A FÍSICA DO LHC: Conceitos fundamentais e principais resultados

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1 A FÍSICA DO LHC: Conceitos fundamentais e principais resultados 1 a Aula Depto. de Física - PUC-Rio 1/ 69

2 Tópicos de Hoje 1 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman 2 2/ 69

3 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman 3/ 69

4 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Os Constituintes da Matéria 4/ 69

5 Os Constituintes da Matéria Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Toda a matéria ordinária é feita de prótons nêutrons elétrons 99, % do volume de um átomo é apenas espaço vazio! 5/ 69

6 Os Constituintes da Matéria Mas este não é o fim (ou começo?) da história... Anos 30 ) novas partículas começaram a aparecer 1932 o pósitron é observado 1933 Fermi postula o neutrino 1935 Yukawa propõe a existência do méson 1937 descoberta do múon Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman RAIOS CÓSMICOS ACELERADORES 1947 descoberta do píon 1947, 1949 K 0 ; K observados ! um monte de novas partículas! K o φ + e + + π o p Σ o f π Ξ Σ ν µ e p n µ + + o ν o e Λ ρ K Λ o n Ξ o Ω ωη η a K* 2 Partículas elementares???? 6/ 69

7 Classificação das Partículas Partículas observadas com diferentes propriedades Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman massa tempo de vida spin carga interações As partículas foram classificadas em duas categorias principais: LÉPTONS os carregados sentem as forças EM e fraca e ; ; neutrinos sentem somente a força fraca e ; ; HÁDRONS sentem todas as forças Bárions: spin semi-inteiro ex. n ; p; Mésons: spin inteiro ex. ; K mas...por que tantos hádrons? 7/ 69

8 Eightfold Way Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Gell-Mann e Ne eman (61) agrupam os hádrons de massas próximas em octetos e decupletos de acordo a seus isospin e estranheza mésons pseudoescalares o K +1 π o π + π 1 1/2 η η +1/2 +1 K Q= 1 S 1 K+ o K Q=0 I 3 Q=+1 bárions de spin 1/2 1 n Σ Λ o 1 o Σ Ξ 1/2 Q= 1 S 0 +1/ p Ξ o Q=0 Σ + I 3 Q=+1 bárions de spin 3/2 ο S /2 1 Σ * 1/2 0 +1/2 +1 Ξ * 2 Ξ *ο Ω 1 Σ *ο Σ *+ 3 +3/2 I 3 8/ 69

9 Quarks Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Gell-Mann e Zweig (64) propõe a existência de QUARKS: férmions com spin 1/2 e carga fracionária... todos os mésons (q q) e bárions (qqq) são explicados a partir de combinações de três quarks diferentes: u d s S = 0 u d S = 1 s carga u d u d d s u d d u pion π + kaon K o proton neutron... mas ainda novas partículas foram descobertas!! 9/ 69

10 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Quarks & Léptons: os férmions (spin 1 2 ) fundamentais o quark charme é predito em 71 e descoberto em 74 um novo lépton, tau, observado em 75 (3 a família de léptons!) o quark bottom é descoberto em 77 (3 a família de quarks!) o último quark top é observado em 95 o último férmion é detectado em 2000 então estes são os constituintes mais elementares da matéria... ah... mas tem anti-matéria também 10/ 69

11 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Digressão: Predição e Observação da AntiMatéria Início dos anos 30: Física Moderna recém nascia Teoria da Relatividade Mecânica Quântica velocidade da luz no vácuo é absoluta tempo é relativo E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 partícula livre: 2 2m r2 massa ainda não é parte da energia... como compatibilizar? Paul Dirac (1928): equação de onda relativística para o elétron soluções com energias +p p2 c 2 + m 2 c 4 e p p 2 c 2 + m 2 c 4?!?! 11/ 69

12 A Predição e Observação da AntiMatéria Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Dirac 1931 estado de energia negativa é anti-elétron com energia positiva a partir de considerações puramente teóricas, prediz a existência da antimatéria Carl Anderson (1932): câmara de bolhas para o estudo de partículas de raios cósmicos: ) existência do pósitron Nobel: Dirac (1933) e Anderson (1936) Então... 12/ 69

13 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman As Interações Fundamentais 13/ 69

14 O que une a matéria? Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman 14/ 69

15 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman O Modelo Padrão da Física de Partículas O que hoje chamamos de Modelo Padrão abrange o entendimento teórico das partículas e suas interações Força Eletrofraca: combinação das força EM (Eletrodinâmica Quântica) e fraca: A Teoria Eletrofraca Força Forte: Cromodinâmica Quântica Modelo Padrão explica com enorme êxito todos os experimentos feitos até agora peça faltante até 2012: o Bóson de Higgs 15/ 69

16 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Mas como se construiu o Modelo Padrão? Mecânica Quântica + Relatividade Especial Teoria Quântica de Campos partículas fundamentais interagem pela troca de bósons de gauge : os quanta do campo * o fóton é o bóson de gauge da Eletrodinâmica Quântica (QED)! O alcance da interação está relacionado com a massa de seu bóson de gauge (Princípio da Incerteza) E t a distância de vôo de uma partícula é x = c t = c = E = c =Mc 2 fóton: massa nula ) alcance infinito bóson W : Mc 2 80GeV ) alcance fm 16/ 69

17 Interações Fundamentais (cont.) Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman A partir de agora... usaremos unidades naturais: = c = 1 energia [GeV], momentum [GeV/c], massa (GeV/c 2 )! GeV tempo [(GeV/ ) 1 ], distância [(GeV/ c) 1 ]! GeV 1 ) A intensidade da interação é dada pela carga g, ou mais convenientemente pela constante de acoplamento QED: e = g em = p 4" 0 c = p 4 Interação Intens. Bóson de Massa Quem relativa Gauge (GeV =c 2 ) sente Forte 1 glúons (g) 0 quarks EletroMag fóton () 0 part. carregadas Fraca 10 5 W +, W, Z 0 80, 91 quarks & léptons Gravitacional gráviton? 0 todos 17/ 69

18 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman A equação de Dirac e Diagramas de Feynman 18/ 69

19 A equação de Dirac Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Férmions livres com spin 1 2 são representados por um spinor de 4 componentes que obedece a equação de Dirac (iγ µ µ m)ψ = 0 onde = ( 0 ; i ) = (; ~) são as matrizes de Dirac com = I 0 0 I! ; ~ = 0 ~ ~ 0! e ~ são as matrizes de Pauli i 1 = ; 2 = 1 0 i 0 ; 3 = / 69

20 A equação de Dirac Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman As matrizes têm as seguintes propriedades + = 2g 0y = 0 iy = i ( i ) 2 = I Escrevendo no espaço de momento, (x ) = ae i p x u(p) = ae i (Et ~p ~r ) u(e ; ~p) a equação de Dirac fica (6p m)u(p) = 0 As soluções satifazem E = p p 2 + m 2. A solução de energia negativa é interpretada como uma solução de anti-partícula com energia positiva. De fato, as soluções podem ser escritas como fermion: (6p m)u = 0 antifermion: (6p + m)v = 0 20/ 69

21 Diagramas de Feynman Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Interações entre as partículas são descritas em termos de Diagramas de Feynman tempo corre da esquerda para direita (variação: de baixo para cima) anti-partículas representadas como viajando para trás no tempo energia, momentum, momento angular, etc, conservados em todos os vértices partículas intermediárias sempre virtuais apenas linhas externas representam partículas reais (estados assintóticos) Os Vértices do Modelo Padrão: 21/ 69

22 Eletrodinâmica Quântica (QED) Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman f O processo básico é simplesmente: γ Diagramas árvore 2 a ordem: box e loops f µ µ µ µ γ γ e e + γ e e µ e µ µ e µ e e γ e e γ e e e e 22/ 69

23 Eletrodinâmica Quântica (QED) Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman partículas carregadas interagem pela troca de fótons a intensidade dada pela constante de estrutura fina 1=137 a teoria quântica relativística que descreve as interações EM é a Eletrodinâmica Quântica (QED) cálculos explícitos de QED: extrema precisão nos processos EM Diagramas Árvore 2 a ordem: box e loops µ µ µ µ γ γ e e + γ e e µ e µ µ e µ e e γ e e γ e e e e 23/ 69

24 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Espalhamento e e aniquilação e + e! + A amplitude do processo está dada por: im = ig (ie u C u A ) q 2 (ie u D u B ) u B (p) u A (k) - ig µν /q 2 ieγ ν ieγ µ taxas, seções de choque não polarizadas dependem de j Mj 2 u _ D (p ) u _ C (k ) deste processo, pode-se facilmente por crossing calcular o processo de aniquilação e + e! + pode-se mostrar que a seção de choque de espalhamento para 2 corpos está dada por d 1 jp f j d = (8) 2 s jp ij jmj2 onde s é a (energia) 2 disponível, p i, p f os momenta inicial e final, calculados no CM. encontra-se : (e + e! + ) = 42 3s ver Apêndice 24/ 69

25 Renormalização e (q 2 ) em QED Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman cálculos envolvendo loops (ordens superiores em QED) levam a infinitos ) screening da carga nua do elétron devido a pares e + e renormalização: redefine carga e massa, o que cancela os infinitos na prática, a constante de acoplamento passa a depender da escala de energia envolvida no processo:. (q 2 ) = (q0 2 ) 1 (q 0 2 ) q 2 ln 3 q / 69

26 Renormalização e (q 2 ) em QED (cont.) Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman? em QED, depende fracamente de q 2 baixas energias (q 2 0): 1= 137 altas energias: 1=(200GeV) 127 Predição e medida do momento magnético anômalo do elétron: [(g 2)=2] teo = (1:159:652:181; 82 0; 78) [(g 2)=2] exp = (1:159:652:180; 76 0; 27) A mais precisa predição verificada experimentalmente da história da física! 26/ 69

27 Cromodinâmica Quântica (QCD) Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman QCD é a teoria que descreve as interações fortes O mediador é o glúon e a carga é a cor Como os glúons carregam cor, eles têm auto-interação! vértice de QCD básico q g q Auto-interação Ordens superiores q 2 q 2 q 2 q 2 q 1 q 1 q 1 q 1 27/ 69

28 Interação fraca vértice carregado e, u vértice neutro Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman W Z 0 ν e, d Alguns exemplos no setor leptônico l, q, ν l, q, ν electron scattering e scattering muon decay e e ν µ ν µ ν µ Z 0 Z 0 µ W ν e e e e e e 28/ 69

29 Examplos de processos fracos hadrônicos Decaimentos: Decaimento beta n d u u W - e - ν _ e u u d p Decaimento do píon π - d u _ Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman W - µ - ν _ µ Decaimento de um méson B B - u _ W - π - d b u _ c D 0 u _ Espalhamento Espalhamento p ν µ ν µ Z 0 p u u d u u d p 29/ 69

30 Os Constituintes da Matéria As Interações Fundamentais A equação de Dirac e Diagramas de Feynman Interações EM e auto-interações dos bósons fracos Auto-interações W Z 0 W W W Z W W W Z W + Interações EM W γ Z γ W W W + 30/ 69

31 Simetrias e Números Quânticos 31/ 69

32 Simetrias e Leis de Conservação Teorema de Noether Para cada simetria da natureza corresponde uma lei de conservação (e vice-versa) Exemplos: invariância frente a translações no espaço, conservação de momentum invariância frente a translações no tempo, conservação de energia invariância frente a rotações espaciais, conservação de momento angular invariância frente a transformações de gauge no EM, conservação da carga 32/ 69

33 Grupos e Simetrias O conjunto de operações de simetria formam um GRUPO e tem as seguintes propriedades 1 Clausura: R i ; R j 2 G ) R k = R i R j 2 G 2 Identidade: existe I para a qual IR i = R i I = R i 3 Inversão: existe Ri 1 para a qual Ri 1 R i = R i Ri 1 = I 4 Associação: R i (R j R k ) = (R i R j )R k Ademais, com relação à comutação: se todos os elementos comutam, R i R j = R j R i ; 8i ; j ) grupo abeliano caso contrário, grupo não abeliano Em Física : geralmente grupos de matrizes U (n) : coleção de matrizes n n unitárias SU (n) : U (n) com determinante 1 33/ 69

34 Um exemplo: grupo de spin 1=2 ) SU(2) Para spin semi-inteiro, existem dois possíveis estados: js m s i = j i = 1 0 ; jsm s i = j i = 0 1 um estado de spin-1/2 genérico está dado por 1 0 = + ; jj 2 + jj 2 = ~S: matriz de spin 2 2 ) ^S x = 2 1, ^S y = 2 2, ^S z = 2 3 Através de uma rotação 0 0 = U () com U () = e i ~ ~=2 34/ 69

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36 : uma simetria de sabor Heisenberg 1932 ) o nêutron é quase idêntico ao próton (exceto pela carga) m p = 938:26MeV ; m n = 939:57MeV ) 1 0 dois estados do mesmo nucleon p = n = 0 1 analogia com spin ) novo número quântico ISOSPIN interações fortes: invariantes sob rotações no espaço de isospin (simetria interna) ) isospin é conservado ~T = 1 2 ~, [T i ; T j ] = i ijk T k com operadores T T 1 it 2 ; T + = T 1 + it 2 T + u = 0; T + d = u; T u = d; T d = 0 Modelo a Quark: isospin vem de m u m d u = j i 2 d = j 1 1i 2 2 outros sabores: j0 0i 36/ 69

37 Combinando quark + antiquark Os dubletos quark e antiquark são: u q = q = d d u d u I I Combinando 1/2 +1/2 3 1/2 +1/2 3 estados tripleto e singleto são obtidos: du ud 1/ 2 (uu d d) I 3 u d 1/ 2 (uu+ d d) ) estes são os píons, I=1: + = j1 1i; 0 = j1 0i; = j1 1i o singleto obedece: T + j0 0i = T j0 0i = 0 dimensão mais alta! s: quatro estados ) I = 3=2 ++ = j i; + = j i; 0 = j i; = j i I 3 37/ 69

38 Algumas Consequências de interações fortes: não diferencia p/n ou u/d ) I e I 3 conservadas interações fracas: u $ d ) I e I 3 não conservadas interações EM: u d mas distingue u/d (carga) ex.: 0! ) I 3 conservada, I não conservada hádrons estáveis : próton e aqueles que decaem por interações fracas e EM ressonâncias: hádrons que decaem por interações fortes com taxas de decaimento das ressonâncias dependem basicamente de regras de isospin: razão dos coeficientes de Clebsh Gordan 38/ 69

39 Um exemplo ex.: + (1232) ) j i com dois modos de decaimento +! p 0 +! n + with p 0 = j ij1 0i, n+ = j ij1 + 1i Coeficientes de Clebsh-Gordan: j i, 8 < : q 2 j ij1 q 0i 1 j ij1 1i ( +! p 0 ) / 2 3 ja 3=2j 2 (E ) ( +! n + ) / 1 3 ja 3=2j 2 (E ) Então ( +! p 0 ) ( +! n + ) = 2 39/ 69

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41 Carga Elétrica Conservação de carga elétrica, invariância de gauge local U(1) exemplos Carga é conservada em todas as interações Interação forte Interação fraca + p! K Q n! p + e + e Q / 69

42 Número Bariônico Número Bariônico (B) é conservado em todas as interações exemplos #(quarks) - #(antiquarks) = constante bárions +1 quarks 1 3 antibárions 1 antiquarks 1 3 mésons 0? interação forte + p! K B ? interação fraca 0! p + B ? um decaimento p e proibido B / 69

43 Número Leptônico Número Leptônico (L) é conservado em todas as interações léptons e ; e ; ; ; ; +1 antiléptons e + ; e ; + ; ; + ; 1 exemplos + N! e + + e + N +! + + +! e + + e + um decaimento proibido:! e + e e este:! e + é possível? (viola L e L e mas... são estes números conservados?) 43/ 69

44 Estranheza Estranheza (S) é conservada nas interações forte e EM não é conservada nas interações fracas ex: + p! K 0 + 0, K 0! +, 0! p π - u d d s K 0 d s W + d u u d π - π + p u u s u Λ 0 s W - u d π - d d u u d u p d 44/ 69

45 Estranheza (cont.) hádrons com s ex.:k + (u s); K 0 (d s); 0 (u d s) +1 hádrons com s ex.:k (s u); K 0 (sd); 0 (uds) 1 bárions com ss ex.: + ( d ss); 0 (u ss) +2 bárions com sss ex.: (sss) 3 o mesmo conceito e implicações de estranheza também se estendem aos quarks pesados: charmness, bottoness, topness apenas uma consequência de que as interações EM e fortes não trocam sabor! 45/ 69

46 Estranheza e SU(3) de Sabor + S ) u d s ) SU (3) de sabor m s > m u =m d ) simetria não tão boa como isospin SU (3)! 8 geradores: ~T = 1 2 ~ ; ^U = e i ~ T ~ ~ : matrizes de Gell Mann (3 and 8 diagonais) define-se hypercarga: Y = B + S Y = 1 p 3 8 ; I 3 = Y e I 3 são números quânticos aditivos conservados (em interações fortes e EM) d 1/2 U + Y T+ 1/3 s V+ 2/3 1/2 u I 3 T = 1 2 ( 1 i 2) V = 1 2 ( 4 i 5) V = 1 2 ( 6 i 7) 46/ 69

47 Construindo multipletos de SU(3) d s Y u I 3 u s Y Y ds us du dd uu ud = I I 3 ss 3 d su sd noneto pseudoescalar K o + K noneto de mésons vetoriais K* o K* + _ π o π η η π + _ ρ ρ o ω φ ρ + 1 K _ K o p 6 (u u + d d 2s s) 0 p 1 6 (u u + dd + s s)! 1 s s _ K* o K* p 2 (u u d d) 47/ 69

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49 Paridade P : operação discreta que inverte as coordenadas espaciais (x ; y; z ) P! ( x ; y; z ) ) reflexão em relação à origem transforma um sistema de coordenadas mão direita em mão esquerda satisfaz P 2 = 1 P é unitária, P y P = 1 ) P y = P P é hermitiana ) auto estados de paridade são observáveis paridade é um número quântico multiplicativo sistema invariante sob P, [H ; P] = 0, paridade é conservada 49/ 69

50 Paridade (cont.) Muitos sistemas quânticos são auto estados de partidade Pj (~r )i = +j (~r )i = +1 par Pj (~r )i = j (~r )i = 1 ímpar Para vetores: P(~a) = ~a Para vetores-axiais (pseudo-vetores): P(~c) = P(~a ~ b) = +~c Para as partículas fundamentais, uma paridade intrínseca é assignada quarks P = +1 antiquarks P = 1 50/ 69

51 Hádrons: objetos compostos ) paridade é o produto da paridade intrínseca pela contribuição do momento angular Mésons estáveis têm paridade negativa: ; K ; ; B ; D; ::: Bárions estáveis têm paridade positiva: p; n; ; ; ::: Assim, para mésons P = ( 1) L+1 ex. píon L = 0 P = P(u d) = 1 ) J P () = 0 pseudoescalar u L d 51/ 69

52 Conjugação de Carga C: transforma partícula em sua antipartícula, deixando todas as outras variáveis dinâmicas intactas Cjpi = jpi Cj 0 i = j 0 i Cj + i = j i claramente C 2 = 1, C y C = 1 ) hermitiana Se um estado é descrito por ja; ~p; ~i onde A is é o conjunto de números quânticos aditivos (isospin, carga, estranheza, etc) C deixa ~p; ~ invariantes C troca o sinal dos números quânticos aditivos CjA; ~p; ~i = ja; ~p; ~i 52/ 69

53 Conjugação de Carga (cont.) Sistema invariante sob C ) [H ; C ] = 0, C é um bom número quântico B ; Q; L; S ; ::: também conservados (comutam com H ) mas em geral BC 6= CB ex. CBjpi = Cjpi = jpi BCjpi = Bjpi = jpi para um estado ser autoestado de C é necessário ter B = Q = L = S = ::: = 0 ) partícula = antipartícula Autoestados de C : fóton C = 1 mésons no centro de seus nonetos C = ( 1) L+S 0 ; ; 0 ; 0 ; ;!; J = ; ::: ex. 0! ) C ( 0 ) = / 69

54 Apêndice I: Seção de Choque, Tempo de Vida, Decaimentos 54/ 69

55 Width and Lifetime Decay Rate Γ : desintegration probability per unit time dn = ΓNdt N (t) = N (0)e Γt Mean Lifetime : average lifetime of a particle in its rest frame τ = 1/Γ If the decaying particle has n different decay modes: ex.: +! +, +! e + e, +! + Each mode has a partial width i ) tot = P n i=1 i and Branching ratio: BR = Γ i = 1= tot Γ tot 55/ 69

56 Scattering Cross-Section Size of the target ) effective cross-sectional area A measure of the chance of success of the interaction Each possible final state of a collision is characterized by a scattering cross-section i σ tot = X σ i ex: e + p! e + p e + p! e + p + e + p! e + p + 0 e + p! e + 56/ 69

57 Scattering (cont.) If the incoming particle passes through an infinitesimal area d it will scatter into a corresponding angle d. The larger d, the larger d Differential Cross-Section D() d = D()d Luminosity L: number of particles per unit time per unit area dn = Ld = L D() d thus D() = d 1 dn d = L d 57/ 69

58 Fermi s Golden Rule Need to know: We want to be able to calculate actual decay rates and cross-sections The physical amplitude M ) dynamical info The phase space of the process ) kinematical info ex.: D 0! + + n! p e e Fermi s Golden Rule ) big phase space since m D 2m ) tiny phase space since m n m p transition rate = 2 jmj2 phase space 58/ 69

59 Fermi s Golden Rule (cont.) For decays: d = jmj2 2m n d 3 p 2 For scattering: (2) 3 2E 2 ::: d 3 p n (2) 3 (2) 4 4 (p 1 p 2 p 3 ::: p n ) 2E n n d = jmj2 (2) p 4 4 (p 1 + p 2 p 3 ::: p n ) 4 (p 1 p 2 ) 2 (m 1 m 2 ) 2 d 3 p 3 (2) 3 2E 3 ::: d 3 p n (2) 3 2E n 59/ 69

60 ex.: 1 + 2! Let s calculate d=d CM: ~p 2 = ~p 1 ) p 1 p 2 = E 1E 2 + j~p 1j 2 p (p 1 p 2) 2 (m 1m 2) 2 = (E 1 + E 2)j~p 1j Thus d = 1 (8) 2 jmj 2 (E 1 + E 2 )j~p 1 j steps: write E 3 ; E 4 in terms of ~p 3 ; ~p 4 integrate in ~p 4 using 3 use d 3 p 3 = p 2 dpd (p j~p 3 j) substitute E p p 0 = m 3 2+~p2 3 m 2 4 +~p 3 2, de 0 = We obtain d 3 p 3 E 3 d 3 p 4 E 4 4 (p 1 + p 2 p 3 p 4 ) dσ dω = 1 p f (8π) 2 s p i M 2 E 0 p p 3 m 2 3 +~p 3 2 p m 2 4 +~p 2 3 dp where s = (E 1+E2)2 is the available energy 2 in the CM frame. 60/ 69

61 Apêndice II QED e os Processos e! e e e + e! + 61/ 69

62 Quantum Electrodynamics QED A free electron with 4 momentum p is described by a 4-component wave function (spinor) given by: = u(~p)e ip x satisfying the Dirac equation (6p m) = 0 Classical EM: upon interaction with an EM potential A = (A 0 ; ~ A) replace p! p + ea quantum prescription then gives + ea and the Dirac equation becomes (6p m) = 0 V ; 0 V = e A 62/ 69

63 QED (cont.) e2 1 st order: T fi = i Z is small ) treat potential as a perturbation d 4 x Z y f (x )V (x ) i (x ) = ie d 4 x f A i with y o. In terms of the EM current density j fi = e f i = e u f u i e i(p f p i ) x we have T fi = i R j A d 4 x Giving interpretation: A! field generated by a source ex: a muon, in e scattering From Maxwell s equation: 2 A µ = j µ BD with j BD = e ud u Be i(p D p B ) x 2 e iq x = q 2 e iq x, thus A µ = 1 q 2 j µ with q p D p B u B γ u D 63/ 69

64 Calculating e scattering Let s calculate a e scattering explicitly. From before, T fi = i Z j muon = i ( e u C u A ) = i ( e u C u A ) 1 q 2 j elec d 4 x = 1 q 2 ( e u D u B ) 1 Z e i(pc pa) x e i(pd pb ) x d 4 x = q 2 ( e u D u B )(2) 4 4 (p A + p B p C p D ) {z } M im = (ie u C u A ) ig q 2 (ie u D u B ) photon propagator u B (p) u A (k) - ig µν /q 2 ieγ ν ieγ µ u _ D (p ) u _ C (k ) 64/ 69

65 e scattering (cont.) In general we are interested in non polarized cross-sections: average over initial spin states, sum over final spin states jmj 2 = = e4 q 4 1 (2s A +1)(2s B +1) L elec Lmuon X spin states jmj 2 where L elec = L muon = X u(k 0 ) u(k ) u(k 0 ) u(k ) X spin elec spin muon u(p 0 ) u(p) u(p 0 ) u(p) 65/ 69

66 e scattering (cont..) steps: use [u(k 0 ) u(k )] = [u(k ) u(k 0 )] P s0 use completeness relations s0 u obtain L elec = 1 2 Tr [(6k0 + m) (6k + m) ] (k 0 )u s0 (k 0 ) = (6k + m) to use trace theorems for matrices to obtain L elec = 2 k 0 k + k 0 k (k 0 k m 2 )g analogously for L muon Finally calculate L elec Lmuon jmj 2 = 8e 4 q 4 [(k 0 p 0 )(k p) + (k 0 p)(k p 0 ) m 2 (p 0 p) M 2 (k 0 k ) + 2m 2 M 2 ] 66/ 69

67 e scattering (cont...) Introduce Mandelstam variables: s (k + p) 2 ; t (k k 0 ) 2 ; u (k p 0 ) 2 ultrarelativistic limit: neglect m; M s 2k 0 p 0 ; t 2p p 0 ; u 2k 0 p Thus jmj 2 = 8e4 q 4 (k 0 p 0 )(k p) + (k 0 p)(k p 0 ) = 2e 4 s2 + u 2 t 2 67/ 69

68 Crossing: e + e! + From e scattering it is easy to obtain e + e! + from crossing k p M e+e!+ (k ; k 0; p; p 0) k p = M e!e (k ; p; k0 ; p 0 ) just change k 0 $ p (t $ s) in the previous result: jmj 2 = 2e 4 t 2 + u 2 i s 2 = 2e 4 h 1 2 (1 + cos2 ) where the last equality is obtained by getting s; t ; u in the CM frame, with the scattering angle 68/ 69

69 e + e! + (cont.) Recalling the expression for differential cross section d d CM = 1 p f 64 2 s p i jmj h i 2 = s 2e4 (1 + cos 2 ) we finally get for the total cross-section (e + e! + ) = 42 3s 69/ 69