AJUSTES DE MODELOS NÃO LINEARES PARA ALTURA DE CLONES DE EUCALYPTUS ADJUSTMENTS OF NON-LINEAR MODELS FOR HEIGHT OF EUCALYPTUS CLONES

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1 AJUSTES DE MODELOS NÃO LINEARES PARA ALTURA DE CLONES DE EUCALYPTUS ADJUSTMENTS OF NON-LINEAR MODELS FOR HEIGHT OF EUCALYPTUS CLONES Apresentação: Pôster David Venancio da Cruz 1 ; Moacyr Cunha Filho 2 DOI: Introdução Os fenômenos de natureza biológica são caracterizados por uma rápida fase de crescimento, que o decorre do tempo se atenuam até a idade adulta. Para representar esses fenômenos é conveniente descrevê-los transversalmente por modelos não lineares, pelo fato de obter-se um melhor ajustamento à fase de crescimento, em organismos vivos. Uma das alternativas encontradas para o reflorestamento é as espécies do gênero Eucalyptus, com uma diversidade de setecentos e quarenta e cinco espécies, algumas adaptáveis ao clima tropical e subtropical predominante em quase todo o território brasileiro. Esses climas permitem um crescimento ininterrupto e, conseqüentemente, um rápido acúmulo de biomassa. Logo, ao utilizá-la no consumo industrial evita-se o desmatamento da mata nativa, pois oferece mais recursos em um menor espaço de tempo. Observa-se assim, a importância do Eucalyptus por ser uma espécie de uso múltiplo com possibilidade de atender as condições do triple sustentável (SILVA, 2011). A descoberta do Brasil trouxe consigo a extração ilegal e desordenada da mata nativa, isto é, do pau-brasil. Esse foi utilizado como fonte energética e como matéria prima para a produção industrial, com processo de urbanização e crescimento populacional os recursos começaram a se tornarem escassos, gerando o risco de extinção de várias espécies nativas. 1 Estatística Aplicada e Biometria, Universidade Federal Rural de Pernambuco, davidvenacio@hotmail.com 2 Doutor em Agronomia (Ciências do Solo), Universidade Federal Rural de Pernambuco, moacyr2006@gmail.com

2 Logo surgiu à necessidade de se buscar alternativas de extração e reflorestamento permitindo o equilíbrio entre o meio ambiente e a produção industrial. Assim, o objetivo deste trabalho consiste em estimar a altura em função do tempo dos Eucalyptus por meio dos modelos não lineares. Fundamentação Teórica A base de dados é proveniente de povoamento clonais de Eucalyptus, localizada no Município de Araripina, no Semi-árido de Pernambuco. Implantado no ano de 2002 à área abrange 2,352 ha, compreendendo 15 clones de espécies do gênero Eucalyptus plantadas com espaçamento entre si, de 3 2 m, com 4 repetições. A precipitação média anual é aproximadamente 650 mm, o clima e do tipo Bshw, semiárido, quente, com a temperatura média de 24ºC (BARROS, 2010). Metodologia O modelo não linear, a sua forma clássica é expressa por: y i = f i (β, x) + ε i, i = 1,2,3, n. em que os erros tem uma distribuição normal, com média zero e variância constante σ 2, isto é, ε N(0, Iσ 2 ), onde f i (β, x) é um função diferençável, β = (β 1,, β p ) T possui parâmetros desconhecidos a serem estimados, x = (x 1,, x q ) T representa os valores das q variáveis exploratórias. O principal atributo do modelo não linear é a função diferençável, geralmente deriva de um processo determinístico inferido a partir de suposições teóricas, sendo os parâmetros conseqüentes interpretáveis e a parte aleatória é de militado de erros homogêneos (CORDEIRO, 2009). Neste trabalho foram ajustados os seguintes modelos: Logístico Gompertz Modelo proposto 1 Modelo proposto 2 Michaelis-Menten α {1 + EXP(β γx)} + ε i αexp{ EXP(β γx)} + ε i α βexp( γx i ) + ε i α. x β i + ε i αx (γ + x) + ε i Nos seguintes modelos apresentados, Logístico, Gompertz, Proposto 1, α é considerado a assíntota superior, γ é a taxa média de crescimento e β está relacionado com intercepto. O modelo Proposto 2, α é o comprimento inicial, β está relacionado com a velocidade de crescimento, ε i é o erro aleatório, esse modelo foi proposto no artigo de (CORDEIRO, 2009). O modelo de Michaelis-Menten, α é a velocidade da reação e γ é a constante de Michaelis.

3 Os critérios de informação de Akaike e Bayesiano foram utilizados para a seleção do modelo mais parcimonioso, esses critérios penalizam a verossimilhança, isto é, um modelo com mínimo de parâmetros possíveis e expliquem melhor a variável resposta (THIERSCH, 2010). Resultados e Discussões Na tabela 1, são apresentadas as estimativas dos parâmetros dos modelos testados e seus respectivos valores de AIC e BIC, avaliadores da qualidade do ajuste dos modelos. Tabela 1: Valores estimados dos avaliadores da qualidade do ajuste dos modelos Logístico, Gompertz, Proposto1, Proposto 2, Michaelis-Menten. Parâmetros Modelo α β γ AIC BIC (erro padrão) (erro padrão) (erro padrão) 18, 738 9,422 20,804 Logístico 40,77 43,3 (0, 9281) (2, 5445) (3, 9373) Gompertz 19,173 (1, 0427) 1,0195 (0, 0760) 0,9634 (0, 0071) 38,12 40,6 Proposto1 19,982 (1, 2821) 13,561 (1, 0749) 0,02616 (0, 0059) 34,60 37,1 Proposto2 5,0436 0,2973 (0, 2232) (0, 01165) -- 19,55 21,4 Michaelis-Menten 18,979 8, (0, 8481) (1, 7773) 49,12 51,0 *Em que AIC: Critério de informação de Akaike; BIC: Critério de informação Bayesiano. De acordo com os resultados descritos na Tabela 1, mostram que todos os modelos apresentaram parâmetros significativos, de acordo com a estatística t de Student, porém o que melhor se ajustou aos dados de altura e tempo dos Eucalytus foi o modelo proposto 2. Pois, apresentou os menores valores para os critérios de AIC e BIC. Tabela 2: Estimativas dos parâmetros do modelo Proposto 2, ajustado aos dados de altura e tempo referentes a Eucalyptus. Parâmetros Estimativa Erro Padrão t P-valor α 5, , ,59 3,35e-11 β 0, , ,51 8,00e-12

4 Residuals A estatística t e p-valor revelaram que os parâmetros estimados pelo modelo Proposto 2, foram significativos para explicar o modelo. Para verificação das pressuposições do modelo foi realizado a análise de resíduos. Residuals vs Fitted Normal Q-Q Fitted values Theoretical Quantiles Scale-Location Residuals vs Leverage Cook's distance Fitted values Leverage Figura 1: Análise de resíduos gráficos para o modelo Proposto 2. No primeiro quadro temos os resíduos contra os valores ajustados, observa-se que não existem pontos discrepantes, pois os pontos estão dentro dos limites de confiança, além disso, os resíduos apresentam-se de forma aleatória. No segundo, o QQPlot dos resíduos padronizados revela distribuição aproximadamente normal, apenas a observação se distância da normalidade. No terceiro gráfico nos dá uma idéia de quão discrepantes (ou não) são os dados. No último, o resíduo contra o Leverage, apenas a observação aparece como ponto influente e alavanca, porém a retirar dessa observação não traz alterações significativas ao modelo. A equação é dada por 0,29729 y i = 5, x i em que o valor encontrado para a estimativa do parâmetro α corresponde a 5,04356, x i representa o tempo em meses e β é o coeficiente equivalente a 0, Esses dados se

5 apresentaram adequados para descrever a altura em função do tempo do Eucalyptus, obtendose uma aceleração no período inicial e após um determinado tempo uma redução na altura do Eucalyptus. Conclusões O modelo não linear proposto 2 mostrou-se eficaz na modelagem do ajuste das alturas de Eucalyptus, pois os parâmetros foram significativos e na análise de resíduos nenhuma pressuposição do modelo foi violada, além do modelo não apresenta anomalias. O uso de modelo não lineares para o inventário florestal pode contribuir para a diminuição dos custos do inventário, ou até mesmo a melhoria da precisão dos inventários, e assim evitar prejuízos, tanto para o produtor como para trabalhador rural. Além disso, os resultados obtidos poderão propiciar o desenvolvimento florestal da região trazendo benefícios sociais, econômicos e ambientais. Referências BARROS, BRUNO COELHO DE. et al. Volume e sobrevivência de espécies nativas e exóticas no pólo gesseiro do Araripe, PE. Revista Ciência Florestal, Santa Maria, v. 20, n. 4, p , out.-dez, CORDEIRO, G. M.; PRUDENTE, A. A.; DEMÉTRIO, C. G. B. A review of normal non linear models. Revista Brasileira de Biometria, São Paulo, v.27, n.3, p , FILHO, L. M. A. L. Modelos simétricos transformados não-lineares com diferentes distribuições dos erros: aplicações em ciências florestais. Dissertação de Mestrado, PPGBEA, UFRPE, FLORIANO, E. P. et al. Fitting and selecting traditional models for tree s heighet time series data. Revista Ciência Florestal, Santa Maria, v. 16, n. 2, p , SILVA, Antônio Aleixo da. Florestas energéticas Cercine. UFRPE. Falando de Ciência. Entrevista concedida a José Mário Austregésilo. Recife, PE. THIERSCH, MONICA FABIANA BENTO MOREIRA. Abordagem bayesiana dos modelos de regressão hipsómetricos não lineares utilizados em biometria florestal p. Tese de Doutorado, PPGCCMC, Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2010.