ALOCAÇÃO DE CAPACITORES EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ATRAVÉS DE ALGORITMOS GENÉTICOS

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1 ALOCAÇÃO DE CAPACITORES EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ATRAVÉS DE ALGORITMOS GENÉTICOS CARLOS APARECIDO FERREIRA*, **, MARCO AURELIO C. PACHECO** * ICA, PUC-RJ, Departamento de Engenharia Elétrica, Rio de Janeiro, RJ, Brasil **ELETROBRÁS, Rio de Janeiro, RJ, Brasil carlosaparecido@eletrobras.com, marco@ele.puc-rio.com.br Resumo Este artigo apresenta uma metodologia para alocação de capacitores em sistemas elétricos de potência através de algoritmos genéticos. A função objetivo é composta pelos custos de investimento e de perdas sujeitos a restrições técnicas relativas às equações estáticas do fluxo de carga e limites de equipamentos e fluxos nas linhas de transmissão. Caso alguma restrição seja violada, a solução é penalizada, sendo a penalização crescente com o processo evolutivo de modo a permitir que, no inicio do processo, todos os indivíduos possam transmitir suas características genéticas. De modo a se evitar mínimos locais, foram utilizadas taxas de crossover e mutação variáveis. O elitismo foi considerado para cada um dos objetivos. Simulações foram realizadas no sistema IEEE-30 Barras em duas situações diferentes de carregamento. Resultados satisfatórios foram obtidos, tanto sob o ponto de vista econômico, de redução de custos, como em relação ao aumento da margem de estabilidade e melhoria no perfil das tensões. Palavras chave: Sistema Elétrico de Potência, Alocação de Capacitores, Algoritmos Genéticos Abstract This paper presents a methodology for placing capacitors in electrical power systems through genetic algorithms. The fitness function is composde by the investment and losses costs liable to technical constrains related to the static power flow equations, equipment and flow limits. When a constrain is violated, the solution is penalized. The panallty is increased together with the evolutionary process so that, in the beginning, all the individuals can trasmit their genetic characteristics. In order to avoid local minimuns, variable crossover and mutation rates were utilized. The elitism was used for each objective. The IEEE-30 buses system was employed for testing two different load conditions. Not only were satisfactory results obtained in terms of cost reduction but also in terms of stability margin enlargement and voltage profile improvement. Keywords Electrical Power System, Capacitor Placement, Genetic Algorithm AG: Algoritmo Genético h : Contador de iterações n : Número de barras Nomenclatura Ω : Conjunto de linhas de transmissão do sistema C p : Custo referente à perda de 1 W; 8.760: Total de horas referentes a 1 ano i: Taxa de juros (decimal) n: Período de Amortização (anos) V θ : módulo e ângulo da tensão da barra em coordenadas polares P + j Q : resíduo de potência na barra P g l g + j Q : potências ativa e reativa geradas P + j Q : potências ativa e reativa demandadas l g : condutância do ramo da linha de transmissão p : fluxo de potência no ramo da linha de transmissão ANEEL: Agência Nacional de Energia Elétrica 1 Introdução Os sistemas elétricos de potência vêm operando em condições cada vez mais sobrecarregadas. O crescimento da demanda de energia elétrica e da complexidade dos sistemas não está sendo acompanhado por investimentos nos últimos anos, principalmente por motivos de ordem econômica. Nesse sentido, a utilização de mecanismos para aumento da margem de estabilidade dos sistemas elétricos, melhoria do perfil das tensões e diminuição de perdas com o mínimo de investimento são de extrema relevância. Capacitores especificados corretamente e localizados em barras estratégicas atendem a todos esses objetivos. O problema que surge é como determinar os valores desses capacitores e em quais barras alocá-los. Dependendo do número de barras candidatas à instalação de capacitores e da diversidade em relação à especificação dos mesmos, esse problema e intratável por métodos convencionais devido ao grande espaço de busca, sendo Algoritmos Genéticos uma técnica indicada para resolver este problema. Diversos trabalhos vêm sendo realizados no sentido de alocar capacitores em sistemas de distribuição de energia utilizando Algoritmos Genéticos (Alcantara e Da Silva, 2005; Baran e Wu, 1989; Garcia et alii, 1999; Martins e Borges, 2007). Nesses trabalhos, o problema é modelado através de uma função multiobjetivo onde são consideradas

2 diversas restrições técnicas, inclusive a radialidade, crucial para sistemas de distribuição. Poucos artigos, entretanto, abordam o problema enfocando o sistema elétrico de potência de forma abrangente. Nesse sentido, o objetivo deste artigo é resolver o problema de alocação de capacitores, considerando objetivos econômicos e avaliando o impacto da solução fornecida pelo Algoritmo Genético na margem de estabilidade e no perfil das tensões das barras de uma rede elétrica genérica. 2 Capacitores em Sistemas Elétricos de Potência Em sistemas elétricos de potência, os módulos das tensões sofrem grande influência das variações das cargas (Ferreira e Da Costa, 2004). Caso não haja suporte de potência reativa na medida em que se aumenta o carregamento do sistema, os valores das tensões podem alcançar níveis inaceitáveis, causando vários prejuízos para equipamentos, cargas e consumidores. As tensões em uma rede elétrica que opera sob condições confiáveis, não podem variar significativamente em relação a seus valores nominais. A Resolução 505/2001 da ANEEL apresenta níveis de tensão em regime para redes de distribuição de Média Tensão. Essa caracterização acarreta, evidentemente, em reflexos para o sistema de transmissão. Tabela 1: Níveis de Tensão / ANEEL Uma medida adotada para melhorar o perfil das tensões nas barras é alocar capacitores em barras estratégicas da rede elétrica. A Figura 1 apresenta a melhoria do perfil de tensões da barra 30 do sistema IEEE-30 barras com a inclusão de capacitores neste sistema. Conforme pode ser observado, não só houve melhora no perfil da tensão da barra, mas também houve aumento da margem de estabilidade dos sistemas. Ou seja, o sistema original admitia um carregamento adicional de 195% e com o suporte de potencia reativa, essa margem aumentou para 240%. Figura 1: Efeito da Alocação de Capacitores em um Sistemas Elétricos de Potência Outro beneficio advindo da alocação de capacitores nas redes elétricas é a redução das perdas nas linhas de transmissão. Na medida em que há suporte localizado de potência reativa, esta não precisa de ser fornecida pelos geradores do sistema, logo há uma redução de corrente e conseqüente redução de perdas nas linhas de transmissão. Em resumo, a alocação de capacitores nos sistemas elétricos de potência trazem os seguintes benefícios, que serão abordados neste trabalho: Aumento da margem de estabilidade; Melhoria no perfil de tensões Redução de perdas Uma importante questão que surge, entretanto, é em quais barras do sistema alocar esses capacitores, com quais valores e quando realizar essa tarefa de modo a serem atingidos os objetivos, com investimento mínimo. Este trabalho será focado na analise estática, dessa forma, não será abordado o tempo em que os investimentos serão realizados. 3 Algoritmos Genéticos: Fundamentos Algoritmo Genético é uma técnica de Inteligência Computacional entre outras existentes como a Lógica Fuzzy, Redes Neurais e Sistemas Especialistas. É importante destacar que o que se convencionou denominar Inteligência Artificial esta ligado somente a sistemas especialistas, sendo o conceito de inteligência computacional muito mais amplo. As metáforas biológicas que inspiram os Algoritmos Genéticos são o principio Darwiniano da evolução das espécies e a hereditariedade (Goldberg, 1989). No caso de se utilizar representação binária, as variáveis do problema devem ser codificadas, sendo os cromossomos artificiais estruturados como vetores binários, de tal forma que o AG possa manipulá-los. Cada cromossomo representa um ponto de busca no espaço de soluções, sendo denominado indivíduo. O AG trabalha com uma população de indivíduos e a cada geração estes indivíduos passam pelo processo de seleção e sofrem a ação de operadores genéticos (cruzamento e mutação), todos estes de caráter aleatório, produzindo desta forma uma nova geração de indivíduos. O processo de seleção é realizado de forma a privilegiar a sobrevivência das melhores soluções disponíveis (Michalewicz, 1996). Os operadores de cruzamento e mutação são responsáveis pelo intercâmbio de informações entre os indivíduos e pela exploração do espaço de busca. A ação dos mecanismos de seleção, cruzamento e mutação sobre a população, permite a descoberta e a replicação de conjuntos de bits importantes ou blocos construtores, que se reunidos em um ou mais indivíduos, em posições apropriadas, produzem soluções bem mais adaptadas. A Figura 2 apresenta, resumidamente, as etapas básicas de um Algoritmo Genético (Martins e Borges, 2007).

3 Figura 2: Algoritmo Genético Básico 4 Alocação de Capacitores em Sistemas Elétricos de Potência via Algoritmos Genéticos 4.1 Problema Alocar capacitores em uma rede elétrica com potências adequadas e nas barras mais apropriadas, de forma a realizar investimento mínimo e minimizando as perdas é um problema de otimização multiobjetivo com restrições técnicas, conforme as equações de (1) a (6). Cabe destacar que (1) e (2) são as equações estáticas do fluxo de carga oriundas das leis de Kirchoff (Monticelli, 1983). Min Fob (1) Pgi Pli p = 0 (2) 4.2 Representação j Ω i Qgi Qli q = 0 j Ω i (3) min Pgi Pgi Pgi (4) min Qgi Qgi Qgi (5) p p p (6) A codificação binária é utilizada neste trabalho. Considerando-se n barras do tipo PQ candidatas a receberem suporte de potência reativa e utilizando-se bits referentes a 2 valores possíveis de MVAr, incluindo zero, o cromossoma terá n x bits e o espaço de busca da melhor solução será 2 (n x ). É importante destacar que cada cromossoma ou indivíduo representa uma alternativa para alocação de capacitores na rede elétrica em análise. 4.3 Avaliação A função objetiva apresentada de forma abreviada na equação (1) pode ser detalhada como: Cperdas C (7) inv fob = + p1 p2 A equação (7) está apresentada de uma forma, genérica com parâmetros de normalização p 1 e p 2. Entretanto, no problema em questão, como os membros da função objetivo são termos de mesma natureza, ou seja, custos, tais fatores são unitários. O custo de perda apresentado na equação 7 é dado por: C = C 8760 Perdas (8) perdas p n n Ω Onde a perda de potência ativa em uma linha genérica conectada entre as barras i e j é dada por: 2 2 Perdas = g [Vi + Vj 2 Vi Vj cos θ ] (9) O custo referente ao investimento refere-se ao custo anualizado relativo à aquisição do banco de capacitores e é dado por: C CAPACITOR = F A CAQUISICAO (10) Onde o fator de anualização é dado por: n ( 1 + i ) i F A = n ( 1 + i ) - 1 (11) Para cada indivíduo ou cromossoma é resolvido um fluxo de potência de forma a se verificar o atendimento das restrições de (2) ate (6). Caso alguma restrição não seja atendida, incluindo quando o fluxo de potência diverge, é aplicada uma penalização conforme equação (12). Aptidao(x) =Aval(x) + Pen(x) (12) De forma a permitir que nas primeiras gerações mesmo os indivíduos que violam as restrições transmitam suas características genéticas, a penalização é variável, sendo mínima na geração inicial e máxima no final do processo evolutivo, conforme Figura 3: 4.4 Operadores Figura 3: Evolução da Penalização É utilizado o crossover de 2 pontos de corte neste trabalho, conforme ilustrado na Figura 4. Figura 4: Crossover de 2 Pontos de Corte Em relação à mutação é efetuada a troca de um bit, conforme Figura 5. Figura 5: Mutação / troca de Bit De forma a evitar estagnação do algoritmo genético, evitando mínimos locais, são utilizadas taxas de mutação e de crossover variáveis, conforme idéia apresentada na Figura 6 (Pacheco M.A.C,

4 2007). Conforme pode ser observado, na metade do processo evolucionário ocorre estagnação do algoritmo e conseqüente convergência para máximo local, entretanto com a diminuição da taxa de crossover e aumento da taxa de mutação foi possível explorar outras regiões do espaço de busca, alcançando-se, dessa forma, o máximo global. indivíduos e um número máximo de gerações de 200 e 300, conforme caso analisado Resumo A Figura 9 apresenta resumo da metodologia utilizada neste trabalho para alocação de capacitores através de Algoritmos Genéticos, que consiste numa adaptação em relação ao apresentado na Figura 2. Figura 6: Importância da Utilização de Taxas de Crossover e Mutação Variáveis (Pacheco, M.A.C., 2007) Dessa forma, as taxas de crossover e mutação, neste trabalho, variam conforme apresentado nas Figuras (7) e (8). Figura 9: Taxa de Crossover Variável Figura 7: Taxa de Mutação Variável Figura 8: Taxa de Crossover Variável 5.1 Considerações Iniciais 5 Resultados As simulações foram realizadas no sistema IEEE-30 Barras. Todas as 24 barras do tipo PQ desse sistema foram consideradas candidatas a receber capacitor. Além disso, são considerados 8 valores possíveis para o banco de capacitores, representados através de 3 bits. Dessa forma, o espaço de busca deste problema é 2 72, conforme apresentado na subseção O sistema IEEE-30 barras em sua configuração inicial não apresenta sobrecarregamento, diferentemente de sistemas reais encontrados atualmente. Nesse sentido, foi efetuado aumento da carga desse sistema de forma a se obter uma situação mais real e mais apropriada para se efetuar a alocação de capacitores. Os dois casos analisados estão apresentados na Figura 10 e correspondem a carregamentos adicionais de 50% e de 190%. 4.5 Técnicas A seleção, neste trabalho, é realizada através de torneio. Segundo essa técnica, x indivíduos são escolhidos aleatoriamente e, entre eles, é selecionado aquele que apresenta maior avaliação. Também utiliza-se Elitismo, porém, como se trata de um problema de otimização multiobjetivo são mantidos para a próxima geração os melhores indivíduos segundo cada um dos objetivos. 4.5 Parâmetros As taxas de mutação e crossover são variáveis, conforme já mencionado. Além disso, neste trabalho, foi utilizada uma população com 200 Figura 10: Casos Analisados / IEEE

5 5.2 Primeiro Caso Para essa situação, foram considerados os seguintes valores em MVAr para os capacitores: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56. A Tabela 2 apresenta os valores fornecidos pelo Algoritmo Genético referentes ao melhor indivíduo. Tabela 2: Alocação de Capacitores / 1º Caso Figura 12: Perfil de Tensão da Barra 30 / 1ª Caso A Tabela 3 apresenta comparação entre a configuração inicial e a proposta, em termos econômicos, para cada objetivo e o valor total. Conforme pode ser observado, com um investimento de R$ ,00; obtém-se uma redução R$ ,00 em relação aos custos com perdas. Tabela 3: Comparação entre as Situações Inicial e Proposta / 1º Caso 5.2 Segundo Caso Para essa situação, foram considerados valores em MVAr para os capacitores de 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70. A Tabela 4 apresenta os valos fornecidos pelo Algoritmo Genético para cada uma das barras de carga. Tabela 4: Alocação de Capacitores / 2º Caso A Figura 11 apresenta uma comparação entre a performance obtida através do Algoritmo Genético e através do método de tentativa e erro. Enquanto o Algoritmo Genético convergiu com 40 gerações, através do método de tentativa e erro, simplesmente não foi possível obter, aleatoriamente, melhor solução em relação à obtida no início. O método de tentativa e erro implementado consiste em testar indivíduos gerados aleatoriamente em várias gerações, sem efetuar seleção, crossover ou mutação. A melhor solução é sempre mantida. A Tabela 5 apresenta comparação entre a configuração inicial e a proposta, em termos econômicos, para cada objetivo e o valor total. Conforme pode ser observado, com um investimento de R$ ,00; obteve-se uma redução de 19,17% nos custos totais. Tabela 5: Comparação entre as Situações Inicial e Proposta / 2º Caso A Figura 13 apresenta uma comparação entre a performance obtida através do Algoritmo Genético e através do método de tentativa e erro. Conforme pode ser observado, a solução obtida através de Algoritmos genéticos é bem mais satisfatória. Figura 11: Comparação AG e tentativa e Erro / 1º Caso A Figura 12 apresenta uma comparação entre a curva do perfil de tensão da barra 30 em sua configuração original proposta e na configuração proposta, com o suporte de potência reativa recomendado na Tabela 2. Não só obteve-se deslocamento do ponto de colapso do sistema de 195% para 240%, mas também obteve-se tensões mais próximas a 1 p.u. Figura 13: Comparação AG e tentativa e Erro / 2º Caso

6 A Figura 14 apresenta uma comparação entre a curva do perfil de tensão da barra 30 em sua configuração original proposta e na configuração proposta, com o suporte de potência reativa recomendado na Tabela 4. Não só obteve-se deslocamento do ponto de colapso do sistema de 195% para 330%, mas também obteve-se tensões mais próximas a 1 p.u.. u. Em trabalhos futuros serão incluídos na função objetivo o desvio das tensões em relação a 1 p.u. e a margem de estabilidade de tensão. Neste caso será utilizado um método para obtenção direta do ponto de colapso do sistema. Referências Bibliográficas Alcantara, M.V.P. e Da Silva, L.C.P. (2005). Efeitos de Cargas Dependentes da Tensao na Alocacao Otimizada de Bancos de Capacitores em Sistemas de Distribuicao de Energia Eletrica. VII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Sao Luis-MA. Baran, M.E. & Wu, F.F. (1989). Optimal Capacitor Placement on Radial Distribution Systems. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 4, No. 1, pp Figura 14: Perfil de Tensão da Barra 30 / 1ª Caso Conforme pode ser observado, a curva do perfil de tensão referente à configuração proposta não pôde ser traçada completamente. Para os objetivos deste trabalho, este fato é irrelevante uma vez que somente interessa as soluções estáveis do fluxo de potência, ou seja, a parte superior da curva. 6 Conclusões Os resultados obtidos através da técnica de algoritmos genéticos são satisfatórios, conforme pôde ser observado. Além de terem sido encontrados indivíduos que propiciaram resultados satisfatórios sob o ponto de vista econômico, para cada um dos dois casos analisados, também obteve-se melhora no perfil de tensões, além de aumento da margem de estabilidade. Quanto pior a situação do sistema em termos de carregamento, mais vantajosa é a solução indicada pelo Algoritmo Genético, comparando-se com a configuração inicial. Não se pode garantir que a solução fornecida pelo Algoritmo Genético é o ponto ótimo, porém considerando o enorme espaço de busca do problema e a conseqüente inviabilidade de se verificar todas as possibilidades, os resultados são bastante pertinentes. Quando comparado com o método de tentativa e erro, por exemplo, obteve-se resultados bem melhores. Ferreira C.A., Da Costa V.M. (2004). Controle de Tensão no Fluxo de Potência Continuado Modelagens e Efeitos na Estabilidade de Tensão. Controle & Automação, v.15, n4, p Garcia, P. A.N., Pereira, J.L.R. e Carneiro J.S. (1999). Alocacao Otima de Capacitores em Sistemas de Distribuicao Desequilibrados Usando Algoritmos Geneticos. IV Encontro Luso-Afro-Brasileiro de Planejamento e Exploracao de Redes de Energia. Goldberg, D. (1989) Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Addison- Wesley. Martins, V.F., Borges, C.L.T (2007). Distribution Systems Expansion Planning Considering the Exploitation of Distributed Generation by a Multi-Objective Genetic Algorithm. XIX International Conference on Electricity Distribution. Michalewicz, Z. (1996). Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs, Third Revisde and Extended Edition, Berlin, Heidelber, New Yor: Springer-Verlag. Monticelli A.J. (1983). Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica 1 ed. Edgard Blucher Ltda, São Paulo, S.P. Pacheco, M.A.C. (2007). Notas de Aula do Curso de Redes Neurais da PUC-Rio. Acessado em 09 de junho de 2007.