibilita ou não a resolução do problema.. Teoria de Grupos Sejam, e, os valores de três casas adjacentes numa mesma linha, ou coluna, do tabuleiro. Definiremos a operação + para descrever movimentos válidos, onde + = indica que a peça da casa saltou sobre a peça da casa e parou na casa de valor. Temos, de modo análogo, + =. Assim, a casa está entre as casas e. Logo, pular a casa duas vees seguidas em sentidos opostos, leva à identidade. Este fato pode ser interpretado por e podemos impor que ( + ) + = ( + ) + = + ( + ) = Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília

3 e + = 0. O símbolo 0 tradu a invariância do movimento. Dessa forma, temos então o conjunto G = {0,,, } e vamos mostrar que (G, +) define uma estrutura de grupo associada às casas do tabuleiro. Lema A primeira e a quarta casa de uma sequência de 4 casas seguidas numa mesma linha ou coluna, assumem o mesmo valor. Demonstração do Lema Sejam a,,, e b casas seguidas do tabuleiro; logo são válidas as operações + = b e + = a. Da primeira temos: e portanto, + = b + + = b a + = b = a = a + a + = b =. Analogamente, para a segunda operação temos + = a + + = a + + = + a = + a + = + a + + a = + a = a = + =. Esse processo pode ser repetido para qualquer casa do tabuleiro, o que mostra a afirmação. Dessa forma é possível mapear cada casa do tabuleiro e chegar a seguinte configuração: Figura : Notação para descrever cada casa do tabuleiro. Com auílio do mapeamento realiado podemos montar uma tabela que contém todos os movimentos para a operação definida anteriormente A operação de quaisquer dois elementos de G está representada na tabela que nos mostra ainda, a comutatividade dos movimentos realiados. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília

4 Lema A soma de três casas adjacente numa mesma linha, ou coluna, é ero. Demonstração do Lema + + = + = 0. Da afirmação anterior, concluímos que a soma das triplas (,, ) presentes no tabuleiro é constante e igual à ero. O problema do quebra-cabeça é o d4-complementar, ou seja, a única casa vaia no início do jogo é a central que possui valor. Para essa configuração teremos triplas que somadas resultam em ero e a soma + =. Logo, a soma total do tabuleiro é. Note que a operação + = implica que as casas e serão substituídas por uma casa. Este fato mostra que o valor de qualquer configuração é invariante se forem realiados movimentos válidos. Em particular, podemos afirmar que qualquer posição derivada da configuração d4-complementar possui valor.. Função Pagoda A função Pagoda é uma importante ferramenta para verificar se certa configuração do tabuleiro possui ou não solução e permite decidir se determinado movimento impossibilita, ou não, resolver o problema. O princípio por trás de uma Função Pagoda (referência) é atribuir valores para cada casa do tabuleiro de tal forma que se P, Q e R são valores atribuídos a três casas adjacentes, numa mesma linha ou coluna, então P + Q R. Para atribuir esses valores, algumas condições devem ser seguidas: (a) Casas que podem ser saltadas não podem possuir valores negativos; (b) Duas casas adjacentes a uma com valor ero possuem mesmo valor numérico; (c) Se duas casas adjacentes, numa linha ou coluna, possuem valor ero, então toda casa dessa linha, ou coluna, também possuirá valor ero. Essas condições podem ser verificadas facilmente. No caso de (a), se Q é o valor entre P e R, então P + Q R e R + Q P o que implica Q 0. Para a condição (b), se P e R são duas casas adjacentes a um ero, numa mesma linha ou coluna, então P + 0 R e R + 0 P e assim concluímos que R = P. A condição (c) decorre imediatamente de (b). Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 4

5 Orientações para a aplicação das atividades. Atividade.. Na figura 9 estão representados 4 blocos distintos, onde as casas preenchidas representam as peças contidas no bloco e as casas com bolas brancas representam as possíveis posições da peça pivô do bloco. Nessas disposições é possível eliminar todas as peças e deiar apenas a peça pivô em sua posição original. O mediador deve faer o aluno perceber que apenas o bloco C possui uma casa inicial vaia, além da outra casa em que a peça pivô poderia estar localiada. Deve ainda se observado que, na eliminação dos grupos, não se utilia peças fora do mesmo e é este fato que torna essa estratégia de resolução interessante. Definidos os grupos é possível pavimentar todo tabuleiro utiliando os grupos e removêlos seguindo uma ordem. Na figura seguinte há uma possível pavimentação do tabuleiro construída com os grupos definidos anteriormente. 6 4 Figura : Uma solução usando blocos. Para resolver o jogo basta seguir a ordem indicada e eliminar os grupos numerados com o bloco correspondente conforme a tabela seguinte. Grupo Bloco usado A B A 4 B ou C C 6 D Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília

6 Caderno: Resta. O Jogo Solitaire é um jogo de tabuleiro bem simples e muito curioso, no Brasil esse jogo é conhecido popularmente como Resta Um. Sua origem é incerta, eistem histórias que afirmam que ele foi inventado por um prisioneiro numa solitária durante a Revolução Francesa (789) a partir de um jogo antigo chamado Raposas e Gansos. Soinho em sua cela ele tinha apenas um tabuleiro deste jogo que devia ser jogado por duas pessoas, a falta de um parceiro o fe adaptar as regras e assim criar o Resta Um, para um só jogador, que lhe serviu de passatempo durante sua prisão.. Regras Figura 4: O tabuleiro do solitaire No início do jogo, há peças no tabuleiro dispostas como na figura acima. O jogador deve realiar movimentos válidos para retirar as peças. Um movimento consiste em pegar uma peça e faê-la saltar sobre outra peça, sempre na horiontal ou na vertical, terminando em um espaço vaio. A peça que foi saltada é retirada do tabuleiro. O jogo acaba quando não é possível faer nenhum movimento. O jogador ganha se restar apenas uma peça no tabuleiro, mas o objetivo maior é deiar a peça restante na posição central do tabuleiro. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 6

7 .. Atividade: conhecendo o jogo. Tente resolver o quebra cabeça.. Quantas peças você deiou?. Você utiliou alguma estratégia para resolver o problema? Qual?.. Atividade: desafios iniciais. Use movimentos válidos para resolver cada uma das configurações abaio (Figuras e 6). Figura : Configuração. Figura 6: Configuração.. Observe as configurações abaio (Figuras 7 e 8) e faça o mesmo que o item anterior. Figura 7: Configuração. Figura 8: Configuração 4.. Qual desafio você teve mais dificuldade para resolver? Por quê?.. Atividade: uma estratégia de resolução. Material: tabuleiro Uma estratégia de resolução do quebra-cabeça consiste em dividir o tabuleiro em blocos de peças que possam ser removidas sem que seja necessário ultiliar outras peças ou posições fora desse bloco. Na Figura 9 as casas pretas representam as peças do bloco e as casas brancas representam as possíveis posições da peça pivô (peça que inicia a jogada).. Em cada bloco realie movimentos válidos e faça restar apenas uma peça. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 7 Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 7 Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 7

8 A B C A B C D 4 A B C D 4 A B C A B C D Figura 9: Blocos para a estratégia de resolução. O que afirmar sobre a posição da peça restante?. Usando cores distintas para cada bloco, delimite-os no tabuleiro de acordo com o esquema abaio (Figura 0). Figura 0: Blocos para a estratégia de resolução 4. Selecione uma sequência para a eliminação dos blocos delimitados no item anterior e faça a jogada para verificar se a sequência escolhida resolve o problema.. Compare as tuas escolhas com as dos teus colegas.. A Função Pagoda A função Pagoda é uma importante ferramenta para verificar se certa configuração do tabuleiro possui ou não solução e que permite decidir se determinado movimento impossibilita, ou não, a resolução do problema. O princípio por trás de uma Função Pagoda é atribuir valores para cada casa do tabuleiro de tal forma que se P, Q e R são valores atribuídos a três casas adjacentes numa linha ou coluna, então P + Q R. Para atribuir esses valores algumas condições devem ser seguidas: a Casas que podem ser saltadas não podem possuir valores negativos; Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 8

9 b Duas casas adjacentes a uma com valor ero, numa mesma linha ou coluna, possuem mesmo valor numérico; c Se duas casas adjacentes, numa linha ou coluna, possuem valor ero, então toda casa dessa linha ou coluna também possuirá valor ero... Atividade. De acordo com a definição acima, quais posições do tabuleiro ocupam as casas que podem possuir valores negativos?. Considere valores consecutivos sobre uma mesma linha ou coluna dados por A, B, C, D, E,. Como se relacionam esses valores?. Restringindo a condição da função pagoda à igualdade, monte uma sequência que defina tal função sobre uma linha ou coluna. 4. Construa uma função Pagoda a partir de um canto. Essa sequência pode ter valores negativos?. De acordo com a Pagoda apresentada à esquerda (Figura ), qual é a soma dos valores da configuração à direita (Figura )? Figura : Função Pagoda Figura : Configuração... Atividade Nas seguintes configurações (Figura ), as casas preenchidas com bolinhas pretas representam peças no tabuleiro e as casas com X representam a posição final do problema.. Tente resolver os dois problemas das configurações acima.. Use a Função Pagoda da atividade anterior e determine os valores das somas das posições inicial e final em cada configuração. Complete, na tabela abaio, a coluna FINAL com o respectivo valor da soma da posição final para cada configuração.. Realie movimentos válidos e preencha a tabela abaio usando a Função Pagoda da Figura. 4. Com base nos itens anteriores, qual é a condição para que seja possível partir de uma configuração inicial e chegar a uma configuração alvo? Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 9

10 X X Configuração Configuração Figura : Configurações a serem resolvidas Jogada Configuração Configuração Valor pré-jogada final diferença Valor pré-jogada final diferença Tabela : Tabela de valores por jogada. Qual é a posição final no tabuleiro para a qual a configuração II possui solução? Justifique sua resposta. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 0

11 .. Desafio Na configuração abaio (Figura 4), as casas preenchidas com o estão inicialmente vaias e as casas com X representam a posição final do problema. As casas vaias estão inicialmente preenchidas e devem ficar vaia no final do problema. Termine a construção X X X X Figura 4: Desafio de uma Função Pagoda iniciada no esquema da Figura 4 que mostre que este problema não tem solução. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília

12 Bibliografia [] Berlekamp E., Conwa J.H, Gu R. (00) Winning Was for Your Mathematical Plas Volume. AK Peters, Ltd. [] Bergholt E. (9) The game of solitaire. [] Beasle, J. D. (98) The Ins and Outs of Peg Solitaire. Alden Press, Universidade de Oford. [4] Allevato N.S.G. e Onuchic L.R.. (006) Ensino-aprendiagem-avaliação de matemática através da resolução de problemas: uma nova possibilidade para o trabalho em sala de aula. Actas da VII Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul. Águas de Lindóia-SP. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília

13 Aneo Figura : Solução com 8 movimentos. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília