Análise e Complexidade de Algoritmos

Transcrição

1 Análise e Complexidade de Algoritmos Professor Ariel da Silva Dias P, NP e NP-Completos

2 Introdução O limite superior de complexidade de um problema refere-se ao melhor algoritmo que o resolve. O limite inferior de um problema refere-se a um resultado teórico que determina qual é a melhor complexidade possível que um algoritmo pode alcançar Quando a diferença entre esses limites desaparece, a complexidade mínima do problema é conhecida e o problema é chamado fechado.

3 Introdução O Merge Sort é um algoritmo com limite de complexidade determinada, nlogn Não existe Merge Sort com complexidade melhor que nlogn

4 Introdução A classe P consiste nos problemas que podem ser resolvidos em tempo Polinomial (Problemas tratáveis)

5 Introdução A classe P consiste nos problemas que podem ser resolvidos em tempo Polinomial (Problemas tratáveis) A classe NP consiste nos problemas que podem ser verificados em tempo polinomial (problemas Intratáveis) Dado do uma entrada é possível verificar se ela corresponde a uma solução do problema: o conjunto de vértices <v1, v2,...vn> corresponde a um ciclo hamiltoniano? Isto pode ser feito em tempo polinomial.

6 Introdução A classe NP-Completos são problemas NP que possuem a característica de que se um deles puder ser resolvido em tempo polinomial então todo problema NP- Completo será uma solução em tempo polinomial

7 Introdução Um aspecto interessante é que vários problemas NP-Completos são, a principio, semelhantes a problemas que têm algoritmos de tempo polinomial.

8 Introdução Problemas de otimização: dentre as soluções viáveis, qual é a melhor? Problemas de decisão: existe uma solução para um dado problema?

9 Problemas: Planejar o Casamento Existem 2 mesas com 10 lugares; Existem 2 listas: uma com 9 amigos e outra com 11 familiares. Como decidir quem ficará em qual mesa? Restrição Quantidade máxima de pessoas na mesa é igual a 10. A lista será feita pela irmã da noiva, que deverá ter na mesa apenas pessoas conhecidas por ela.

10 Problemas: Planejar o Casamento Uma possível solução é colocar pesos para cada pessoa: Se não se conhece, a relação recebe 0; Se são casadas, a relação recebe 50; Se se conhecem, a relação recebe 1; Se são amigos da irmã da noiva, a relação recebe 10;

11 Problemas: Planejar o Casamento A lista contemplava 107 convidados A noiva desenvolveu um algoritmo e codificou. Em seguida, colocou para rodar em um super computador. Após 36h de processamento ainda não havia uma solução Porém o problema parcialmente resolvido ajudou a noiva a escolher o melhor arranjo

12 Problemas: Bombeiro Alocar 3 carros de bombeiros que atenda toda a cidade e chegue em uma residência em um tempo fixo

13 Problemas: Problema do Convite Ana deseja dar uma festa mas não possuí dinheiro para comprar um convite para cada um dos 6 convidados

14 Problemas: A. Lincoln e a dificuldade de otimização Antes de liderar a guerra civil americana, Lincoln trabalhou como advogado de pradaria Fazia viagens percorrendo as cidades em 14 condados diferentes, cobrindo centenas de KM Desafio (restrição): visitar todas as cidades percorrendo o menor número de KM possíveis sem passar pela mesma cidade 2 vezes.

15 Problemas: A. Lincoln e a dificuldade de otimização Este é um problema da OTIMIZAÇÃO RESTRITA Em 1930 Karl Menger mencionou como: problema do carteiro Em 1949 Julia Robinson publicou o problema como Problema do Caixeiro Viajante

16 Problemas: A. Lincoln e a dificuldade de otimização A principal questão não é se um ser humano ou computador consegue encontrar a rota mais curta A questão principal é que o número de cidades cresce e a lista de rotas possíveis tendem a estourar

17 Problemas: A. Lincoln e a dificuldade de otimização Em 1956 Jacks Edmond disse Conjecturo que não exista um bom algoritmo para o problema do caixeiro viajante Em 1960 Jacks Edmonds e Alan Cobaham da IBM apresentaram a tese de que Um algoritmo deveria ser considerado eficaz se executasse em tempo polinomial E daí vem o insight da computação: é possível quantificar um determinado problema

18 Problemas: A. Lincoln e a dificuldade de otimização E onde fica o problema do caixeiro viajante?

19 Relaxamento das Restrições Remover os componentes restritivos do problema No caixeiro viajante ele pode fazer a rota livremente, sem o componente: não passar por uma cidade mais de 2 vezes

20 Relaxamento das Restrições A rota mais curta segundo as regras mais frouxas produz a ÁRVORE DE ABRANGÊNCIA MINIMA Se na Árvore de Abrangência Minima a distância total for 150KM, podemos ter certeza que a distância no problema real será maior que isso.

21 Relaxamento das Restrições Relaxamento Contínuo Problema do Caixeiro Viajante, do Bombeiro e do Casamento são conhecidos como otimização discreta (ou uma coisa ou outra) Dividir o problema Problema do Convite: envia 3 convites respectivamente para os amigos A, B e C e pede para cada um convidar um conhecido em comum (D, E e F) E se o amigo A e B forem convidar o mesmo amigo D?

22 Relaxamento das Restrições Relaxamento Lagrangiano Uma criança reclama com a mãe: tenho que ir a escola, tenho que fazer a lição, tenho que estudar, tenho que ir ao judô, tenho que ir ao inglês... Estou cansado de fazer tanta coisa E a mãe responde: Tecnicamente você não tem que fazer nada disso. Você nem precisa respeitar seus pais. Tecnicamente. Mas se não o fizer, terá que arcar com as consequências

23 Relaxamento das Restrições Na otimização discreta dizemos: Faça isso ou então... No relaxamento Lagrangiano dizemos: Faça isso ou então... Então o que?

24 Relaxamento das Restrições Se pensarmos no caso do casamento, a noiva poderia relaxar o problema no modo Lagrangiano e colocar os 9 amigos em uma mesa e os 11 familiares em outra mesa. Entretanto, a penalidade será as cotoveladas entre os convidados que ficarão apertados na mesa

25 Problemas: da mochia Uma mochila com compartimento único e com uma capacidade limitada Conjunto de itens, cada qual com um peso e um valor associado Quais itens podem ser inseridos na mochila sem exceder sua capacidade e maximizando o valor a ser agregado?

26 Algoritmo Guloso A solução de um problema é alcançada através de uma sequência de decisões; As decisões são tomadas de forma isolada, em cada passo da solução: seleciona-se um elemento e decide-se se é viável ou não; A estratégia é, portanto, pegar a melhor opção em cada momento (solução ótima local). Quando o algoritmo acaba, espera-se que tenha ocorrido a melhor solução.

27 Algoritmo Guloso Problema do Troco

28 Algoritmo Guloso Problema do Empacotador

29 Desafio Desafio: Estudar e implementar o código de Huffman A codificação proposta por Huffman(1952) têm sido uma técnica importante utilizada para comprimir dados e, portanto, economizar espaço de armazenamento de arquivos