Axel Simonsen axelsimonsen@fgv.br EPGE/FGV MFEE 2011
Revisão Seja s t uma variável aleatória que pode assumir dois estados: s t 2 fs, sg Dizemos que o processo é markoviano de primeira ordem se a distribuição de s t depende apenas do valor de s t 1, isto é p (s t js t 1, s t 2,, s 0 ) = p (s t js t 1 ) Pode-se especi car a distribuição do processo em termos da matriz de transição.
Matrix de transição Denote p ij = p (s t = jjs t P é dada por p11 p P = 12 p 21 p 22 1 = i), então a matrix de transição = (1 α) α β (1 β) Os termos na diagonal possuem a interpretação do grau de persistência do processo (pois é a probabilidade de no próximo período a variável continuar no estado corrente)
Exemplos Explicações teóricas : Reversão e Momentum 3 2 1 Pouca persistencia: p11=p22=0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 meio termo: p11=p22=0.5 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Media persistencia: p11=p22=0.75 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Muito persistente: p11=p22=0.9 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Valor esperado Qual valor de E [s t+τ js t ]? E [s t+τ js t ] = s.p (s t+τ = sjs t ) + s.p (s t+τ = sjs t ) Basta calcular as probabilidades p (s t+τ js t ) p (s t+1 = sjs t = s) = (1 α) p (s t+2 = sjs t = s) = (1 α) p (s t+1 = sjs t = s) + βp (s t+1 = sjs t = s) p (s t+τ = sjs t = s) = (1 α) p (s t+τ 1 = sjs t = s) + βp (s t+τ 1 = sjs t = s)
De na p n ij, p (s t+n = ijs t = j) Calculando recursivamente, chega-se nas seguintes equações p n 11 = β α + (1 β α)(n) α + β α + β p12 n = 1 p11 n p22 n α β = + (1 β α)(n) α + β α + β p21 n = 1 p22 n
Steady state Explicações teóricas : Reversão e Momentum Tomando o limite quando n tende ao in nito, temos que p11 = p12 = p22 = p21 = β α + β α α + β α α + β β α + β Repare que as probabilidades dos estados no steady state são indiferentes ao estado inicial, isto é p 11 = p 12 e p 21 = p 22
Sejam p 1 e p 2 as probabilidades de steady state para os estados 1 e 2 Estas probabilidade tambem são chamadas distribuições invariantes A razão é que dado que o estado no futuro com probabilidades p 1 e p 2, teremos que p1 p 2 p 11 p 12 p 21 p 22 = p 1 p 2 ou seja, o vetor de probabilidade operado pela matriz de transição, gera o mesmo vetor de probabilidade
Exemplo Explicações teóricas : Reversão e Momentum 1 0.9 0.8 Muito transitorio p11=0.1 medio p11=0.5 pouco persistente p11=0.75 muito persistente p11=0.90 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Barberis, Shleifer e Vishny se propõe a explicar dois fenômenos: underreaction: preços dos ativos reagem pouco a notícias, tais como anúncio de lucros se a notícia é boa (ruim), preços continuam a subir (cair) depois do anúncio. a evidência de momento pode ser um re exo disto overreaction: em horizontes mais longos os preços reagem exageradamente a padrões contínuos de notícias na mesma direção. títulos que tenham tido um longo registro de boas notícias tendem a car superavaliados e têm retornos baixos subsequentemente. as reversões de vencedores e perdedores documentadas por De Bondt e Thaler e a previsibilidade de retornos pelos múltiplos são re exos disso.
BSV propõem um modelo de sentimento do investidor para explicar esta evidência. O modelo é consistente com duas evidências psicológicas de falhas na formação de conjecturas: viés de representatividade: tendência em tomar eventos como representativos do todo. conservadorismo: atualização lenta das conjecturas em face de nova evidência.
Modelo funciona da seguinte forma: Investidores têm visões a priori sobre a companhia. Recebem notícias sobre os lucros, tendem a reagir menos do que mandaria a regra de Bayes, porque eles têm o viés de conservadorismo. Este comportamento leva a subrreação dos preços aos anúncios de lucros e a tendências de curto prazo. Quando investidores recebem repetidamente notícias similares - como boas surpresas de lucros - eles não somente desistem do modelo antigo deles como adotam um novo modelo no qual lucros tem um tendência. Desta forma eles subeem termos stimam a probabilidade de reversão das últimas surpresas de lucros. Isto causa overreaction.
Descrição informal do modelo Investidor representativo neutro ao risco com taxa de desconto δ. Um ativo paga 100% dos lucros como dividendos - preço é o valor presente dos lucros futuros. Neutralidade ao risco e taxa de desconto constante implica retornos não-previsíveis se o investidor sabe o processo correto do lucro. Aqui previsibilidade é gerada supondo que o investidor usa o modelo errado para formar expectativas. Suponha que os lucros seguem um passeio aleatório (para simpli car, pois não é realista). O investidor pensa que o mundo se move entre dois regimes, e que em cada um deles existe um modelo diferente governando os lucros. A probabilidade de mudança de regime é pequena.
No regime 1 os lucros revertem à média: um choque positivo nos lucros é mais provável de ser seguido por um choque negativo no período seguinte do que por um outro choque positivo. No regime 2 choques têm uma probabilidade maior de serem seguidos por choques do mesmo sinal do que de reverter. O investidor acredita que é mais fácil trocar do regime 2 para o regime 1 do que do regime 1 para o regime 2. O investidor usando modelo 1 para prever lucros, reage pouco a anúncios dos lucros, da mesma forma que faria um investidor que exibe conservadorismo. O investidor que usa o modelo 2 se comporta como se fosse sujeito a heurística da representatividade porque ele toma o crescimento do retorno passado como representativo do futuro também. Após uma sequência de de mudanças positivas (ou negativas) o investidor usa o modelo 2 para prever lucros futuros, extrapolando a perfomance passada para o futuro.
Dividendos: N t = N t 1 + y t, onde y t 2 f y, +yg O investidor acredita (erroneamente) que o processo gerador de y t pode vir de 2 modelos distintos O verdadeiro processo para y t é um passeio aleatório (em cada momento, pode assumir de maneira igualmente provavel os valores f y, yg )
Os dois modelos tem a mesma estrutura markoviana, mas diferem na matriz de transição A hipótese central está na relação entre os parâmetros π L e π H dada por π L < 1/2 < π H No modelo 1, após um choque positivo é mais provável que o próximo choque reverta (troque de sinal). No modelo 2, após um choque positivo é mais provável que o próximo choque persista (mantenha o sinal).
"Switching" de Modelos O investidor acredita que os modelos em vigor sigam uma mudança de regime cujo processo tambem é markoviano, com matriz de transição dada por Onde se o estado atual s t = 1, então o modelo que gera dividendo é o modelo 1. Caso contrário, é o modelo 2.
Assume-se que λ 1 <λ 2 < 1/2, de tal forma que a mudança de modelo (na cabeça do investidor) seja uma coisa rara (implica em persistência) λ 1 <λ 2 implica que o modelo 1 é mais provável de acontecer que o modelo 2 De na a probabilidade no tempo t de estar no modelo 1 por q t, p (s t = 1jy t )
Modelo Explicações teóricas : Reversão e Momentum Caso o valor realizado em t + 1 tenha o mesmo sinal do anterior Caso o valor realizado em t + 1 tenha sinal diferente do anterior
Exemplo: Probabilidade do Modelo1
Preço de Equilíbrio
Implicações Explicações teóricas : Reversão e Momentum Overreaction: E t (P t+1 P t jy t = y t 1 = = y t j = +y) E t (P t+1 P t jy t = y t 1 = = y t j = y) < 0, 8j > J Underreaction: E t (P t+1 P t jy t = +y) E t (P t+1 P t jy t = y) > 0 A proposição garante que existe um conunto de parâmetros π L, π H, λ 1 e λ 2 que geram uma dinâmica nos preços onde estas duas características se veri cam
Valor fundamental: N t δ Desvio: y t (p 1 p 2 q t ) P t = N t δ + y t (p 1 p 2 q t ) Overreaction: Preço tende a subir mais do que deveria -> Desvio > 0 => p 1 não pode ser muito pequeno Underreaction: Preço tende a menos do que deveria -> Desvio <0 =>p 2 não pode ser muito pequeno Como garantir que os dois efeitos valham simultaneamente? p 2 q low < p 1 < p 2 q avg
Conclusões Foram vistos 2 modelos que explicam as anomalias de Momentum e reversão Newswatchers vs Momentum Traders Psicologia: representatividade e conservadorismo