DENTRE os problemas clássicos de otimização inerentes

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1 1 Reconfiguração de Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica Utilizando um Algoritmo Banch-and-Bound Não Linear Marina Lavorato, Marcos J. Rider, John F. Franco, and Ruben Romero, Resumo Neste artigo é apresentado um modelo matemático para o problema de reconfiguração de sistemas de distribuição de energia elétrica (RSD) e um algoritmo Branch and Bound (B&B) não linear foi implementado para resolver este problema. O problema de RSD de sistemas de distribuição é modelado neste trabalho como um problema de programação não linear inteiro misto e tem como objetivo encontrar uma topologia radial que permita que o sistema opere de forma adequada em relação às restrições operacionais e com mínimas perdas. O problema original é relaxado de forma que em cada nó da árvore de B&B resolve-se um problema de programação não linear. O algoritmo de B&B não linear deve englobar técnicas eficientes de escolha das variáveis de separação dos subproblemas e da ordem de escolha da resolução dos subproblemas da árvore de B&B. Além disso, no algoritmo desenvolvido foram redefinidos os chamados testes de sondagem. Para avaliar a metodologia proposta foram testados os sistemas de 33, 84, 119 e 136 barras e comparados com os resultados existentes na literatura especializada. Index Terms reconfiguração de sistemas de distribuição, programação não linear inteira mista, Branch-and-Bound não linear, operação de sistemas de distribuição. I. INTRODUÇÃO DENTRE os problemas clássicos de otimização inerentes aos Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica (SDE) encontra-se o problema de reconfiguração de sistemas de distribuição (RSD). O RSD tem como objetivo encontrar a topologia ideal para uma operação ótima de um sistema radial visando obter mínimas perdas de potência ativa, atender a demanda de energia e manter a confiabilidade do sistema. O problema de RSD de sistemas de distribuição é um problema complexo relacionado à operação de sistemas de distribuição e pode ser modelado como um problema de programação não linear inteiro misto (PNLIM), [1]. Por vários motivos técnicos os sistemas de distribuição devem operar com configuração radial embora o sistema tenha estrutura malhada, sendo os mais importantes: a) facilitar a coordenação e proteção do sistema; e b) redução da corrente de curto circuito dos SDE. Assim, pretende-se encontrar a melhor topologia radial possível que permita que o sistema opere de forma adequada em relação às restrições operacionais e com mínimas perdas. Este trabalho foi financiado pelas instituições brasileiras CNPq, FEPISA e FAPESP. M. Lavorato, M. J. Rider, J. F. Franco e R. Romero são da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP Universidade Estadual Paulista, Departamento de Engenharia Elétrica, Ilha Solteira, São Paulo, Brasil. ( s: {marina, mjrider, johnfranco, ruben}@dee.feis.unesp.br). Na literatura especializada aparecem várias técnicas de otimização para resolver o problema de RDS e que podem ser separadas em dois grandes grupos: (1) técnicas exatas e (2) heurísticas e metaheurísticas. As técnicas exatas, como os algoritmos Branch and Bound (B&B), foram usados apenas para modelos relaxados ou usando técnicas de linearização, [2]. Porém, quando são utilisados modelos completos, as heurísticas e metaheurísticas vem sendo muito utilizadas nas últimas décadas. Entre as metaheurísticas utilizadas para resolver o problema de RDS estão Simulated Annealing [3] e [4], Ant Colony [5], Genetic Algorithm. [6], [7] e [8] e os algoritmos Tabu Search [9], [10] e [11]. Dentre os Algoritmos heurísticos utilizados para resolver o problema de RDS estão os algoritmos heurísticos construtivos [12] e [13]. Nos trabalhos citados anteriormente a condição de radialidade dos SDE é garantida de forma implícita através dos operadores de cada metodologia utilizada para resolver o problema de RDS. A metodologia proposta neste trabalho trata a condição de radialidade dos SDE de forma explícita no modelo matemático e garante uma topologia radial para um SDE utilizando um conjunto de equações como em [14]. Neste trabalho o problema de RDS é modelado como um problema de PNLIM, e para resolver este problema é proposta uma metodologia de solução utilizando um algoritmo B&B não linear no qual a cada iteração é resolvido um problema de programação não linear (PNL) decorrente do relaxamento da natureza binária das variáveis de decisão do problema de RSD que passam a ser consideradas como variáveis contínuas e canalizadas. Ao algoritmo B&B não linear foi incorporado um fator de segurança para cada um dos subproblemas antes de serem sondados, este fator tem como tarefa adicionar à função objetivo uma margem adicional de segurança para evitar a convergência para mínimos locais de má qualidade. Assim o valor da função objetivo obtida pelo PNL em cada nó da árvode de B&B pode ser maior que a incumbente em um percentual preestabelecido. Neste processo a definição desta margem pode aumentar consideravelmente o número de soluções de PNL s necessárias para o algoritmo B&B encontrar uma solução de boa qualidade. Outro critério de sondagem considerado é a verificação da condição de radialidade em cada nó da árvore de B&B com o objetivo de diminuir o esforço computacional. O algoritmo B&B não linear foi escrito na linguagem de modelagem AMPL e o solver comercial KNITRO foi utilizado para resolver o problema de PNL em cada nó da árvore de B&B.

2 2 II. MODELO MATEMÁTICO PARA O PROBLEMA DE RSD O problema de RSD é modelado neste trabalho como um problema de PNLIM, como mostrado nas Eqs. (1) - (7), [14]. min f = s.a. ij Ω l (g ij n ij (V 2 i +V 2 j 2V i V j cosθ ij )) (1) P i P Si +P Di = 0 i Ω b (2) Q i Q Si +Q Di = 0 i Ω b (3) V V i V i Ω b (4) P 2 ij +Q 2 ij n ij S 2 ij (ij) Ω f (5) n ij {0,1} (ij) Ω l (6) (ij) Ω l n ij = n b n bs (7) Ω f = {ij / i Ω b and j Ω bi } é o conjunto das direções dos fluxos de potência. Ω l, Ω b, Ω bi Ω b, são os conjuntos de ramos (fechados e abertos), de todas as barras do sistema e de barras conectadas à barra i. ij representa o circuito entre as barras i e j. n ij, número de circuitos abertos ou fechados no ramo ij. P Si e Q Si são as potências ativa e reativa fornecidas pela subestação de uma barra i. P i e Q i são as potências ativa e reativa calculadas na barra i. P Di e Q Di são, respectivamente, as potências ativa e reativa demandadas na barra i. Os parâmetros V e V são os limites máximo e mínimo das magnitudes de tensão. V i representa a magnitude de tensão da barra i. P ij e Q ij são os fluxos de potência ativa e reativa que saem de uma barra i em direção a uma barra j. S ij é o fluxo máximo de potência aparente no ramo ij. n b = Ω b é o número de barras do sistema, n bs é o número de barras com subestações. A função objetivo (1) representa o total de perdas de potência ativa do sistema. As Eqs. (2) e (3) representam as primeira e segunda leis de Kirchhoff, e seus elementos P i e Q i são dados por (8) and (9), respectivamente. P i = V i j Ω b V j [G ij (n ij )cosθ ij +B ij (n ij )sin θ ij ] (8) Q i = V i j Ω b V j [G ij (n ij )sin θ ij B ij (n ij )cosθ ij ] (9) em que θ ij =θ i θ j representa a diferença dos ângulos entre as barras i e j. G ij ( ) and B ij ( ) são, respectivamente, os elementos de condutância e susceptância que formam a matriz de admitância nodal considerando o número de circuitos no ramo ij como variável. A Eq. (4) representa o limite da magnitude de tensão das barras. Os elementos de fluxo de potência ativa e reativa em um ramo ij da Eq. (5) são dados por: P ij = n ij [V 2 i g ij V i V j (g ij cosθ ij +b ij sinθ ij )] Q ij = n ij [ V 2 i b ij V i V j (g ij sinθ ij b ij cosθ ij )] em que g ij e b ij são a condutância e a susceptância dos ramos ij. A variável de investimento binária n ij é a variável de decisão do problema e uma operação factível do sistema de distribuição depende destes valores. As demais variáveis representam o estado de operação de uma solução factível. Para uma proposta de investimento factível, definida através de valores específicos de n ij, vários estados de operação são possíveis. A Eq. (6) representa a característica binária da variável de decisão que indica se as chaves estão abertas ou fechadas. O sistema de distribuição pode ser considerado como sendo um grafo com arcos e nós, sendo assim, do ponto de vista da teoria de grafos, o objetivo do problema é encontrar a árvore do grafo que permite que o sistema opere com perdas mínimas. Da teoria de grafos sabe-se que um subgrafo T é uma árvore se o subgrafo satisfaz as duas condições seguintes: (1) o subgrafo tem (n b 1) arcos e (2) o subgrafo é conexo. Na literatura a equação (7) é considerada como uma condição suficiente para gerar soluções radiais conexas [15]. Porém, a Eq. (7) garante apenas a condição (1). A condição (2) é garantida pelas equações de balanço de potência (2) e (3) desde que cada barra do sistema possua carga e, portanto, a técnica de otimização é obrigada a gerar uma solução factível conectando todas as barras do sistema. Assim, a segunda condição é satisfeita e, portanto, o modelo apresentado gera um sistema conexo com topologia radial [14]. III. ALGORITMO BRANCH AND BOUND Para resolver o problema de RSD é utilizado um algoritmo B&B que tem a função de definir quais os circuitos estarão fechados e quais os que estarão abertos na configuração final do sistema, sendo que inicialmente todos os ramos do sistema foram considerados como desconectados. Assim a Eq. (6) é substituída pelas Eqs. (10) (11), em que a restrição dada pela Eq (11) é quem define a característica do problema de PNL que é resolvido a cada nó da árvore de B&B. Neste trabalho, o problema de RSD é modelado como um problema de PNLIM, e apresentado pelas Eqs. (1) (7). Este é um problema combinatorial complexo que pode levar a um número muito elevado de combinações a serem testadas. 0 n ij 1 ij Ω l (10) n k ij = 0 ou n k ij = 1 ij Ω l, k Ω k (11) Em que n k ij é a variável de decisão que pode ser escolhida pelo algoritmo B&B para separar o subproblema do nó k em dois novos subproblemas. Ω k é o conjunto de nós da árvore de B&B. Para resolver o problem de RSD utilizando um algoritmo B&B foi incluída uma variável de corte de carga, que serve apenas para indicar casos de infactibilidade da operação do sistema que são utilizados como um dos critérios de sondagem. v = (g ij n ij (V 2 (ij) Ω l δ p i +V 2 j 2V i V j cosθ ij ))+ i Ω b (cc i ) (12) em queδ p é o fator de penalidade da variável de corte de carga e cc i é a variável de corte de carga por barra. É importante que

3 3 o fator de penalidade da variável de corte de carga tenha um valor maior que a soma dos custos de investimento e operação do sistema, porque assim é forçado que o corte de cargas somente seja feito para garantir a factibilidade do problema de PNL. A complexidade da construção da árvore de B&B depende principalmente da escolha do próximo nó a ser examinado e da escolha da variável de separação nos nós da árvore. Assim, se o nó corrente não é uma solução para o problema de RSD, uma varredura na lista de nós armazenados é feita utilizando a regra last-in, first-out (LIFO), (último a entrar, primeiro a sair) [16]. A regra LIFO diz que um dos dois últimos nós armazenados é o nó mais cotado para sair da lista de nós, com isto é possível produzir mais rapidamente uma solução inteira factível. Isto se deve ao grande número de condições de integralidade que estão relacionadas com este nó. A escolha do subproblema a ser examinado é feita de acordo com o valor da função objetivo de cada subproblema gerado. Desta forma, o nó que possuir o menor valor para a função objetivo é o nó escolhido para a próxima subdivisão. Caso os dois últimos nós armazenados sejam sondados, então uma busca pela menor função objetivo é feita em toda a árvore de B&B. As variáveis de separação do algoritmo são escolhidas de acordo com o valor do fluxo de potência aparente nos ramos do sistema. Sendo a variável de separação uma chave que pode conectar ou desconectar um ramo do sistema, então é escolhido o ramo que apresenta maior valor de fluxo de potência aparente partindo sempre de uma subestação ou de uma barra já conectada ao sistema, construindo assim uma árvore conexa. Esta estratégia é utilizada para criar um novo critério de sondagem. O critério de escolha das variáveis de separação foi utilizado baseando-se nos bons resultados encontrados em [17] para um problema de planejamento de sistemas de distribuição. A escolha da variável de separação e dos critérios de sondagem, bem como da escolha do subproblema a ser resolvido são de extrema importância para o algoritmo B&B, pois interferem diretamente no número de nós criados e conseqüentemente no número de iterações do algoritmo. Neste trabalho todos os ramos são considerados abertos no início do processo. Desta foram a cada passo do algoritmo B&B é escolhida uma variável que receberá uma valor igual a 1 para fechar um ramo e uma valor igual a 0 para deixa-lo aberto até que ao final do processo seja encontrada uma topologia radial de boa qualidade. A. Testes de Sondagem Cada subproblema relacionado com um nó da árvore de B&B pode ser sondado e armazenado para futuras avaliações quando não satisfazem os critérios de sondagem. Assim um nó é descartado quando: 1) A variável de separação escolhida criar uma malha. Quando uma variável de separação é escolhida, dois subproblemas são gerados, quando o subproblema apresenta a variável de separação com seu limitante inferior igual a 1, verifica-se se este subproblema gera uma malha ou não. Para isto a restrição da Eq.(7) é utilizada considerando apenas os ramos que já foram conectados ao sistema mais o ramo que se deseja conectar; 2) A solução do problema relaxado de RSD possuir corte de carga (solução infactível). O corte de carga não é uma situação desejada pelo sistema de distribuição, assim toda vez que um subproblema apresenta corte de carga, este nó é descartado, pois a operação do sistema é infactível; 3) v k > vinc + ǫ, onde v k é o valor da função objetivo do subproblema k e vinc é o valor da incumbente corrente do problema, este teste de sondagem é uma extensão do problema linear, neste caso é utilizado um fator de segurança ǫ que tem como objetivo evitar que, devido a não linearidade do problema, os nós que poderiam encontrar boas soluções para o problema sejam descartados. Este procedimento aumenta o número de PNL a serem resolvidos, mas por outro lado ajuda o problema a encontrar soluções de melhor qualidade; 4) A solução encontrada for inteira. Quando uma solução é inteira, ou seja, todas as variáveis de investimento do problema têm valores inteiros, deve-se avaliar o valor dessa solução, pois se vk < v inc, então v inc = v k. O teste de sondagem 1 tem como objetivo eliminar os nós e seus descendentes que possam criar malhas no sistema. Este teste de sondagem foi criado para que não haja necessidade de resolver problemas de PNL adicionais, já que o relaxamento da natureza binária das variáveis de decisão do problema de RSD, pode criar malha durante o processo iterativo do algoritmo B&B (nó corrente da árvore de B&B). O teste de sondagem 3 é uma extensão do problema linear, pois quando se resolve um problema de programação linear inteiro misto utilizando um algoritmo B&B, deve-se levar em conta que a função objetivo de um subproblema sucessor sempre é maior ou igual a função objetivo do antecessor. Quando se trata de um problema de PNLIM, esta propriedade não está garantida, e isso se deve à não convexidade deste tipo problema. Nesse caso foi necessário introduzir um fator de segurança ǫ para contornar possíveis problemas com o aparecimento de ótimos locais na resolução dos problemas de PNL. Desta forma, para que um subproblema seja descartado, este deve ter um limite inferior maior que a incumbente acrescido de um valor adicional de segurança. A utilização do fator de segurança aumenta a probabilidade de se encontrar o mínimo global, mas é possível que um número maior de problemas de PNL tenham que ser resolvidos. Assim, neste trabalho assume-se um valor de ǫ igual a uma porcentagem do v e pode ser calculado de forma heurística a partir das simulações dos sistemas testados.

4 4 B. Passos do Algoritmo B&B O algoritmo B&B não linear especializado é descrito a seguir: PASSO 1: Fazer k = 0 (número de subproblemas gerados), definir a incumbente inicial v inc e inicializar a lista dos subproblemas candidatos com a solução do problema de PNL correspondente (P C). PASSO 2: Testar a convergência: Se a lista dos candidatos é vazia então o processo terminou e a solução incumbente atual é a solução ótima do problema. Caso contrário vá ao PASSO 3. PASSO 3: Selecionar a variável de separação e gerar dois novos subproblemas descendentes e adicioná-los à lista de candidatos. Os problemas são gerados acrescentando-se as restrições das Eqs. (10) e (11). Caso o limitante inferior da variável de separação seja igual a 1, então aplicar o teste de sondagem 1 para verificar se esta variável cria malha, se sim, descartar este subproblema, senão armazenar o subproblema. Ir ao PASSO 4. PASSO 4: Resolver o(s) problemas(s) de PNL relativo(s) ao(s) subproblema(s) relaxado(s) (PC k ) e armazenar a solução ótima e ir ao PASSO 5. PASSO 5:Selecionar o subproblema candidato para ser sondado: dentre os subproblemas candidatos da lista ainda não sondados, escolher qual será o próximo a ser examinado usando a estratégia LIFO e retirá-lo da lista. Ir ao PASSO 6. PASSO 6: Fazer os testes de sondagem: o subproblema candidato (PC k ) pode ser descartado se satisfizer um dos critérios de sondagem (2, 3 e 4) apresentados na subseção III-A. PASSO 7: Fazer k = k +2 e retornar ao PASSO 2. IV. TESTES E RESULTADOS O algoritmo B&B proposto para resolver o problema de RSD foi escrito em AMPL (uma linguagem de programação matemática) [18] e para resolver o PNL decorrentes dos subproblemas gerados a cada iteração do algoritmo B&B foi utilizado o solver comercial de programação não linear KNITRO (Nonlinear Interior-point Trust Region Optimizer) [19]. Foram testados 4 sistemas elétricos disponíveis na literatura especializada, os sistemas de 33, 84, 119 e 136 barras, que podem ser encontrados em [20], [21], [10] e [7], repectivamente. A Tabela I apresenta os dados da tensão base, da tensão fixa na subestação e do fator de segurança utilizados para cada sistema teste. Para o algoritmob&b, o máximo corte de carga permitido é de 1 kva e o número máximo de iterações é de nós. Neste trabalho um número máximo de iterações foi fixado devido ao fato de que os melhores resultados, quando comparados aos da literatura, eram encontrados com um número menor de iterações que o máximo fixado. Deve-se observar que é difícil realizar uma comparação do tempo total de processamento com outros trabalhos apresentados na literatura já que são utilizados diferentes tipos de computadores, além disso, neste trabalho a metodologia foi escrita em uma linguagem de modelagem matemática e o Tabela I DADOS DOS SISTEMAS TESTES Dados Sistema Sistema Sistema Sistema 33 barras 84 barras 119 barras 136 barras V BASE (kv) 12,66 11,40 11,00 13,80 V SE (pu) 1,00 1,00 1,00 1,00 ǫ (%) Tabela II RESUMO DO ALGORITMO B&B Sistema Sistema Sistema Sistema 33 barras 84 barras 119 barras 136 barras # de Soluções # de PNL # de Nós Tempo (s) 19, , , ,11 problema de PNL foi resolvido utilizando solver comercial, o que demanda um tempo computacional maior apesar da eficiência do solver. A Tabela I apresenta o número de soluções encontradas pelo algoritmo B&B, o número de PNL resolvidos, o número de nós da árvore de B&B e o tempo computacional gasto para resolver cada sistema. Pode ser observado que o número de PNL resolvidos é menor que o número de nós da árvore de B&B, isto se deve ao fato de que o critério de sondagem 1 é exatamente para eliminar, quando são criadas malhas, subproblemas sem a necessidade de resolver um PNL. A Tabela III apresenta os resultados encontrados utilizando a metodologia proposta neste trabalho. São mostrados os valores das perdas totais para cada sistema testado e os ramos que ficaram abertos no sistema para a melhor solução encontrada pelo algoritmo B&B. Os resultados encontrados neste trabalho para os sistemas de 84 e 136 barras são iguais aos melhores resultados encontrados na literatura, [21] e [7] respectivamente. Para o sistema de 119 barras foi encontrado um resultado com menores perdas que o resultado encontrado em [10], porém é igual ao resultado encontrado por [23]. O resultado encontrado para o sistema de 33 barras é topologicamente igual aos resultados encontrados na literatura, porém o valor das perdas é diferente em alguns destes artigos, tais como, [7], [22]. Nas Figuras 1 e 2 são apresentadas a variação da incumbente do algoritmo B&B, assim como do número de problemas de PNL utilizados, para diferentes valores dos fatores de segurança para os sistemas testes de 33 e 84 barras, respectivamente. Pode-se observar que o valor da solução final do algoritmo B&B depende do fator de segurança. Com valores menores de ǫ, o algoritmo B&B teria uma convergência muito mais rápida, resolvendo um número reduzido de problemas de PNL e conseqüentemente com um menor esforço computacional, mas com um alto risco de encontrar apenas uma solução ótima local, devido à não convexidade do problema. Valores maiores de ǫ teriam uma maior oportunidade de encontrar uma excelente solução, assim como a possibilidade de encontrar

5 5 v (kw) Tabela III MELHORES SOLUÇÕES ENCONTRADAS System Perdas Ramos desligados (kw) SP , 9, 14, 32, 37 SP , 13, 34, 39, 42, 55, 62, 72, 83, 86, 89, 90, 92 SP , 26, 35, 40, 43, 51, 59, 72, 75, 96, 98, 110, 122, 130, 131 SP , 35, 51, 90, 96, 106, 118, 126, 135, 137, 138, 141, 142, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 151, 155 v # de PNL ǫ (%) Figura 1. Sistema de 33 barras - Valor da incumbente versus ǫ outras soluções sub-ótimas, mas com um maior tempo e esforço computacional. V. CONCLUSÕES Foi apresentado neste trabalho um modelo matemático para o problema de reconfiguração de sistemas de distribuição de energia elétrica consideração restrições operacionais e físicas v (kw) Figura 2. v # de PNL ǫ (%) Sistema de 84 barras - Valor da incumbente versus ǫ # de problemas de PNL # de problemas de PNL ( 10 4 ) dos SDE, em que a condição de radialidade do SDE é garantida utilizando apenas um conjunto de restrições. Para resolver esse problema foi implementado um algoritmo B&B não linear no qual os critérios de sondagem foram redefinidos com o objetivo de auxiliar o algoritmo B&B a encontrar melhores soluções. A cada nó da árvore de B&B um problema de PNL é resolvido no qual o objetivo é minimizar as perdas de potência ativa totais do sistema, sujeito a restrições de balanço de potência, magnitude de tensão, maxima capacidade dos circuitos, número de circuitos abertos ou fechados em cada ramo e restrição de radialidade. Os resultados obtidos pela metodologia proposta neste trabalho utilizando quatro sistemas de distribuição de energia elétrica testes foi comparado com os melhores resultados encontrado na literatura especializada, o que comprova a eficiência da metodologia proposta no que diz respeito à qualidade dos resultados encontrados. A metodologia apresentada neste trabalho foi escrita em AMPL e para resolver o problema de PNL foi utilizado o solver comercial KNITRO. REFERÊNCIAS [1] A. Merlin, and G. Back, Search for minimum-loss operational spanning tree configuration for an urban power distribution system Proc. of the Fifth Power System Conference, 1975, Cambridge, pp [2] C. C. Liu, S. J. Lee and S. S. Venkata, An expert system operational aid for restoration and loss reduction of distribution systems, IEEE Transaction on Power Systems, vol. 3, no 2, pp , May [3] Young-Jae Jeon, Jae-Chul Kim, Jin-O Kim, Joong-Rin Shin and K.Y. Lee, An efficient simulated annealing algorithm for network reconfiguration in large-scale distribution systems, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 17, no. 4, pp , Oct [4] V. Parada, J. A. Ferland, M. Arias, and K. Daniels, Optimization of electric distribution feeders using simulated annealing, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 19, pp , Jul [5] Chung-Fu Chang, Reconfiguration and Capacitor Placement for Loss Reduction of Distribution Systems by Ant Colony Search Algorithm, IEEE Transactions on Power Systems, vol.23, no.4, pp , Nov [6] J. Mendoza, R. Lopez, D. Morales, E. Lopez, P. Dessante and R. Moraga, Minimal loss reconfiguration using genetic algorithms with restricted population and addressed operators: Real application, IEEE Transaction on Power Systems, vol. 21, No. 2, pp , May [7] E. Carreño, R. Romero and A. Padilha-Feltrin, An efficient codification to solve distribution network reconfiguration for loss reduction problem, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 23, no. 4, pp , November [8] K. Prasad, R. Ranjan and N.C. Sahoo, A. Chaturvedi, Optimal reconfiguration of radial distribution systems using a fuzzy mutated genetic algorithm, IEEE Transactions on Power Delivery, vol.20, no.2, pp , April [9] H. Mori and Y. Ogita, A parallel tabu search based approach to optimal network reconfigurations for service restoration in distribution systems, Proceedings of the 2002 International Conference on Control Applications, vol.2, no., pp vol.2, [10] D. Zhang, Z. Fu, and L. Zhang, An improved TS algorithm for lossminimum reconfiguration in large-scale distribution systems, Electric Power Systems Research, vol. 77, no. 5-6, pp , [11] Y. Abdelaziz, et al., Distribution system reconfiguration using a modified Tabu Search algorithm, Electric Power Systems Research, vol. 80, pp , [12] T. E. McDermott, I. Drezga and R. P. Broadwater, A Heuristic Nonlinear Constructive Method for Distribution System Reconfiguration, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 14, no. 2, pp , May [13] F. Gomes, S. Carneiro, J.L.R. Pereira, M. Vinagre, P. Garcia, L. Araujo, A new heuristic reconfiguration algorithm for large distribution systems, IEEE Transaction on Power Systems, vol. 20, No. 3, pp , August 2005.

6 [14] M. Lavorato, J. F. Franco, M. J. Rider and R. Romero, Imposing Radiality Constraints in Distribution System Optimization Problems, IEEE Trans. Power Syst., vol. 27, no. 1, pp , Feb [15] J. L. Bernal-Agustín, Aplicación de Algoritmos Genéticos al Diseño Optimo de Sistemas de Distrubuición de Energía Eléctrica, Ph.D. disertation, Universidad de Zaragoza, España, [16] H. A., Taha, Integer programing: theory aplications and computations, department of industrial engineering. Arkansas: University of Arkansas Fayetteville, 1975.p.392. [17] M. Lavorato, M. J. Rider, A. V. Garcia and R. Romero, A constructive heuristic algorithm for distribution system planning, IEEE Trans. Power Syst., vol. 25, no. 3, pp , Aug [18] R. Fourer, D. M. Gay and B. W. Kernighan, AMPL: A modeling language for mathematical programming. CA: Brooks/Cole-Thomson Learning, Pacific Grove, 2nd Ed., [19] R. H. Byrd, J. Nocedal and R. A. Waltz, KNITRO: An integrated package for nonlinear optimization, Large-Scale Nonlinear Optimization, pp , New York, Springer Verlag, [20] M. E. Baran and F. F. Wu, Optimal sizing of capacitors placed on a radial distribution system, IEEE Trans. Power Del., vol. 4, no. 1, pp , Jan [21] A. J. P. Chiou, C. F. Chang, and C. T. Su, Variable scaling hybrid differential evolution for solving network reconfiguration of distribution systems, IEEE Transaction on Power Delivery, vol. 20, no. 2, pp , May [22] F. Gomes, S. Carneiro, J.L.R. Pereira, M. Vinagre, P. Garcia, L. Araujo, A new distribution system reconfiguration approach using optimum power flow and sensitivity analysis for loss reduction, IEEE Transaction on Power Systems, vol. 21, No. 4, pp , November [23] M. Oliveira, M. Lavorato e R. Romero, Reconfiguração de Sistemas de Distribuição Utilizando a Metaheurística Grasp, XLIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Ubatuba, Agosto