de palavras cruzadas

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1 Heurísticas para geração automática de palavras cruzadas Denis P. Pinheiro 1, Isaac D. Gamarano 1 e Rodrigo G. Ribeiro 1 1 Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais {denis,rribeiro,isaac}@dcc.ufmg.br Resumo. Este trabalho aborda uma variante do problema de palavras cruzadas chamada Crozzle. São apresentadas heurísticas para resolução deste problema e a respectiva análise dos resultados obtidos. Por fim, conclui-se que a metodologia proposta é capaz de encontrar soluções satisfatórias, porém, sem superar o resultado das soluções humanas, até então, imbatíveis. 1. Introdução O Crozzle é uma competição publicada mensalmente na revista Australian Womens Weekly. A competição é aberta para pessoas residentes na Austrália e Nova Zelândia. Este problema consiste de um quebra-cabeça de palavras cruzadas de enorme complexidade [Forster et al. 1992]. Segundo [Binkley and Kuhn 1997], o Crozzle é um problema NP-Completo que possui uma redução a partir do problema 3-Set Cover. Devido aos desafios apresentados por sua complexidade, várias tentativas automatizadas de resolver o quebra-cabeça foram propostas [Forster et al. 1992] [Harris et al. 1993]. Nenhuma dessas tentativas, porém, foram capazes de alcançar os resultados gerados pelos vencedores humanos das competições da revista. O jogo consiste em se gerar a maior pontuação de palavras cruzadas que preencham um grid de 15 colunas e 10 linhas, inicialmente vazio. Para preencher este grid é utilizado um dicionário de aproximadamente 120 palavras. O objetivo do quebra-cabeça é encontrar a maior pontuação que possa ser construída respeitando-se determinadas regras. A pontuação é baseada no número de palavras usadas e nas letras que fazem intersecção no grid. Nas competições, um prêmio em dinheiro é dado aos competidores que obtiverem a maior pontuação submetida. Um aspecto do Crozzle que o faz interessante para análise, mesmo considerando o fato de o problema ser pouco conhecido fora da Austrália, é que este quebra-cabeça varia de acordo com o dicionário utilizado. Isto implica que embora tanto os jogadores humanos quanto os computadores possam usar as mesmas estratégias, estas podem não garantir um boa solução, uma vez que, o quebra-cabeça é estritamente dependente do dicionário. Por se tratar de um problema NP-Completo, a utilização de heurísticas para sua resolução torna-se uma opção promissora. A principal desvantagem da utilização de heurísticas é a impossibilidade de garantir a otimalidade da solução final gerada [Ziviani 2005]. Entretanto, com o uso de metaheurísticas [Souza 2005], capazes de escapar de ótimos locais, consegue-se melhorar a qualidade da solução final.

2 Neste trabalho, é apresentada uma metodologia para resolver instâncias reais do problema apresentadas em [Forster et al. 1992]. Primeiramente são geradas soluções iniciais a partir de métodos aleatórios e de métodos parcialmente gulosos. Essas soluções são posteriormente refinadas através do método VNS (Variable Neighborhood Search) [Mladenović and Hansen 1997]. Este trabalho está organizado como segue. Na seção 2 descreve-se o problema abordado. A seção 3 apresenta a função de avaliação, a geração de uma solução inicial, as estruturas de vizinhança e a adaptação do método VNS ao problema. A seção 4 apresenta alguns trabalhos relacionados, a seção 5 apresenta os resultados encontrados e a seção 6 conclui o trabalho e aponta trabalhos futuros. 2. Descrição do Problema O Crozzle é um quebra-cabeça de palavras-cruzadas jogado em um grid 10 15, utilizando um dicionário contendo m palavras e respeitando as seguintes regras: 1. Não é necessário utilizar todas as palavras do dicionário; 2. As palavras inseridas não devem ultrapassar os limites do grid; 3. Intersecções entre palavras devem possuir uma letra em comum; 4. Palavras não podem ser adjacentes (a menos que formem novas palavras contidas no dicionário); 5. Palavras inseridas devem conter intersecções; 6. As palavras do dicionário podem ser utilizadas uma única vez em uma mesmo grid. O objetivo do quebra-cabeça é criar uma solução válida com a maior pontuação possível. A pontuação do Crozzle é feita somando-se os valores das intersecções de acordo com a Table 1. Table 1. Pontuação por intersecção. No exemplo da Figure 1, temos um grid com 23 palavras pertencentes ao dicionário mostrado. Cada posição do grid contém uma letra ou um espaço vazio. Se a posição do grid contiver uma letra, essa pode pertencer a uma ou duas palavras (no caso de existir uma intersecção). Esse exemplo da Figure 1 é do ganhador da competição de janeiro de 1990.

3 Figure 1. Exemplo de Crozzle válido 10 x Abordagens para Solução 3.1. Função de Avaliação Para avaliar a qualidade de uma solução s, as heurísticas propostas utilizam a função f apresentada pela fórmula abaixo: f(s) = j I pontos(letra) + palavras inseridas onde, f(s) é a função de avaliação da solução s, I o conjunto de intersecções do grid, pontos(letra) a pontuação de uma intersecção letra I (conforme definido na Table 1) e palavras inseridas o número de palavras inseridas no grid Geração da Solução Inicial Construção Aleatória Para a construção da solução inicial de forma aleatória sorteia-se uma palavra do dicionário, sua orientação (i.e. horizontal ou vertical) e em seguida sua posição no grid. Esse processo é repetido IterMax vezes. A escolha da posição no grid é realizada no máximo ChoiceMax vezes, que representa o limite de tentativas de inserção de uma palavra. IterMax e ChoiceMax são dois parâmetros de entrada. Análise de Complexidade: considerando o pior caso, a complexidade do algoritmo é O(IterM ax ChoiceM ax). Para cada uma das IterMax iterações, é necessário escolher a posição onde a palavra será inserida, em O(ChoiceMax). Construção Parcialmente Gulosa O algoritmo de construção é controlado por um parâmetro α que regula o nível de aleatoriedade e de gulosidade 1 do procedimento. Um valor α = 0 faz gerar soluções gulosas, enquanto α = 1 faz produzir soluções totalmente aleatórias. Esta estratégia é semelhante a construção aleatória, exceto que as palavras inseridas são fornecidas por uma lista ordenada pelos caracteres que possuem maior pontuação. A escolha da palavra é feita através de um sorteio limitado pelo parâmetro α. Da mesma forma, a escolha da posição no grid utiliza uma lista ordenada pela pontuação das possíveis intersecções e é realizada no máximo ChoiceMax vezes. Todo o processo é realizado em um número IterMax de iterações. 1 do inglês greediness

4 Análise de Complexidade: considerando o pior caso, a complexidade do algoritmo é O(max(m log m, IterMax β log β, IterMax ChoiceMax)). Inicialmente é feita a ordenação do dicionário em O(m log m). Em seguida, a cada iteração é feita a ordenação das possíveis intersecções com a palavra selecionada, em O(β log β), onde β representa o número máximo de intersecções. O próximo passo é a escolha da posição onde a palavra será inserida, em O(ChoiceMax) Estruturas de Vizinhança Existem duas variações das estruturas de vizinhança 2 consideradas neste trabalho, primeiro de melhora e melhor vizinho. Na estrutura primeiro de melhora, o primeiro vizinho encontrado melhor do que a solução corrente a substitui. Já na estrutura de melhor vizinho, todas os vizinhos são gerados e, ao final, se houver melhora na solução, a solução corrente será atualizada com o valor do melhor vizinho encontrado. Inserção na Horizontal e na Vertical Essas estruturas de vizinhança percorrem a lista de palavras do dicionário e tentam, para cada palavra, inserir no grid percorrendo todas as posições possíveis verificando se a palavra escolhida pode ser inserida na horizontal ou na vertical. Análise de Complexidade: considerando o pior caso, o algoritmo testa todas as palavras do dicionário em todas as possíveis posições do grid. Isto é realizado a um custo de O(m r c), onde r representa o número de linhas e c o número de colunas do grid. Mover na Horizontal e na Vertical Essas estruturas de vizinhança percorrem a lista de palavras inseridas no grid e, para cada palavra, removem e tentam inserir a mesma palavra no grid percorrendo todas as posições possíveis, verificando se a palavra escolhida pode ser inserida na horizontal ou na vertical. Se não for encontrada nenhuma posição, a palavra removida é recolocada na posição original. Análise de Complexidade: considerando o pior caso, o algoritmo testa todas as γ palavras inseridas em todas as posições do grid. Portanto, a complexidade é O(γ r c). Remoção de uma ou duas palavras seguida da inserção de uma nova palavra Essas estruturas de vizinhança percorrem a lista de palavras inseridas no grid e, para cada palavra, removem uma ou duas palavras e tentam inserir uma nova palavra no grid, percorrendo todas as posições possíveis, verificando se esta pode ser inserida na horizontal ou vertical. Se não for encontrado nenhum vizinho de melhora, a situação anterior é restaurada. Análise de Complexidade: considerando o pior caso, o algoritmo tenta remover uma ou duas palavras do grid e para cada remoção, tenta-se inserir cada uma das palavras presentes no dicionário a uma complexidade de O(γ m r c) Pesquisa em Vizinhança Variável aplicada ao Crozzle Para refinar uma solução gerada pelos métodos descritos anteriormente, foi proposto um método híbrido, VNS-VND, composto pelos métodos de Pesquisa em 2 Seja S o conjunto de possíveis soluções para um problema de otimização e s um elemento qualquer de S. Definese como Vizinhança o conjunto V S que pode ser obtido a partir de s. Cada s V é chamado de vizinho de s[souza 2005].

5 Vizinhança Variável [Mladenović and Hansen 1997] e Descida em Vizinhança Variável [Souza 2005], sendo este último usado como um mecanismo de busca local para o VNS. O pseudocódigo do procedimento VNS adaptado ao Crozzle é apresentado a seguir. VNS(iter max ) 1 Seja s 0 uma solução inicial ; 2 Seja r o número de estruturas diferentes de vizinhança ; 3 s s 0 ; iter 0; 4 while iter < iter max 5 do k 1; 6 while k r 7 do Gere um vizinho s N (k) (s); s V ND(s ); 8 if f(s ) < f(s) 9 then s s ; k 1; iter 0; 10 else k k + 1; iter iter + 1; Esse algoritmo parte de uma solução inicial qualquer, s 0, gerada utilizando os métodos da seção 3.2. Em seguida, a cada iteração seleciona-se um vizinho s dentro da vizinhança N (k) (s) da solução s corrente. Esse vizinho é gerado removendo-se aleatoriamente k palavras do grid e então submetido a um procedimento de busca local, que utiliza as estruturas de vizinhança definidas na seção 3.3. Se a solução ótima local, s, for melhor que a solução s corrente, s se torna a melhor solução corrente. Caso contrário, continua-se a busca a partir da próxima estrutura de vizinhança. O método pára quando um número máximo de iterações, itermax, for atingido. 4. Trabalhos Relacionados Em [Harris 1990] é apresentado um algoritmo para resolução de problemas de palavras cruzadas sem restrições, ou seja, onde somente o tamanho do grid e do dicionário são conhecidos. O algoritmo proposto é baseado em backtracking e na utilização de uma estruturas de dados chamada Dynamic Slot Table. Esta estrutura consiste de uma lista das coordenadas iniciais de cada palavra, sua orientação e localização das letras no grid. Neste trabalho, o autor utilizou dicionários artificiais por não haver um conjunto de testes apropriado para este problema. Uma nova abordagem para solução do Crozzle é proposta em [Harris et al. 1993]. Este trabalho sugere a combinação geométrica de palavras em blocos, chamados Basic Blocks. Esta combinação de palavras corresponde ao formato de uma palavra cruzada na qual nenhuma palavra pode ser retirada sem invalidá-lo. [Harris and Forster 1990] apresenta uma dedução matemática para a estimativa para o número de soluções possíveis em problemas de palavras cruzadas. Finalmente, em [Spring 1993] é apresentado um conjunto de testes para validar algoritmos que visam resolver o problema Crozzle. Estes testes consistem de dois dicionários artificiais formados por palavras contendo apenas os caracteres a e m. Os outros dois testes disponíveis utilizam os dicionários do problema publicado em janeiro de 1992 na revista australiana.

6 5. Resultados Obtidos Apresentam-se, nessa seção, os resultados obtidos aplicando-se o método VND-VNS para resolver o problema Crozzle. O programa foi desenvolvido na linguagem C/C++ utilizando o ambiente Borland C++ Builder, versão 5.0. Foi utilizado um computador ATL- HON XP com 256 MB de memória RAM, rodando no sistema operacional Windows XP. Para validar os métodos, foram utilizadas as instâncias encontradas na literatura [Forster et al. 1992]. Para cada instância foram realizadas 20 execuções, cada qual partindo de uma semente diferente de números aleatórios. Os parâmetros adotados no método VNS-VND foram: r = 5 e iter max = 10. Na Table 2, Melhor Valor é o melhor valor encontrado na literatura e Melhor e Média são, respectivamente, o melhor valor encontrado pelo método considerado e a média em 20 execuções. TM é o tempo médio, em segundos, de processamento. Table 2. Resultados computacionais do VNS-VND. Com base nos resultados obtidos na Table 3, observa-se claramente que a heurística VNS-VND não foi capaz de superar as soluções humanas das instâncias do Crozzle, porém as melhores soluções apresentaram, em média, uma melhora de 138% em relação à média das melhores soluções iniciais (Table 3). Através desse método foi possível obter soluções de qualidade superior, sendo que a melhor solução obtida para a instância out/89, apresentou uma piora de 17% em relação a melhor solução humana encontrada. Table 3. Resultados computacionais para 20 execuções. 6. Conclusão e Trabalhos Futuros Este trabalho apresentou uma abordagem heurística para a resolução do problema de palavras cruzadas, Crozzle. Com base nos resultados obtidos, observa-se que o VNS- VND obteve uma melhora média de 138% na qualidade das soluções iniciais. Porém, a melhor solução encontrada pelo método não superou a melhor solução da literatura, apresentando uma piora de 17%. Como trabalho futuro pretende-se realizar um estudo empírico para determinar os melhores valores dos parâmetros dos algoritmos utilizados e a ordem das estruturas de

7 vizinhança. Além disso, pretende-se implementar este problema utilizando outras metaheurísticas para efeito comparativo. References Binkley, D. W. and Kuhn, B. M. (1997). Crozzle: an np-complete problem. In SAC 97: Proceedings of the 1997 ACM symposium on Applied computing, pages 30 34, New York, NY, USA. ACM Press. Forster, J. J. H., Harris, G. H., and Smith, P. D. (1992). The crozzle - a problem for automation. In SAC 92: Proceedings of the 1992 ACM/SIGAPP Symposium on Applied computing, pages , New York, NY, USA. ACM Press. Harris, G. (1990). Generation of solution sets for unconstrained crossword puzzles. In Proceedings of the 1990 Syngn ium on Applied Computing, pages CA:IEEE Press. Harris, G. and Forster, J. (1990). On the bayesian estimation and computation of the number of solutions to crossword puzzles. In Proceedings of the 1990 Symposium on Applied Computing, pages CA:IEEE Press. Harris, G., Forster, J., and Rankin, R. (1993). Basic blocks in unconstrained crossword puzzles. In SAC 93: Proceedings of the 1993 ACM/SIGAPP symposium on Applied computing, pages , New York, NY, USA. ACM Press. Mladenović, N. and Hansen, P. (1997). Variable neighborhood search. Comps. in Opns. Res., 24: Souza, M. J. F. (2005). Inteligência Computacional para Otimização. Departamento de Computação, Universidade Federal de Ouro Preto. Disponível em: InteligenciaComputacional.ps. Último acesso em: Abril de Spring, J. (1993). Benchmarking automated solution generators for the crozzle. In SAC 93: Proceedings of the 1993 ACM/SIGAPP symposium on Applied computing, pages , New York, NY, USA. ACM Press. Ziviani, N. (2005). Projeto de Algoritmos com Implementações em Pascal e C. Pioneira Thomson Learning.