INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PIAUÍ CAMPUS TERESINA CENTRAL CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ANTONIO KENNEDY LOPES DANTAS

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1 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PIAUÍ CAMPUS TERESINA CENTRAL CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ANTONIO KENNEDY LOPES DANTAS MATEMÁTICA RECREATIVA ATRAVÉS DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS TERESINA-PI 2017

2 ANTONIO KENNEDY LOPES DANTAS MATEMÁTICA RECREATIVA ATRAVÉS DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS Trabalho de Conclusão de Curso (artigo científico) apresentado como exigência parcial para obtenção do diploma do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí. Campus Teresina Central. Orientador: Prof. Ms. Francismar Holanda. TERESINA-PI 2017

3 MATEMÁTICA RECREATIVA ATRAVÉS DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS ANTONIO KENNEDY LOPES DANTAS * FRANCISMAR HOLANDA ** RESUMO O presente artigo tem por objetivo propor o uso de materiais manipuláveis nas aulas de matemática, buscando um meio de facilitar o processo de ensinoaprendizagem. Esse trabalho foi realizado junto aos bolsistas do PIBID (Programa Institucional de Bolsas de Iniciação a Docência) do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Piauí (IFPI), no qual foram desenvolvidas atividades em sala de aula com educandos do 2 e 3 ano do ensino médio em 2015, do colégio Estadual Zacarias de Góis Liceu de Teresina, Piauí. Diante das dificuldades apresentadas pelos estudantes em compreender as razões trigonométricas, geometria plana e espacial, e analise combinatória, optou-se por uma abordagem diferenciada com a utilização de materiais manipuláveis nos quais foram utilizados vários experimentos e jogos, como por exemplo, o teodolito, teatro da luz negra com uso das figuras geométricas denominadas Tangram, além de construções de ciclos trigonométricos, geometria 3D e a utilização da Torre de Hanói em aulas práticas. A Metodologia adotada nesse trabalho justifica-se nas teorias de Fiorentini, Miorin e Turrioni. A intenção é demonstrar, de forma aplicada, a utilização do conteúdo no cotidiano e na prática. Parte-se da teoria para o campo da prática, utilizando material concreto, reciclável e de baixo custo. Palavras-Chave: Materiais manipuláveis. Aula prática. Cotidiano. RECREATIONAL MATHEMAT THROUGH MANIPULATIVE MATERIALS ANTONIO KENNEDY LOPES DANTAS * FRANCISMAR HOLANDA ** * Licenciando do curso de Matemática, Instituto Federal do Piauí ( IFPI), campus Teresina central. Teresina, Piauí, Brasil. kennedylopesdantas@hotmail.com ** Mestre Professor do Instituto Federal do Piauí ( IFPI), campus Teresina central. Teresina, Piauí, Brasil. frholanda@ifpi.edu.br

4 ABSTRACT The purpose of this article is to propose the use of manipulative materials in mathematics classes, seeking a means of facilitating the teaching-learning process. This work was carried out by fellows PIBID (Institution of Scholarship Initiation Program) of the degree course in mathematics of the Federal Institute of Piauí (IFPI), in which were developed activities in the classroom with students of the 2nd and 3rd year of high school in 2015, the State College Zacarias de Góis Liceu de Teresina, Piauí. In view of the difficulties presented by students in understanding the trigonometric, plane and spatial geometry and combinatorial analysis, a differentiated approach was adopted with the use of manipulable materials in which several experiments and games were used, such as the theodolite, Theater of black light with the use of geometric figures called Tangram, as well as constructions of trigonometric cycles, 3D geometry and the use of the Tower of Hanoi in practical classes. The methodology adopted in this work is justified in the theories of Fiorentini, Miorin and Turrioni. The intention is to demonstrate in an applied way the use of content in daily life and in practice. It starts from theory to the field of practice, using concrete, recyclable and low cost materials. Key words: Handling materials. Practical class. Daily. INTRODUÇÃO O uso de Materiais Concretos para ensinar Matemática faz-se presente na maioria dos atuais congressos onde se discute Educação Matemática, talvez por esse motivo, formadores de professores da Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio, mostram-se bastante preocupados em valorizar a relevância do material concreto em sala de aula, de utilizar o concreto para auxiliar professores e alunos no processo de ensino-aprendizagem. Quando se busca uma melhor compreensão das entrelinhas deste discurso, constata-se, na verdade, que o termo concreto aqui utilizado, diz respeito ao uso de materiais manipuláveis. No entanto, o que se pode observar é que a grande maioria de professores especialistas deixam de lado ou quase nunca usam materiais manipuláveis no ensino da Matemática, de maneira tal que o uso destes chega a ser considerado perda de tempo.

5 É importante ressaltar que na maioria dos livros didáticos da atualidade incentiva-se o uso de materiais manipuláveis. Este, talvez, seja o motivo pelo qual os professores cada vez mais vêm dando importância à sua utilização, além de incrementar esta ideia em seus discursos. Baseado nestas informações surge as seguintes indagações: De que forma os livros didáticos incentivam a utilização de materiais manipuláveis no ensino da Matemática? A utilização destes materiais em sala de aula é realmente importante? Ao trabalharmos na escola referenciada acima, percebemos uma grande dificuldade dos estudantes em entender os conceitos e aplicações da trigonometria na disciplina de Matemática. Os mesmos não conseguiam alcançar os objetivos propostos em aulas, como localizações de ângulos, identificação do seno, cosseno e tangente. Percebemos, então, que uma das alternativas seria trabalhar com materiais concretos para facilitar o aprendizado. O uso de material concreto é de grande valia para o ensino da matemática, por proporcionar o manuseio dos objetos de estudo e o maior contato com o conhecimento, além de ser um processo de constante análise sobre o objeto manuseado e que exige o uso constante dos seus conhecimentos matemáticos sobre o material trabalhado, dando a oportunidade de refletir matematicamente sobre o objeto, estabelecer relações, aplicar o conhecimento obtido, assim como adquirir novos conhecimentos. [...] se utilizado corretamente em sala de aula, com intenção e objetivo, o Material Manipulável pode tornar-se um grande parceiro do professor, auxiliando no ensino e contribuindo para que o aluno tenha uma aprendizagem significativa, mesmo porque ele exerce um papel importante na aprendizagem. Facilita a observação e a análise, desenvolve o raciocínio lógico, crítico e científico, é fundamental e é excelente para auxiliar os alunos na construção de seus conhecimentos. (TURRIONI, 2004, p. 78). Desta forma, esse trabalho tem o intuito de propor uma aula para que eles pudessem vivenciar uma aplicação prática do que estavam estudando na teoria, esperando que o ensino nessas aulas possibilitassem um entendimento claro do significado real dos conteúdos estudados em sala, e ao mesmo tempo, ter uma oportunidade de refletir sobre a iniciação da prática docente. Nesse contexto, abordamos os assuntos de trigonometria, geometria plana e espacial e análise combinatória presente no cotidiano do aluno, a fim de demonstrar como a matemática pode se tornar agradável e ter significado em suas vidas.

6 História dos Materiais Manipuláveis O uso de materiais manipuláveis no ensino foi destacado pela primeira vez por Pestalozzi, no século XIX, ao defender que a educação deveria começar pela percepção de objetos concretos, com a realização de ações concretas e experimentações. No Brasil, o discurso em defesa da utilização de recursos didáticos nas aulas de Matemática surgiu na década de Esse período foi marcado pelo surgimento de uma tendência no ensino de Matemática que ficou conhecida como empírico-ativista decorrente dos ideais da escola novistas que se contrapunham ao modelo tradicional de ensino no qual o professor era tido como elemento central do processo de ensino. Segundo Fiorentini (1995), na concepção empírico-ativista o aluno passa a ser considerado o centro do processo e os métodos de ensino tendo como pressupostos a descoberta e o princípio de que aprende-se a fazer fazendo se pautavam em atividades, valorizando a ação, a manipulação e a experimentação. O ensino seria baseado em atividades desencadeadas pelo uso de jogos, materiais manipuláveis e situações lúdicas e experimentais. Lorenzato classifica os materiais manipuláveis em duas classes que estão citadas logo abaixo. I. O material manipulável estático: material concreto que não permite a transformação por continuidade, ou seja, alteração da sua estrutura física a partir da sua manipulação. Durante a atividade experimental, o sujeito apenas manuseia e observa o objeto na tentativa de abstrair dele algumas propriedades. Ao restringir o contato com o material didático apenas para o campo visual (observação), corre-se o risco de obter apenas um conhecimento superficial desse objeto. II. O material manipulável dinâmico: material concreto que permite a transformação por continuidade, ou seja, a estrutura física do material vai mudando à medida que ele vai sofrendo transformações, por meio de operações impostas pelo sujeito que o manipula. A vantagem desse material em relação ao primeiro, na visão do autor, está no fato de que este facilita melhor a percepção de propriedades, bem como a realização de redescobertas que podem garantir uma aprendizagem mais significativa.

7 METODOLOGIA A pesquisa é qualitativa e quantitativa e a metodologia adotada no seu desenvolvimento envolveu pressupostos da observação dos participantes, visto que o pesquisador esteve presente no contexto observado e é agente ativo no desenvolvimento das atividades. Foi escolhida essa abordagem porque o trabalho foi realizado dentro do ambiente escolar, tendo como fonte de dados as ações dos alunos nas resoluções das atividades propostas e resultados dos mesmos no Sistema de Avaliação do Piauí. A pesquisa foi realizada no Colégio Estadual Zacarias de Góis Liceu, com a amostra de 240 alunos de 2º e 3º ano do ensino médio, da referida escola, além de um professor da disciplina de matemática. Essa pesquisa se estendeu por todo o ano de 2015, havendo dois encontros semanais em cada turma para a realização de atividades. Inicialmente e ao longo das atividades foram feitas fundamentações e revisões teóricas: das relações trigonométricas mais importantes, como seno, cosseno e tangente, ciclo trigonométrico e sua aplicabilidade, geometria 3D e teorema de Thales, geometria espacial, como áreas e volumes de sólidos, teorema de Pitágoras, análise combinatória como combinação, arranjo e permutação. Em seguida, propomos às turmas a finalização com atividades práticas colaborativas e com auxilio de materiais manipuláveis para uma aprendizagem significativa. 1. Aplicabilidade do Teodolito Essa aplicação foi realizada em duas etapas que denotamos por fundamentação teórica dos alunos, primeira etapa; e aula prática com uso do teodolito, segunda etapa. Primeira etapa: Inicialmente foi feita a revisão das relações trigonométricas mais importantes, como seno, cosseno e tangente, apresentamos o teodolito, sua historia e suas aplicabilidades em situações reais, depois levamos para os alunos um teodolito artesanal fabricado e desenvolvido no laboratório de matemática do IFPI, esse foi o primeiro contato dos alunos com instrumento de medição de ângulos, ainda na primeira etapa, foi feita uma breve demonstração de como se deveria usar esse instrumento, e assim encerramos essa primeira etapa. Segunda etapa: Propomos à turma que encontrassem a altura aproximada da própria escola utilizando um teodolito artesanal, para utilizar o teodolito os alunos

8 foram divididos em grupos de oito e cada grupo ficou responsável por fazer uma medição da altura do prédio com distâncias diferentes. Os alunos foram orientados a explorar bem o material antes de iniciar as atividades. Orientamos os alunos como e de que forma o material seria utilizado, instigando-os a realizarem a aula prática. Comentamos que usaríamos a tabela trigonométrica e a calculadora científica para o desenvolvimento da atividade. Os alunos perceberam que, para fazer o cálculo da altura, bastava utilizar a relação trigonométrica denominada de tangente, e que precisariam da distância do teodolito até a parede e do ângulo de visada, que corresponde ao ângulo obtido no teodolito pelo topo da parede. Assim aplicando a tangente, descobririam o cateto oposto que, somado com a altura do teodolito, daria a altura da escola. Na parte prática foi trabalhado o posicionamento do instrumento e as últimas instruções, como prestar atenção no posicionamento do teodolito caseiro, na medição do ângulo formado e da distância marcada na escala métrica. Como ilustram as figuras abaixo. Figura 1- Imagem ilustrativa da atividade prática Figura 2- Medição do cateto adjacente Figura 3 - Medição do ângulo Fonte: Manassés, 2016 Fonte: Autor, 2015 Fonte: Autor, Construções de ciclos trigonométricos Na aplicação das atividades, procuramos verificar como anda o desenvolvimento dos alunos envolvendo essas situações-problema e, diante disso, propomos a divisão de equipes para a construção de ciclos trigonométricos. Nessa atividade, cada grupo ficou responsável pela confecção de um ciclo trigonométrico. Logo após a construção, os grupos socializaram os conceitos que os mesmos aprenderam a partir da manipulação do material, por exemplo, ângulos notáveis, simetria entre ângulos, funções e razões trigonométricas. Figura 4 - Construção do ciclo trigonométrico Figura 5 - Construção do ciclo trigonométrico

9 Fonte: Autor, 2015 Fonte: Autor, Geometria 3D e Teorema de Thales Para realizar essa atividade foram divididos oito grupos com cinco estudantes cada, utilizando os seguintes materiais: 8 lanternas a lazer, 8 cartolinas de diversas cores, 8 mesas, 8 cabos de vassouras com base para a fixação, 8 lápis de cor, 8 réguas de 30 cm, celulares dos próprios estudantes, sólidos de 15 a 20cm para serem projetados na cartolina. Feita a projeção de um sólido, como por exemplo, um prisma ou uma pirâmide. Esses objetos são mais fáceis de planificar, e isso faz com que os educandos possam assimilar a ideia central da projeção. Cada grupo deve escolher um colega, ou seja, um (estudante A) para ser o observador (olho). Esse observador vai manipular a lanterna que estará no topo do cabo de vassoura, que estará posicionada entre 1,5 m e 2 m de distância da mesa do grupo. Esse (estudante A) deve focar o raio do lazer em cada um dos vértices do objeto que esteja sobre sua visão, de maneira que este raio, ao se retirar o objeto, também intercepte a Folha de cartolina; o outro (estudante B), de posse de um lápis deverá marcar a projeção do vértice na folha de cartolina. Fazendo isso para cada vértice, (estudante C) deverá retirar o objeto e então o (estudante B) marcará o ponto onde a luz do lazer atingiu a cartolina. Figura 6 Projeção Cônica Fonte- Francismar Holanda, Na prática Os estudantes perceberam que, para se fazer as projeções desejadas, bastava utilizar os fundamentos estudados em sala de aula, como o teorema de Tales aplicado a projeções e que precisariam uma distância adequada ao tamanho da cartolina para fazer as projeções. Foi trabalhado o posicionamento do instrumento e as ultimas instruções, como prestar atenção aonde o laser iria tocar a

10 cartolina e assim fazer as marcações adequadas e logo após tirar a foto com o celular do ponto em que o laser estava. Como ilustram as imagens abaixo: Figura 7- Projeção do cubo Figura 8- Foto do cubo projetado Fonte: Autor, 2015 Fonte: Autor, Luz negra e Tangram O processo de aplicação da metodologia do teatro e montagem da peça teatral decorreu de um cronograma de atividades e apresentações inseridas no plano de aula da área. Para a exposição da peça foram seguidas três etapas. Na primeira etapa foi feita uma explanação dos conteúdos que seria necessária para o desenvolvimento do teatro. Primeiramente, fizemos a fundamentação teórica matemática, como por exemplo, uso de conceitos geométricos, noção de trigonometria no triangulo retângulo, área de figuras geométricas, perímetros, unidades de medidas, figuras que compõe o Tangram, relações métricas no triangulo retângulo e Teorema de Pitágoras. Depois de feita as fundamentações matemáticas, partirmos para um estudo mais aprofundado sobre teatro, como se comportar perante o público, elementos básicos que constituem um teatro, como se dá o desenvolvimento de uma peça teatral e, encerrando nossa primeira etapa, o estudo histórico do surgimento do teatro. No segundo momento, os alunos ficaram responsáveis por confeccionarem as figuras geométricas que compõem o Tangram, usando uma placa de isopor para fazer os recortes e utilizando-se de conhecimentos matemáticos que os mesmos aprenderam na etapa anterior. Depois de construir as peças os alunos revestiram cada uma com um EVA florescente para que, quando usado com a luz negra, as peças pudessem brilhar assim, dando o efeito necessário para a culminância do nosso teatro. Depois de tudo pronto, partimos para as fases de testes e ensaios, e assim finalizamos a segunda etapa. A terceira e última etapa foi à culminância do projeto com a apresentação do teatro da luz negra e Tangram, no auditório do IFPI, encerrando a SEMAFIS

11 2016. Tudo aconteceu conforme o planejado e os alunos foram bastante aplaudidos pelo público. Figura 9 - Construção de desenhos através do tangram Figura 10- Construção de desenhos através do tangram Fonte: Autor, 2015 Fonte: Autor, 2015 Fonte: Autor, Utilização da torre de Hanói em aulas Práticas A torre de Hanói é um jogo matemático que consiste em uma base onde são colocados 3 pinos, e em um deles são dispostos alguns discos (em media de 2 a 6 ou mais) sempre em ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo, assemelhando-se, assim, com a imagem de um cone. A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho, e principalmente de planejamento e solução de problemas. Torre de Hanói é um jogo que possui aplicações que podem ser basicamente usadas em escolas por professores que desejam melhorar e desenvolver o raciocínio cognitivo de seus alunos. A proposta foi deixar o aluno em contato com o jogo para que se familiarize com as peças, isto é, manuseie livremente o material. Depois de feito isto e de ter contado a história do jogo, introduzimos as regras do jogo para os alunos. Observamos o desenvolvimento do jogo segundo as regras propostas. A propósito, o trabalho teve como proposta transferir dois discos da 1ª haste para a 3ª haste, depois três discos e assim por diante, seguindo as regras. Depois de terem dominado os movimentos, perguntamos se eles sabiam quantos movimentos fizeram para transferir a torre de uma haste para outra, e se essa teria sido a quantidade mínima de movimentos. Também se perguntou há alguma estratégia de movimentação dos discos para obter essa quantidade mínima de movimentos.

12 Figura 11 - Ilustração da Torre de Hanói Figura 12 Manipulação da Torre de Hanói Fonte: Autor, 2015 Fonte: Autor, 2015 RESULTADOS Cada atividade aqui foi avaliada individualmente, mas todas seguiram uma mesma linha de avaliação, descreveremos logo a seguir os procedimentos avaliativos usados para obter os resultados dessa pesquisa. Inicialmente foi dada uma lista de 10 questões para avaliar os conhecimentos prévios dos estudantes, esse procedimento se repetiu em todas as atividades aqui realizadas. Mostraremos logo a baixo uma tabela com os resultados dos testes diagnósticos para termos uma melhor compreensão da real situação do conhecimento prévio dos alunos com relação aos conteúdos abordados nas atividades realizadas. Tabela 1: Questionário pré-realização das atividades práticas Atividades Teste diagnóstico préatividades Realizadas Aplicabilidade do Teodolito Construções de ciclos trigonométricos Geometria 3D e Teorema de Thales Luz negra e Tangran Utilização da torre de Hanói em aulas Práticas 16% acertaram mais da 46% acertaram mais da 20% acertaram mais da 37% acertaram mais da 9% acertaram mais da Fonte: Autor, 2015.

13 A primeira tabela mostra o enorme déficit que os alunos possuíam antes da utilização dos materiais manipuláveis. Como apresentado acima, a maioria não havia tido um bom rendimento nos assuntos necessários para o desenvolvimento das atividades práticas, e não conseguiam compreender e nem responder questões básicas. Daí partiu a necessidade de se trabalhar, dando condições de uma aprendizagem significativa e assim, adotamos o uso dos materiais manipuláveis no ensino de matemática. Logo abaixo apresentaremos a tabela com os resultados pós-atividades: Realizadas Tabela 2: Questionário após realização das atividades práticas Atividades Aplicabilidade do Teodolito Construções de ciclos trigonométricos Geometria 3D e Teorema de Thales Teste pós-atividades 61% acertaram mais da 82% acertaram mais da 47% acertaram mais da Luz negra e Tangran Utilização da torre de Hanói em aulas Práticas 84% acertaram mais da 57% acertaram mais da Fonte: Autor, A segunda tabela mostra a importância da utilização dos materiais manipuláveis. Após ser aplicado o rendimento dos alunos em relação aos assuntos abordados nas atividades, foi significativamente melhorado. Poder ter a oportunidade de utilizar as aulas tradicionais aplicadas a materiais dinâmicos, lúdicos e objetivos, fez com que os alunos pudessem tirar a maioria de suas dúvidas e ainda pudessem aplicar todo o conhecimento adquirido nos questionários, e entre si durante as dúvidas obtidas ao final das atividades. Com o objetivo de aprimorar nossos trabalhos na docência, foi entregue um questionario contendo cinco questões para cada educando. A seguir, comentários de alguns educandos que denominamos com as seguintes siglas (A1, A2, A3, D1 e D2) que demonstraram uma peculiar reflexão sobre as atividades e que

14 nos motivaram a sempre analisarmos e buscarmos novos métodos de ensino da matemática em nossa prática docente. 1- Essas atividades contribuíram para a aprendizagem do assunto na sala de aula? Por quê? R- Sim. Porque com a prática a gente aprende mais rápido do que só teoria. (Educando A1). 2- Qual a ideia acerca das atividades? R- Achei bem interessante, incentivar o aluno a se interessar mais pela matemática e mostrar também que a matemática pode ser utilizada de várias maneiras (Educando A2). 3- Contribui para a aprendizagem do que foi ensinado em sala de aula? R- Sim, porque além reforçar o conhecimento adquirido por nós, ela também serviu para tirarmos as últimas dúvidas restantes e vermos na prática sua utilidade. (Educando A3). 4- Se você fosse dar uma nota de 0 a 10, qual nota daria a essas atividades? R- 10, porque depois das práticas consegui compreender mais os assuntos. (Educando D1). 5- Como você qualifica essas atividades? R- Excelentes. Pois havia bons materiais, foi organizado e a equipe é bem qualificada (Educando D2). Como foi possível observar, os estudantes expressam nitidamente que, vivenciaram na prática o uso da matemática e o que lhes foi apresentado na teoria, puderam atribuir maior significado aos conceitos apresentados em sala de aula, contribuindo assim para um desempenho mais amplo em assuntos matemáticos. CONSIDERAÇÕES FINAIS A relevância deste trabalho foi discutida no momento com os envolvidos no trabalho e, analisando a situação, percebeu-se o valor da vivência para que os mesmos compreendam que a prática exige mais cuidados. Nota-se, portanto, a necessidade de oferecer às turmas mais que aulas padronizadas no paradigma tradicional e que há diversas maneiras de possibilitar mais significados à

15 matemática, através de aulas criativas e desafiadoras, além de expor o interesse em aprender e sentir-se capaz de relacionar a aprendizagem escolar para além dos muros da escola de maneira prazerosa tanto para o docente como para o discente. Observar o interesse dos alunos em aprender, e se sentirem capazes de relacionar a aprendizagem escolar com o mundo fora da sala de aula é muito prazeroso para o aluno/professor. Desta forma, o modelo de ensino que leva em conta o caráter experimental da matemática torna-se mais significativo, uma vez que leva o estudante desta disciplina a associar este conhecimento à sua vida cotidiana, ao tempo em que funciona como uma ponte para a transição do conhecimento concreto para o abstrato, e assim, contribuindo com a organização do pensamento matemático e com o desenvolvimento do raciocínio lógico. REFERÊNCIAS BORDIN, L. M. Os materiais manipuláveis e os jogos pedagógicos como facilitadores do processo de ensino e aprendizagem das operações com números inteiros p. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática), Centro Universitário Franciscano, Rio Grande do Sul: Santa Maria, DANTAS, Kennedy. Clothing and use of Hanoi Tower: A learning in practice. Apresentado ao 13th International Congress on Mathematical Education ICME 13, Hamburg, DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática. 1ed. São Paulo: Ática, FIORENTINI, D.; MIORIM, M,A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no Ensino da Matemática. Boletim da SBEM. SBM: São Paulo, ano 4, n. 7, HOLANDA, F. Oficina de geometria em 3D: uma ferramenta para estimular a aprendizagem da geometria nas etapas do ensino médio. UFPI-PI, p. Dissertação (Mestrado) Programa de Pós-Graduação em Matemática, Universidade federal do Piauí, Teresina JANUARIO, G. Materiais Manipuláveis: uma experiência com alunos da Educação de Jovens e Adultos. In: Primeiro Encontro Alagoano de Educação Matemática. Anais... I EALEM: Didática da Matemática: uma questão de paradigma. Arapiraca: SBEM SBEM-AL, MATEMÁTICA, Ensino Médio. Padrões de Desempenho Estudantil, Disponível < acesso em: 04 de fevereiro

16 NACARATO, A. M. Eu trabalho primeiro no concreto. Revista de Educação Matemática, São Paulo, v.9, n.9 e 10, p.1-6, Disponível em < >Acesso em 15 de janeiro. De NETO, Antônio Caminha Muniz. Tópicos de matemática Elementar: geometria euclidiana plana. 2ed. Rio de janeiro: SBM, PASSOS, Carmen Lucia Brancaglion. Materiais manipuláveis como recursos didáticos na formação de professores de matemática. In: LORENZATO, Sérgio (org.). O Laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: AutoresAssociados, SILVA, Manassés. Aplicações das relações trigonométricas no cotidiano. Trabalho Apresentado ao 2 congresso Congresso internacional das licenciaturas cointer pvdl, Recife,2015 TURRIONI, Ana Maria Silveira. O laboratório de educação matemática na formação inicial de professores. 2004, p Dissertação de Mestrado. Unesp, Rio Claro. ZACHARIAS, V. L. C. Pestalozzi Disponivel em: < acesso em 28/03/2017.

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