KEMS - Um Provador de Teoremas Multi-Estratégia

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1 Introdução Conteúdo KEMS - Um Provador de Teoremas Multi-Estratégia Adolfo Gustavo Serra Sêca Neto Departamento Acadêmico de Informática Universidade Tecnológica Federal do Paraná adolfo Curitiba, 22 de Abril de 2009

2 Introdução Conteúdo Motivação Objetivos e Aplicações KEMS Motivação: mesmo problema, estratégias diferentes

3 Introdução Conteúdo Motivação Objetivos e Aplicações KEMS Inicial

4 Introdução Conteúdo Motivação Objetivos e Aplicações KEMS Motivação Dedução Automática (Prova Automática de Teoremas - subárea da Inteligência Artificial): Diversas aplicações: obtenção de resultados em Matemática (Conjetura de Robbins) verificação de HW, SW e protocolos de segurança Métodos: Resolução, Davis-Putnam Tablôs - método refutacional - diferentes variedades e várias lógicas

5 Introdução Conteúdo Motivação Objetivos e Aplicações KEMS Motivação A questão do não-determinismo na Dedução Automática: Regras de inferência dos sistemas lógicos são não-determinísticas As regras dizem o que pode ser feito, não o que deve ser feito. (Melvin Fitting) Estratégias - definem algoritmo determinístico para a apllicação das regras Para um mesmo conjunto de regras de inferência podemos ter várias estratégias O tamanho assim como o tempo gasto pelo procedimento de prova podem variar bastante quando são utilizadas estratégias diferentes.

6 Introdução Conteúdo Motivação Objetivos e Aplicações KEMS Motivação A questão do não-determinismo na Ciência da Computação: Algoritmos não-determinísticos são utilizados em diversas áreas da computação: sistemas de reescrita de termos reconhecimento de padrões tomada de decisões Classes de complexidade P e NP A famosa questão em aberto: P=NP? O primeiro problema declarado NP-completo (os mais difíceis problemas NP): SAT - satisfatibilidade de fórmulas da lógica clássica proposicional.

7 Introdução Conteúdo Motivação Objetivos e Aplicações KEMS Objetivos Iniciais Implementar um provador de teoremas onde pudéssemos variar a estratégia sem modificar o núcleo da implementação Um provador para os seguintes fins: educacional - para ilustrar como a escolha de uma estratégia pode afetar a performance de um provador de teoremas exploratório - para testar novas estratégias e compará-las com outras já existentes

8 Introdução Conteúdo Motivação Objetivos e Aplicações KEMS KEMS KEMS = KE Multi-Strategy Tableau Prover provador de teoremas multi-estratégia baseado no método KE (método de tablôs disponível para várias lógicas) três sistemas lógicos: LCP, mbc e mci código aberto disponível na Internet em adolfo/kems

9 Introdução Conteúdo Conteúdo 1 Introdução

10 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Sistemas lógicos implementados pelo KEMS

11 Sistemas Lógicos Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Lógica clássica proposicional: Linguagem: {,,, } Axiomatização Valoração Satisfazibilidade, tautologia Correção e completude da axiomatização

12 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Axiomatização da Lógica Clássica Proposicional

13 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Valorações na Lógica Clássica Proposicional

14 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Satisfazibilidade e Tautologia na Lógica Clássica Proposicional Uma fórmula F é satisfazível se para alguma valoração v, v(f) = 1 Uma fórmula F é uma tautologia (ou válida) se para qualquer valoração v, v(f) = 1 Uma fórmula F é insatisfazível se para nenhuma valoração v, v(f) = 1

15 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Satisfazibilidade e Tautologia na Lógica Clássica Proposicional Um sequente Γ B, onde Γ é um conjunto finito de fórmulas (por exemplo, {A 1, A 2,..., A n }), expressa a afirmação De Γ pode-se inferir (ou derivar, deduzir, chegar a) B Um sequente Γ B é satisfatível se, para alguma valoração v, se v(a i ) = 1 para todo i, v(b) = 1 Um sequente Γ B é válido se, para qualquer valoração v, sempre que v(a i ) = 1 para todo i, v(b) = 1 Um sequente Γ B é insatisfazível se, para qualquer valoração v, sempre que v(a i ) = 1 para todo i, v(b) = 0

16 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Satisfazibilidade e Tautologia na Lógica Clássica Proposicional Exemplos: A, A B B é válido A, A B C é satisfazível A A é insatisfazível Como provar (métodos): Tabelas-verdade (verifica todas as valorações possíveis) - exponencial - ASA CALCPRO 1 Resolução Tablôs 1

17 Sistemas Lógicos Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade mbc e mci: Lógicas de Inconsistência Formal: Classe de lógicas paraconsistentes Teorias inconsistentes porém não-triviais Princípio da Explosão não vale (PE Suave vale) mbc a LIF baseada em lógica clássica mais fraca mci uma extensão de mbc Operadores consistência ( ) e inconsistência ( )

18 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Tablôs Analíticos para Lógica Clássica Proposicional Sistema refutacional (para provar X, começa-se afirmando-se a negação de X e tenta-se chegar a contradições) Origem - vários pais: Smullyan, Beth, Lis, Hintikka, etc. Fórmulas marcadas (TA, FA) Árvores de prova: uma prova pode ser visualizada como uma árvore É computacionalmente menos eficiente que o método das tabelas-verdade (D Agostino provou)

19 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Tablôs Analíticos para Lógica Clássica Proposicional

20 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Tablôs KE para Lógica Clássica Proposicional Sistema KE (Mondadori, D Agostino - Universidade de Ferrara) Introduz uma regra equivalente à regra do Corte (do Cálculo de Sequentes): PB A regra PB não é eliminável no sistema KE É computacionalmente mais eficiente que os tablôs analíticos (D Agostino provou)

21 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Tablôs KE para Lógica Clássica Proposicional

22 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Exemplo de prova no Sistema KE

23 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Tablôs para Lógicas de Inconsistência Formal Sistemas KE originais para mbc e mci : obtidos através de pequenas alterações em sistemas de tablôs analíticos já existentes (CARNIELLI; CONIGLIO; MARCOS, 2007) para mbc: correto, completo e analítico para mci: correto e completo

24 Tablôs KE para mbc Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade

25 Tablôs KE para mci Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade

26 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Complexidade de Sistemas Lógicos Complexidade de problemas de decisão: SAT é NP-completo o problema de decisão de LCP é co-np-completo o problema de decisão de mbc é co-np-completo o problema de decisão de mci é co-np-completo

27 Sistemas Lógicos Tablôs Complexidade Complexidade de Sistemas Lógicos Complexidade de Procedimentos para a Prova de Teoremas: Busca de prova Tamanho da menor prova possível Tempo gasto para encontrar a prova

28 Características Estratégias Descrição

29 Características Características Estratégias Descrição Características principais do KEMS: Entrada: problema (em um sistema lógico) Saída: resposta ( sim ou não ) e árvore de prova (tablô) Utiliza procedimentos de Busca de Prova em métodos KE É multi-estratégia Implementa regras simplificadoras e regras derivadas

30 Características Características Estratégias Descrição Características da implementação: Java 1.6 AspectJ Desenvolvido utilizando Eclipse 3.4.2, AJDT Utiliza alguns padrões de projeto (GAMMA ET AL, 1994): Strategy, Composite, Flyweight, Facade

31 Desenvolvimento Características Estratégias Descrição Durante o desenvolvimento, foram utilizadas algumas técnicas de métodos ágeis: Desenvolvimento dirigido por testes Refatoração Projeto Simples (simple design)

32 Características Estratégias Descrição Exemplo 1: mesmo problema, estratégias diferentes

33 Características Estratégias Descrição Exemplo 2: mesmo problema, estratégias diferentes

34 Estratégias Implementadas Para Lógica Clássica Proposicional: Características Estratégias Descrição SimpleStrategy (utiliza regras simplificadoras e armazena referências entre fórmulas em estruturas de dados) MemorySaverStrategy (busca as referências sempre que necessário) BackjumpingSimpleStrategy (implementa a técnica backjumping) LearningStrategy (implementa a técnica learning) CombLearningStrategy (implementa um learning que dá um formato especial às provas) ConfigurableStrategy (não utiliza regras simplificadoras - permite maior controle sobre as regras aplicadas)

35 Estratégias Implementadas Características Estratégias Descrição Para mbc: mbc SimpleStrategy mbc ExtendedStrategy (utiliza regras derivadas) Para mci: mci SimpleStrategy mci ExtendedStrategy (utiliza regras derivadas)

36 Ordenadores Características Estratégias Descrição Ordenadores implementados: Insertion Order e Reverse Order And, Or, Implication, Bi-implication e Exclusive Or True e False Increasing e Decreasing (complexity) String e Reverse String Order

37 Arquitetura Características Estratégias Descrição

38 Características Estratégias Descrição Estratégias - Diagrama de Classes

39 Características Estratégias Descrição Entrada (Configuração do Provador) Parte principal: Sistema Lógico Analisador (léxico e sintático) Estratégia Ordenador Outros parâmetros: Número de vezes Limite de tempo Opções de salvar origens, descartar ramos fechados e salvar ramos descartados

40 Saída Características Estratégias Descrição Saída do Provador: Status final do tablô (fechado/aberto) Árvore de prova (completa ou parcial) Tamanho do problema Tamanho da prova (completa ou parcial) Tempo gasto Contra-valoração, se o tablô estiver aberto

41 Famílias de Problemas Difíceis Famílias de Problemas Resultados Para Lógica Clássica Proposicional: Γ, H, Statman, PHP, U, Tseitin (quadrado), Backjumping PHP e Random SAT Para mbc: Primeira, segunda, terceira, quarta e sétima famílias Para mci: Oitava e nona famílias

42 PHP - tempo Famílias de Problemas Resultados

43 PHP - tamanho Famílias de Problemas Resultados

44 Conclusões a partir dos testes Testes Contribuições Trabalhos em Andamento Trabalhos Futuros Para Lógica Clássica Proposicional: MSS foi a melhor estratégia para a maioria das famílias Nenhum ordenador se sobressaiu Para mbc e mci: Nenhuma estratégia ou ordenador se sobressaiu

45 Contribuições Originais Testes Contribuições Trabalhos em Andamento Trabalhos Futuros Implementação de um provador de teoremas multi-estratégia: 3 sistemas lógicos (LCP, mbc e mci) 10 estratégias 13 ordenadores regras simplificadoras, backjumping, learning visualizador de provas

46 Contribuições Originais Testes Contribuições Trabalhos em Andamento Trabalhos Futuros Sistemas KE para lógicas de inconsistência formal: Sistema KE correto, completo e analítico para mbc Sistema KE correto e completo para mci Benchmarks comparando o desempenho das estratégias implementadas com diversas famílias de problemas Nove famílias de problemas para avaliar provadores de teoremas para LFIs e os primeiros benchmarks para estas famílias

47 Publicações Resultantes Testes Contribuições Trabalhos em Andamento Trabalhos Futuros NETO, A.; KAESTNER, C.A.A.; FINGER, M. Towards an efficient prover for the C 1 paraconsistent logic. Submetido para publicação NETO, A.; KAESTNER, C.A.A.; FINGER, M. A KE tableau system for the paraconsistent logic C 1 and an efficient implementation of a theorem prover for C 1. Science, Truth and Consistency, celebrating Newton da Costa s 80th anniversary, Campinas, 2009.

48 Publicações Resultantes Testes Contribuições Trabalhos em Andamento Trabalhos Futuros NETO, A.; FINGER, Marcelo. KEMS - A Multi-Strategy Tableau Prover. In: VI Best MSc Dissertation/PhD Thesis Contest (CTDIA 2008), 2008, Salvador, Bahia. WTDIA & CTDIA Proceedings, NETO, A. G. S. S.; FINGER, Marcelo. A KE Tableau for a Logic of Formal Inconsistency. In: TABLEAUX Automated Reasoning with Analytic Tableaux and Related Methods, 2007, Aix en Provence. Proceedings of TABLEAUX 07 position papers and Workshop on Agents, Logic and Theorem Proving. Marseille : Technical Report (LSIS.RR ) of the LSIS/Université Paul Cézanne, 2007.

49 Publicações Resultantes Testes Contribuições Trabalhos em Andamento Trabalhos Futuros NETO, A. G. S. S.; FINGER, Marcelo. Effective Prover for Minimal Inconsistency Logic. In: Max Bramer. (Org.). Artificial Intelligence in Theory and Practice. Boston: Springer, 2006, p NETO, A. G. S. S.; FINGER, Marcelo. Implementing a Multi-Strategy Theorem Prover. In: Encontro Nacional de Inteligência Artificial - ENIA, 2005, São Leopoldo - RS. Anais do V Encontro Nacional de Inteligência Artificial, p

50 Publicações Resultantes Testes Contribuições Trabalhos em Andamento Trabalhos Futuros NETO, A. G. S. S.; FINGER, Marcelo. Using Aspect-Oriented Programming in the Development of a Multi-Strategy Theorem Prover. In: II Jornada do Conhecimento e da Tecnologia, 2005, Marília-SP. Anais da II Jornada do Conhecimento e da Tecnologia, NETO, A. G. S. S.; FINGER, Marcelo. Effective Prover for Logics of Formal Inconsistency. In: II SIMPÓSIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA E PÓS-GRADUAÇÃO DO IME-USP, 2006, São Paulo. NETO, A. G. S. S.; FINGER, Marcelo. A Multi-Strategy Tableau Prover. In: I Simpósio de Iniciação Científica e Pós-Graduação do IME-USP, 2005, São Paulo. NETO, A. G. S. S.; FINGER, Marcelo. A Multi-Strategy Theorem Prover. In: Workshop Semantics and Meaning, 2005, Campinas. Workshop Semantics and Meaning, 2005.

51 Trabalhos em Andamento Testes Contribuições Trabalhos em Andamento Trabalhos Futuros Estratégias para C 1 (lógica paraconsistente de Newton da Costa, que completa 80 anos em 2009) Estratégias para abdução em lógica clássica

52 Trabalhos Futuros Testes Contribuições Trabalhos em Andamento Trabalhos Futuros Alguns trabalhos futuros: Procedimento para gerar sistemas KE Estratégias adaptativas Estratégias construídas (e combinadas) usando aspectos Versões do KEMS para outras LFIs e outras lógicas proposicionais que têm sistemas KE Estratégia probabilística (GSAT) Construção dinâmica de estratégias

53 Final ao vivo Fim da apresentação

54 Fim da Apresentação ao vivo Fim da apresentação Sítios do KEMS: adolfo/kems

55 Referências ao vivo Fim da apresentação CARNIELLI, W.; CONIGLIO, M.; MARCOS, J. Logics of Formal Inconsistency. In: Handbook of Philosophical Logic, Second Edition, vol. 14, pp Springer, GAMMA, E.; HELM, R.; JOHNSON, R.; VLISSIDES, J. Design Patterns: Elements of Reusable Object-Oriented Software. Adisson-Wesley, 1994.