Prova Escrita de MATEMÁTIA A - o Ano 006 - Época especial Proposta de resolução GRUPO I. Estudando a variação de sinal de f e relacionando com o sentido das concavidades do gráfico de f, vem: 6 ) + + + 0 0 + + 5) + + + + + + + + 6) + 0 + + + + + f ) + 0 + 0 0 + f) Pt. Inf. Pt. Inf. Pelo que podemos concluir que a função f tem dois pontos de infleão. Resposta: Opção B. Para estudar a continuidade da função g no ponto de abcissa zero, temos que comparar os valores de g0), de lim g) e de lim g) 0 + 0 g0) = + lim 0 +g) = lim = 0+ + 0 + 0 + = 0 + = + e lim 0 g) = lim 0 lim f) = lim 0 0 = e0 0 = = 0 0 0 Indeterminação) ) e = lim 0 lim e = 0 = }{{} Lim. Notável omo g0) lim 0 g), então a função g é descontínua à direita de zero e como g0) lim 0 +g), então a função g também é descontínua à esquerda de zero. Resposta: Opção D Página de 7
. onsiderando o lado [O] como a base do triângulo O = ), a altura será o segmento que contém o ponto P e a sua projeção ortogonal P ) sobre a reta O. omo OP =, recorrendo à definição de cosseno, vem: y P B altura P cos = P P OP cos = P P P P = cos O A Assim a área do triângulo [OP ] é: Resposta: Opção B A [OP ] = O P P = cos = cos base 4. omo o comprimento da aresta da base, em centímetros é, a área da base, em centímetros quadrados é = omo a altura do prisma, em centímetros, é y, o volume do prisma, em centímetros cúbicos é y Assim, considerando o volume do prisma igual a 64 cm, temos que: y = 64 y = 64 Desta forma temos que se = 8, então y = 64 8 = 64 =, pelo que o ponto de coordenadas 8,8) não 64 pertence ao gráfico da função, e desta forma podemos rejeitar os gráficos das opções B) e D). Temos ainda que, como o volume é constante, se a área da base aumentar indefinidamente, o comprimento da altura deve aproimar-se de zero, ou seja: lim y = + E assim, podemos rejeitar o gráfico da opção ). Resposta: Opção A lim + 64 = 64 + = 0 5. O algarismo dos milhares dos números naturais compreendidos entre 000 e 000 só pode ser ou, pelo que eistem hipóteses para o algarismo das unidades. omo os algarismos devem ser todos diferentes, devem ser escolhidos algarismos de entre os que são diferentes do selecionado para o algarismo dos milhares, ou seja, A escolhas diferentes, visto ser relevante a ordenação destes algarismos, por gerarem números diferentes. Assim, a quantidade de números naturais, escritos com algarismos todos diferentes, compreendidos entre os números 000 e 000 é A = 008 Resposta: Opção D 6. Pela fórmula do binómio de Newton, sabemos que todos os termos do desenvolvimento de + ) 5 são da forma 5 k ) 5 k ) k, k {0,,...,5} O termo do desenvolvimento do binómio, obtido para k =, é Ou seja, é um monómio da forma k, com k = 40. Resposta: Opção 5 ) 5 ) = 0 = 0 4 = 40 Página de 7
7. Designando por w, z e z os números compleos cujas imagens geométricas são os pontos, A e B, respetivamente, temos que w = z, porque os pontos A e estão à mesma distância da origem; logo w = 4 + = 5 = 5 omo 8 = 8 π 80 rad = 8 π 8 0 rad = π rad, então: 0 arg w) = arg z ) + π 0 = π + π 0 = 5π 0 + π 0 = 6π 0 = π 5 Assim temos que w = 5 cis π 5 Resposta: Opção D GRUPO II... Resolvendo a equação temos: iz i = 0 iz = +i z = i +i i Escrevendo i na f.t. z = ρ cis θ) temos: ρ = z = + ) = + = 4 = z = i i + z = i + z = i tg θ = = ; como sen θ < 0 e cos θ > 0, θ é um ângulo do 4 o quadrante, logo θ = π Assim z = cis π ), e por isso, usando a fórmula de Moivre, temos: cis π ) = cis π + kπ, k {0,,}, ou seja, temos raízes de índice : k = 0 w = cis π ) k = w = cis π + π ) = cis π + 6π ) = cis 5π k = w = cis π + 4π ) = cis π + π ) = cis π Logo w é a única solução da equação que pertence ao terceiro quadrante, porque π < π < π, ou seja π < arg w ) < π. Logo, a solução da equação que pertence ao o quadrante, escrita na fórmula trigonométrica é: w = cis π Página de 7
.. Na figura ao lado está representado, a sombreado, a região B, que é a interseção de três condições: z, o interior da circunferência centrada na origem e raio Re z) 0, o semiplano à direita do eio imaginário, ou o conjunto dos pontos com a parte real não nula z z i, o semiplano limitado superiormente pela bissetriz dos quadrantes ímpares A região B pode ser decomposta num quarto do círculo de raio e num setor circular que corresponde a metade de um quarto de círculo, pois é delimitada pela bissetriz dos quadrantes ímpares. Imz) O Rez) Assim, a área pode ser calculada como: A = A 4 + A 4 = A 4 + A 8 = A + A 8 8 = A = π = 4 π = π 8 8 8 8 = π...... omo a função é contínua no intervalo ]0,[ e também no intervalo [, + [, as retas de equação = e = 0 são as únicas retas verticais que podem ser assíntotas do gráfico de f. Podemos ainda observar que, como a função está definida para =, temos que f) é um valor finito, e assim, lim +f) = f), pelo que, se a reta = é uma assíntota do gráfico de f, então o comportamento assintótico só está presente quando, pelo que, para averiguar estas hipóteses vamos calcular lim 0 +f) e lim f): lim f) = lim 0 + 0 + ln = 0+ ln 0 + ) = 0+ = 0+ lim f) = lim ln = ln ) = 0 = E assim concluímos que a reta de equação = 0 não é assíntota do gráfico de f, mas a reta = é. Averiguando a eistência de uma assíntota não vertical do gráfico de f, de equação y = m + b, quando +, vem que: m = f) lim + = lim + e = lim + e = e + ) = e = 0 b = lim f) m) = lim + + e 0 ) = lim + e ) = + e = + 0 = 0 Desta forma concluímos que a reta de equação y = 0 + 0, ou seja a reta definida por y = 0 é uma assíntota horizontal do gráfico de f e como o domínio de f é R + podemos concluir que esta é a única assíntota não vertical do gráfico de f Página 4 de 7
... alculando o valor de fe ), como e <, vem: E assim, vem que fe ) = e ln e ) = e ln e = e = e = e f) + fe ) = 0 f) + e ) = 0 f) = e omo a função f resulta de operações sucessivas de funções contínuas em [, + [, é contínua neste intervalo, e também em [4,5], porque [4,5] [, + [ omo e 4 5 0,7, e, então, e < e < 4, ou seja, e f5) < 0 < f4), então, podemos concluir, pelo Teorema de Bolzano, que eiste c ]4,5[ tal que fc) = e, ou seja, que eiste, pelo menos, uma solução da equação f) = e no intervalo ]4,5[, ou seja, ]4,5[ : f) + fe ) = 0.A. f4) = 4e 4 = 4e = = 4 e 0,54 f5) = 5e 5 = 5e = = 5 e 0,5... omeçamos por determinar a epressão da derivada, para ]0,[: ) ) ) ln ln ) ln = ln ln = ln = ln ln alculando os zeros da derivada, no intervalo ]0,[, temos: ln ln = 0 ln = 0 ln 0 ln = ln 0 = e omo ]0,[ e e >, concluímos que f ) não tem qualquer zero neste intervalo. Assim, como no intervalo ]0,[, ln) < 0 temos que ln < 0, e como ln ) > 0 no mesmo intervalo), temos que: f ) < 0, ]0,[ pelo que a função f é estritamente decrescente neste intervalo... Determinado a epressão da derivada, para >, temos: e ) = ) e + e ) = e + ) e = e + )e = e e = e ) O declive da reta r pode ser calculado como: m r = f ) = e ) = e 0 ) = omo a reta s é paralela à reta r, e tem a ordenada na origem igual a zero, a equação da reta s é: y = y Traçando a reta s e o gráfico da função f numa janela compatível com o domínio da função e que permita visualizar o ponto de interseção obtemos o gráfico reproduzido na figura ao lado. Depois, recorrendo à função da calculadora que permite determinar valores aproimados para as coordenadas de um ponto de interseção dos gráficos de duas funções, encontramos as coordenadas do ponto, arredondadas às centésimas 0,7, 0,7) O 0,7 0,7 f Página 5 de 7
... omo o período de uma função trigonométrica pode ser calculado como a diferença das abcissas de dois maimizantes consecutivos, começamos por determinar a derivada da função: f ) = A + B cos) ) = A) + B cos) ) = 0 + B) sen )) = B sen ) alculando os zeros da derivada temos: f ) = 0 B sen ) = 0 sen ) = 0 = kπ, k Z = kπ, k Z Assim, como todos os zeros de f estão associados a uma mudança de sinal, para cada valor de k verificamos a eistência de um maimizante, ou de um minimizante. omo os maimizantes e os minimizantes ocorrem alternadamente, se um valor de k gera um maimizante, k + gera um minimizante e k + gera outro maimizante. Logo, para k e k + temos dois maimizantes ou minimizantes) consecutivos, pelo que o período da função pode ser calculado como: k + )π kπ = k + )π kπ = kπ + π kπ = π.. omo o período da função é a diferença entre dois maimizantes consecutivos, e a distância do ancoradouro ao fundo do rio ocorre a cada maré alta, o período desta função é 0 =. Por outro lado, como o período desta função é π π temos que: = π = π 6 = π ) Assim temos que a função a função é do tipo f) = A + B cos 6 omo a distância ao fundo do rio era máima às zero horas, e a distância máima foi de 7 metros, temos que π ) f0) = 7 A+B cos 6 0 = 7 A+B cos0) = 7 A+B = 7 A+B = 7 Por outro lado, como a distância era mínima às 6 horas, e o mínimo da função é, temos: π ) f6) = A+B cos 6 6 = A+B cosπ) = A+B ) = A B = Logo, temos que A + B = 7 A B = + B + B = 7 A = + B B = 7 A = + B B = 6 A = + B = A = 4 Pelo que, os valores dos parâmetros adequados ao modelo são A = 4, B = e = π 6 Página 6 de 7
4. 4.. omo se pretende que P A B) = P A), então A B = A, ou seja A B No âmbito da eperiência descrita, podemos definir os acontecimentos, nem impossíveis nem certos, tais que A B e P A B) = P A): A: O produto dos dois números saídos é 48 B: O produto dos dois números saídos é um número par 4.. omo o dado cúbico tem 6 faces e o dado octaédrico tem 8 faces, podemos fazer 6 8 = 48 pares de faces, equiprováveis, usando uma face de cada dado. Destas 48, apenas 4 correspondem a pares com soma 5: Assim, Dado cúbico 4 Dado octaédrico 4 Soma 5 5 5 5 P X = 5) = 4 48 = 4.. No conteto da situação descrita, P D) é a probabilidade de saírem números cujo produto é 6, sabendo que são números iguais. Analogamente, P D ) é a probabilidade de saírem números iguais, sabendo que o produto desses números é 6. Para determinar P D), temos que o número de casos possíveis é 6, porque como um dos dados está numerado de a 6 e também eistem estes números no outro dado), eistem 6 pares de números iguais. Destes apenas resulta num produto 6, o que acontece quando ambos os números são quatro 4 4 = 6), e assim, recorrendo à Regra de Laplace temos que P D ) = 6 Para determinar P D ), observamos que o número de casos possíveis é, porque como 6 é múltiplo de, 4 e 8, só é possível obter um produto igual a 6 em duas combinações 4 4 = 6 e 8 = 6). omo destas duas apenas uma resulta do produto de números iguais 4 4 = 6), recorrendo à Regra de Laplace temos que P D) = Página 7 de 7