Programa de Ciência e Tecnologia para Gestão de Ecosistemas Ação "Métodos, modelos e geoinformação para a gestão ambiental

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1 Programa de Ciência e Tecnologia para Gestão de Ecosistemas Ação "Métodos, modelos e geoinformação para a gestão ambiental Técnicas de Suporte a Decisão para Modelagem Geográfica por Álgebra de Mapas Fábio Roque Moreira Gilberto Câmara Raimundo Almeida Filho Relatório Técnico Maio 2001

2 RESUMO Este trabalho apresenta diversas tecnicas de suporte a decisão, envolvendo dados de natureza geográfica. São abordadas as técnicas de análise hierárquica, modelos bayesianos, lógica nebulosa, e redes neurais artificiais. Como estudo de caso, comparamos o desempenho de 8 métodos de análise multi-critério de dados geológicos e radiométricos na predição de áreas potenciais à ocorrência de minerais radiativos no planalto de Poços de Caldas. As metodologias empregadas Booleana, Média Ponderada, Fuzzy (Mínimo- Máximo, Média, Ponderado e Gama), Bayes, Redes Neurais Artificiais, segundo um modelo prospectivo empírico, definiram cenários com diferentes níveis de prioridades. O método Booleano gerou dados binários em formato temático, indicando áreas com potencialidade favorável e não-favorável. Os demais métodos produziram dados em formato numérico, posteriormente fatiados em 4 classes com diferentes graus de potencialidades (alta, média, baixa e nula). Nas avaliações dos cenários foram utilizados 48 ocorrências minerais que foram sobrepostas para inspeção visual e cruzadas (tabulação cruzada) para o cálculo das probabilidades condicionais, utilizadas no cálculo do grau de confiança. Os cenários gerados indicaram desempenhos diferentes nas avaliações. O cenário gerado pelo método Fuzzy Ponderado apresentou o melhor desempenho dentre todos os cenários avaliados, seguido pela inferência por Rede Neurais e pela Média Ponderada. Os métodos Booleano e Fuzzy Gama mostraram-se limitados e inadequados para estudos semelhantes. Os demais métodos apresentaram desempenhos medianos.

3 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS As atividades de pesquisa mineral nos dias atuais demandam a integração de uma grande quantidade de dados, para a construção de modelos prospectivos que sirvam de guias para tomadores de decisão. Essa estratégia de prospecção mineral decorre de uma maior dificuldade na descoberta de novos depósitos minerais e da maior eficiência dos sistemas computacionais (SIG s) que permitem a manipulação de dados de diversas fontes, de maneira mais rápida, através de diversas técnicas matemáticas. Os aplicativos dos SIG s são eficazes ferramentas em exploração mineral quando combinados com apropriadas análises estatísticas e adequados modelos matemáticos (Turner e Sjoekri, 1999). As técnicas de geoprocessamento permitem a implementação de modelos matemáticos, heurísticos e probabilísticos como ferramental para a construção de modelos prospectivos que servirão de guias no mapeamento da potencialidade à ocorrência mineral de determinada área. Como os princípios físicos e químicos que governam a formação de depósitos minerais são na maioria dos casos muito complexos para uma previsão direta segundo teorias expressas matematicamente, a busca de sítios favoráveis deve basear-se principalmente em relações empíricas, com a ajuda descritiva do modelo de depósito. (Bonham- Carter, 1994). Esses modelos consistem em um número de depósitos conhecidos, considerados como sendo similares o suficiente em termos de suas características, para serem tratados como um modelo descritivo que pode guiar a pesquisa para novos depósitos do mesmo tipo. A descrição de um modelo de depósito inclui a avaliação dos processos físicos e químicos que controlam a sua formação. Na aplicação de sistemas de informação geográfica (SIG s) para o mapeamento de potencialidade à ocorrência mineral, os modelos de depósitos exercem papel importante tanto na seleção e derivação dos dados que serão considerados como evidências, como na definição dos pesos que irão ponderar as evidências. A definição dos pesos pode ser efetuada de duas maneiras. Na primeira eles são estimados por critérios estatísticos, sendo utilizadas as relações espaciais entre os mapas de previsão (evidências) e as verdades de campo (depósitos ou ocorrências minerais conhecidos), ou mesmo zonas de anomalias geoquímicas, geofísicas, etc. Na segunda maneira, os pesos são estimados segundo a experiência de um especialista. Estes dois tipos de abordagem são também conhecidos como modelos data-driven e knowledgedriven respectivamente (Reddy, et al. 1992; Bonham-Carter, 1994; Pendock e

4 Nedelijkovic, 1996). No modelo data-driven os vários mapas de entrada são combinados através de diferentes técnicas, tais como, regressões logísticas, ponderação de evidências (probabilidade bayesiana), ou redes neurais. Os modelos de knowledgedriven incluem o uso da lógica booleana, média ponderada, lógica fuzzy, e teoria da crença de Dempster-Shafer. (Bonham-Carter, 1994). Outro aspecto a ser considerado durante as análises espaciais desenvolvidas em SIG s para a geração de mapas de potencialidade é a qualidade dos produtos gerados. Burrough e McDonnell (1998) relatam que a qualidade dos mapas gerados em SIG s é avaliada, na maioria dos casos, apenas pelo aspecto visual do produto final. Entretanto, controles de qualidades baseados apenas em aspectos visuais são insuficientes se a informação presente está errada ou foi violada por erros durante o processamento. Incertezas e erros são intrínsecos aos dados espaciais e necessitam ser identificados de modo apropriado e não ignorados ou mascarados por efeitos de visualização gráfica. Para a avaliação dos produtos gerados através de manipulações espaciais em SIG s, técnicas de aferição baseadas em métodos estatísticos, tais como o coeficiente de Kappa e a probabilidade condicional, demostram ser úteis pois passam uma idéia quantitativa dos dados, em vez de se fazer apenas uma avaliação qualitativa, o que na maioria dos casos é um processo subjetivo OBJETIVO Considerando as premissas acima, o presente trabalho foi idealizado tendo dois objetivos principais: Utilizar metodologias de inferência espacial para pesquisa mineral através de análises multi-critérios de dados geológicos e geofísicos. A avaliação multi-critério visou a seleção de áreas com maior potencial à ocorrência de minerais radioativos no complexo alcalino de Poços de Caldas. Análise qualitativa e quantitativa dos mapas temáticos de potencialidade gerados pela avaliação multi-critério. Na análise quantitativa foram utilizadas as ocorrências minerais conhecidas, que foram cruzadas com as diferentes classes de potencialidades dos cenários, para o cálculo da probabilidade condicional. Com as probabilidades a priore e posteriore foi calculado o grau de confiança de cada classe de prioridade dos diferentes cenários. A Figura 1.1 apresenta o fluxograma da metodologia adotada no presente estudo. Na caixa pontilhada, multi-critério, estão apresentadas as operações desenvolvidas para a geração dos 8 cenários de potencialidade. A caixa pontilhada, avaliação quantitativa e qualitativa, demostra as operações envolvidas na aferição dos cenários, onde,

5 dependendo do resultado, o tomador de decisão mineral. pode avançar ou não com a pesquisa Sendo assim a proposta central do trabalho foi metodológica, ou seja, objetivou-se utilizar diferentes técnicas de inferência espacial na geração de cenários, os quais acredita-se, devem indicar as áreas mais favoráveis à ocorrência de minerais radioativos. Como os cenários são parecidos visualmente, mas não idênticos, uma avaliação quantitativa dos resultados, aliada à avaliação qualitativa, é de suma importância. Para a avaliação quantitativa utilizou-se a probabilidade a posteriore, que fornece um parâmetro numérico estabelecendo um grau de confiança. Fig. 1.1 Fluxograma da metodologia proposta para o trabalho.

6 CAPÍTULO 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: TÉCNICAS DE INFERÊNCIA ESPACIAL A integração de dados geológicos multi-fontes na pesquisa mineral é tarefa moldada para sistemas de informações geográficas. A tarefa de integração de dados em um SIG pode ser dividida em cinco etapas: construção do banco de dados; extração das evidências relevantes à previsão de depósitos minerais; construção de modelos de potencialidade mineral; visualização do dados de saída; e interpretação dos resultados (Bonham-Carter, 1990). Na maioria dos projetos desenvolvidos em SIG com tal objetivo, a principal proposta é a combinação de dados espaciais, com o objetivo de descrever e analisar interações, de modo a fazer previsões através de modelos prospectivos empíricos, fornecendo apoio para a definição de sítios com maiores chances de encerrar depósitos minerais. A combinação desses dados multi-fontes permite reduzir a ambigüidade de interpretações que normalmente pode ocorrer na análise individual desse dados (Pendock e Nedelijkovic, 1996). O uso da tecnologia de SIG s na seleção de sítios potenciais envolve a análise de parâmetros que satisfaçam a um conjunto de critérios. Neste trabalho foram utilizados 8 métodos de inferência espacial para a integração dos dados (evidências): Booleano, Média Ponderada, Fuzzy (Mínimo-Máximo, Média, Ponderado, Gama), Bayes e Redes Neurais Artificiais. Para tal foi adotado um modelo prospectivo visando a definição de áreas potenciais à ocorrência de depósitos minerais radioativos no planalto de Poços de Caldas. Os métodos geram como resultado planos de informação com diferentes representações. O método Booleano gera dados com representação temática, sendo a potencialidade expressa espacialmente em forma de polígonos que representam classes (favorável e não favorável). Os demais métodos produzem dados com representação numérica, sendo a potencialidade expressa de forma numérica. 2.1 MÉTODO BOOLEANO O modelamento segundo operadores de lógica booleana em SIG s é análogo à sobreposição de mapas em formato analógico em uma mesa de luz ( overlay ), método tradicionalmente utilizado em estudos geológicos. Essa semelhança, aliada à simplicidade operacional, fizeram com que o modelamento booleano fosse e venha sendo bastante empregado em diferentes estudos ambientais desenvolvidos em SIG s. Os trabalhos de Harris (1989), Almeida Filho (1995), Lihao et al. (1997) são bons exemplos de estudos geológicos que adotaram essa metodologia.

7 O Modelo Booleano envolve a combinação lógica de mapas binários através de operadores condicionais. Cada mapa utilizado pode ser entendido como um plano de informação (evidência). Os vários planos de informação são combinados segundo uma seqüência lógica para dar suporte a uma hipótese ou proposição definida. Diferentes operações são testadas, para determinar se as evidências satisfazem ou não às regras definidas pela hipótese. Para a aplicação da metodologia booleana é necessário que os planos de informação (evidências) representem apenas duas classes, ou seja, que apresentem um padrão binário. Em planos de informação com representação temática a generalização é obtida através de uma reclassificação das diferentes classes para favorável e não-favorável. Para planos de informação com representação numérica a divisão em duas classes é obtida através da definição de limiares de corte (L c ), que agruparão diferentes valores numéricos. Esse fatiamento pode ser melhor entendido através da função de pertinência (Fp) exemplificada na Figura 2.1. Onde função de pertinência, é uma função que, dado o valor x, ela determina se o elemento avaliado pertence ou não a um determinado conjunto em análise. No gráfico da Figura 2.2 o eixo x expressa a variação dos valores do atributo e o eixo y os valores de saída definidos pela função de pertinência (F p ). Os pontos L a e L b correspondem aos limiares de corte do conjunto. Pela figura fica claro que o resultado é expresso de forma binária, 0 (hipótese não satisfeita) e 1 (hipótese satisfeita), não sendo possível a condição talvez. Fig. 2.1 Função de pertinência de conjuntos booleanos. Para a integração de planos de informação binários, a álgebra Booleana utiliza os ponderadores lógicos E, OU, Exclusivo OU (XOR) e NÃO, que determinam se uma hipótese satisfaz ou não a uma particular condição. Para melhor entendimento, imagine cada atributo como um conjunto (Figura 2.2). O operador E retorna a interseção entre dois ou mais conjuntos, ou seja, as entidades que pertencem aos conjuntos A e B. O operador OU retorna a união dos conjuntos, cujas entidades que pertencem tanto ao conjunto A como ao B. O XOR recupera as entidades pertencem a um conjunto e ao outro, mas não aos dois conjuntamente. E o NÃO é o operador da diferença, identificando as entidades que pertencem ao conjunto A mas não ao B.

8 Embora esse método seja prático, normalmente não é o mais adequado, pois o ideal é que evidências que apresentem importâncias relativas desiguais recebam pesos diferentes, o que não ocorre no modelamento booleano que as trata como iguais. Para esses casos a técnica da Média Ponderada pode ser uma abordagem interessante. Outro problema com este tipo de modelamento é que assume-se que todas as entidades e seus atributos podem ser descritos e medidos exatamente. Porém, por razões de variação espacial, incerteza e limitações de medida, esta suposição não é realística (Burrough e Heuvelink, 1992). Fig. 2.2 Diagrama de Venn mostrando os resultados da aplicação de operadores de lógica booleana para dois ou mais conjuntos. FONTE: Burrough e McDonnell (1998). 2.2 MÉDIA PONDERADA Eastman et al. (1995) citam a Média Ponderada como a técnica mais utilizada em projetos que envolvem análise espacial. Os trabalhos Harris (1989), Eastman et al. (1995), Silva (1994) e Almeida Filho (1995) são bons exemplos de estudos de inferência espacial baseados nessa técnica. Neste método, cada mapa de entrada será utilizado como uma evidência que receberá um peso relativo à sua importância para a hipótese sob consideração. Cada plano de informação receberá pesos diferentes, bem como as respectivas classes desses planos de informação. O resultado será um mapa com áreas que expressam um grau de importância relativa através de valores numéricos de saída.

9 O primeiro passo para a aplicação do método é a ponderação das classes de cada plano de informação, segundo pesos definidos empiricamente. Isto feito, os planos de informação são então somados através de uma soma ponderada, onde cada plano de informação recebe pesos segundo sua importância relativa. A função matemática é expressa por: r n i= 1 = n wij y i= 1 y j j (2.1) onde w ij é o peso da classe "i" do plano de informação "j", e y j o peso do plano de informação "j". O método de Média Ponderada permite uma maior flexibilidade na combinação de mapas do que o método Booleano. O mapa ponderado pode ser ajustado para refletir o julgamento de um especialista, segundo os pesos de importância definidos para cada critério. A maior desvantagem deste método, entretanto, recai provavelmente no caráter linear de adição das evidências (Bonham-Carter, 1994). 2.3 MÉTODO FUZZY A técnica fuzzy tem sido extensamente utilizada em trabalhos de inferência espacial desenvolvidos em SIG s (Burrough, 1989; Burrough e Heuvelink,1992; Banai, 1993; Altman,1994). As vantagens do modelamento fuzzy são inúmeras quando comparadas aos modelamentos convencionais que forçam os especialistas à definir regras dicotômicas rígidas com contatos normalmente artificiais que diminuem a habilidade de articular eficientemente soluções para problemas complexos, tão comum em processos naturais. Serão abordados aqui os principais conceitos envolvidos na técnica de inferência fuzzy, como lógica fuzzy, conjuntos fuzzy ou função fuzzy, variáveis lingüísticas e operadores fuzzy. Discute-se também: a técnica de representação da importação semântica (IS), para contatos de polígonos; as vantagens do modelamento Fuzzy sobre o Booleano; e as diferenças entre os conceitos probabilidade e possibilidade Inferência Fuzzy: : principais conceitos A introdução dos conjuntos fuzzy para lidar com conceitos inexatos foi primeiramente proposta por Zadeh (1965). A concepção da lógica fuzzy surgiu da preocupação de Zadeh com a rápida diminuição da qualidade da informação fornecida por modelos matemáticos tradicionais, conforme aumenta a complexidade do sistema. Muito da complexidade, ele descobriu, advém do modo no qual as variáveis do sistema são representadas e manipuladas. Desde que essas variáveis podem apenas representar o

10 estado do fenômeno como ou existindo ou não existindo, a matemática necessária para avaliar operações em vários contatos torna-se muito complexa. Para muitos pesquisadores (Zadeh, 1972; Cox, 1994; Fang, 1997) um benefício significante dos modelamentos baseados em lógica fuzzy é a habilidade de codificação do conhecimento, numa forma que se aproxima muito ao modo como os especialistas pensam em processos de decisão. Os sistemas de inferências baseados em lógica fuzzy possibilitam, assim, a captura do conhecimento próximo ao modelo cognitivo utilizado pelos especialistas na análise de problemas. Isto significa que o processo de aquisição do conhecimento é mais fácil, mais confiável e menos sujeito a erros não identificados. Nessa visão de modelamento de sistemas complexos, os mecanismos subentendidos são representados de modo lingüístico, através de variáveis lingüísticas, ao invés de matematicamente. Isto permite lidar de modo melhor com dados imprecisos, incompletos, ambíguos, e/ou vagos, tão comuns em sistemas geológicos. A idéia da variável lingüística é considerada por Cox (1994) como o cerne da técnica do modelamento fuzzy. Basicamente uma variável lingüística corresponde ao nome de um conjunto fuzzy. Sendo os conjuntos fuzzy, na prática, funções que indicam o grau de relacionamento de um valor de entrada (atributo) para com um conjunto fuzzy. Outra boa definição é dada por Fang (1997) que define um conjunto fuzzy como um conjunto de pares de valores (Tabela 2.1). O primeiro valor (lingüístico) é o membro do conjunto; por exemplo, Carlos. O segundo valor (numérico) é o grau de relação do membro para com o conjunto. Por exemplo, Carlos tem um grau de relação de 0.9 com o conjunto fuzzy atletas. Neste exemplo a variável lingüística é o conjunto atleta. TABELA 2.1 CONJUNTO FUZZY ATLETAS Objeto Grau de relacionamento João 0.1 Aline 0.7 Carlos 0.9 O conjunto fuzzy é uma forma de caracterização de classes, que por várias razões não têm ou não podem definir limites rígidos (contatos) entre classes. Essas classes, definidas de maneira inexata, são chamadas de conjunto fuzzy. A utilização de um conjunto fuzzy é indicada sempre que se tiver que lidar com ambigüidade, abstração e ambivalência em modelos matemáticos ou conceituais de fenômenos empíricos (Burrough e McDonnell, 1998). Matematicamente um conjunto fuzzy é definido como segue: se Z denota um espaço de objetos, então o conjunto fuzzy A em Z é o conjunto expresso pelo par ordenado: A = (z, MF A (z)) para todo z Z, onde a função MF A (z) é conhecida como uma graduação

11 mapeável do membro z em A. Normalmente MF A (z) é um número que varia de 0 a 1, com o 1 representando o membro que se encaixa completamente ao conjunto e o 0 como o membro que não pertence ao conjunto. A graduação que mapeia os membros de um conjunto A reflete o tipo de ordenação que não são baseadas em probabilidade, mas sim numa aceitação de possibilidade. O valor da função MF A (z) de um objeto z em A pode ser interpretado como um grau de compatibilidade de um predicado associado ao conjunto A e ao objeto z. Ou seja, MF A (z) avalia o quanto z pode ser pertencente ao conjunto A (Burrough e McDonnell, 1998). A função fuzzy deve assegurar que o valor do membro no centro do conjunto é 1, e que este decai de maneira lógica através da fronteira fuzzy (zona de transição) para as regiões fora do conjunto onde o valor deve ser 0. O ponto onde o valor do membro é igual a 0,5 é denominado de ponto de cruzamento e ele deve coincidir com os contatos rígidos dos modelos Booleanos. A função deve ser definida de tal modo que esta condição seja respeitada. As funções mais comuns utilizadas para determinar valores de membros fuzzy são funções lineares e quadráticas (Burrough e McDonnell, 1998). A função linear fuzzy é definida por dois segmentos de reta inclinados que se encontram em um ponto central de valor MF A (z) = 1. Nas bordas o valor é MF A (z) = 0,5 e a inclinação das retas define a zona de transição fuzzy. A Figura 2.3a ilustra graficamente o conjunto fuzzy definido por duas funções lineares. Como comparação, a Figura 2.3b representa o mesmo conjunto, de valor pontual m, porém definido de modo rígido (booleano). O conjunto fuzzy definido pela função linear é expresso por (Equação 2.2): MF ( Z) = 0 A MF ( Z) = (1/ α)( z p) A MF ( Z) = 1 A se z < p se p z < q se z = q MF ( Z) = ( 1/ β )( z r) se q < z r A MFA ( Z) = 0 se z > r ondeα = q p e β = r q (2.2)

12 Fig. 2.3 Representação de números fuzzy e booleanos. Os gráficos b) e d) representam conjuntos booleanos, pontuais ou lineares e poligonais respectivamente. Eles apresentam valores rígidos (m) e (n-m), com um único grau de relacionamento de valor 1. Os gráficos a) e c) apresentam os conjuntos fuzzy equivalentes aos booleanos b) e d) respectivamente. No gráfico a) o grau de relacionamento é 1 no ponto q, decaindo para 0 nos pontos p e r. No gráfico c) os valores d 1 e d 2 correspondem à largura da zona de transição e os números b 1 e b 2 os pontos de cruzamento. FONTE: adaptado Fang (1997). A função quadrática é expressa por (Figura 2.4): F 1 MFA ( z) = 0 z R (2.3) 2 (1 + a(z c) ) onde o valor de "a " indica o "ponto de cruzamento", no qual a evidência tem 50% de importância e o valor c é o ponto central ideal do conjunto. A faixa abrangida pelo ponto inicial até o "ponto de cruzamento" indica a faixa onde as evidências têm alta influência. Nos pontos fora desta faixa a importância decai abruptamente, segundo a curva quadrática. A Figura 2.3c exemplifica um conjunto fuzzy definido por duas funções quadráticas. Na Figura 2.3d está representado o conjunto equivalente, definido por método Booleano. O conjunto fuzzy é expresso por:

13 1 MF F ( z) = se z < b d1 (2.4a) z b1 d 1 1+ d 1 MF F ( z) = 1 se b + d z b d (2.4b) MF F ( z) = se z > b 2 2 d2 (2.4c) z b2 + d 2 1+ d 2 Fig. 2.4 Exemplo de curva quadrática de representação dos elementos z em MF A Os membros fuzzy definidos pelos conjuntos fuzzy são então combinados segundo análises multi-critérios, definidas através de uma seqüência lógica realizada pelos operadores fuzzy (Mínimo, Máximo, Média, Ponderado (Técnica AHP) e Gama) Operadores Fuzzy Fuzzy Mínimo Esse operador assemelha-se a operação Booleana E (interseção), e é expresso por: µ=min (µa,µb, µc,...), onde µa eqüivale ao valor do membro fuzzy para um particular ponto ( pixel ) do plano de informação A; os valores µb e µc correspondem, respectivamente, aos membros dos planos B e C no mesmo ponto. O que este operador define como resultado, é que um ponto do plano de informação resultante terá como valor de saída o menor valor dos membros fuzzy de entrada. Se

14 tomarmos como exemplo os valores µa = 0,30; µb = 0,17; µc = 0,98, o valor adotado para o pixel do plano de informação final será µ final = 0,17. Fica claro entender que o resultado obtido é o mais restritivo possível com os valores dos membros fuzzy, de modo que este operador é indicado para situações altamente restritivas ( pessimista ), onde duas ou mais evidências são estritamente necessárias para satisfazer uma hipótese. Fuzzy Máximo O operador fuzzy Máximo assemelha-se à operação Booleana OU (união), sendo as evidências combinadas segundo a função µ = Max (µa, µb, µc,...), onde os valores de µa, µb e µc correspondem aos valores dos membros fuzzy das evidências. Nessa operação o valor de saída para um dado ponto será o maior valor de entrada dos planos de informação. No exemplo acima o valor resultante seria µ final = 0,98. O operador fuzzy Máximo é o mais otimista dentre operadores fuzzy, sendo indicado para situações onde a existência de apenas uma evidência é suficiente para indicar regiões potenciais à ocorrência de determinada evidência. Fuzzy Média O fuzzy Média admite um risco médio com compensação plena entre todos os membros fuzzy de entrada. O peso de importância é distribuído uniformemente para todas as evidências, o que indica que os membros fuzzy de entrada não apresentam uma importância hierárquica entre eles. A função matemática que define este operador é expressa por: n µ i µ = média = (2.5) n Fuzzy Ponderado i= 1 No fuzzy ponderado os pesos de cada membro fuzzy de entrada (evidência) podem ser definidos empiricamente de modo heurístico ou por processos estatísticos. A avaliação do peso depende da análise da importância da evidência em relação a um depósito mineral, por exemplo. Essa ponderação resulta em um escalonamento das evidências segundo um grau de importância relativa entre elas. Isto permite uma ordenação das evidências por importância na formulação do modelo prospectivo. Embora exista uma variedade de técnicas para a definição dos pesos Eastman et al. (1995) descrevem a técnica do Processo Analítico Hierárquico (Analytical Hierarchy Process - AHP), desenvolvida por Saaty (1992), como sendo a mais promissora no contexto do processo de tomada de decisão. O primeiro passo para a aplicação dessa técnica é a elaboração de uma relação de importância relativa entre as evidências. Essa relação é utilizada como dado de entrada em uma matriz de comparação par a par, onde

15 são calculados os autovalores e autovetores da matriz. Os pesos de cada membro fuzzy, eqüivalem, então, aos autovetores da matriz de comparação par a par. No capítulo 2.6 de suporte a decisão a técnica do Processo Analítico Hierárquico é abordada com maior detalhe. Fuzzy Gama Este operador é definido por dois termos, um produto algébrico fuzzy e uma soma algébrica fuzzy, expresso pela função: µ = (soma algébrica fuzzy) γ x (produto algébrico fuzzy) 1-γ (2.6) O produto algébrico fuzzy é expresso pela função: n µ = µ (2.7) i = 1 i onde µi representa o valor do membro fuzzy para um plano de informação i. O operador executa a multiplicação dos membros dos diferentes planos de informação (i= 1,2,3,...), sendo que o valor de saída de um dado ponto é sempre menor ou igual ao valor do menor membro fuzzy. Isto ocorre devido a multiplicação de valores iguais ou menores que 1. A soma algébrica fuzzy é definida pela função: n µ = 1 (1 ) (2.8) i= 1 µ i onde o termo µ i representa o valor dos membros fuzzy para um plano de informação i. O operador executa a multiplicação do termo (1 - µ i ). Na soma algébrica o resultado é sempre maior ou igual ao valor de entrada do maior membro fuzzy (µi). No operador gama pode-se variar a importância de cada termo (soma algébrica e produto algébrico fuzzy). A importância de cada termo no operador gama é definida atribuindo-se valores entre (0,1) para o expoente γ. Esta distribuição de importância é melhor entendida através da Figura 2.5. Na Figura 2.6 pode-se observar que quando o γ=0, o resultado dependerá apenas do termo produto algébrico fuzzy, e quando γ=1, o resultado dependerá apenas do termo soma algébrica fuzzy. Os valores de gama entre 0<γ>0,35 apresentam um caráter diminutivo, ou seja, sempre menores ou iguais ao menor membro fuzzy de entrada (µi). Na outra extremidade do gráfico os valores gama entre 0,8<γ>1,0 têm um caráter aumentativo onde o valor de saída será igual ou maior que o valor do maior membro fuzzy de entrada (µi). Por fim, para os valores de gama entre 0,35<γ>0,8, os µi não apresentam nem um caráter aumentativo nem diminutivo ; os valores dos µi de

16 saída cairão sempre entre o menor e o maior valor dos µi de entrada (Bonham-Carter, 1994) Probabilidade versus Possibilidade Fig. 2.5 Distribuição da função Fuzzy Gama. FONTE: Adaptada de Bonham-Carter (1994). A probabilidade representa uma tentativa de explicar como um evento ocorre em um espaço aleatório. O primeiro princípio que fundamenta a probabilidade é o seu caráter aleatório, o que pressupõe a habilidade em medir e ordenar o espaço randômico. Por outro lado, possibilidade é o cálculo da compatibilidade, ou seja, enquanto a probabilidade é baseada na freqüência da distribuição aleatória de uma população, a lógica fuzzy descreve propriedades que têm valores, que variam continuamente, através da associação de partições desses valores com identidades semânticas. Esses valores associados à identidade semântica indicam nossa percepção da possibilidade de aceitação, julgamento ou crença de que um membro pertença a um conjunto. Muito do poder de descrição da lógica fuzzy advém do fato de ser permitido a sobreposição dessas partições semânticas. Essa sobreposição corresponde à transição de um estado para o próximo, a qual surge da ocorrência natural da ambigüidade associada com o estado intermediário da transição semântica (Cox, 1994). A declaração a seguir é uma boa maneira de ilustrar a diferença entre possibilidade e probabilidade: Existe uma chance de 50% que ocorra uma chuva fina amanhã.

17 Caso se espere até amanhã, saber-se-á se a chuva ocorrerá ou não. A incerteza probabilística está resolvida, entretanto a incerteza fuzzy permanece. Ainda existe alguma ambigüidade sobre se a chuva é uma garoa, chuva fina, moderada ou pesada Inferência booleana versus Inferência fuzzy A visão dicotômica (booleana) de modelamento é assumida pela corrente maioria dos sistemas de informação geográfica que consideram que fenômenos naturais podem ser modelados por objetos discretos, tais como pontos, linhas e polígonos ou pixels os quais têm atributos exatos. Essa representação espacial de dados imprecisos para dados rígidos introduz erros desnecessários em estágio muito inicial do processo de inferência espacial (Altman, 1994). Burrough e Heuvelink (1992) demostram como as incertezas nos valores dos atributos dos mapas causam erros nos resultados das inferências espaciais efetuadas segundo modelamentos booleanos e fuzzy. Os resultados obtidos por esses autores sugerem que os métodos Booleanos estão muito mais sujeitos à propagação de erros em modelamentos do que os equivalentes fuzzy, e que a utilização da técnica fuzzy pode reduzir drasticamente a propagação de erros através de modelos lógicos, fornecendo cenários mais confiáveis. Como exemplificação dos problemas enfrentados por um modelamento booleano, considere-se o modelo de lógica simples para classificação de solo para risco de erosão, proposto por Heuvelink e Burrough (1993). O modelo utiliza polígonos ou pixels para a representação das evidências e considera a seguinte proposição: CASO Inclinação > 10% E Textura do solo = areia E Cobertura vegetal < 25% ENTÂO perigo de erosão é severo Neste proposição a interseção dos três conjuntos (inclinação > 10% textura de solo = areia cobertura vegetal < 25%) fornece o resultado requerido. Cada polígono ou pixel representa uma localidade que é testada em seus valores de atributo e qualquer objeto que não case todas as três condições será descartado. O modelo proposto é deficiente porque assume que a relação entre inclinação, textura de solo e cobertura vegetal pode descrever através de uma simples expressão booleana o risco de erosão. Na realidade, esta relação é muito mais complexa, dado que o risco de erosão continua sendo sério quando o local tem uma inclinação pouco abaixo de 10% ou a cobertura vegetal é apenas um pouco acima de 25%. Porém, segundo a definição das classes propostas, inclinações menores que 10% são sempre seguras, um resultado que a maioria dos cientistas não concordariam. Neste caso seria muito mais intuitivo e satisfatório substituir o modelo booleano por um modelo no qual o risco de erosão aumentaria continuamente com a inclinação.

18 O segundo problema com o modelo lógico descrito é que esse assume que os atributos podem ser descritos em medidas exatas. Porém, muitos atributos não podem ser gravados de modo exato, devido a erros de medida e variações espaciais (Burrogh,1986; Goodchild, 1989). Conseqüentemente, quando dados incertos são utilizados em modelos lógicos ou quantitativos, são esperados que os resultados também contenham erros. De modo a entender como erros em dados podem afetar o resultado tanto em classificações booleanas e contínuas, Heuvelink e Burrough (1993) substituem o atributo determinístico z, por uma variável Z. Isto por que quando existe incerteza sobre valores de atributo não se pode representar com certeza este com um único valor determinístico. O melhor seria representar este atributo como uma distribuição de valores, tendo cada valor uma certa probabilidade de ocorrência, sendo então uma variável aleatória. Heuvelink e Burrough (1993) denotam o desvio padrão como σ z o qual é utilizado como medida de erro. A Figura 2.6 apresenta algumas situações possíveis que podem aparecer quando uma observação é para ser feita nas classes de fronteira de um atributo Z definido por b 1 e b 2. A Figura 2.6 (a) demostra o caso booleano onde não existe erro, então σ z =0. O atributo z tem um efeito determinístico de modo que a observação individual ou cai totalmente dentro do limite da classe (barra direita) ou fora (barra esquerda). Os valores correspondentes da função membro são 1 ou 0 respectivamente. Como s z é zero, o valor dos membros da função são também livres de erros. A Figura 2.6 (b) demostra a mesma situação onde a observação individual é classificada por uma função membro fuzzy. A observação na barra direita está no centro da classe MF(z) = 1. A observação na barra esquerda está fora do centro e das fronteiras booleanas, o que retorna um MF(z) <0.5. Agora considere a situação em que s z não é zero. Na Figura 2.6 (c) a função de probabilidade de densidade p z de Z tem a forma característica de uma normal e coincide com o limite da classe booleana. A probabilidade de que Z caia fora do limite da classe é demasiadamente pequena, de modo que para todos os objetivos práticos MF(z) = 1. A mesma situação ocorre com a função de membros contínuos quando p z cai dentro do núcleo da classe (Figura 2.6 (d)). Claramente os mesmos resultados ocorrem quando p z cai bem fora dos limites da classe.

19 Fig. 2.6 Exemplificação da distribuição de erro através de classificação booleana e fuzzy para um atributo Z. FONTE: Adaptado Burrough e Heuvelink (1992) O resultado é menos claro quando p z cruza o limite da classe booleana ou a zona de transição da classe fuzzy. As Figuras 2.6 (e) e (f) mostram a situação quando a média de Z iguala b 1. No caso booleano (Figura 2.6(e)) a distribuição de MF(z) torna-se uma distribuição discreta com dois possíveis valores, 0 e 1. Nesse caso as chances são iguais para que Z caia dentro ou fora do limite da classe, de modo que a probabilidade de obter cada valor é 0.5. No caso fuzzy ilustrado na Figura 2.6 (f) a média de Z iguala b 1, apresentando uma distribuição continua do mesmo modo que Z. A média da MF(z) é ao redor de 0.5 e devido a função membro variar acentuadamente em b 1, o desvio padrão de MF(z) é muito maior do que para Z, embora este permaneça substancialmente menor do que o desvio padrão booleano, Figura 2.6 (e). Heuvelink e Burrough (1993) demonstram assim que o desvio padrão obtido a partir de uma simulação Monte Carlo, em uma superfície simulada, é consideravelmente grande, especialmente para o modelo Booleano. Nesse modelo existem grandes áreas onde o desvio padrão é perto da metade que corresponde ao máximo teórico. Os desvios padrão são maiores nas localizações onde os valores de atributo estão próximos dos limites da classe booleana ou dentro da zona de transição contínua. Pixels que estão claramente dentro ou fora das classes são selecionados ou rejeitados com um baixo nível de incerteza. O exemplo acima demostra de modo claro que classes booleanas utilizadas em modelamento lógico desenvolvido em SIG s podem gerar resultados insatisfatórios, porque muitos problemas ambientais não podem ser modelados realisticamente com

20 regras rígidas. A classificação por membros fuzzy pode fornecer então uma solução para esse problema pois relaxa os valores dos membros das classes, permitido definir funções de membros flexíveis que casem com experiências práticas Abordagem de Importação Semântica IS (Semantic( Import Approach) ) para Contato de Polígonos Intérpretes utilizam feições observáveis, tais como mudança de cores, padrão de textura, quebra de encosta, para inferir contatos durante a elaboração de mapas temáticos. Cartograficamente esses contatos são definidos por linhas que podem representar uma limitação na representação espacial das evidências necessárias em um modelamento desenvolvido em SIG. Essa imposição cartográfica simples e eficiente suprime a informação sobre a natureza da mudança espacial e tem criado a idéia em usuários de mapas temáticos, que solos, vegetação, ou contatos geológicos são sempre abruptamente definidos (precisos), e que as unidades são sempre homogêneas, livres de erros de classificação ou posicionamento. Entretanto, sabe-se que variações em solo, vegetação, ou litologia podem ocorrer abruptamente ou gradualmente. Um dique intrusivo pode formar contatos geológicos abruptos em uma escala centimétrica, porém variações em textura que expressam variações litológicas podem ocorrer sobre centenas de metros ou quilômetros. E mais, as classes (atributos) delimitadas pelos polígonos podem apresentar ambigüidades ou incertezas que normalmente são mais acentuadas numa zona próxima ao contato (zona de transição). O problema de imprecisão dos contatos corresponde à discrepância existente entre as condições do mundo real e as informações apresentadas pelo traçado dos contatos em um mapa. Esse problema tem dois aspectos; imprecisão natural e localização (contato inferido) (Wang e Brent Hall, 1996). A utilização da lógica fuzzy na representação dos contatos dos polígonos possibilita a fácil incorporação da informação sobre a natureza dos contatos, bem como da incerteza associada a classificação e ao posicionamento. Burrough e McDonell (1998) propõem duas técnicas distintas para a representação da informação semântica de contatos fuzzy, a abordagem por unidades de mapa (map unit approach) e o a abordagem por contato individual (individual boundary approach) A abordagem por unidades de mapa possibilita uma representação única para os contatos das unidades ou polígonos. Ou seja, essa técnica assume que o polígono apresenta um único tipo de contato ao longo do seu perímetro. As informações sobre o tipo de contato podem ser convertidas nos parâmetros necessários para a definição da função membro fuzzy, segundo as Equações 2.4, as quais são aplicadas sobre o plano de

21 informação que contém a grade de distância isotopricamente distribuída ao longo dos contatos do polígono. A localização do contato originalmente desenhado coincide com o ponto de cruzamento MF = 0.5 e os pontos ao centro dos contatos originais apresentam valores de membro iguais a 1. Os pontos dentro, mas próximos ao contato recebem valores membro entre 1 e 0.5, e aqueles do lado de fora do contato recebem valores de membro menores que 0.5, conforme o distanciamento do contato. A Figura 2.7 mostra o resultado do contato fuzzy fatiado da classe A, onde observa-se a graduação da classe A de cor amarela ao longo dos contatos para a classe A, de cor verde (negativo de A). Fig. 2.7 Ilustração da representação de informação semântica para contatos. A fatia maior amarela representam os membros totalmente contidos na classe A. As fatias menores indicam a graduação dos demais membros até a fatia maior verde que representa os membros fora da classe A (A ), conforme ilustra a escala vermelha ( ). O procedimento pode ser repetido para todas as unidades de um mapa, variando-se na definição da largura do contato, conforme as características de cada classe. Na Figura 2.8 o gráfico ilustra a aplicação das funções de membro fuzzy sobre um contato inferido entre dois tipos de rochas.

22 A abordagem do contato individual assume que uma classe pode apresentar diferentes distribuições espaciais ao longo dos seus contatos. Ou seja, contatos podem ser abruptos em algumas partes e difuso em outras. Por exemplo, um terraço elevado de rio pode ter borda difusa no lado superior e borda abrupta no lado inferior, onde o rio cortou seu caminho. Nesse caso, aplicam-se duas funções membro fuzzy, cada uma representando os diferentes comportamentos do contato. Fig. 2.8 Exemplificação do mapeamento de um contato inferido rígido para um contato fuzzy. 2.4 MÉTODO DE BAYES. A metodologia bayesiana consiste em determinar a probabilidade de ocorrer um evento, dado uma certa condição. Em termos prospectivos pode-se pensar na definição da probabilidade de um depósito ocorrer, condicionada pela ocorrência de uma certa evidência (exemplo: litologia favorável). O método bayesiano apresenta uma abordagem probabilística para o problema, onde o principal conceito do método é a idéia da probabilidade a priore P (D) e da probabilidade a posteriore P ( D B) (Bonham-Carter, 1994). P( D) probabilid ade a priore (2.9) P( B D) P( D B) = P( D) probabilid ade a posteriore (2.10) P( B) Como introdução ao conceito da probabilidade a priore e posteriore, considere o seguinte exemplo definido por Bonham-Carter (1994). Um indivíduo deseja estimar a probabilidade de que ocorra chuva no dia seguinte, sabendo-se que na média chove 80 dias por ano na região. Com essa informação, seria razoável considerar que a probabilidade a priore de que vai chover no próximo dia é de 80/365. Essa probabilidade inicial pode ser refinada através da agregação de outras fontes de dados, como por

23 exemplo a estação do ano (verão, inverno, primavera e outono). Com a consideração dessa nova informação o resultado obtido seria a probabilidade de chuva, dado a estação do ano vigente. Esta nova informação funciona como um fator multiplicativo e representa uma melhora na precisão da informação inicial (probabilidade a priore). Outras fontes de dados podem ser utilizadas em conjunto sendo necessário apenas a sua multiplicação à probabilidade a priore. P( chuva estaçãodoano) = P( chuva) Componente estaçãodoano P( chuva) probabilid ade a priore P( chuva estaçãodoano) probabilid ade a posteriore Em estudos voltados à pesquisa mineral a probabilidade a priore seria a probabilidade da ocorrência mineral considerando-se a área total investigada. A probabilidade a posteriore seria um refinamento do conhecimento (probabilidade a priore), onde através de uma ou mais evidências, que possuem uma relação direta com a mineralização, calcula-se o aumento das chances de sucesso no encontro de um novo depósito mineral. Ou seja, dado que se está pesquisando sobre uma evidência favorável, determina-se quanto esta condição aumenta as chances da descoberta de um novo depósito mineral. A probabilidade a priore para a ocorrência de um dado fenômeno pode ser estimada por modelos simples de distribuição espacial aleatória ou por análises estatísticas multivariadas (Agterberg, 1989). Os dados para o cálculo da probabilidade a posteriore podem ser obtidos através da tabulação cruzada, entre o plano de informação com os depósitos e os planos de informação com as evidências. Para isso é necessário que os planos de informação das evidências sejam antes transformados em mapas binários, subdivididos em classe favorável e não favorável. A definição dos limiares de corte pode ser baseada tanto no julgamento subjetivo do especialista como por técnicas estatísticas baseadas em medição de correlação espacial, tal como o parâmetro Contraste (C w ). Com os mapas binários gerados, faz-se a tabulação cruzada das evidências com os depósitos (verdades de campo), obtendo-se uma matriz onde cada célula corresponde à interseção das classes das evidências com as ocorrências minerais. Esses valores são utilizados nas formulações para a obtenção das probabilidades a posteriore. Para um melhor entendimento considere o exemplo definido por Bonham-Carter (1994). Uma área de interesse mineral que totaliza Km 2 e que contem 200 ocorrências já conhecidas de 1 Km 2 cada. Para efeito de análise, esta área é subdividida em partes iguais de 1 Km 2 totalizando assim unidades. Utilizando a notação N( ) para representar a contagem das unidades, tem-se N ( T ) = unidades para a área total e N ( D) = 200 unidades para os depósitos. Até o presente momento a probabilidade de achar-se um depósito a partir de uma escolha aleatória de uma das

24 unidades é obtida por N ( D) / N( T), ou 200 / = 0, 02, o que representa a probabilidade a priore P (D) de se achar um depósito. No caso da existência de informações adicionais sobre a área, como por exemplo, um mapa de anomalias radiométricas onde 180 das 200 ocorrências conhecidas ocorrem associadas às anomalias (Figura 2.9a), a probabilidade de encontrar-se um depósito será muito maior do que 0,02 caso a pesquisa seja procedida na área delimitada pelo padrão anômalo (evidência). A área do padrão anômalo é de Km 2. De modo inverso a probabilidade será reduzida caso a evidência não esteja presente. A potencialidade de encontrar um depósito dado a presença da evidência B pode então ser expressa pela probabilidade condicional: P( D B) P( D B) = (2.11) P( B) Fig. 2.9 Tabela de tabulação cruzada e formulações bayesianas para o caso hipotético de uma área prospectável de Km 2, onde ocorrem 200 ocorrências minerais, sendo 180 delas condicionadas a anomalia radiométricas com 3600 Km 2 de área.

25 O primeiro membro da equação é a probabilidade condicional do depósito dada a evidência P ( D B). No segundo membro o numerador P( D B) eqüivale à área de interseção dos depósitos e da evidência, ou P( D B) = N( D B) / N( T). O denominador P (B) de modo semelhante eqüivale a N ( B) / N( T). Pela substituição direta no segundo membro da Equação 2.11 obtém-se: N ( D B) P( D B) = ( 2.12) N ( B) Na Figura 2.9b o diagrama de Venn ilustra a situação de sobreposição entre os planos binários dos depósitos e da evidência com a área de interseção demarcada em vermelho. Os resultados esperados da tabulação cruzada entre os dois planos de informação encontram-se na matriz da Figura 2.9c, com os depósitos representados nas linhas e a evidência na coluna. As formulações das probabilidades condicionais com os respectivos resultados encontram-se na Figura 2.9d. A partir do exemplo, fica claro que a probabilidade condicional dada a evidência é maior que a probabilidade a priore considerando-se a área total. No caso 180 / = 0, 05, o que é 2,5 vezes maior do que a probabilidade a priore P ( D) = 0, 02. Pode-se concluir assim que utilizando-se essa evidência, a chance de sucesso em uma possível campanha prospectiva é aumentada e a área de pesquisa reduzida de Km 2 para 3.600Km 2. Entretanto, até o momento as formulações apresentadas não demostram a possibilidade da representação da probabilidade condicional em termos da probabilidade a priore mais um fator multiplicativo (Equação 2.10). A equação é obtida a partir do desenvolvimento da formulação proposta a seguir. Primeiramente a probabilidade a posteriore do padrão anômalo dado que se está em um depósito é: P( B D) P( B D) = (2.13) P( D) Pela teoria da probabilidade sabe-se que P( B D) e P( D B) são iguais. Então, combinando-se as Equações 2.11 e 2.13 obtém-se: P( B D) P( D B) = P( D) (2.14) P( B) No exemplo observa-se que P ( B D) / P( B) = 0,9/ 0,36 = 2, 5, que corresponde ao fator multiplicativo da probabilidade a priore P ( D) = 0, 02. Pela Equação 2.14 P ( D B) = 0,02 2,5 = 0,05, o que eqüivale ao mesmo resultado obtido pela Equação Bonham-Carter (1994) propõe ainda outro tipo de formulação, expressa pelo cálculo da chance a priore O (D) e da chance a posteriore O ( D B). Esta formulação permite a

26 integração de diferentes evidências como fatores explicativos para a ocorrência mineral através de uma soma condicional de parâmetros. Esta soma condicional facilita a soma dos planos de informação em um SIG. A chance a priore é expressa por: )) ( (1 ) ( ) ( D P D P D O = (2.15) onde ) (D P é probabilidade a priore. A chance a posteriore é obtida a partir do desenvolvimento da probabilidade a posteriore, apresentado abaixo: ) ( ) ( ) ( ) ( B P D B P D P B D P = (2.16) ) ( ) ( ) ( ) ( B P D B P D P B D P = (2.17) Dividindo-se os dois termos da Equação 2.16 por ) ( B D P vem: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B P B D P D B P D P B D P B D P = (2.18) Substituindo o ) ( B D P do segundo termo pela Equação 2.17 vem: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B P D B P D P B P D B P D P B D P B D P = (2.19) ) ( ) ( ) ( ) ( D B P D B P D O B D O = Razão de Suficiência (LS) (2.20) De modo semelhante obtêm-se a chance da ocorrência, dado a ausência da evidência. ) ( ) ( ) ( ) ( D B P D B P D O B D O = Razão de Necessidade (LN) (2.21) Extraindo-se o logaritmo natural das Equações (2.20) e (2.21) acima obtêm-se: + + = ω )] ( [ )] ( [ D Ln O B D O Ln (2.22) + = ω )] ( [ )] ( [ D O Ln B D O Ln (2.23) ) ( B D O ) (D O 1

27 As razões de suficiência (LS) ou de necessidade (LN) são computadas dependendo da presença ou ausência da evidência para um dado ponto. A condição de suficiência de uma evidência (B) é satisfeita quando a probabilidade de existência do depósito (D) é maximizada ( P ( B D) = máximo ). A condição de necessidade da evidência é satisfeita quando a probabilidade de não ocorrência do depósito é maximizada com a não existência da evidência ( P ( D B ) = máximo ) (Rostirolla, 1997). No caso do padrão não apresentar nenhuma correlação com o depósito LS=LN=1. Bonham-Carter (1994) demostra ainda que para um número maior de evidências, estas seriam integradas através da formulação que computaria a chance a priore, adicionada ao somatório dos logaritmos naturais das razões de suficiência e/ ou necessidade. Sendo necessário porém que as evidências consideradas apresentem uma independência condicional (Agterberg, 1989). A obrigatoriedade de assumir a independência condicional na combinação de evidências múltiplas decorre do fato dos ponderadores serem calculados independentemente para cada evidência, sendo depois combinados em uma única equação. Essa imposição matemática possibilita uma simplificação na formulação e quando bem empregada fornece uma boa idéia da contribuição individual de cada evidência. A probabilidade de um depósito dado duas evidências é expressa por: P( D B P( D B 1 P( D B 1 1 P( D B1 B2 ) B2 ) = (2.24) P( B B ) 1 2 P( B1 B2 D) P( D) B2 ) = (2.25) P( B B ) 1 2 P( B1 B2 D) P( D) B2 ) = (2.26) P( B B D) P( D) + P( B B D) P( D) 1 2 Esta é a regra Bayesiana. Perceba-se que existem apenas duas hipóteses exclusivas, D e D, com P ( D) + P( D ) = 1 (Bonham-Carter, 1994). Os efeitos de interseção entre as duas evidências B 1 e B 2 podem ser ignorados quando a independência condicional entre as evidências for respeitada. Isto possibilita uma simplificação ao permitir uma avaliação individual dos efeitos de cada plano de informação binário, além de permitir a combinação dos fatores através de uma multiplicação direta. A independência condicional pode ser expressa por: P ( B D B D) = P( B D) P( B ) (2.27) A Equação 2.27 permite a Equação 2.26 ser simplificada para: 1 2