UMA HEURÍSTICA HÍBRIDA PARA O PROBLEMA DE COLORAÇÃO EM GRAFOS COM PESOS NOS VÉRTICES

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1 UMA HEURÍSTICA HÍBRIDA PARA O PROBLEMA DE COLORAÇÃO EM GRAFOS COM PESOS NOS VÉRTICES Elivelton Ferreira Bueno École Polytechnique de Montréal Département de mathématiques et de génie industriel elivelton.bueno@cirrelt.ca Valdir Agustinho de Melo Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE / Programa de Engenharia de Produção vmelo@pep.ufrj.br Paulo Oswaldo Boaventura-Netto Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE / Programa de Engenharia de Produção boaventu@pep.ufrj.br RESUMO Dado um grafo com pesos nos vértices, G = (V,E;w), w(v) > 0 para todo v V, consideramos a versão com pesos do Problema de Coloração, que consiste em encontrar uma partição S = (S 1,..., S k ) de vértices em conjuntos independentes e minimizando w(s i ), onde o peso de S é definido como max{w(v): v S}. O presente artigo apresenta uma heurística híbrida para o Problema de Coloração em Grafos com pesos nos vértices, utilizando como procedimento as meta-heurísticas GRASP e VNS. Palavras-chave: Meta-heurísticas, Coloração em Grafos com Pesos nos Vértices, GRASP, VNS. ABSTRACT Given a vertex-weighted graph G = (V,E;w), w(v) > 0 for every v V, we consider a weighted version of the coloring problem which consists in finding a partition S = (S 1,..., S k ) of the vertex set of G into stable sets and minimizing w(s i ), where the weight of S is defined as max{w(v): v S}. This paper presents a metaheuristic approach for the Weighted Coloring Problem, using as procedure the Greedy Randomized Search Procedure (GRASP) and the Variable Neighborhood Search (VNS). Keywords: Metaheuristics, Weighted Coloring, GRASP, VNS. 1458

2 1 Introdução Muitos problemas de Otimização Combinatória de elevada complexidade encontram na Teoria dos Grafos processos de resolução aproximada capazes de produzir soluções sub-ótimas de boa qualidade dentro de um tempo computacional razoável. Nestes casos, métodos heurísticos baseados ou não em meta-heurísticas são utilizados para encontrar tais resultados. Uma meta-heurística é um modelo generalizado de heurística, baseado em um princípio dado, cuja adaptação para a estrutura de um dado problema produz uma heurística que tenta evitar uma parada precoce em um ótimo. O Problema de Coloração em Grafos é um problema de coloração dos vértices de um grafo não direcionado com o menor número de cores possíveis, desde que dois vértices adjacentes não possuam a mesma cor. Este problema é bem conhecido por ser NP-árduo, ver Garey e Johnson (1979) e Kubale (1998). Diversos algoritmos exatos (de tempo exponencial) têm sido apresentados na literatura, Brelaz (1979), Caramia e Dell Olmo (2001a) e (2001b), Kubale (1998), Kubale e Jackowski (1985), Mehrotra e Trick (1996), Sager e Lin (1993), Sewell (1996) e algumas metaheurísticas que serão citadas na Seção 3. Generalizações do Problema de Coloração em Grafos que têm sido propostas incluem os problemas de colocação em largura de banda (Bandwidth Coloring), multicoloração (Multicoloring) e multicoloração em largura de banda (Bandwidth Multicoloring Problems). Esses problemas consideram restrições suplementares inseridas nos vértices e/ou nas arestas do grafo. Tais generalizações modelam uma coleção de aplicações úteis. Por exemplo, Bui e Nguyen (2006), os modelos de multicolocação em largura de banda têm sido aplicados ao problema de alocação de canais fixos (Fixed Channel Assignment Problem), cujo objetivo é associar freqüências a diferentes células numa rede de telefonia móvel, de maneira que certas separações de freqüências sejam satisfeitas, enquanto minimizam o total de interferências, Além disso, se cada célula tem que se usada por um número de freqüências separadas, então o problema pode ser modelado como um problema de multicolocação em largura de banda Park et al. (2002). Esta generalização também é NP-árdua. Existem vários algoritmos heurísticos para essas generalizações, incluindo a busca local Prestwich (Prestwich s local search), o método de propagação de restrições (constraint propagation method), Prestwich (2002) e combinações híbridas (Squeaky Wheel Optimization) de Lim et al. (2003) e técnicas de escalada de colina (Hill Climbling), Joslin e Clements (1999). Com o objetivo de modelar problemas de escalonamento não-contínuo (batch scheduling), o conceito de coloração foi estendido para um outro caso mais geral pela definição de pesos associados aos vértices de um grafo, conforme Demange et al. (2001). Introduz-se, assim, o Problema de Coloração em Grafos com Pesos nos Vértices (Weighted Coloring Problem), também referido como WCP. Neste artigo, apresenta-se uma heurística híbrida para o WCP, utilizando como procedimento as meta-heurísticas Greedy Radomized Search Procedure (GRASP), Feo e Resende (1995) e Variable Neighborhood Search (VNS), Hansen e Mladenovic (1997). Este trabalho está organizado da seguinte forma: na Seção 2, apresenta-se uma definição formal do Problema de Coloração em Grafos com pesos nos vértices e, na Seção 3, o procedimento heurístico de resolução para este problema, baseado nas meta-heurísticas GRASP e VNS. São também apresentados detalhes da metodologia proposta, bem como da implementação computacional efetuada. Na Seção 4, os resultados computacionais são apresentados e discutidos para, na seção seguinte, terminar com a apresentação das conclusões e considerações finais. 1459

3 2 O Problema de Coloração em Grafos com Pesos nos Vértices O problema tratado neste trabalho é uma variante do problema clássico de coloração de vértices de um grafo, onde uma coloração consiste em atribuir uma cor a cada vértice, de forma que dois vértices ligados por uma aresta sempre tenham cores distintas. Uma instância do problema é um grafo em que um peso (inteiro positivo) está associado a cada um dos seus vértices. Dada uma coloração, o peso de uma determinada cor é definido como o maior peso associado a um vértice com essa cor. O objetivo, então, é encontrar uma coloração que minimize a soma dos pesos das cores utilizadas. Esta soma define o peso da coloração correspondente. Para um enunciado formal do problema, as seguintes definições são consideradas. Seja G w = ( V, E) um grafo não-orientado em que V = { v, v, 1 2 L, v n } é o conjunto dos vértices, E = { e1, e2, L, e m } é o conjunto das arestas e w : V Z é uma função que associa a cada vértice + v V um valor inteiro positivo w (v), ou seja, v a w(v). Este valor é chamado peso do vértice v. Neste trabalho, uma coloração do grafo G é uma partição de V em k conjuntos estáveis, isto é, w em k conjuntos V 1, V2, L, V tais que os vértices em cada um deles sejam dois a dois nãoadjacentes (nenhuma aresta e E tem ambas as extremidades no mesmo conjunto). Seja k C = ( V1, V2, L, Vk ) uma coloração de G em que w V i é uma cor, para cada i { 1,2, L,k}, e k é o número de cores correspondente. O peso da cor V i é o valor w( V i ) = max{ w( v) : v V i }, para cada k i { 1,2, L,k}, e o peso da coloração C é definido por. w( C) = w( V i ) Finalmente, dado um grafo peso seja mínimo, ou seja: (P) minimizar w C) = w( V ) + w( V ) + L + w( V ) i= 1 G w, o problema consiste em encontrar uma coloração cujo ( 1 2 k tal que C = ( V1, V2, L, Vk ) seja uma coloração de G. w Se todos os pesos dos vértices do grafo G forem unitários, ou seja, w w ( v) = 1, para todo v V, então (P) é o problema clássico de coloração: minimizar o número k de cores. Este número é usualmente denotado por χ ( Gw) e é chamado número cromático de G. Então, como w (P) é um caso mais geral do problema de coloração de vértices de um grafo, (P) é um problema NP-árduo. Resultados referentes à complexidade do problema (P), incluindo situações bastante particulares em que esse problema pode ser resolvido em tempo polinomial são apresentados, por exemplo, por Demange et al. (2007). A metaheurística apresentada neste trabalho foi desenvolvida para grafos aleatórios. Neste caso, não existe um algoritmo polinomial para o problema (P), a menos que na teoria da NP-completude se tenha P=NP, conforme Papadimitriou (1993). Apesar dessa equivalência entre os dois problemas, uma solução ótima para o problema (P) pode utilizar um número de cores maior que o número cromático χ ( Gw) do grafo G w. Por exemplo, o grafo G w = ( V, E), com V = { v 1, v 2, v 3, v 4 }, w ( v1 ) = w( v4) = 5, w ( v2 ) = w( v3) = 1, e E = {( v1, v2),( v2, v3),( v3, v4) }, é tal que χ ( G w ) = 2 associado a uma coloração de peso igual a 10. No entanto, a coloração de menor peso utiliza 3 cores, C = ({ v1, v4},{ v2},{ v3}), cujo peso é w ( C) = w( V1 ) + w( V2) + ( V3 ) = 7. Em geral, conforme demonstrado por Demange et al. (2007), toda coloração C de um grafo G w = ( V, E) com peso mínimo w (C) utiliza um número k de cores 1460

4 tal que k 1+ r( χ ( Gw) 1), onde r é o número de pesos distintos associados aos vértices do grafo. Este resultado é o melhor possível no sentido em que, para quaisquer r e q dados, existe um grafo G com w χ ( G w ) = q e r valores distintos para os pesos dos vértices, tais que toda coloração C que minimiza w (C) utiliza k = 1+ r( q 1) cores. 3 Uma heurística para a verificação do Problema de Coloração em Grafos com Pesos nos Vértices Dentre as meta-heurísticas propostas nos últimos anos para problemas de Otimização, se destacam: Simulated Annealing, Kirkpatrick et al (1983), Busca Tabu, Glover(1989a) e Glover(1989b), Algoritmos Genéticos, Goldberg (1989), Scatter Search, Glover(1977), Greedy Randomized Adaptive Search Procedure GRASP, Colônia de Formigas, Dorigo et al. (1996) e Variable Neighborhood Search VNS. Partindo de uma solução inicial viável, a idéia é gerar uma seqüência de trocas dentro desta solução na tentativa de que haja uma melhora na função objetivo, até que ocorra o critério de parada, que pode ser um número máximo de iterações, um tempo máximo de CPU ou um número máximo de iterações sem melhora. A meta-heurística GRASP foi proposta por Feo e Resende em 1995, e pode ser vista como um processo que se utiliza das boas características dos algoritmos puramente gulosos e dos procedimentos aleatórios na fase de construção de soluções viáveis. Conforme pode ser visto a seguir, no algoritmo da Figura 1, o GRASP é um processo no qual cada iteração consiste em duas fases distintas: a fase de construção, linha 3, onde uma solução viável é construída, e a fase de busca local, linha 4, onde um ótimo local na vizinhança da solução inicial construída é encontrado e, se necessário, é feita a atualização da melhor solução encontrada até o momento, linha 6. Figura 1. Algoritmo GRASP Básico. A meta-heurística Busca em Vizinhança Variável, conhecida como VNS, foi proposta em [HM,97] e baseia-se em uma sistemática troca de vizinhanças associada a um algoritmo aleatório na determinação de pontos iniciais das buscas locais. O VNS utiliza um conjunto pré-definido de estruturas de vizinhança N k, (k = 1,..., k max ), sendo N k (x) o conjunto de soluções na k-ésima vizinhança de x. As heurísticas de busca local 1461

5 usualmente possuem apenas uma estrutura de vizinhança, isto é, k max = 1. O algoritmo básico desta meta-heurística é apresentado na Figura 2. Após definidos os critérios de inicialização, linha 1, que são a seleção de um conjunto k max de estruturas de vizinhanças; a escolha de uma solução inicial x e um critério de parada, inicia-se a fase denominada agitação a partir da primeira vizinhança, linha 3. Enquanto não se alcançar a k-ésima vizinhança de x, faz-se aleatoriamente uma perturbação na solução aleatória x, linha 5, com o intuito de evitar repetições, o que poderia ocorrer se alguma regra determinística fosse usada. Na linha seguinte aplica-se um procedimento de busca local qualquer na solução x, gerando a solução x. Feito isso, linha 7, é verificado se o valor obtido em x é menor que x. Caso seja, a solução x passa a ser a solução x e volta-se a primeira vizinhança =1), caso contrário, a vizinhança atual é incrementada ( k = k + 1). Figura 2. Algoritmo VNS Básico. Segundo Boaventura Netto (2006), há diversas heurísticas eficientes para resolver o problema de partições cromáticas, sendo uma delas a coloração seqüencial, que corresponde à inicialização sucessiva de classes de cores, pela introdução de vértices um a um e pela abertura de nova classe, somente, quando não se consegue alocar um novo vértice nas classes já existentes. Isto pode ser visto na Figura 3. Na linha 1 é feita a inicialização e a partir da linha 2, para todos os vértices do grafo G, verifica-se se existe na adjacência do vértice atual r(i) a cor k já foi usada. Caso não tenha sido usada, linha 4, o vértice i é alocado na cor k, caso contrario, uma nova cor é criada e volta-se ao inicio do laço, linhas 5 e

6 Figura 3. Algoritmo de Coloração Sequencial. Neste trabalho, apresenta-se uma metaheurística híbrida GRASP + VNS para a verificação do problema de coloração em grafos com pesos nos vértices, onde o GRASP será usado na fase de construção e o VNS na busca local. Considerando que o problema em estudo possui o valor de cor determinado pelo vértice de maior valor, uma abordagem natural é tentar alocar os vértices de maior valor numa mesma cor. Sendo assim, foi feita uma ordenação não crescente dos vértices, O algoritmo proposto pode ser verificado na Figura 4, a seguir. Para cada iteração, linha 2, se constrói uma solução viável alocando um vértice a uma cor a cada iteração do laço existente na linha 3. A escolha do vértice atual se faz através da lista restrita de candidatos do GRASP, cujo valor de α é um parâmetro de entrada do algoritmo, linha 4. Terminado o laço da linha 3, tem-se uma solução viável e o total de cores criadas (k max ), informações estas que serão utilizadas na busca local da linha 7. Se a solução atual for melhor que a melhor solução encontrada até momento, a melhor solução passa a ser a atual. Figura 4. Algoritmo híbrido proposto. 1463

7 O único parâmetro que o VNS utiliza é o numero máximo de vizinhanças, que no algoritmo de busca local proposto está associado à variável k max. Isto faz com que o seu valor possa se modificar a cada iteração, pois representa a cardinalidade de cores associada à solução atual, que neste caso não exige ajustes prévios. A partir de uma solução viável, existem duas maneiras de se conseguir reduzir o valor da função objetivo: ou movendo todos os vértices de uma cor atual para outras cores, até que ela deixe de existir, ou trocando o vértice de maior valor de uma cor por outro vértice de valor inferior a esse em outra cor, considerando que este vértice de maior valor da cor escolhida seja único. Nesta ótica, inicialmente a busca local irá escolher aleatoriamente uma cor entre todas as cores que possuam a cardinalidade k, o que ocorre nas linhas 3 e 4. Na linha seguinte, é selecionado um vértice candidato, também aleatoriamente, para que se procure a partir da sua adjacência qual ou quais cores possíveis para que onde ele possa ser movido. Se este número for maior que zero, há uma escolha aleatória e para uma das cores possíveis de destino o vértice origem é movido; se k = 1, é possível a remoção da cor origem. Em seguida, tenta-se a abordagem de trocar vértices entre cores, o que acontece entre as linhas 12 e 17, com a escolha de um novo vértice origem e de uma nova cor e vértice de destino. Por ultimo, caso haja uma melhora na solução atual, faz-se uma atualização desta e retorna-se a primeira vizinhança, caso contrário, passa-se para a próxima vizinhança. Figura 5. Algoritmo de Busca Local. 1464

8 A escolha do vértice destino não garante que a troca possa ocorrer, situação tratada pela função da linha 17, como pode ser visto no exemplo trivial da Figura 6. Considerando-se, entre as duas cores existentes, vértice_origem = 1 e vértice_destino = 4 (ambos são candidatos à troca por pertencerem a cores diferentes e por não serem adjacentes), tal troca iria gerar uma inviabilidade na solução, já que vértices adjacentes iriam pertencer a cores iguais. Figura 6. Exemplo de uma troca inviável de vértices entre cores. 4 Resultados Computacionais Os resultados apresentados a seguir foram produzidos em um computador com um processador Intel Core Duo 2.00 GHz e memória RAM de 2.0 GB, com Sistema Operacional Windows Vista. Para todas as instâncias foram realizadas iterações do algoritmo com 10 execuções isoladas, com sementes distintas. A fim de validar o algoritmo, optou-se por utilizar instâncias já conhecidas e disponibilizadas na internet, ( mais precisamente as instâncias R xx _ w g.col e R xx _ w gb.col, onde xx significa o total de vértices da instância, e w g.col corresponde às instancias cujos pesos dos vértices são uniformemente gerados entre 1 e 5; e w gb.col possuem os pesos dos vértices uniformemente gerados entre 1 e 20. Instância Lower_Bounds Resultados Distância Iteração Tempo de Cpu R50_1g.col % 32 6,494 R50_1gb.col % 312 7,363 R50_5g.col % ,301 R50_5gb.col % ,610 R50_9g.col % ,540 R50_9gb.col % ,682 R75_1g.col % ,518 R75_1gb.col % ,882 R75_5g.col % ,450 R75_5gb.col % ,883 R75_9g.col % ,334 R75_9gb.col % ,888 R100_1g.col % ,977 R100_1gb.col % ,365 R100_5g.col % ,710 R100_5gb.col % ,245 R100_9g.col % ,221 R100_9gb.col % ,937 Tabela 1: Resultados obtidos para as instancias R xx _ w g.col e R xx _ w gb.col. 1465

9 Os resultados da primeira coluna da Tabela 1 representam os valores ótimos ou os melhores resultados obtidos até o memento e nas demais colunas, respectivamente, o melhor resultado obtido pelo algoritmo, o percentual do distanciamento para melhores valores (lower bounds), em que iteração e qual o tempo total de processamento. Como a maior parte das contribuições para esse problema envolve resultados teóricos e, quanto aos resultados computacionais, eles se referem a métodos exatos, não foi possível fazer uma comparação com outros métodos heurísticos. 5 Considerações finais Como contribuição, este trabalho apresenta uma nova abordagem para o Problema de Coloração em Grafos com Pesos nos Vértices (WCP) que faz uso de um algoritmo híbrido (GRASP + VNS). Este problema, publicado recentemente na literatura, surgiu da necessidade de se modelar aplicações de escalonamento não-contínuo. Ele é mais uma generalização para o problema clássico de coloração de vértices de um grafo. Neste sentido, o problema clássico de coloração é um caso particular do WCP, assim como de outras generalizações que vêm sendo estudadas para outras aplicações particulares. Os autores desconhecem, até o presente momento, outras referências heurísticas que pudessem permitir uma comparação dos resultados computacionais obtidos. O fato é que a maior parte das contribuições para o caso específico do WCP envolve resultados teóricos e, quanto aos resultados computacionais, eles se referem a métodos exatos. Como sugestão dos autores, trabalhos futuros poderiam ser direcionados para o desenvolvimento de novos algoritmos híbridos a partir de métodos promissores apresentados na literatura sobre a coloração de grafos com pesos unitários em todos os seus vértices. Referências bibliográficas Boaventura Netto, P. O. (2006), Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos, 4ª Edição Revista e Ampliada, Edgar Blucher. Brelaz, D. (1979), New methods to color the vertices of a graph, Communications of the ACM 22, Bui, Thang N. e Nguyen, ThanhVu H. (2006), An Agent-Based Algorithm for Generalized Graph Colorings, GECCO 06, Washington, USA. Caramia, M. e Dell Olmo, P. (2001a), Iterative Coloring Extension of a Maximum Clique, Naval Research Logistics, 48, Caramia, M. e Dell Olmo, P. (2001b), Solving the Minimum Weighted Coloring Problem, Networks, 38, Demange, M., Werra, D., Monnot, J., e Paschos, V. (2002), Weighted Node Coloring: When Stable Sets Are Expensive, International workshop on graph-theoretic concepts in computer science N o 28, Cesky Krumlov, TCHEQUE, REPUBLIQUE. Demange, M., Werra, D., Monnot, J., e Paschos, V. (2007), Time slot scheduling of compatible jobs, Journal of Scheduling, Springer, 10 (2), Dorigo, M. & Maniezzo, V. & Colorni, A. (1996). Ant System: Optimization by a Colony of Cooperating Agents. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Part B, 26 (1),

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