Universidade Federal de Uberlândia Pós-graduação em Engenharia Elétrica Processamento de Sinais Biomédicos Métodos no Domínio do Tempo Adriano de Oliveira Andrade Dezembro de 998
ÍDICE AALÍTICO - Introdução 3 - Introdução à terminologia 3 3 - Testes para randomicidade 6 3. Teste do turning point 7 3. - Teste do comprimento de fase 8 4 - Teste para tendência 8 5 Regressão 8 6 - Medidas no domínio do tempo das propriedades do sinal 9 7 - Média coerente 0 8 Funções Autocorrelação e Correlação-cruzada 9 Coeficiente de Correlação e Covariância 3 0 Conclusão 5 Bibliografia 5
- ITRODUÇÃO A maioria dos Bioengenheiros estão regularmente envolvidos em fazer medidas sobre sistemas biológicos; essas comumente fazem parte dos programas de pesquisas em fisiologia ou da rotina de procedimentos de avaliações clínicas. o último caso a forma do dado aquisicionado é bem conhecida e as propriedades de gravações individuais podem ser usadas para determinar o status do paciente em relação a uma escala de normalidade geralmente aceita. Contudo, em programas de pesquisas, os quais são por natureza mais exploratórios ou futurísticos, as propriedades dos dados não são muito bem conhecidas e portanto, não confiáveis para serem utilizadas em rotinas clínicas. essa situação, caberá ao Bioengenheiro determinar as propriedades desses dados novos, estabelecendo uma faixa na qual eles poderão ser considerados normais dentro de um contexto de um estudo particular. O presente texto tem como finalidade fornecer uma introdução à terminologia e idéias básicas para o processamento de sinais biomédicos no domínio do tempo. São abordados temas como: teste de randomicidade e tendência, média coerente, correlaçãocruzada, covariância e autocorrelação. - ITRODUÇÃO À TERMIOLOGIA A maioria dos sinais biológicos existem em sua forma contínua nas suas fontes. A diferença de potencial elétrico através da excitação de membranas do nervo e fibras musculares, a pressão do fluido em um vaso sangüíneo ou a concentração de vários constituintes químicos do plasma sangüíneo são claramente variáveis contínuas que existem em qualquer instante de tempo. Se tais sinais forem extraídos e armazenados de maneira contínua tal como em um gráfico, então, a cópia resultante da realidade biológica é conhecida como um sinal contínuo (figura ). 3
Figura : Alguns sinais biológicos contínuos. (a) Eletromiografia de superfície humana; (b) Eletroencefalograma humano; (c) Eletromiografia do intestino canino Porém, se nós estivermos restritos meramente a gravar uma seqüência de leituras separadas do sinal de interesse e não pudermos obter tal gravação contínua, estaremos trabalhando com um sinal discreto no tempo, ou uma série discreta no tempo. Quando usa-se um conversor analógico para digital (ADC Analog-to-Digital Converter) para gravar um sinal biológico por meio de um computador então a gravação obtida é, usualmente, uma série discreta no tempo regularmente amostrada. O termo série discreta no tempo referencia também aquele conjunto de dados os quais não foram amostrados de maneira regular. Um dos interesses do bioengenheiro é a gravação a qual descreve a ocorrência de um tipo particular de um evento discreto no domínio do tempo. O exemplo mais óbvio de um sinal de evento freqüentemente analisado é o potencial de ação do nervo. Estes vários tipos de sinais são analisados e classificados por uma variedade de métodos os quais requerem um entendimento de uma terminologia básica. os próximos parágrafos algumas palavras dessa terminologia básica serão introduzidas. 4
O termo processo freqüentemente ocorre na literatura e pode ser entendido em dois sensos. Ele pode referir-se a uma estrutura ou sistema, de origem biológica ou não, a qual gera as variáveis ou sinais que estamos interessados. Ele pode igualmente referir-se às propriedades inerentes dos sinais. Como exemplo a equação pode ser referida por um processo contínuo senoidal de freqüência angular ω, defasamento θ e amplitude x 0. Para os objetivos deste texto o termo processo será usado em seu senso mais estatístico x(t) = x 0sen( ω t + θ ) [] Fundamental para várias análises de dados é a consideração sobre estacionaridade. Um processo estacionário pode ser definido como aquele no qual seus parâmetros estatísticos não variam no tempo. Isso significa que se por exemplo um processo que gera um seqüência de dados x(), x(),..., x(n) for considerado estacionário então a média e o desvio padrão das amostras daquele dado pegas hoje são as mesmas de um ano atrás e serão as mesmas de um ano subseqüente. O segundo termo classificador mais importante de um processo é definir se ele é determinístico. Um processo determinístico é aquele no qual alguma análise linear sobre uma parte do sinal pode ser usada para predizer ou determinar o trajeto futuro do sinal. Por exemplo, se uma análise mostrou que o segmento de um sinal é decomposto em duas senóides (equação ), pode-se facilmente determinar o trajeto futuro do sinal. Por outro lado um processo puramente indeterminístico é aquele em que não se pode, apenas através da análise do segmento de sinal citado anteriormente, determinar seu trajeto futuro. A maioria dos processos de sinais reais encontrados na biologia e medicina são formados tanto por componentes determinísticas quanto por indeterminísticas e freqüentemente requerem a separação dessas duas partes para sujeitar cada uma delas a uma análise apropriada. Existe um teorema, denominado teorema da decomposição, o qual pode ser aplicado a processos estacionários discretos, que diz que tais processos podem ser decompostos na soma de pares de processos os quais são não correlacionados um com o outro e dos quais somente um é puramente determinístico e o outro é puramente indeterminístico [Chatfield, 984]. A composição desses dois processos é conhecida como processo estocástico e seu estado futuro pode 5
somente ser parcialmente predito pelo conhecimento presente do processo, sendo desconhecidas as componentes as quais dependem de suas propriedades indeterminísticas. Essas componentes são usualmente regidas pelas distribuições de probabilidade das quais podem ser utilizadas propriedades para fazer estimativas sobre o processo dentro de um certo limite de confiabilidade. x x ( t) = x cos( ω t + θ ) + cos(3ωt + 3θ ) [] 3 Outro conceito importante quando estuda-se um sinal biológico é relativo a questão se as amostras do sinal que nós temos para análise realmente representam o processo pelo qual elas foram amostradas. Este problema é similar a questão na estatística básica se um determinado número de amostras realmente descrevem a população da qual elas foram pegas. o contexto da análise de sinais o termo ergodicidade é aplicado a um processo se a média do tempo pega de sucessivas amostras dele são iguais a média correspondente de todas aquelas amostras. Finalmente, para completar a introdução à terminologia falta abordamos o termo randômico. Uma série de dados é considerada randômica quando qualquer uma de suas amostras individuais podem ocorrer em qualquer ordem. 3 - TESTES PARA RADOMICIDADE Existem várias maneiras possíveis para testar a randomicidade em um dado, e a escolha final do procedimento dependerá freqüentemente sobre uma hipótese alternativa a qual será testada contra uma hipótese de randomicidade. Kendall (976) recomendou que os testes de randomicidade devem requerer um cálculo mínimo e que eles não devem fazer hipóteses restritivas sobre a distribuição pela qual os dados foram pegos. Existem duas medidas simples as quais melhor preenchem os pré-requisitos estabelecidos por Kendall: o número de turning points em um dado e o comprimento de fase entre turning points. 6
3. Teste do turning point Um turning point é simplesmente um pico ou uma depressão no conjunto de dados. Quanto mais randômico são os dados, mais picos e depressões serão encontradas. A questão é definir quanto picos ou depressões são necessários para considerar um conjunto de dados como sendo randômico. Para definir-se um turning point são requeridos três valores de dados consecutivos. Sendo assim, a probabilidade de um turning point é /3 para qualquer conjunto de três valores de dados consecutivos. Logo, se uma série de dados possui pontos então o número de conjuntos possíveis para três valores consecutivos é (-), conseqüentemente o número de turning points esperados é dado pela equação 3 : p = ( ) [3] 3 Kendall desenvolveu uma expressão (equação 4) para variância associada com esta estimativa e mostrou que o número de turning points segue aproximadamente uma distribuição normal com variância. 6 9 s ( p) = [4] 90 Dessa maneira um valor calculado de P pode ser comparado com um valor esperado usando uma distribuição normal para dar uma medida quantitativa de certeza se uma amostra é ou não uma seqüência de dados randômicos. 7
3. - Teste do comprimento de fase Admitindo-se que a distância entre dois turning points (a fase) seja d termos, Kendall mostrou que o número de fases de comprimento d esperadas em uma seqüência de dados de comprimento é dado pela equação 5. ( d )( d + 3d + ) p = [5] ( d + 3)! 4 - TESTE PARA TEDÊCIA Uma tendência é definida com um padrão continuamente crescente ou decrescente em um conjunto seqüencial de amostras. Um indicador simples de tendência é contar o número das primeiras diferenças positivas em um dado. Para pontos de um dado randômico Kendall mostrou que esse valor (c) é dado pela equação 6. c = ( ) [6] A distribuição de c aproxima-se de uma normal com variância dada pela equação 7. var( c ) = ( + ) [7] Este teste não tem sentido se aplicado a um dado que é claramente periódico. 5 REGRESSÃO A maioria dos dados resultados de uma experimentação biológica consiste de uma seqüência de valores de dados ou amostras individuais, cada uma das quais podendo ser 8
distribuída de alguma maneira e sendo caracterizada por um valor médio, uma variância e outros parâmetros os quais são necessários para definir sua distribuição. O objetivo do processo de regressão é determinar os parâmetros de uma linha os quais formam uma boa aproximação para picos de distribuições sucessivas. Geralmente, não existem dados suficientes para definir uma distribuição em cada ponto do tempo tornando assim o processo em um método de estimativa onde o objetivo é obter o melhor ponto a ser ajustado no conjunto de dados. 6 - MEDIDAS O DOMÍIO DO TEMPO DAS PROPRIEDADES DO SIAL Existem várias medidas diferentes no domínio do tempo pelas quais o sinal pode ser caracterizado. Para um sinal discreto com amostras eqüidistantes x(n), n = até estas medidas são dadas algebricamente como: Média x médio = n= x( n) [8] Variância s = n= ( x( n) x médio ) [9] Desvio padrão s = s [0] 9
RMS (Root Mean Square) X RMS = n= x( n) [] ote que a variância é calculada com valor /(-) e não /. Isto é feito porque o passado fornecerá uma estimativa, com um determinado limiar, da variância do sinal da população dos quais as amostras foram pegas. ote também que todas as estimativas são baseadas em somas de x(n) e x(n), e dessa forma não requerem um grande esforço computacional para cálculo. os próximos tópicos serão abordados procedimentos os quais aumentam a razão sinal/ruído (média coerente) e funções correlação-cruzada e autocorrelação as quais enfatizam o comportamento periódico dos sinais. 7 - MÉDIA COERETE Muitos experimentos fisiológicos envolvem a aplicação de estímulos repetidos a um sistema. Se as respostas desejadas são de grande amplitude em relação ao ruído e se elas não mostram uma tendência significante a adaptar ou trocar de acordo com a maneira pela qual o experimento é realizado então a classificação e observação da resposta é um problema facilmente resolvido. Contudo, em muitos experimentos, por exemplo aqueles que envolvem a gravação de potenciais evocados sobre o escalpo, a resposta é difícil de ser determinada porque sua amplitude é menor do que a do ruído e do sinal EEG (Eletroencefalograma). este caso pode ser observado que obter a resposta verdadeira torna-se uma meta bastante complicada de ser alcançada. o caso restrito em que a maioria da resposta não se adapta, e o ruído permanece estacionário e não correlacionado com a resposta, pode-se obter um incremento na razão sinal/ruído pela média de respostas sucessivas. Este método é conhecido como média coerente (Rompelmann & Ros, 986) e está ilustrado através da figura. É assumido que os sinais sucessivos possuem uma componente constante x(t) e um sinal de ruído branco não-correlacionado representativo de um processo Gaussiano com variância s, n(t). 0
O k-ésimo sinal é: y = x(t) n (t) [] k + k e o processo de médias produz: y( t) = yk ( t) = x( t) + nk ( t) [3] k = k = Figura : Aplicação do processo de média coerente sobre gravações sucessivas de EEG humano. Observe a redução do ruído de acordo com o número de médias realizadas. O efeito do procedimento de média coerente é manter a amplitude do sinal e reduzir a variância do ruído de um fator. Em relação a razão sinal/ruído obtém-se um aumento
de /. Dessa maneira pegando-se dezesseis respostas em um média coerente espera-se ter uma chance quatro vezes maior de obter o sinal desejado. O procedimento de média coerente pode ser considerado como um processo de filtragem com função de transferência dada por: H(z) = z k [4] z H(z) representa a função de transferência de um moving-average low-pass filter e sua resposta em freqüência é mostrada na figura 3. Figura 3 : Resposta em freqüência de um moving-average filter com k = 6 8 FUÇÕES AUTOCORRELAÇÃO E CORRELAÇÃO-CRUZADA Em muitas aplicações de processamento de sinais, é necessário comparar quantitativamente dois sinais diferentes x(n) e x(n) de maneira a avaliar a similaridade entre as funções. Isso é realizado aplicando-se a função correlação-cruzada C xx (n), onde:
C xx (n) = x(k)x (n + k) k= [5] A função C xx (n) é máxima quando os sinais são similares naquele atraso específico. Se dois sinais são similares, a função C xx é denominada por função autocorrelação e é dada por: C xx (n) = x(k)x (n + k) k= [6] A transformada de Fourier da função de correlação-cruzada C xx (n) é requerida para encontrar o espectro cruzado. Ela pode ser obtida por: P P xx xx = C n= - = X * xx (f)x (n)e (f) jπfn [7] onde (*) representa o complexo conjugado. ote que no caso de x (n) = x (n), P * xx = X (f)x (f) [8] o qual representa o espectro de potência de uma seqüência de dados, x(n). 9 COEFICIETE DE CORRELAÇÃO E COVARIÂCIA A correlação entre dois grupos de dados implicam que eles movem um em relação ao outro de maneira estruturada. Se y sempre aumenta e decresce com o aumento e o decréscimo de x, então, x e y são positivamente correlacionados. Se eles sempre tendem a mover-se em direções opostas, então, eles são negativamente correlacionados. Se não existe relação entre mudanças em x e mudanças em y então eles são nãocorrelacionados. A figura 4 mostra algumas funções no domínio do tempo. A figura 4(a) mostra uma função que varia linearmente com o tempo e as figuras 4(b) 4(f) representam variáveis com vários graus de correlação com a figura 4(a). Cada diagrama 3
está marcado com o coeficiente de correlação o qual indica a força e o senso de correlação. O coeficiente de correlação é dado por: onde: s xy r xy = [9] s s x y s x e s y representam o desvio padrão e s xy representa a covariância entre x e y, e é definida por: s xy = (x(n) - x)(y(n) - y) [0] - n= Figura 4 : (a) Uma variável x(t) a qual aumenta linearmente com o tempo. (b) (f) mostra várias outras funções no tempo y(t) juntamente com seus coeficientes de correlação quando comparados com (a). ote que o coeficiente somente possui significado quando uma relação linear existe entre x e y; (f) ilustra uma relação não linear e rxy aproxima-se de zero. 4
0 COCLUSÃO Este texto teve como intuito apresentar uma breve introdução a um grupo de técnicas pelas quais as propriedades dos sinais, ou relação entre eles podem ser estudadas diretamente no domínio do tempo. Os métodos descritos são gerais e aplicáveis a qualquer sinal unidimensional. Pode ser observado que antes de inicializar qualquer tipo de análise sobre o sinal sempre é útil obter informações simples sobre o mesmo. Essas informações pode ser obtidas através de questionamentos tais como Existe uma tendência? O sinal é randômico? A gravação é estacionária? Quais são as média e o desvio padrão? O sinal é periódico? Se existe periodicidade, ela é estacionária. BIBLIOGRAFIA [] Metin Akay, Biomedical Signal Processing Academic Press 994. [] Challis & Kitney, Biomedical Signal Processing (Time-domain methods), Tutorial paper, Med. & Biol. & Comput., 990, 8, 509-54. [3] Ifeachor & Jervis, Digital Signal Processing, Addisson-Wesley - 993 5