FERRAMENTA COMPUTACIONAL MULTIUSUÁRIO PARA AUXÍLIO À TOMADA DE DECISÃO MULTICRITÉRIO

FERRAMENTA COMPUTACIONAL MULTIUSUÁRIO PARA AUXÍLIO À TOMADA DE DECISÃO MULTICRITÉRIO WALDIR ANDRADE TREVIZANO UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ MAIO DE 2007

FERRAMENTA COMPUTACIONAL MULTIUSUÁRIO PARA AUXÍLIO À TOMADA DE DECISÃO MULTICRITÉRIO. WALDIR ANDRADE TREVIZANO Dissertação apresentada ao Centro de Ciência e Tecnologia da Universidade Estadual do Norte Fluminense como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Mestre em Engenharia de Produção. ORIENTADOR: PROF. ANDRÉ LUÍS POLICANI FREITAS, D.Sc. CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ MAIO DE 2007 i

FICHA CATALOGRÁFICA Preparada pela Biblioteca do CCT / UENF 30/2007 Trevizano, Waldir Andrade Ferramenta computacional multiusuário para auxílio à tomada de decisão multicritério / Waldir Andrade Trevizano. Campos dos Goytacazes, 2007. xii, 110 f. : il. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) -- Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro. Centro de Ciência e Tecnologia. Laboratório de Engenharia de Produção. Campos dos Goytacazes, 2007. Orientador: André Luís Policani Freitas. Área de concentração: Pesquisa operacional Bibliografia: f. 87-89 1. Análise multicritério 2. Método AHP 3. Múltiplos avaliadores 4. Ferramenta computacional l. Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro. Centro de Ciência e Tecnologia. Laboratório de Engenharia de Produção II. Título CDD 658.403011

FERRAMENTA COMPUTACIONAL MULTIUSUÁRIO PARA AUXÍLIO À TOMADA DE DECISÃO MULTICRITÉRIO. WALDIR ANDRADE TREVIZANO Dissertação apresentada ao Centro de Ciência e Tecnologia da Universidade Estadual do Norte Fluminense como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Mestre em Engenharia de Produção. Aprovada em 31 de maio de 2007 Comissão Examinadora: Prof. Dalessandro Soares Vianna, D. Sc. - UCAM Prof. Helder Gomes Costa, D. Sc. - UFF Profa. Jacqueline Magalhães Rangel Cortes, D.Sc. - UENF Prof. André Luís Policani Freitas, D. Sc. - UENF Orientador ii

DEDICATÓRIA Dedico este trabalho à minha família, e em particular às minhas filhas Anna Tereza e Laura, pois por elas e para elas que me dediquei a esta tarefa. iii

AGRADECIMENTOS Agradeço em primeiro lugar a Deus, senhor de todas as coisas, e a Jesus Cristo, o verdadeiro Mestre, pois me proporcinaram força, saúde, inteligência e proteção, para que esta tarefa pudesse chegar até a etapa final. Agradeço ao meu orientador, pela paciência nesse período, pelos conselhos e recomendações para a feitura e conclusão desta dissertação. À equipe de TI, à diretoria geral e administrativa, e demais membros da equipe de funcionários da Faculdade Ubaense Ozanam Coelho FAGOC - citados nominalmente no capítulo 7 desta dissertação, pelo auxílio que me prestaram para os testes do software desenvolvido e no planejamento e execução do estudo de caso. iv

SUMÁRIO Capítulo 1 INTRODUÇÃO... 1 1.1 Introdução... 1 1.1 Objetivo Geral... 1 1.2 Objetivos Específicos... 2 1.3 Justificativas... 2 1.4 Estrutura do Trabalho... 3 Capítulo 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: ANÁLISE DE DECISÃO... 5 2.1 Os Problemas Decisórios... 5 2.2 Características dos Problemas Decisórios... 5 2.3 Problemas Decisórios com Múltiplos Avaliadores... 8 2.4 A Análise à Decisão Multicritério... 9 2.5 Os Métodos para Análise à Decisão Multicritério... 9 2.6 O Método AHP para Decisão Multicritério... 11 2.6.1 Construção das Hierarquias... 11 2.6.2 Estimação das Prioridades... 12 2.6.3 Consistência Lógica dosjulgamentos... 17 2.6.4 A Ocorrência da Inversão de Ordem no Emprego do Método AHP... 20 2.6.5 Decisão em Grupo Utilizando o Método AHP... 20 2.6.6 O Método AHP com Múltiplos Avaliadores (síntese da Proposta)... 21 2.7 Softwares que Implementam o Método AHP... 23 Capítulo 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE... 24 3.1 Formas de Distribuição de Software... 24 3.2 O Paradigma da Orientação a Objetos... 25 3.3 A Linguagem UML para Projeto de Software 26 3.4 O Armazenamento dos Dados: Bancos de Dados... 28 Capítulo 4 ABORDAGEM MULTICRITÉRIO PARA PROBLEMAS DECISÓRIOS COM MÚLTIPLOS AVALIADORES... 30 4.1 Descrição do Problema... 30 4.2 Estruturação da Abordagem Proposta... 30 4.2.1 Cálculo da Importância Relativa dos Grupos de Avaliadores... 31 4.2.2 Cálculo da Importância Relativa dos Membros de cada Grupo de Avaliadores... 31 4.2.3 Definição dos Subconjuntos de Critérios... 31 4.2.4 Cálculo da Importância Relativa dos Critérios... 32 4.2.5 Cálculo das Prioridades Médias de Cada Alternativa... 33 4.2.6 Cálculo das Prioridades Globais das Alternativas... 34 Capítulo 5 MODELAGEM DO SISTEMA DE APOIO À DECISÃO... 36 5.1 Revisão da Proposta do Software... 36 5.2 Diagrama de Caso de Uso do Software... 37 5.2.1 Definir Grupos e Avaliadores... 38 5.2.2 Definir Parâmetros para Julgamento... 40 5.2.3 Efetuar Julgamentos de Valor... 42 5.2.4 Obter Síntese Final... 44 5.3 Detalhamento dos Casos de Uso... 44 v

5.3.1 Cadastrar Grupos de Avaliação... 45 5.3.2 Habilitar ou Desabilitar um Grupo de Avaliação... 46 5.3.3 Definir Pesos dos Grupos de Avaliação... 46 5.3.4 Cadastrar Avaliadores e Definir a que Grupo Pertence um avaliador... 47 5.3.5 Definir Peso dos Avaliadores de um Grupo... 47 5.3.6 Cadastrar o Foco Principal... 48 5.3.7 Cadastrar Alternativas Viáveis... 48 5.3.8 Definir Critérios e Subcritérios... 48 5.3.9 Definir Prioridades Padrão dos Critérios... 49 5.3.1 Definir Critérios para um Grupo... 50 5.3.1 Alteração das Prioridades dos Critérios Segundo a Percepção do Avaliador... 50 5.3.1 Julgar as Alternativas, Obter a Prioridade Média Local (PML) e a Consistência do Julgamento... 51 5.3.1 Obter a Prioridade Global (PG) do Avaliador... 52 5.3.1 Obter a Síntese Final... 52 5.4 Classes Definidas... 53 Capítulo 6 DESENVOLVIMENTO DO SOFTWARE... 55 6.1 Módulos do Software... 55 6.2 Implementação do Banco de Dados... 55 6.3 Interface com o Usuário... 58 6.3.1 Módulo do Administrador... 59 6.3.1.1 Avaliadores e Grupos... 60 6.3.1.2 Definição do Processo Decisório... 61 6.3.1.3 Calcular Resultado Final... 65 6.3.2 Módulo do Avaliador... 65 6.3.2.1 Processo a Julgar... 66 6.3.2.2 Critérios... 66 6.3.2.3 Julgamentos e Consistência... 68 6.3.2.4 Prioridade Global... 68 Capítulo 7 ESTUDO DE CASO... 70 7.1 O Problema... 70 7.2 A Solução thin-client... 70 7.3 Equipamentos a Serem Avaliados... 72 7.4 Critérios Utilizados para Avaliação... 72 7.4.1 Explanação dos Critérios Folha da Árvore de Critérios... 73 7.5 Equipe de Avaliadores e Avaliador Administrador... 75 7.6 Grupos de Avaliação... 75 7.7 Implantação da Ferramenta... 76 7.8 Utilização Inicial do Software pelo Administrador... 78 7.8.1 Cadastramentos Iniciais... 79 7.8.2 Importância dos Critérios... 79 7.8.3 Critérios para os Grupos... 80 7.9 Utilização da Ferramenta pelos Avaliadores... 80 7.10 Resultados Finais Obtidos pelo Administrador... 80 Capítulo 8 CONCLUSÕES... 83 8.1 Introdução... 83 8.2 Sugestões para Futuros Trabalhos... 85 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 86 vi

Anexo I SOFTWARES QUE IMPLEMENTAM O MÉTODO AHP... 89 Anexo II CARACTERISTICAS DOS EQUIPAMENTOS AVALIADOS... 91 Apêndice I SCRIPT SQL DE CRIAÇÃO DO BANCO DE DADOS... 92 Apêndice II QUADROS DE JULGAMENTOS DAS PRIORIDADES DOS CRITÉRIOS... 97 Apêndice III QUADROS DOS JULGAMENTOS INDIVIDUAIS... 99 vii

LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Problema de escolha de alternativa... 7 Figura 2.2 Problema de ordenação das alternativas... 7 Figura 2.3 Problema de classificação das alternativas... 7 Figura 2.4 Estrutura Hierárquica em um processo decisório... 12 Figura 4.1 Hierarquia de Problema Decisório, para múltiplos grupos e avaliadores... 30 Figura 5.1 Casos de uso para Julgamento AHP Multiusuário... 38 Figura 5.2 Casos de uso para definir grupos e avaliadores... 39 Figura 5.3 Casos de uso para definir parâmetros para julgamento... 41 Figura 5.4 Casos de uso para efetuar julgamentos... 43 Figura 5.5 Caso de uso para obtenção da síntese final... 44 Figura 5.6 Classes associadas ao julgamento AHP multiusuário... 54 Figura 6.1 Tela de login para o módulo do administrador... 59 Figura 6.2 Tela principal do módulo do administrador... 60 Figura 6.3 Tela de manipulação dos grupos de avaliação... 60 Figura 6.4 Tela para cadastro de avaliadores... 61 Figura 6.5 Tela para manipulação das alternativas a julgar... 62 Figura 6.6 Tela para manipulação dos critérios de julgamento... 62 Figura 6.7 Tela com a hierarquia dos critérios... 63 Figura 6.8 Tela para julgamento das prioridades dos critérios... 63 Figura 6.9 Tela para definição dos pesos dos grupos de avaliação... 64 Figura 6.10 Tela para selecionar critérios a julgar para um grupo... 65 Figura 6.11 Tela principal do módulo do avaliador... 66 Figura 6.12 Tela para definição do processo decisório pelo avaliador... 66 Figura 6.13 Tela para julgamento pelo avaliador das prioridades dos critérios... 67 Figura 6.14 Tela para julgamento pelo avaliador das alternativas viáveis... 68 Figura 6.15 Tela para obtenção pelo avaliador das prioridades globais... 69 Figura 7.1 Árvore de critérios para escolha de thin-client... 73 Figura 7.2 Janela mostrando opções para instalação do cliente Firebird... 77 Figura 7.3 Janela inicial do software, mostrando o path para o banco de dados 78 Figura 7.4 Tela do software com a hierarquia dos critérios julgados... 79 Figura 7.5 Resultado obtido para o grupo Equipe comercial... 81 Figura 7.6 Resultado final da avaliação... 82 viii

LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 Escala de julgamentos proposta por Saaty... 13 Tabela 2.2 Matriz genérica A de julgamentos paritários... 13 Tabela 2.3 Passo 1 Somatório dos elementos de cada coluna... 15 Tabela 2.4 Passo 2 Divisão de todos os elementos da coluna pelo somatório da coluna... 15 Tabela 2.5 Passo 3 Determinação do vetor de prioridades dos critérios... 15 Tabela 2.6 Passo 1 Somatório dos elementos de cada coluna... 16 Tabela 2.7 Passo 2 Divisão de todos os elementos da coluna pelo somatório da coluna... 16 Tabela 2.8 Passo 3 Determinação do vetor de prioridades das alternativas... 16 Tabela 2.9 Valores empíricos para IR... 18 Tabela 2.10 Julgamentos paritários e prioridades locais das alternativas... 18 Tabela 2.11 Obtenção da matriz auxiliar A... 19 Tabela 2.12 Definição do vetor de prioridades auxiliar (P ) e vetor auxiliar (P aux ).. 19 Tabela 2.13 Expressão para cálculo do autovalor máximo (λ max )... 20 Tabela 4.1 Distribuição de avaliadores e pesos nos grupos de avaliação... 31 Tabela 4.2 Distribuição dos critérios a serem julgados pelos grupos de avaliação 32 Tabela 5.1 Classes definidas para o software com suas características... 53 Tabela 7.1 Grupos de avaliação para escolha de thin-client... 76 Tabela 7.2 Resultado da avaliação para os grupos... 81 ix

LISTA DE SIGLAS AHP Analytic Hierarchy Process Processo Analítico Hierárquico AMD Auxílio Multicritério à Decisão BDOO Bancos de Dados Orientados a Objetos BDR Bancos de Dados Relacionais IC Índice de Consistência IR - Índice de Consistência Randômico MDHP Multiple Decisor Hierarchy Process PG - Prioridade Global PML Prioridade Média Local RC Razão de Consistência RPM - RedHat Package Manager Gerenciador de Pacotes da empresa RedHat SQL Structured Query Language Linguagem de Consultas Estruturada UML Unified Modeling Language Linguagem Unificada de Modelagem USB Universal Serial Bus Barramento Serial Universal x

Resumo da Dissertação de Mestrado apresentada ao CCT/UENF como parte das exigências para obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Produção (M.Sc.) FERRAMENTA COMPUTACIONAL MULTIUSUÁRIO PARA AUXÍLIO À TOMADA DE DECISÃO MULTICRITÉRIO Waldir Andrade Trevizano Maio/2007 Orientador: Prof. André Luís Policani Freitas, D.Sc. Nos tempos atuais torna-se cada vez mais constante a ocorrência de problemas decisórios envolvendo múltiplos critérios de decisão e múltiplos avaliadores/decisores. Entretanto, observa-se que frequentemente o grupo de avaliadores apresenta diferenças em termos de formação profissional, competência, experiência, e até mesmo de interesse ao tratar um problema decisório. Neste sentido, torna-se evidente que na maioria das vezes tais decisores não estarão equitativamente qualificados para contribuir igualmente na solução do processo decisório. Desta forma, a definição dos avaliadores/decisores mais adequados ao tratamento do problema decisório é uma importante etapa que pode contribuir para uma análise decisória mais coerente e precisa. Dentre as ferramentas de software para a utilização das metodologias da Análise à Decisão Multicritério, a maioria destas foi desenvolvida para tratar problemas decisórios envolvendo apenas um único avaliador, ou seja, não são capazes de tratar problemas decisórios envolvendo múltiplos avaliadores. Com o intuito de contribuir para o tratamento de problemas decisórios onde múltiplos critérios e diversos avaliadores estão envolvidos, desenvolveu-se uma ferramenta computacional a partir de uma abordagem multicritério alternativa, fundamentada nos princípios do método AHP tradicional. Em especial, esta abordagem busca realçar e ao mesmo tempo incorporar cientificamente a questão da definição da importância atribuída a cada avaliador em problemas decisórios. Objetivando investigar o emprego dessa ferramenta em um problema decisório com múltiplos avaliadores, foi realizado um estudo de caso para se identificar qual modelo de equipamento thin-client mais adequado para atender às necessidades de uma Instituição de Educação Superior à luz de vários critérios, segundo a opinião de três grupos de avaliadores. xi

Abstract of the Thesis presented to the CCT/UENF as part of requirements for attainment of the degree of Master in Production Engineering (M.Sc.) MULTIUSER COMPUTATIONAL TOOL FOR MULTICRITERIA DECISION AID Waldir Andrade Trevizano May/2007 Adviser: Prof. André Luís Policani Freitas, D.Sc. On current times, becomes more and more constant the occurrence of multicriteria decision problems involving multiple evaluators. However, often the group of evaluators has widely differing backgrounds, experience, expertise, and even interest to assess the decision problem. In this context, it s obvious that most of the time the evaluators will not be equally qualified to contribute equitably to the decision process. So, the definition of the most appropriated evaluators to the treatment of decision problems is an important step that can contribute to a more coherent and precise decision analysis. Among the software tools that use multiple criteria decision aid methods, most of them were developed to deal with decision problems involving just a single evaluator, that is, these software are not able to consider multiple evaluators decision problems. In order to contribute to solve multicriteria decision problems on which multiple evaluators are involved, a computational tool was developed to implement an alternative multicriteria approach. Supported on the foundations of the traditional Analytic Hierarchy Process, this approach intends to highlight and at the same time to incorporate scientifically the importance of each evaluator subject in decision problems. To investigate the use of this computational tool in a multiple criteria decision problem on which multiple evaluators are involved, a case study was conducted in order to identify the most suitable thin-client equipment to fulfill the needs and requirements of a College concerning several criteria and the view point of three groups of evaluators. xii

1 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Neste capítulo inicial, uma breve contextualização dos problemas decisórios e sua resolução com múltiplos avaliadores serão abordados, identificando os objetivos e justificativas para o presente trabalho. Será também apresentada a estruturação desta dissertação em capítulos. 1.1 Introdução Com a evolução da tecnologia e o aumento da complexidade das organizações, e também da necessidade cada vez maior de rapidez e agilidade na tomada de decisão, foram desenvolvidas metodologias para auxílio à decisão, e ferramentas (softwares) para a implementação de tais metodologias. Entre tais metodologias, temos as de Análise à Decisão Multicritério. Entre as organizações e empresas, é cada vez mais comum problemas decisórios serem resolvidos com base no julgamento ou avaliação de mais de um indivíduo ou avaliador, com base em experiências e conhecimentos anteriores que essas diversas pessoas podem possuir, buscando-se assim obter o melhor resultado possível na solução encontrada. Porém, entre as ferramentas de software para a utilização das metodologias da Análise à Decisão Multicritério, existe um número restrito de softwares que tratam a existência de múltiplos avaliadores ou julgadores para a tomada de decisão, pois a maioria das ferramentas existentes, com raras exceções, considera apenas o caso do único avaliador. 1.1 Objetivo Geral O objetivo geral desta dissertação é apresentar uma ferramenta de software que pretende solucionar tal lacuna, ou seja, uma ferramenta para auxílio à tomada de decisão que possa ser utilizada simultaneamente por vários usuários ou decisores. Para sua implementação, a metodologia multicritério a ser implementada no software será o método AHP, ou Analytic Hierarchy Process Processo Analítico Hierárquico - por ter algoritmos relativamente simples de serem implementados computacionalmente. E para permitir que os diversos usuários tenham a possibilidade de proceder a suas avaliações de forma assíncrona, ou seja, de forma totalmente independente entre si, os dados de cada processo decisório e os

2 resultados obtidos de cada avaliador serão armazenados, utilizando-se tecnologia de armazenamento de dados em um banco de dados relacional. 1.2. Objetivos Específicos Pretendeu-se com esta dissertação e o desenvolvimento da ferramenta, atender também aos seguintes objetivos: Desenvolver uma metodologia, derivada do método AHP tradicional, capaz de tratar a situação existente de múltiplos avaliadores e grupos de avaliação envolvidos em um processo decisório. Desenvolver algoritmos para a implementação da metodologia AHP multiusuária citada anteriormente, considerando o aspecto de múltiplos avaliadores envolvidos no processo decisório e a possibilidade de que os diversos julgamentos possam ser efetuados de forma assíncrona. Divulgar as técnicas da Análise à Decisão Multicritério, em particular o método utilizado, AHP, para os diversos usuários do software. 1.3. Justificativas As empresas e organizações estão dia a dia tendo que tomar decisões que se tornam cada vez mais complexas. Tais decisões, que em alguns casos podem ser cruciais para a própria sobrevivência da empresa, muitas vezes devem refletir as opiniões ou julgamento de vários indivíduos. Esses indivíduos, por sua vez, em face a um determinado problema decisório sobre o qual devem explicitar sua preferência, na maioria das situações devem tomar sua decisão individual decidindo sobre um conjunto de alternativas que lhe são apresentadas, e julgando as alternativas baseados em um determinado conjunto de critérios. Com raras exceções, as ferramentas para auxílio à decisão disponíveis no mercado normalmente possuem custo elevado, estão desenvolvidas em lingua estrangeira e normalmente consideram a avaliação das alternativas sendo efetuada por um único indivíduo. Com esta ferramenta, espera-se contribuir para que empresas e organizações possam contar com uma ferramenta que esteja desenvolvida na língua portuguesa, que tenha custo acessível, que permita que vários indivíduos possam emitir seus julgamentos, e que a decisão final reflita o consenso da decisão desses diversos indivíduos.

3 1.4. Estrutura do Trabalho Este documento tem como objetivo descrever o projeto de um software multiusuário de auxílio à decisão, utilizando a metodologia Analytic Hierarchy Process (AHP). No primeiro capítulo, são descritos os objetivos gerais e específicos, bem como as justificativas, desta dissertação. No segundo capítulo, a abordagem é realizada nos fundamentos e questões gerais relativas aos problemas decisórios, a Análise à Decisão Multicritério e sua metodologia, em particular do método AHP, e o uso da metodologia AHP para o caso de múltiplos decisores; uma breve síntese dos softwares para Análise à Decisão Multicriério disponíveis, que utilizam a metodologia AHP, será também descrito. No terceiro capítulo, aborda-se as formas de distribuição de um software, referências sobre orientação a objeto, sobre a linguagem de modelagem de software UML e características de armazenamento de dados em bancos de dados. O quarto capítulo versa sobre a abordagem teórica da metodologia AHP considerando-se múltiplos avaliadores envolvidos no processo decisório, estabelecendo-se neste capítulo o embasamento teórico para a ferramenta de software. No quinto capítulo, descreve-se a metodologia a ser utilizada para a modelagem do software, bem como o ferramental utilizado. No sexto capítulo, a implementação em si do software é descrita, com base na modelagem descrita no capítulo anterior. No sétimo capítulo, apresenta-se um estudo de caso envolvendo o uso do software desenvolvido. No oitavo e último capítulo, estabelece-se conclusões gerais sobre o software e sobre a dissertação em si. Em seguida, as referências bibliográficas para este trabalho serão citadas. Com relação aos anexos, no anexo I é feito uma citação resumida das características de softwares existentes que implementam a metodologia AHP; no anexo II, tem-se um resumo das características dos equipamentos avaliados no estudo de caso. Finalmente, com relação aos apêndices, no apêndice I tem-se o script em SQL utilizado para a criação do banco de dados utilizado no software; no apêndice II, os quadros de julgamentos das prioridades doscritérios, definidas durante o

4 estudo de caso; e no apêndice III os julgamentos individuais dos diversos avaliadores envolvidos no estudo de caso.

5 CAPÍTULO 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: ANÁLISE DE DECISÃO Neste capítulo, os problemas decisórios e suas características serão abordados, bem como a situação de múltiplos avaliadores. A Análise Multicritério à Decisão e seus métodos, em particular o método AHP (Analytic Hierarchy Process) serão abordados. Um breve comentário sobre produtos de software existentes que utilizam o método AHP encerra o capítulo. 2.1 Os Problemas Decisórios Na sociedade moderna, onde organizações e empresas apresentam complexidade cada vez maior, decisões devem ser tomadas praticamente a todo momento, muitas delas cruciais para o negócio. Essa tomada de decisão ou avaliação normalmente é feita com base em algum critério, seja quantitativo ou qualitativo, que será verificado ou mensurado pelo avaliador (tomador de decisão). Entretanto, problemas de decisão reais dificilmente serão solucionados com base em um único critério, ou seja, diversos fatores poderão estar envolvidos em um único processo decisório, a serem analisados para que o resultado final obtido possa ser o melhor possível para atender aos requisitos da empresa. Além disso, muitas vezes tais critérios envolvem informações imprecisas, incompletas ou subjetivas, dificultando a sua mensuração e portanto sua avaliação e análise. 2.2. Características dos Problemas Decisórios Em face a um determinado problema decisório que se apresenta, para solucioná-lo tem-se um processo ou conjunto de atividades que se inicia ao se definir o objeto da decisão e as propriedades das alternativas a serem avaliadas, e termina com a decisão em si sendo tomada. Segundo Roy (1985), tal processo poderá ser dividido em cinco etapas: (i) (ii) A definição do objeto ou objetivo da decisão e alternativas (estratégias) viáveis para a solução do problema. Com base no objeto de decisão definido acima, identificar e definir um conjunto de suas propriedades que sejam consideradas necessárias e suficientes para a decisão que se deseja tomar, sendo estas propriedades os critérios a serem avaliados para se chegar à conclusão desejada. É importante que as propriedades ou critérios escolhidos para servirem como base para a avaliação

6 sejam realmente relevantes para a decisão a ser tomada. Keeney e Raiffa(1976) estabeleceram que o conjunto de critérios deverá ser: a) completo: o conjunto de critérios representa todos os aspectos importantes do problema decisório em questão. b) mínimo: o conjunto de critérios deverá ser o menor possível, sem deixar de ser completo, pois um número excessivo de critérios irá aumentar a complexidade do processo. c) não redundante: no conjunto de critérios não deverá haver elementos que se repitam, ou seja, deve-se evitar duplicidade. d) operacional: os critérios do conjunto devem ter significado para o avaliador, para que ele compreenda a implicação de cada um deles no resultado da avaliação. e) decomponível: deve ser possível desmembrar ou decompor os critérios em subcritérios, para a simplificação do processo decisório, fracionando o problema principal em subproblemas. (iii) Como a influência dos diversos critérios na decisão a ser tomada pode ter vários níveis de importância, deverão ser atribuídos pesos aos critérios, de acordo com sua maior ou menor importância no processo decisório. (iv) Desenvolvimento de um modelo global, agregando todas as preferências e todos os critérios. (v) A tomada de decisão propriamente dita, baseada nos resultados obtidos com o modelo. Ainda segundo Roy (1985), podem existir três tipos de problemas decisórios. Supondo-se A = { A 1, A 2, A 3... A m } o conjunto finito formado pelas diversas alternativas a serem avaliadas de acordo com os vários critérios definidos (as figuras 2.1, 2.2 e 2.3 ilustram este problema): (i) (ii) Problema de escolha: selecionar de A um subconjunto A o menor possível, à luz dos critérios de decisão estabelecidos, conforme ilustra a figura 2.1. Problema de ordenação: colocar os elementos de A em uma certa ordem, da alternativa considerada melhor até a alternativa considerada pior, também tendo-se como base os critérios estabelecidos, ilustrado pela figura 2.2

7 (iii) Problema de classificação: agrupar os elementos do conjunto A de alternativas em categorias homogêneas pré-estabelecidas, conforme ilustrado a seguir. Alternativas selecionadas A 2, A 3, A 5 A A A A A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 7, A 8, A 9, A 10 Alternativas rejeitadas A 1, A 4, A 6, A 7, A 8, A 9, A 10 Figura 2.1 Problema de escolha de alternativa. Fonte: MOUSSEAU E SLOWINSKI (1998) A A 2, A 3 A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 7, A 8, A 9, A A 1 A 5 A 7 A 4, A 8 A 10 A 6, A 9 Figura 2.2 Problema de ordenação das alternativas. Fonte: MOUSSEAU E SLOWINSKI (1998) A A 2, A 3 Categoria 1 A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 7, A 8, A 9, A 10 A 7, A 5. A 6 Categoria 2 Categoria k Figura 2.3 Problema de classificação das alternativas. Fonte: MOUSSEAU E SLOWINSKI (1998) Ao se estabelecer os critérios decisórios, se o critério é quantitativo e portanto facilmente mensurável, o problema se simplifica, pois a decisão poderá ser tomada

8 em função daquela alternativa que apresente o maior (ou menor, dependendo da situação) valor da grandeza associada ao critério em questão. Porém, se o critério é qualitativo, a mensuração se torna uma tarefa mais complexa, devido às características intrínsecas de subjetividade. Uma alternativa para se conseguir avaliar ou classificar tal tipo de critério é atribuir um conceito ou nota a tal critério, conforme se usa na psicologia quantitativa, transformando-o assim de qualitativo para quantitativo. 2.3. Problemas Decisórios com Múltiplos Avaliadores Um aspecto desafiador no processo decisório é o fato de não ser incomum o caso de vários indivíduos dentro de uma organização tendo que analisar um conjunto de informações ou critérios, para que alguma decisão em comum acordo entre eles seja tomada. Nesse caso, interesses conflitantes poderão surgir entre essas pessoas, no tocante a avaliação desses critérios, pois uma característica considerada favorável por um desses avaliadores pode não o ser segundo outro avaliador, de forma que deve haver um consenso entre esses avaliadores para que a decisão final ocorra. Outra característica é o fato que, devido ou a característica do problema em si ou devido a experiência, capacidade ou autoridade dos avaliadores, quanto se tem múltiplos avaliadores, uma entre as situações abaixo pode ocorrer: (i) Todos os avaliadores irão julgar as alternativas sob todos os critérios. (ii) Uma parcela dos avaliadores julgará as alternativas sob todos os critérios, enquanto que a parcela restante dos avaliadores irá julgar apenas um subconjunto dos critérios. (iii) Cada avaliador irá julgar as alternativas sob apenas um subconjunto dos critérios envolvidos. Considerando também que para a avaliação dos vários critérios devam ser atribuídos pesos relativos à importância de cada critério para a decisão final, poderá acontecer que cada avaliador, de acordo com suas preferências pessoais, atribua a um determinado critério peso diferente de outro, ou até não consiga definir que peso possa ser atribuído a um determinado critério, seja pelo desconhecimento de informações relativas ao critério, seja por considerá-lo irrelevante do seu ponto de vista, ou por qualquer outro motivo. Em qualquer dos casos ou situações, para a obtenção do resultado final deve

9 haver um indivíduo ou um processo encarregado da tabulação final dos dados relativos aos julgamentos dos diversos avaliadores, agregando portanto os diversos julgamentos individuais, que como visto anteriormente podem ser referentes à avaliação de todos os critérios envolvidos ou de um subconjunto desses critérios. Esta agregação ou tabulação final irá então obter o resultado final do processo decisório, ou seja, as alternativas viáveis estarão selecionadas considerando-se as opiniões de todos os avaliadores envolvidos no processo decisório. 2.4. A Análise à Decisão Multicritério Após a Segunda Guerra Mundial, estudos para a logística das operações militares levaram ao surgimento da Pesquisa Operacional, que tem como objetivo a otimização de recursos escassos, e dentro desse enfoque metodologias como Programação Linear, Inteira e Não-Linear surgiram para que se pudesse melhor avaliar e otimizar os recursos existentes, através de modelos matemáticos precisos, métodos esses consistindo basicamente de se estabeler no modelo uma função matemática a ser maximizada ou minimizada, conforme o objetivo desejado. Posteriormente, verificou-se que tais métodos eram insuficientes em situações de imprecisão ou subjetividade para uma correta decisão. Por esses dois fatores, a necessidade de se considerar vários critérios para uma tomada de decisão, e as características de subjetividade, foram desenvolvidos os métodos e algoritmos da Análise Multicritério de Auxílio à Decisão. Tais métodos consideram justamente a existência de critérios múltiplos a serem avaliados para se atingir ao objetivo final, e também a possibilidade de entre esses critérios existirem critérios qualitativos, e portanto subjetivos. 2.5. Os Métodos para Análise à Decisão Multicritério Segundo Roy (1985) os métodos de Análise à Decisão Multicritério podem ser subdivididos em três famílias que são: (i) Métodos de Subordinação e Síntese - Estes métodos, tradicionalmente reconhecidos como de origem da escola francesa, buscam a construção de uma relação de subordinação, representando as preferências estabelecidas pelo decisor, auxiliando o mesmo da resolução do problema. Alguns destes métodos são: PROMETHEE (Brans e Vincke, 1985), MACBETH (Bana e Costa e Vansnick, 1994) e os métodos da família ELECTRE.

10 Os métodos de subordinação têm sua lógica baseada no estabelecimento das preferências do decisor, permitindo que este contribua com as informações como: a importância de cada critério de avaliação, os limites de preferência e indiferença (de uma alternativa em relação à outra, à luz de cada critério). Segundo Roy (1985), nos métodos de subordinação, uma relação de subordinação nada mais é do que uma relação binária S definida em um conjunto A de alternativas, tal que asb (a subordina b) se, dadas as preferências do decisor, o valor das avaliações das alternativas e a natureza do problema, existem argumentos suficientes para admitir que a é pelo menos tão boa quanto b, sem que haja uma razão importante para recusar tal afirmação. (ii) Métodos Interativos - estes métodos alternam as etapas de cálculos e as etapas de interações com o decisor, fornecendo informações suplementares e complementares sobre suas preferências do decisor. Segundo Vincke (1989), nos métodos interativos, a primeira etapa de cálculos fornece uma pré-solução, esta solução é fornecida ao decisor que insere informações complementares no modelo utilizado permitindo construir uma nova situação. Entre esses métodos tem-se, entre outros, o método STEM(Benayon et al, 1971) e o modelo PREFCALC (Jacquet Lagrèze e Shakun, 1984). (iii) Teoria da Utilidade Multiatributo os métodos fundamentados na Teoria de Utilidade Multiatributo buscam agregar os diferentes critérios numa única função que deverá ser otimizada. Segundo Freitas (1997) os trabalhos relativos a esta família tratam das condições matemáticas de agregação, das formas particulares da função agregante e dos métodos de estruturação. Segundo Roy e Bouyssou (1993), o critério único é obtido utilizando-se uma função agregante V, tal que, sendo g j (a) o valor ou importância da alternativa a segundo o critério j: g( a) V( g ( a), g ( a), g ( a),..., g ( a )) = 1 2 3 m Esta função V frequentemente assume uma das duas formas: n g( a) k v [ g ( a)] ( utilidade aditiva ) = 1 j = j j j

11 n g( a) k g ( a) ( agregação da soma dos pesos ) = 1 j = j j onde k j são coeficientes positivos e v j são funções crescentes. Estas funções são utilizadas em um grande número de métodos, dentre os quais: Goal Programming, onde deseja-se encontrar um ponto (uma alternativa) que difira tão pouco quanto possível de um valor ótimo (goal) para cada critério (Ignizio, 1976); MAUT (Muliple Atribute Utility Theory) (Kenney; Raiffa, 1989); Compromisse Programming, onde busca-se uma alternativa próxima ao ponto ideal (Zeleny, 1982, apud, Bana e Costa, 1992); Método AHP (Analytic Hierarchy Process), que utiliza julgamentos paritários, conduzindo a decisão de uma forma hierárquica (Saaty, 1991). Dentre as metodologias de AMD, que se utilizam da teoria da utilidade multiatributo, se destaca o método de análise hierárquica, AHP (Analytic Hierarchy Process), onde com sua aplicação as alternativas a serem selecionadas estarão definidas em termos quantitativos, facilitando sobremaneira a tarefa do tomador de decisão. Por tal característica, e por seus algoritmos simples de serem implementados, este método foi o escolhido para servir de base teórica para o desenvolvimento da ferramenta. 2.6. O Método AHP Para Decisão Multicritério O método AHP, proposto por Saaty (1991), tem como objetivo a seleção de uma entre várias alternativas dentro de um processo decisório em que estejam sendo avaliados múltiplos critérios. Este método se baseia em três princípios do pensamento analítico, brevemente descritos nas seções seguintes. 2.6.1 Construção de Hierarquias Tradicionalmente, em vista de problemas que possuam complexidade mais elevada, o raciocínio humano busca dividir ou hierarquizar tal problema em subproblemas menores, de forma que a compreensão e a resolução destes subproblemas auxiliem na compreensão e na resolução do problema principal. De forma análoga, no método AHP o problema decisório central (denominado foco principal ou objetivo) será particionado em diversos elementos constituintes, ou critérios, que serão posteriormente julgados/avaliados, que poderão se necessário

12 ser subdivididos novamente (subcritérios), em tantos níveis quantos forem necessários para uma melhor solução do problema ou foco principal. Tais critérios e/ou subcritérios devem, conforme visto no item 2.2, atender aos requisitos de serem completos, mínimos, não-redundantes e operacionais. Define-se portanto uma hierarquia objetivo/critério/subcritérios, e na base dessa hierarquia estarão as alternativas viáveis, já previamente escolhidas, a serem selecionadas para o problema em questão, conforme mostra a figura 2.4. Em síntese, ao se utilizar o método AHP deve-se inicialmente definir o foco principal da questão, os critérios e subcritérios que serão julgados e as alternativas viáveis para sua solução. Objetivo Critério 1 Critério 2... Critério n Subcritério 1.1 Subcritério 1.2 Subcritério Subcritério Subcritério... 1.r 2.1 2.2... Subcritério 2.r Subcritério n.1... Subcritério n.r Alternativa A 1 Alternativa A 2 Alternativa A 3... Alternativa A m Figura 2.4 - Estrutura Hierárquica em um processo decisório. 2.6.2 Estimação das Prioridades Segundo Saaty (1991), o ser humano, ao comparar um par de objetos que sejam similares, e considerando um conjunto específico de critérios, percebe as relações existentes entre tais objetos e compara ou julga tais pares de objetos optando por um dos elementos desse par, identificando o grau de sua preferência sobre esse elemento em relação ao outro. No processo decisório, serão feitos julgamentos paritários das diversas alternativas, considerendo-se cada critério ou subcritério, compondo-se desse modo diversas matrizes de julgamento. Para tais julgamentos paritários, Saaty (1991) definiu uma escala de julgamentos, visando a padronização dos julgamentos, conforme mostra a tabela 2.1, a seguir:

13 Definição verbal do julgamento Valor numérico Preferência ou importância igual 1 Preferência ou importância fraca 3 Preferência ou importância moderada 5 Preferência ou importância forte 7 Preferência ou importância absoluta 9 Tabela 2.1 Escala de julgamentos proposta por Saaty. Fonte: Saaty(1991) Os valores numéricos pares (2 a 8) são deixados para valores intermediários entre os elementos da escala principal. Para cada critério ou subcritério analisado, monta-se um quadro ou matriz de julgamentos, considerando-se todas as alternativas em avaliação. Tais matrizes de julgamento, ao serem resolvidas, irão definir o auto-vetor de prioridades, para o critério em questão, que irá expressar a importância relativa de cada uma das alternativas avaliadas em relação a este critério. Tal matriz deverá ser uma matriz quadrada, com suas linhas e colunas correspondentes ao número de alternativas sendo avaliadas, cada linha ou coluna representando uma das alternativas. Em cada célula será registrado o julgamento paritário de uma das alternativas em relação a cada uma = das outras alternativas. O número de julgamentos a ser efetuado, para cada uma das matrizes de julgamento a serem construídas, considerando-se n o número M MLM L de elementos ou células que a constituem, será dado por n(n-1)/2. Para se montar cada matriz, seus elementos ou células devem também atender a um conjunto de condições específicos. Sendo A uma matriz de julgamentos genérica, seus elementos estarão definidos conforme a tabela 2.2: 1 a12 a1 n 1 1 a a 2n 21 A 1 1 1 an1 an Tabela 2.2 Matriz genérica A de julgamentos paritários. Os elementos a ij são definidos pelas seguintes condições:

= 14 aij > 0 positiva(todosos elementos positivos) aii 1 todos os elementos da diagonalprincipaliguais a 1 1 aij reciprocidade dos elementos aji aik aij aij consistência (propriedade das matrizes recíprocas) Uma vez obtidas as matrizes de julgamento, deve-se providenciar a = normalização dos dados nelas contidos. Segundo Saaty (1991), o vetor das prioridades pode ser aproximado por um de três métodos a seguir, onde w ˆ i é a estimativa da prioridade da i-ésima alternativa: (i) Média das colunas normalizadas n 1 aij wˆ i n n = = j= 1 akj k = 1 (ii) Médias das linhas normalizadas n n wˆ i aij / aij j= 1 i, j= 1 (iii) Médias geométricas das linhas normalizadas 1 1 n n n n n wˆ i aij / akj j= 1 k= 1 j= 1 É relevante ressaltar que dentre métodos de aproximação dos vetores das prioridades citados anteriormente, nesta dissertação será utilizado o método das colunas normalizadas. Buscando uma melhor compreensão deste método de estimação de prioridades, a seguir apresenta-se uma seqüência de passos que ilustra sua utilização. Seja um problema em que o foco principal (objetivo) está associado a n critérios genéricos, g 1, g 2,..., g n. A prioridade de cada critério em relação ao foco principal, denotada por Wg j (j = 1, 2,..., n), é obtida através do cumprimento dos seguintes passos:

M M M M M g n a n1 a n2... 1 Passo 1: Somatório dos elementos de cada coluna da tabela de julgamentos; Foco g 1 g 2... g n g 1 1 a 12... a 1n g 2 a 21 1... a 2n 15 M M M M M M M M M M M Σ S 1 = (1+a 21 +... + a n1 ) S 2 = (a 12 +1+... + a n2 )... S n = (a 1n +a 2n +... +1) Tabela 2.3: Passo 1 - somatório dos elementos de cada coluna. Passo 2: Divisão de todos os elementos de cada coluna da tabela de julgamentos pelo somatório referente à coluna (calculado no passo anterior); Foco g 1 g 2... g n g 1 1/S 1 a 12 /S 2... a 1n /S n g 2 a 21 /S 1 1/S 2... a 2n /S n g n a n1 /S 1 a n2 /S 2... 1/S n Tabela 2.4: Passo 2 - divisão de todos os elementos da coluna pelo somatório da coluna. Passo 3: Determinação das prioridades, através do cálculo das médias das colunas dos quadros normalizados. Foco g 1 g 2... g n Prioridade (de cada critério em relação ao foco) g 1 1/S 1 a 12 /S 2... a 1n /S n Wg 1 = (1/S 1 + a 12 /S 2 +... + a 1n /S n )/n g 2 a 21 /S 1 1/S 2... a 2n /S n Wg 2 = (a 21 /S 1 +1/S 2 +... + a 2n /S n )/n g n a n1 /S 1 a n2 /S 2... 1/S n Wg n = (a n1 /S 1 + a n2 /S 2 +... + 1/S n )/n Tabela 2.5: Passo 3 - determinação do vetor de prioridades dos critérios. Procedimento análogo deve ser realizado para a obtenção das Prioridades Médias Locais das alternativas à luz de cada critério considerado. Mais especificamente, considere um problema em m alternativas (A 1, A 2,..., A m ) são avaliadas à luz de n critérios (g 1, g 2,..., g n ). A Prioridade Média Local de cada Termo introduzido por Costa (2002)

M M M M M M M M M M M M M M M M alternativa (A i ) à luz de cada critério g j, denotada por cumprimento dos seguintes passos: i ) g j 16 PML(A é obtida através do Passo 1: Somatório dos elementos de cada coluna do quadro de julgamentos; g j A 1 A 2... A m A 1 1 a 12... a 1m A 2 a 21 1... a 2m A m a m1 a m2... 1 Σ S 1 = (1+a 21 +... + a m1 ) S 2 = (a 12 +1+... + a m2 )... S m = (a 1m +a 2m +... +1) Tabela 2.6: Passo 1 - somatório dos elementos de cada coluna. Passo 2: Divisão de todos os elementos de cada coluna do quadro de julgamentos pelo somatório referente à coluna (calculado no passo anterior); g j A 1 A 2... A m A 1 1/S 1 a 12 /S 2... a 1m /S m A 2 a 21 /S 1 1/S 2... a 2m /S m A m a m1 /S 1 a m2 /S 2... 1/S m Tabela 2.7: Passo 2 - divisão de todos os elementos da coluna pelo somatório da coluna. Passo 3: Determinação das prioridades, através do cálculo das médias das colunas dos quadros normalizados. g j A 1 A 2... A m A 1 1/S 1 a 12 /S 2... a 1m /S m PML(A 1 ) g j A 2 a 21 /S 1 1/S 2... a 2m /S m PML(A 2 ) g j A m a m1 /S 1 a m2 /S 2... 1/S m PML(A m ) g j Prioridade (de cada alternativa em relação ao critério g j ) Tabela 2.8: Passo 3 - determinação do vetor de prioridades das alternativas. = (1/S 1 + a 12 /S 2 +... + a 1m /S m )/m = (a 21 /S 1 +1/S 2 +... + a 2m /S m )/m = (a m1 /S 1 + a m2 /S 2 +... + 1/S m )/m Deve-se observar também que, conforme definido igualmente por Saaty(1991), o somatório dos valores das Prioridades Médias Locais (PMLs) obtidas para cada critério julgado, bem como o somatório dos valores das Prioridades dos Critérios (PCs) dos critérios "folha" de cada ramo da árvore da hierarquia de critérios

17 deve ser sempre igual a 1. O passo seguinte consiste em obter o vetor de prioridade global (PG), que irá conter a prioridade associada a cada uma das alternativas em relação ao foco principal. Seja uma alternativa genérica A i avaliada à luz de n critérios (g 1, g 2,..., g n ). A Prioridade Global da alternativa (A i ), denotada por PG(A i ), é obtida pela expressão (1): onde: PG(A ) = i n = j 1 ( Wg PML(A ) ) j i g j (2.1) - Wg j é a prioridade de cada critério g j à luz do foco principal. - PML(A i ) g é a Prioridade Média Local da alternativa (A j i ) à luz de cada critério g j. 2.6.3 Consistência Lógica dos Julgamentos Ao estabelecer uma relação entre objetos, o ser humano tende a fazer com que tais relações sejam coerentes, de tal forma que tais relações sejam consistentes entre si. A próxima etapa, portanto, do método AHP, é analisar a consistência dos julgamentos efetuados, obtendo a Razão de Consistência (RC) desses julgamentos. Tal razão é calculada pela equação (2): IC RC = (2.2) IR Na equação (2), IC é o Índice de Consistência dos julgamentos, e IR é o ìndice de Consistência Randômico, obtido para uma matriz recíproca de ordem n que não possua elementos negativos e gerada de forma aleatória. Segundo Saaty(1991), o julgamento será considerado consistente se RC 0,10 (tolerância máxima de inconsistência no julgamento). Para se calcular o índice de consistência (IC), Saaty (1991) observou que uma matriz recíproca e não negativa que seja transitiva deve apresentar seu maior autovalor igual à ordem dessa matriz. Se houver alguma inconsistência nessa matriz, ela tenderá para a intransitividade. Dessa forma, avalia-se a consistência de uma matriz de julgamentos analisando sua transitividade, tomando-se a ordem da matriz e seu maior autovalor.

λ 18 Considerando a ordem N da matriz de julgamentos, e o seu maior autovalor, denominado λ max, Saaty(1991) propôs a seguinte fórmula para se calcular o Índice de Consistência (IC): máx N IC = (2.3) N 1 Conforme Saaty (1991), os valores atribuídos a IR, de acordo com a ordem da matriz, podem ser obtidos empiricamente da tabela a seguir: Ordem da Matriz Valor para IR 2 0,00 3 0,58 4 0,90 5 1,12 6 1,24 7 1,32 8 1,41 9 1,45 M M M M M M Tabela 2.9 Valores empíricos para IR Fonte: SAATY(1991) A tabela 2.10 mostra uma matriz A de julgamentos paritários de alternativas à luz do critério g j e as Prioridades Médias Locais (PMLs) de cada alternativa à luz deste critério. A : Matriz de julgamentos paritários das alternativas à luz do critério g j g j A 1 A 2... A m Prioridade (de cada alternativa à luz do critério g j ) A 1 1 a 12... a 1m PML(A 1 ) g j A 2 a 21 1... a 2m PML(A 2 ) g j A m a m1 a m2... 1 PML(A m ) g j Tabela 2.10: Julgamentos paritários e prioridades locais das alternativas. Para se obter o valor de λ max, necessário para o cálculo de IC, Saaty(1991) propôs um procedimento alternativo, que irá obter um valor aproximado de λ max, porém suficiente para se obter o índice de consistência e a razão de consistência necessários. Este procedimento é composto pelos seguintes passos:

M M M M M Passo 1: Construção de uma matriz auxiliar A : os elementos desta matriz serão os valores de cada coluna dos quadros de julgamentos multiplicados pela PML associada à alternativa relacionada a essa coluna. Vide tabela 2.11: Matriz Auxiliar A g j A 1 A 2... A m PML(A 1 ) g a PML(A2 ) g a PML(A A 1 ( 1) ( ) j 12 j... ( 1 ) m g j a PML(A1 ) g PML(A 2 m ) A 2 ( 21 ) ( 1) j j... ( 2 ) m g j a PML(A1 ) g a PML(A2 a PML(A m ) 1 PML(A m ) g A m ( m 1 ) ) g ( ) j m 2 ) g j... ( ) j Tabela 2.11: Obtenção da Matriz Auxiliar A. Passo 2: Construção de um vetor de prioridades auxiliar P e de um vetor auxiliar P aux L : os elementos do vetor P correspondem à soma dos elementos de cada linha da matriz A. Os valores resultantes serão divididos pelo valor da PML associada a esta linha, constituindo os elementos do vetor P aux. Os vetores obtidos são apresentados na tabela 2.12, a seguir: M L L Soma dos elementos de cada linha da matriz auxiliar L A SL 1 = ( 1 PML(A1 ) g ) + ( a PML(A ) ) ( ) j 12 2 g + + a j 1m PML(Am ) g j SL 2 = ( a21 PML(A1 ) g ) + ( 1 PML(A ) ) ( ) j 2 g + + a j 2m PML(Am ) g j SLm = ( am1 PML(A1 ) g ) + ( a ) ( ) j m2 PML(A2 ) g + + 1 PML(A j m ) g j " Vetor de prioridades auxiliar P : P = [ SL1, SL2,, SLm ] Vetor auxiliar P aux : S = L SL S P 1 Lm aux, 2,, PML(A1 ) g PML(A ) j 2 g PML(A j m ) g j Tabela 2.12: Definição do vetor de prioridades auxiliar (P )e vetor auxiliar (P aux ). 19 Passo 3: Cálculo do autovalor máximo λ max : Este valor é obtido através da média dos elementos de P aux (vide tabela 2.13)

λ L Autovalor máximo (λ máx ) : SL1 SL 2, SLm máx = + m PML(A1 ) g PML(A ) PML(A ) j 2 g j m g j Tabela 2.13: Expressão para cálculo do Autovalor máximo (λ máx ). + + 20 2.6.4 A Ocorrência da Inversão de Ordem no Emprego do Método AHP Uma das mais frequentes críticas ao método AHP refere-se à ocorrência da inversão de ordem no emprego do método AHP tradicional, caracterizada pela possibilidade da alteração da ordem das prioridades globais das alternativas devido à remoção de uma alternativa ou introdução de uma nova alternativa ao problema. Segundo Schoner e Wedley (1989), a inversão de ordem não é decorrente da simples introdução de uma nova alternativa, mas sim da introdução de uma nova alternativa sem a adequada reavaliação dos valores atribuídos aos elementos do nível hierárquico imediatamente superior. Além disso, Gomes et al. (2004) apontam que a ocorrência da inversão de ordem após a inclusão de uma nova alternativa ao problema pode ter sido ocasionada por falhas na etapa de modelagem. Com o intuito de evitar a ocorrência deste problema, foram desenvolvidas três versões para o método AHP: o Método AHP Referenciado (Watson e Freeling, 1982), o método AHP B-G (Belton e Gear, 1985) e mais recentemente, o método AHP Multiplicativo (Lootsma, 1993). Apesar da relevância deste assunto, a investigação do emprego destes métodos quanto ao tratamento do fenômeno da inversão de ordem não está no escopo deste trabalho. 2.6.5 Decisão em Grupo Utilizando o Método AHP Nos últimos anos problemas decisórios complexos caracterizados pelo envolvimento de múltiplos avaliadores/decisores têm se tornado objeto de estudo e investigação na literatura do Auxílio Multicritério à Decisão. Segundo Van Den Honert (2001), frequentemente o grupo de decisores tem grande diferença em termos de formação profissional, competência e experiência no tratamento de um problema decisório. Além disso, nem todos os decisores têm o mesmo interesse/desejo no tratamento do problema, os critérios podem ser variados e essencialmente técnicos (alguns decisores podem não estar habilitados a julgar à luz destes critérios), tornando evidente que os decisores não estão equitativamente qualificados para contribuir igualmente no processo decisório. Ramanathan e Ganesh (1994) propuseram a determinação da importância