Recursividade. Túlio Toffolo BCC202 Aula 08 Algoritmos e Estruturas de Dados I

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1 Recursividade Túlio Toffolo BCC202 Aula 08 Algoritmos e Estruturas de Dados I

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3 Outros Exemplos de Recursividade Factais são outros exemplos de recursividade

4 Quando vale a pena usar recursividade Recursividade vale a pena para Algoritmos complexos, cuja a implementação iterativa é complexa e normalmente requer o uso explícito de uma pilha Dividir para Conquistar (Ex. Quicksort) Caminhamento em Árvores (pesquisa, backtracking)

5 Outros exemplos de recursividade void estrela(int x,int y, int r) { if ( r > 0 ) { estrela(x-r, y+r, r div 2); estrela(x+r, y+r, r div 2); estrela(x-r, y-r, r div 2); estrela(x+r, y-r, r div 2); box(x, y, r);

6 Outra implementação: estrela void estrela( y, int r) { if (r > 1) { estrela(x-r, y+r, r div 2); estrela(x+r, y+r, r 2); estrela(x-r, y-r, r div 2); estrela(x+r, y-r, r div 2); box(x,y,r);

7 Implementações de estrela Qual a melhor implementação? void e1(int x,int y, int r) { if ( r > 0 ) { estrela(x-r, y+r, r div 2); estrela(x+r, y+r, r div 2); estrela(x-r, y-r, r div 2); estrela(x+r, y-r, r div 2); box(x, y, r); void e2(int x,int y, int r) { if (r > 1) { estrela(x-r, y+r, r div 2); estrela(x+r, y+r, r div 2); estrela(x-r, y-r, r div 2); estrela(x+r, y-r, r div 2); box(x,y,r); 7

8 Análise de Complexidade - Notação O Define-se uma função de complexidade f(n) desconhecida n mede o tamanho dos argumentos para o procedimento em questão Identifica-se a equação de recorrência T(n): Especifica-se T(n) como uma função dos termos anteriores Especifica-se a condição de parada (e.g. T(1))

9 Recusão de exemplo Exemplo(n) { if (n <= 1) "inspecione elemento" n e termine; else { for i = 0 to n "inspecione elemento" i; Exemplo(n-1); 9

10 Função de Complexidade Exemplo de recorrência: T(n) = n + T(n-1) T(1) = 1 T(n) = n + T(n-1) T(n) = n + (n-1) + T(n-2) T(n) = n + (n-1) + (n-2) + T(n-3)... T(n) = n + (n-1) + (n-2) T(1) T(n) = n + (n-1) + (n-2)

11 Função de Complexidade Exemplo de recorrência: T(n) = n + (n-1) + (n-2) T(n) = n + (n-1) + (n-2) (n-1) + n 2 T(n) = (n+1) + (n+1) + (n+1) (n+1) 2 T(n) = n (n+1) Logo: T(n) = n (n+1) / 2

12 Função de Complexidade Exemplo de recorrência: T(n) = n + T(n-1) T(1) = 1 T(n) = n (n+1) / 2

13 Novo exemplo int fatorial(int n) { if (n == 1) return 1; else { return n * fatorial(n-1); 13

14 Análise da Função Fatorial Qual a equação de recorrência que descreve a complexidade da função fatorial vista? T(n) = 1 + T(n-1) T(1) = 1 T(n) = 1 + T(n-1) T(n-1) = 1 + T(n-2) T(n-2) = 1 + T(n-3)... T(2) = 1 + T(1)

15 Análise de Funções Recursivas Além da análise de custo do tempo, deve-se analisar também o custo de espaço Qual a complexidade de espaço da função fatorial (qual o tamanho da pilha de execução)? Proporcional ao número de chamadas?

16 Alguns somatórios úteis Alguns somatórios úteis nx i=1 i = n(n + 1) 2 kx i=0 a i = ak+1 1 (a 6= 1) a 1 kx i=0 kx i=0 2 k =2 k i =2 1 2 k nx i=1 i 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 16

17 Análise da Função Recursiva Considere a seguinte função: Pesquisa(n) { if (n <= 1) "inspecione elemento n e termine; else { for i = 0 to n "inspecione elemento i; Pesquisa(n/3) ;

18 Análise da Função Recursiva Qual a equação de recorrência? T(n) = n + T(n/3) T(1) = 1 Resolva a equação de recorrência: Pode fazer a simplificação de que n será sempre divisível por 3 Somatório de uma PG finita: a 1 (1 q n )/(1-q)

19 Resolvendo a Equação Substitui-se os termos T(k), k < n, até que todos os termos T(k), k > 1, tenham sido substituídos por fórmulas contendo apenas T(1). 1 n/3 K = 1 n = 3 K

20 Resolvendo a Equação Considerando que T(n/3 K ) = T(1) temos: K-1 T(n) = Σ (n/3 i ) + T(1) = n Σ (1/3 i ) + 1 i=0 Aplicando a fórmula do somatório de uma PG finita (a 1 q n )/(1-q), temos: K-1 i=0 n (1 (1/3) K )/(1-1/3) + 1 n (1 (1/3 K ))/(1-1/3) + 1 n (1 (1/n))/(1-1/3) + 1 (n 1)/(2/3) + 1 3n/2 ½ O(n)

21 Algumas recorrências básicas Algumas recorrências básicas: Caso 1 Algumas recorrências básicas: Caso 1 T (n) = T ( n 2 )+1 (n 2) T (1) = 0 (n = 1) (n) = T ( n 2 )+1 (n 2) (1) = 0 (n = 1) Vamos supor que: mos supor que: n =2 k ) k = log n n =2 k ) k = log n Resolvendo por expansão temos: Resolvendo por expansão temos: T (2 k ) = T (2 k 1 )+1 = (T (2 k 2 ) + 1) + 1 T (2 k ) = T (2 k 1 = (T (2 k )+1 3 ) 1) + 1 = (T (2 k 2 ) + 1) = (T (2 k 3 ) + 1) = (T (2) + 1) =. (T (1) + 1) = = (T (2) + 1) {z = (T (1) + 1) k = = k T (n) = = k log n T (n) = O(log n) T (n) = log n T (n) = O(log n) {z k 21

22 Outro exemplo de Pesquisa int Pesquisa(int vetor[], int x, int ini, int fim) { if (ini > fim) return -1; int meio = (ini+fim)/2; if (vetor[meio] == x) return meio; else if (vetor[meio] < x) return Pesquisa(vetor, x, meio+1, fim); else if (vetor[meio] > x) return Pesquisa(vetor, x, ini, meio-1); 22

23 Exercício Crie uma função recursiva que calcula a potência de um número: Qual a condição de parada? Qual a complexidade de tempo desta função? Apresente a equação de recorrência e resolva-a.

24 Função de Potência Recursiva int pot(int base, int exp) { if (exp == 0) return 1; /* else */ return (base*pot(base, exp-1)); Análise de complexidade: T(b, 0) = 1; T(b, n) = 1 + T(b, n-1); O(n)

25 Exercícios Implemente uma função recursiva para computar o valor de 2 n Indique e resolva a equação de recorrência da função abaixo. Qual sua complexidade assintótica? void f(int a, int b) { // considere b >= 0 if (b == 0) return a; else return f(a+a, b-1);

26 Respostas Pot(int n) { if (n==0) return 1; else return 2 * Pot(n-1); Algoritmo de Euclides. Calcula o MDC (máximo divisor comum) de dois números a e b

27 Perguntas?