Proposições condicionais e bicondicionais Proposições condicionais Num debate sobre algum tema importante, é comum utilizarmos ideias que procuram sustentar nossos argumentos. Essa sustentação, muitas vezes, se dá por uma relação entre causa e consequência, asserção com razão ou hipótese com tese. As proposições que estudaremos a partir de agora introduzem os raciocínios mais sutis, presentes em diversas situações cotidianas, e nos auxiliam tanto na linguagem falada quanto na escrita. Uma proposição condicional sempre pode ser escrita da forma se p, então q, e é denotada por p q. Observe alguns exemplos: Se amanhã é domingo, então hoje é sábado. 2 Se x = 3, então x = 9. Se eu estudo, então obtenho uma boa nota na prova. Se 2 + 5 = 7, então 7 5 = 2. Qualquer proposição da forma p q pode ser interpretada (ou lida) de várias maneiras diferentes. Por exemplo, a proposição condicional: Se está chovendo, então existem nuvens. é composta pelas seguintes proposições simples: p: está chovendo e q: existem nuvens. Observe a seguir algumas maneiras equivalentes de expressá-la:
se p, então q: Se está chovendo, então existem nuvens. p implica q: Estar chovendo implica existir nuvens. p somente se q: Está chovendo somente se existem nuvens. p é condição suficiente para q: Estar chovendo é suficiente para existir nuvens. q é condição necessária para p: Existir nuvens é necessário para estar chovendo. Qual é o valor lógico de p q? Para entender como pode ser obtido o valor lógico de uma proposição condicional, considere outro exemplo: Se meu time ganha o jogo, então ele é campeão. As proposições componentes são p: meu time ganha o jogo e q: meu time é campeão. A proposição condicional garante que, sendo verdadeiro que meu time ganha o jogo, então será verdadeiro também que meu time é campeão. Entretanto, essa proposição condicional nada afirma sobre o que poderá ocorrer caso meu time não ganhe o jogo. Assim, se meu time não ganha o jogo, pode ocorrer que meu time é campeão ou que meu time não é campeão. Ambas as conclusões podem ser verdadeiras na hipótese de o meu time não ganhar o jogo. O único caso que realmente contradiz a proposição composta é: sendo verdadeiro que meu time ganha o jogo, então será falso que meu time é campeão. Dessa forma, podemos dizer que uma proposição condicional p q será falsa apenas no caso de p ser verdadeira e q ser falsa. Nos demais casos, p q terá sempre o valor lógico V. 46
Uma proposição condicional p q tem valor F apenas quando p tem valor V e q tem valor F. Nos outros casos, p q tem valor lógico V. A tabela-verdade a seguir apresenta um resumo de todos os valores lógicos possíveis de uma proposição condicional: p q p q V V V V F F F V V F F V Observe alguns exemplos que procuram explicar as relações de uma proposição condicional: Exemplo 1: De acordo com a regra que permite aferir valor lógico a uma proposição condicional, observe algumas sentenças com os respectivos valores lógicos: Se Curitiba é capital do Paraná, então em 1958 a seleção brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez. A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: p: Curitiba é capital do Paraná. (V) q: Em 1958 a seleção brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez. (V) Ambas as proposições são verdadeiras. Dessa forma, a proposição Se Curitiba é capital do Paraná, então em 1958 a seleção brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez também verdadeira. Se o Polo Norte está descongelando, então a China é o maior país em extensão territorial. A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: 47
p: O Polo Norte está descongelando. (V) q: A China é o maior país em extensão territorial. (F) A primeira proposição (p) é verdadeira e a segunda proposição (q) é falsa. Assim, a proposição Se o Polo Norte está descongelando, então a China é o maior país em extensão territorial é falsa. Se o esporte mais praticado na Venezuela é o futebol, então São Paulo é o estado de maior produção industrial do Brasil. A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: p: O esporte mais praticado na Venezuela é o futebol.(f) q: São Paulo é o estado de maior produção industrial do Brasil. (V) A proposição Se o esporte mais praticado na Venezuela é o futebol, então São Paulo é o estado de maior produção industrial do Brasil é verdadeira, pois a primeira proposição (p) é falsa e a segunda proposição (q) é verdadeira. Se uma semana possui 8 dias, então Ernesto Geisel não foi presidente da República brasileira. A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: p: Uma semana possui 8 dias. (F) q: Ernesto Geisel não foi presidente da República brasileira. (F) A proposição Se uma semana possui 8 dias, então Ernesto Geisel não foi presidente da República brasileira é verdadeira, pois tanto a primeira proposição (p) quanto a segunda proposição (q) são falsas. Exemplo 2: A proposição Se não sei meu nome, então não sei o seu pode ser escrita de outras formas equivalentes: 1.ª forma: Não saber meu nome implica não saber o seu. 2.ª forma: Não sei o meu nome somente se não sei o seu. 48
3.ª forma: Não saber o meu nome é condição suficiente para não saber o seu. 4.ª forma: Não saber o seu nome é condição necessária para não saber o meu. Exemplo 3: Na proposição: Se hoje é domingo, então vou à missa, a proposição hoje é domingo é condição suficiente para a ocorrência da proposição ir à missa. Por outro lado, a proposição ir à missa é condição necessária para a ocorrência da proposição hoje é domingo. Assim, temos: Se, hoje é domingo condição suficiente então vou à missa condição necessária Exemplo 4: Considere como falsa a proposição: Se tenho um bom currículo, então consigo um bom emprego. Se a proposição simples p: Tenho um bom currículo é verdadeira, o que pode concluir em relação ao valor lógico da proposição simples q: Consigo um bom emprego? Para que uma proposição condicional da forma p q seja falsa, a proposição p deve ser verdadeira e a proposição q deve ser falsa. Desta forma, conclui-se que a proposição q: Consigo um bom emprego deve ser falsa. Exemplo 5: Considere como verdadeira a proposição: Se tenho dinheiro, então viajo ao exterior. Se a proposição simples p: Tenho dinheiro é falsa, o que é possível concluir sobre o valor lógico da proposição simples q: Viajo ao exterior? Uma proposição condicional da forma p q é verdadeira em qualquer caso, exceto quando a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa. Logo, como já se conhece o valor lógico falso da proposição p, conclui-se que a proposição q pode ser ou verdadeira ou falsa. Em qualquer um dos 49
valores de q, a proposição composta p q será verdadeira. Assim, conclui-se que a proposição q: Viajo ao exterior pode ser ou verdadeira ou falsa. Exemplo 6: Outra maneira de definir o valor lógico de uma proposição condicional é a seguinte: Uma proposição condicional da forma p q for verdadeira. q é verdadeira se p for falsa ou p Em qualquer um dos casos expostos, ou em ambos, o valor lógico de q é sempre verdadeiro. Relações entre proposições condicionais Qualquer que seja a proposição condicional, sempre podemos associá-la a outras proposições condicionais. A seguir, estudaremos alguns tipos especiais de proposições que são importantes no estudo da Lógica e da Matemática. Proposição recíproca A proposição recíproca de p q é a proposição da forma q p. Proposição: Se está chovendo, então existem nuvens. p q Recíproca: Se existem nuvens, então está chovendo. q A proposição original garante que, se for verdadeiro que está chovendo, então será também verdadeiro que existem nuvens. Já a proposição recíproca correspondente garante que, se existem nuvens, então está chovendo. Ou seja, a proposição recíproca não garante o mesmo que a proposição original. Assim, p q pode ser verdadeira, e sua recíproca, q p, falsa. Observe inclusive que na recíproca, se for verdadeiro que existem nuvens, então poderá ser verdadeiro ou falso que está chovendo. A presença de nuvens não garante a chuva. Portanto, as duas proposições podem ter valores lógicos diferentes, não sendo, portanto, logicamente equivalentes. p 50
Exemplo 1: A proposição Se hoje é sábado, então amanhã é domingo tem como recíproca a proposição Se amanhã é domingo, então hoje é sábado. Exemplo 2: A proposição Se me esforço, então venço tem como recíproca a proposição Se venci, então me esforcei. Exemplo 3: A proposição Se sou carioca, então sou brasileiro tem como recíproca a proposição Se sou brasileiro, então sou carioca. Observe, nesse último exemplo, que uma proposição condicional e sua correspondente recíproca não são necessariamente equivalentes. Uma pessoa que é brasileira pode ser ou não carioca. Já no caso de uma pessoa ser carioca, ela será necessariamente brasileira. Proposição inversa A proposição inversa de p q é a proposição da forma ~p ~q. Proposição: Se está chovendo, então existem nuvens. p q Inversa: Se não está chovendo, então não existem nuvens. ~p ~q A proposição original garante apenas que, no caso de chuva, existem nuvens, mas nada é dito sobre o que acontecerá caso não chova. Analisando a proposição inversa correspondente, vemos que se for verdadeiro que não está chovendo então pode ser verdadeiro ou falso a conclusão de que não existem nuvens. Não é difícil perceber que p q pode ser verdadeira, e sua inversa, ~p ~q, falsa. Portanto, ambas podem ter valores lógicos diferentes, não sendo, assim, logicamente equivalentes. Exemplo 1: A proposição Se hoje é sábado, então amanhã é domingo tem como inversa a proposição Se hoje não é sábado, então amanhã não é domingo. 51
Exemplo 2: A proposição Se me esforço, então venço tem como inversa a proposição Se não me esforço, então não venço. Exemplo 3: A proposição Se sou carioca, então sou brasileiro tem como inversa a proposição Se não sou carioca, então não sou brasileiro. Observe, nesse último exemplo, que uma proposição condicional e sua correspondente inversa não são necessariamente equivalentes. Se uma pessoa não é carioca, ela pode ser ou não brasileira. No caso de uma pessoa ser carioca, ela será necessariamente brasileira. Proposição contrapositiva A proposição contrapositiva de p q é a proposição da forma ~q ~p. Proposição: Se está chovendo, então existem nuvens. p Contrapositiva: Se não existem nuvens, então não está chovendo. ~q A proposição original afirma que se está chovendo, então existem nuvens. Assim, se for verdadeiro que não existem nuvens, também será verdadeiro que não está chovendo, pois a chuva somente ocorre com a presença de nuvens. Podemos, portanto, observar que se p q for verdadeira, a contrapositiva correspondente, ~q ~p, será verdadeira e, se p q for falsa, ~q ~p também será falsa. Em outras palavras, podemos dizer que estar chovendo é condição suficiente para existir nuvens, e não existir nuvens também é condição suficiente para não estar chovendo. A conclusão é a de que ambas as proposições são sempre logicamente equivalentes. Portanto, uma proposição condicional e sua correspondente contrapositiva são logicamente equivalentes. q ~p 52
A tabela-verdade a seguir relaciona todos os valores lógicos possíveis de cada uma delas. proposição recíproca inversa contrapositiva p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p V V F F V V V V V F F V F V V F F V V F V F F V F F V V V V V V Logicamente Equivalentes Resumindo, dada uma proposição condicional qualquer, sua recíproca não é logicamente equivalente; sua inversa também não é logicamente equivalente, mas sua contrapositiva é sempre logicamente equivalente: (p q) (~q ~p) Exemplo 1: A proposição Se hoje é sábado, então amanhã é domingo é equivalente à sua correspondente proposição condicional Se amanhã não é domingo, então hoje não é sábado. Exemplo 2: A proposição Se me esforço, então venço é equivalente à sua correspondente proposição condicional Se não venci, então não me esforcei. Exemplo 3: A proposição Se sou carioca, então sou brasileiro é equivalente à sua correspondente proposição condicional Se não sou brasileiro, então não sou carioca. Implicação material Além da proposição contrapositiva, ~q ~p, a proposição condicional p q possui outra proposição equivalente, porém, não condicional. A proposição ~p q, chamada de implicação material, é equivalente à proposição condicional p q. Para comprovar essa equivalência, vamos construir as correspondentes tabelas-verdade. 53
p q ~p p q ~p q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V Equivalentes As duas últimas colunas são idênticas. Dessa forma, as proposições ~p e p q são logicamente equivalentes, ou seja: q p q ~p q Exemplo: Sejam as proposições p: Ana é arquiteta e q: Bruno é barbeiro, e as proposições compostas: Proposição condicional: p q: Se Ana é arquiteta, então Bruno é barbeiro. Contrapositiva: ~q ~p: Se Bruno não é barbeiro, então Ana não é arquiteta. Implicação material: ~p q: Ana não é arquiteta ou Bruno é barbeiro. Observação: A negação da proposição ~p q é dada por ~(~p q) p ~q. Como a proposição condicional p q é equivalente a ~p q, temos que a negação de ~p q também é a negação de p q. Observe a tabela-verdade: p q ~p ~q p q ~p q p ~q V V F F V V F V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V F 54
Dessa forma, a negação da proposição p q é a proposição p ~q, ou seja: ~(p q) p ~q Exemplo: Proposição condicional: p q: Se Ana é arquiteta, então Bruno é barbeiro. Negação: p ~q: Ana é arquiteta e Bruno não é barbeiro. Proposições bicondicionais As proposições bicondicionais são formadas a partir de proposições condicionais. Assim, quando ocorrer simultaneamente as proposições se p, então q e se q, então p, dizemos que também ocorre a proposição bicondicional p se, e somente se, q e a representamos por p q. Para exemplificar, considere as seguintes proposições: Condicional: p q: Se Carla é curitibana, então Carla nasceu em Curitiba. p q Recíproca: q p: Se Carla nasceu em Curitiba, então Carla é curitibana. q p Fazendo a conjunção das proposições anteriores, obtemos a proposição bicondicional: Carla é curitibana se, e somente se, Carla nasceu em Curitiba. p q A expressão se, e somente se nos dá a garantia de que se for verdadeiro que Carla é curitibana, então será verdadeiro que Carla nasceu em Curitiba. Da mesma forma, se for falso que Carla é curitibana, então será também falso que Carla nasceu em Curitiba. Podemos, portanto, definir uma proposição bicondicional (p q) como sendo uma conjunção ( ) entre a proposição condicional associada (p q) e sua correspondente recíproca (q p). 55
Em símbolos, a relação é a seguinte: conjunção (p q) (q p) (p q) Condicional recíproca bicondicional Existem outras maneiras equivalentes para utilizar uma proposição bicondicional. Observe: p se, e somente se, q: Carla é curitibana se, e somente se, nasceu em Curitiba. p equivale a q: Carla ser curitibana equivale a nascer em Curitiba. p é condição necessária e suficiente para q: Carla ser curitibana é necessário e suficiente para nascer em Curitiba. Como podemos obter o valor lógico de uma proposição bicondicional p q? Para compreendermos o valor lógico de uma proposição bicondicional, vamos, inicialmente, recordar o valor lógico de uma condicional. A proposição p q tem valor F apenas quando p tem valor V e q tem valor F. Da mesma forma, q p tem valor F apenas quando q tem valor V e p tem valor F. Portanto, p q terá valor lógico V, se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas. Caso p e q tenham valores diferentes uma V e outra F o valor lógico de p q será F. Resumindo, podemos construir a seguinte tabela-verdade da proposição bicondicional: p q p q q p p q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Condicionais Bicondicional 56
Os valores lógicos da última coluna da tabela foram obtidos fazendo uma conjunção ( ) entre os valores da terceira e da quarta colunas, pois (p q) (q p) (p q). Observe ainda que esses valores da última coluna podem também ser obtidos através dos valores lógicos da primeira e segunda colunas. Nesse caso, quando p e q têm valores iguais, a bicondicional tem valor V, e quando p e q têm valores diferentes, a bicondicional tem valor F. Exemplo 1: Considere as seguintes proposições: p: x é divisível por 3 q: y é múltiplo de 5 Vamos representar cada uma das proposições abaixo utilizando as proposições p ou q, e os símbolos: ~, ou. Se x é divisível por 3, então y é múltiplo de 5. p q Se y é múltiplo de 5, então x é divisível por 3. q p Se x não é divisível por 3, então y não é múltiplo de 5. ~p ~q Se y não é múltiplo de 5, então x não é divisível por 3. ~q ~p x é divisível por 3 se, e somente se, y é múltiplo de 5. p q x não é divisível por 3 se, e somente se, y não é múltiplo de 5. ~p ~q Exemplo 2: Sejam as proposições: p: 10 é múltiplo de 4. q: 10 é par. 57
Observe que a proposição p é falsa e a proposição q é verdadeira. Vamos escrever as seguintes proposições em linguagem usual e determinar o correspondente valor lógico resultante. p q: Se 10 é múltiplo de 4, então 10 é par. q p: Se 10 é par, então 10 é múltiplo de 4. ~p ~q: Se 10 não é múltiplo de 4, então 10 não é par. ~q ~p: Se 10 não é par, então 10 não é múltiplo de 4. p q: 10 é múltiplo de 4 se, e somente se, 10 é par. p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p p q F V V F V F F V F Exemplo 3: Nesse exemplo, mostraremos que as proposições ~(p q) e (p ~q) são logicamente equivalentes por meio da tabela-verdade: p q ~q p ~ q p q ~(p q) V V F F V F V F V V F V F V F F V F F F V F V F Observe na tabela-verdade que as colunas referentes às proposições ~(p q) e (p ~q) são idênticas. Isso mostra que são logicamente equivalentes. Esse exemplo ilustra o fato de que a negação de uma proposição condicional da forma p q é obtida fazendo uma conjunção entre a proposição p e a negação da proposição q. Em outras palavras, a negação de p q é p ~q. 58
Assim, a negação da proposição Se trabalho, então venço é Trabalho e não venço. Exemplo 4: Considere as proposições: p: João é casado q: João dança tango Utilizando as proposições p ou q, e os símbolos, ou ~, represente simbolicamente as proposições que a seguir estão escritas em linguagem natural. Se João é casado, então dança tango. p q Se João não dança tango, então é casado. ~q p João é casado se, e somente se, dança tango. p q Se João dança tango, então João é casado. q p Se João não dança tango, então não é casado. ~q ~p João dançar tango é condição necessária para ser casado. p q João ser casado é condição suficiente para dançar tango. p q João não dançar tango equivale a João não ser casado. ~p ~q Exemplo 5: Considere as proposições simples: 59
p: O Brasil é um país sul-americano. q: O Japão fica na Oceania. r: A cidade do Rio de Janeiro nunca foi capital do país. Os valores lógicos das proposições anteriores são V, F e F, respectivamente. Vamos determinar o valor lógico de cada uma das proposições compostas a seguir: p q A proposição p q tem valor F, pois p tem valor V e q tem valor F. ~q r A proposição ~q r tem valor F, pois ~q tem valor V e r tem valor F. p r A proposição p r tem valor F, pois p tem valor V e r tem valor F. ~q ~r A proposição ~q ~r tem valor V, pois ~q tem valor V e ~r tem valor V. ~p (~r q) Observe que ~r tem valor V, q tem valor F e, portanto, a condicional (~r q) tem valor F. Como ~p tem valor F, conclui se que a proposição ~p (~r q) tem valor F. (p ~r) q Observe que p tem valor V, ~r tem valor V e, assim, a conjunção (p ~r) tem valor V. Como q tem valor F, conclui-se que a proposição (p ~r) q tem valor F. Conjuntos É possível relacionar as proposições condicionais e conjuntos. Isso pode ser feito naturalmente pela associação de conceitos matemáticos com conceitos lógicos. Para uma melhor compreensão, atente para alguns conceitos. 60
Elementos de conjuntos Os deputados federais são eleitos para representar os interesses da sociedade brasileira no Congresso Nacional, em Brasília. Universidade Federal de Minas Gerais. Os deputados federais são elementos do conjunto de políticos do Congresso Nacional. Se considerássemos o conjunto de todos os políticos que trabalham no Congresso Nacional, cada deputado federal e cada senador seria um elemento desse conjunto. Esse conjunto poderia ser representado de várias maneiras. Sendo C o conjunto dos políticos que trabalham no Congresso Nacional, observe algumas dessas maneiras: C = {x / x é político do Congresso Nacional} C = {políticos do Congresso Nacional} Políticos do Congresso Nacional Deputado Federal 1 Deputado Federal 2 Deputado Federal n Senador 1 Senador 2 Senador m 61
A associação entre um elemento e um conjunto é chamada de relação de pertinência: Dizemos que um elemento x pertence a um conjunto A, e representamos por x A, quando x é um dos elementos que constituem o conjunto A. Caso contrário, quando não constitui, dizemos que x não pertence a A, ou seja, x A. Exemplo 1: Para o conjunto A = {2; 5; 7}, podemos escrever: 2 A, 5 A, 7 A e 3 A. Exemplo 2: Para o conjunto B = { ; ; }, temos: B, B, B, mas B. Exemplo 3: O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação é formado pelos valores da variável que tornam a igualdade verdadeira. Por exemplo, qual é o conjunto solução da equação x 2 5x + 6 = 0? O conjunto solução S pode ser assim definido: S = {x/ x 2 5x + 6 = 0} A resolução pode ser efetuada pela fórmula de Bháskara (1114-1185): x 2 5x + 6 = 0 x = ( 5) ± ( 5)2 4. 1. 6 2.1 Logo, o conjunto solução S da equação é S = {2, 3}: x = 5 ± 1 2 x = 2 ou x = 3 S 2 3 Diagrama Os números 2 e 3, chamados de raízes, são os únicos números que tornam verdadeira a equação ao se substituir a variável x por 2 ou por 3, separadamente: x = 2 2 2 5. 2 + 6 = 0 0 = 0 (igualdade verdadeira) x = 3 3 2 5. 3 + 6 = 0 0 = 0 (igualdade verdadeira) 62
Observação: Apesar de existir várias maneiras de se representar um conjunto, o mais importante, entretanto, não é a representação utilizada, mas, sim, que não haja dúvida sobre quais são os elementos componentes. Subconjuntos Assim como elementos podem estar associados a conjuntos utilizando os símbolos correspondentes a pertence ( ) e não pertence ( ), dois conjuntos podem estar também relacionados por meio dos símbolos (está contido) ou (não está contido). Como exemplo, considere: C: políticos do Congresso Nacional B: políticos brasileiros Então, podemos escrever: C B Nesse caso, o conjunto C é subconjunto do conjunto B: C B Nesta representação C está contido no B Dizer que o conjunto dos políticos do Congresso Nacional está contido no conjunto dos políticos do Brasil é o mesmo que afirmar: Todo político do Congresso Nacional é um político do Brasil. Podemos também dizer que o conjunto B contém o conjunto C, ou seja, B C. Pode ocorrer que nem todos os elementos de um conjunto (ou nenhum) pertençam ao outro conjunto. Para ilustrar, considere os seguintes conjuntos: A: pessoas que trabalham no Congresso Nacional B: políticos do Brasil 63
Existem pessoas que trabalham no Congresso Nacional e não são políticos. Nesse caso, dizemos que A não está contido em B ou que o conjunto B não contém o conjunto A. Em símbolos, a representação é A B. A B Nesta representação o conjunto A não está contido em B Exemplo: Dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {2; 4; 5} e C = {0; 1; 2; 3}, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A, mas nem todos os elementos de C pertencem ao conjunto A. A ilustração indica que o conjunto B é subconjunto de A e o conjunto C não é subconjunto de A. A C 0 1 3 2 4 5 B Logo, podemos escrever: B A e C A. Conjunto vazio Um conjunto qualquer pode ter muitos elementos, até infinitos elementos podem ocorrer. Por outro lado, um conjunto pode também não ter elementos. Quando um conjunto não possui elemento algum é chamado de conjunto vazio. Um conjunto vazio não possui elemento algum. Para representá-lo, existem duas maneiras: { } ou. 64
Observações: Não é possível apresentar um elemento sequer do conjunto vazio que não pertença a um conjunto qualquer A. Por isso, admitimos sempre que: A, qualquer que seja A. Todos os elementos de um conjunto A pertencem ao próprio conjunto A, ou seja: A A, para todo conjunto A. Exemplo 1: Dadas as afirmações a seguir, vamos classificá las em verdadeiras (V) ou falsas (F): ( V ) Se A = {m, n, p, q}, então m A. ( V ) {2, 3} {2, 3, 4} ( V ) {0, 2, 4, 6,...} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} ( V ) Se A B e B C, então A C. ( V ) A, qualquer que seja A. ( V ) Se A B e B A, então A = B. ( V ) Se A = {x/ x > 0 e x é par}, então A = {2, 4, 6, 8,...} Exemplo 2: Quais possíveis conjuntos X satisfazem a relação {3, 4} X {2, 3, 4, 5}? Para satisfazer tal relação, X deve conter {3, 4} e, ao mesmo tempo, estar contido em {2, 3, 4, 5}. Assim, existem quatro conjuntos possíveis para X: X = {2, 3} X = {2, 3, 4} X = {2, 3, 5} X = {2, 3, 4, 5} 65
Proposições condicionais e conjuntos A Inglaterra é um dos países da Europa. IESDE Brasil S.A. Adaptado. Escala gráfica aproximada 0 405 Km Fonte: Temática Cartografia. Legenda: Territórios pertencentes ao continente europeu Territórios pertencentes à outros continentes Reino Unido 66 Por esse motivo, podemos escrever: Todo inglês é europeu. E representar: Pessoa inglesa Pessoa europeia, ou seja: Se uma pessoa é inglesa, então é europeia. Observação: Em Lógica, quando utilizamos a proposição p q (se p, então q), estamos relacionando dois conjuntos: P (formado pelos elementos que satisfazem a propriedade p) e Q (formado pelos elementos que satisfazem a propriedade q), de forma que todos os elementos de P sejam elementos de Q, ou seja, P Q. p q corresponde a P Q.
Exemplo 1: Considere as definições: p: Ana é inglesa q: Ana é europeia e as designações P: conjunto dos ingleses Q: conjunto dos europeus Relacionando as ideias, podemos escrever: Se Ana é inglesa, então Ana é europeia (p q). Logo, de forma equivalente, todo inglês é europeu (P Q). Para explorar mais detalhes relacionados à lógica, considere: ~p: Ana não é inglesa ~q: Ana não é europeia O que você diria quanto às afirmações: Se Ana é europeia, então Ana é inglesa (q p). Se Ana não é inglesa, ela não é europeia (~p ~q). Quem é da Alemanha, por exemplo, não é da Inglaterra, mas é da Europa. Assim, uma pessoa europeia não é necessariamente inglesa. Do mesmo modo, uma pessoa não inglesa não é necessariamente não europeia. Organizando as informações, podemos dizer que a proposição: Pessoa inglesa Pessoa europeia não é equivalente a qualquer uma das seguintes proposições: Pessoa europeia Pessoa não inglesa Pessoa inglesa Pessoa não europeia Entretanto, a proposição: Se Ana é inglesa, então Ana é europeia (p q). 67
é equivalente a: Se Ana não é europeia, então Ana não é inglesa (~q ~p). Europeus Ingleses Ana Ana Se Ana não é europeia, então não é inglesa. Se Ana é inglesa, então é europeia. Observe que essa relação é validada pelo seguinte fato: Proposição condicional: Se Ana é inglesa, então é europeia. Proposição contrapositiva equivalente: Se Ana não é europeia, então não é inglesa. Exemplo 2: Considere as definições: p: Bruno é carioca q: Bruno é brasileiro e as designações: P: conjunto dos cariocas Q: conjunto dos brasileiros Associando as proposições e os conjuntos, temos: Se Bruno é carioca, então Bruno é brasileiro (p q). De forma equivalente, todo carioca é brasileiro (P Q). Observe no próximo exemplo que as relações entre as proposições e os conjuntos não precisam ser geográficas. 68
Exemplo 3: Considere as ações: p: Estudar q: Aprovação no concurso e as designações: P: conjunto dos que estudam Q: conjunto dos aprovados em concursos Se a relação entre as proposições p e q se dá por uma proposição condicional, podemos escrever: Se alguém estuda, então é aprovado no concurso (p q). Da mesma forma: Todos os que estudam são aprovados no concurso (P Q). Exemplo 4: Qual ilustração poderia ser construída se considerássemos como verdadeira a proposição: Se dirige rápido, então está apressado (p q). O conjunto das pessoas que dirigem rápido é subconjunto das pessoas apressadas: Pessoas apressadas Pessoas que dirigem rápido Todas as pessoas que dirigem rápido são apressadas. Vale ainda ressaltar que, de acordo com a ilustração anterior, as pessoas que não dirigem rápido podem ou não ser apressadas. 69
Exemplo 5: Considerando verdadeira a proposição: Todas as plantas são verdes. Por meio de diagramas, a ilustração adequada para relacionar os conjuntos plantas e verdes é a seguinte: Verdes Plantas Observe que as proposições a seguir não são necessariamente verdadeiras: Todos os verdes são plantas. Todas as não plantas são não verdes. A proposição abaixo é necessariamente verdadeira, pois se todas as plantas são verdes, obrigatoriamente algumas plantas são verdes. Algumas plantas são verdes. Também é necessariamente verdadeira a proposição abaixo: Todos os não verdes são não plantas. Para verificar, basta utilizar a proposição contrapositiva correspondente. Proposição condicional: Plantas Verdes Proposição contrapositiva equivalente: Não Verdes Não Plantas Isso pode ser verificado no diagrama anterior: os elementos que não pertencem ao conjunto dos Verdes necessariamente não pertencem ao conjunto das Plantas. 70
Exemplo 6: Considere verdadeira a proposição: Todos os advogados são honestos. Uma ilustração que representa corretamente a relação entre os conjuntos Advogados e Honestos é a seguinte: Honestos Advogados Se Todos os advogados são honestos, então: Todos os honestos são advogados. Todos os não advogados são não honestos. as proposições não são necessariamente verdadeiras. A proposição: Alguns advogados são honestos. é necessariamente verdadeira, pois se todas os advogados são honestos, é verdade que alguns advogados são honestos. A proposição abaixo também é necessariamente verdadeira. Todos os não honestos são não advogados. Observe: Proposição condicional: Advogados Honestos Proposição contrapositiva equivalente: Não honestos Não advogados 71
Ampliando seus conhecimentos O próximo texto foi extraído do livro Lógica? É Lógico! (MACHADO, 2000, p. 9) O filme O Enigma de Kaspar Hauser relata a história de um homem (Kaspar Hauser) que viveu isolado de outras pessoas desde criança até a idade adulta, quando aprendeu a falar. Nesse filme, há uma cena em que um professor de Lógica, para investigar a inteligência de Kaspar Hauser, propõe o seguinte problema: Caminhando por certa estrada, você chega a um ponto em que há uma bifurcação: uma das vias conduz à aldeia A e a outra conduz à aldeia B. No ponto de bifurcação, você encontra dois homens, cada um vindo de uma das aldeias onde vivem. Não se sabe qual deles vem da aldeia A ou da B. Sabe-se apenas que todos os habitantes da aldeia A mentem o tempo todo, enquanto todos os habitantes da B falam somente a verdade. Você deve identificar a procedência de cada um dos homens, sendo-lhe permitido, para isso, fazer uma única pergunta a um só deles. Qual deve ser a pergunta? Kaspar Hauser respondeu: Eu perguntaria a qualquer um dos dois: Você é uma pedra? Explique como essa única pergunta feita a qualquer um dos homens possibilitou a identificação da origem de cada um deles. Comentário do autor: Cada um dos homens tem uma procedência diferente e, portanto, naturezas distintas em relação à falar ou não a verdade. A pergunta você é uma pedra? deve ser respondida com um sim por quem mente e não por quem fala a verdade. Logo, independentemente a quem é feita a pergunta, de acordo com a resposta, sempre será possível identificar se o homem fala a verdade ou mente. Além disso, o homem a quem não é feita a pergunta terá, necessariamente, natureza oposta do primeiro a quem é feita a pergunta. Isso possibilitará identificar a origem de cada um deles. 72
Atividades de aplicação 1. Considere as proposições simples: p: 7 é um número ímpar. q: Existem infinitos números inteiros. r: Todo europeu é francês. De acordo com os valores lógicos de p, q e r, determine os valores lógicos das proposições compostas: a) ( ) p q b) ( ) ~q r c) ( ) p r d) ( ) q ~r e) ( ) ~r ~q f) ( ) p q g) ( ) ~q r h) ( ) (~p r) (~q) 2. Considerando verdadeira a proposição Se sou carioca, então sou brasileiro, marque V ou F, conforme se possa concluir que cada uma das seguintes proposições é verdadeira ou falsa, respectivamente. a) ( ) Ser carioca é suficiente para ser brasileiro. b) ( ) Ser brasileiro é necessário para ser carioca. c) ( ) Ser brasileiro é suficiente para ser carioca. d) ( ) Ser carioca é necessário para ser brasileiro. e) ( ) Sou carioca somente se sou brasileiro. f) ( ) Sou brasileiro somente se sou carioca. 73
3. Considerando como verdadeira a proposição Se Almir é almirante, então Bruno é biruta, marque com um X as proposições que são necessariamente verdadeiras. a) ( ) Se Bruno é biruta, então Almir é almirante. b) ( ) Se Bruno não é biruta, então Almir não é almirante. c) ( ) Se Almir não é almirante, então Bruno não é biruta. d) ( ) Almir ser almirante é condição suficiente para Bruno ser biruta. e) ( ) Almir ser almirante é condição necessária para Bruno ser biruta. f) ( ) Almir não ser almirante é condição suficiente para Bruno não ser biruta. g) ( ) Almir não ser almirante é condição necessária para Bruno não ser biruta. h) ( ) Bruno ser biruta é condição suficiente para Almir ser almirante. i) ( ) Bruno ser biruta é condição necessária para Almir ser almirante. j) ( ) Bruno não ser biruta é condição suficiente para Almir não ser almirante. k) ( ) Bruno não ser biruta é condição necessária para Almir não ser almirante. 4. Dada a proposição condicional Se estudo, então passo : a) Escreva uma proposição condicional equivalente. b) Escreva uma proposição não condicional equivalente. c) Escreva a negação da proposição dada. 5. Qual é a negação da proposição Se você estudou Lógica então você acertará essa questão? 6. Marque V ou F conforme a proposição seja verdadeira ou falsa, respectivamente. a) ( ) Uma condição necessária para que um número seja maior do que 3 é que ele seja positivo. 74
b) ( ) Uma condição suficiente para que um número seja maior do que 1 é que ele seja positivo. c) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo. d) ( ) Toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficiente para que ele seja maior do que 2. 7. Num balneário é rigorosamente obedecida a seguinte ordem: Se não chover, então todos os bares deverão ser abertos. Nas proposições a seguir, marque V conforme se possa concluir corretamente que a proposição é verdadeira. Caso contrário, marque F. a) ( ) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu. b) ( ) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu. c) ( ) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão abertos. d) ( ) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos. e) ( ) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu. 8. Por meio da tabela-verdade, mostre que a proposição Se tenho dinheiro, então viajo é a negação da proposição Tive dinheiro e não viajei. 9. Cada um dos cartões abaixo têm de um lado um número e do outro uma letra. U Z 4 5 Considerando como verdadeira a afirmação Todos os cartões que têm vogal numa face, têm número par na outra, marque V ou F em cada uma das proposições a seguir, conforme a proposição seja verdadeira ou falsa, respectivamente. Para verificar se tal afirmação é verdadeira, a) ( ) é necessário virar todos os cartões. 75
b) ( ) é suficiente virar os dois primeiros cartões. c) ( ) é suficiente virar os dois últimos cartões. d) ( ) é suficiente virar os dois cartões do meio. e) ( ) é suficiente virar o primeiro e o último cartão. 10. A sentença Estou feliz se, e somente se, meu time ganha é verdadeira. Marque V caso se possa concluir que a sentença apresentada é necessariamente verdadeira. Caso contrário, marque F. a) ( ) Estou feliz. b) ( ) Meu time ganhou. c) ( ) Não estou feliz. d) ( ) Meu time não ganhou. e) ( ) Se estou feliz, então meu time ganhou. f) ( ) Se meu time ganhou, então estou feliz. g) ( ) Se meu time não ganhou, então não estou feliz. h) ( ) Se não estou feliz, então meu time não ganhou. i) ( ) Se não estou feliz, então meu time ganhou. j) ( ) Se estou feliz, então meu time não ganhou. k) ( ) Se meu time ganhou, então não estou feliz. l) ( ) Se meu não time ganhou, então estou feliz. 76
Referências ABELARDO, Pedro. Lógica para Principiantes. Petrópolis: Vozes, 1994. ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2003. 203 p. ARISTÓTELES. Tópicos. São Paulo: Abril Cultural, 1973. (Coleção Os Pensadores).. Organon. São Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleção Os Pensadores). BOLL, Marcel; REINHART, Jacques. A História da Lógica. Lisboa: Edições 70, 1982. 127 p. CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6. ed. São Paulo: Nobel, 1986. 158 p. DESCARTES, René. Discurso do Método. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2003. 102 p. KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lógica. 12. ed. Petrópolis: Vozes, 2000. 179 p. KOPNIN, P. V. A Dialética como Lógica e Teoria do Conhecimento. Rio de Janeiro, 1978. 353 p. LAUSCHNER, Roque. Lógica Formal. 4. ed. rev. Porto Alegre: Sulina/ Unisinos, 1984. 207 p. LIARD, L. Lógica. 6. ed. São Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p. LIPSCHULTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. São Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337 p. MACHADO, Nilson José. Matemática 1 por Assunto lógica, conjuntos e funções. São Paulo: Scipione, 1988. 240 p.. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleção Vivendo a Matemática). MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lógica menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p. 77
NAHRA, Cínara; WEBER, Ivan Hingo. Através da Lógica. 5. ed. Petrópolis: Vozes, 1997. 174 p. OLIVEIRA, Augusto J. Franco de. Lógica Aritmética. Brasília: UnB, 2004. 241 p. SALMON, Wesley C. Lógica. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978. 142 p. SÉRATES, Jonofon. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 432 p. v. 1.. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 467 p. v. 2. SOARES, Edvaldo. Fundamentos da Lógica elementos da Lógica Formal e Teoria da Argumentação. São Paulo: Atlas, 2003. 187 p. TELLES JR., Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. São Paulo: Edusp, 1973. 367 p. 78
Gabarito 1. a) ( V ) b) ( V ) c) ( F ) d) ( V ) e) ( F ) f) ( V ) g) ( V ) h) ( F ) 2. a) ( V ) b) ( V ) c) ( F ) d) ( F ) e) ( V ) f) ( F ) 3. a) ( ) b) ( X ) c) ( ) d) ( X ) 4. e) ( ) f) ( ) g) ( X ) h) ( ) i) ( X ) j) ( X ) k) ( ) a) Se não passei, então não estudei. b) Não estudo ou passo. c) Estudei e não passei. 5. Você estudou lógica e não acertará essa questão. 6. a) ( V ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F ) 7. a) ( F ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F ) e) ( V ) 8. Sejam as proposições p: tenho dinheiro e q: viajo. A proposição Se tenho dinheiro, então viajo tem a forma p q e a proposição Tive dinheiro e não viajei tem a forma p ~q. Assim, temos: p q ~q p q p ~q V V F V F V F V F V F V F V F F F V V F A tabela comprova que as proposições são contraditórias, ou seja, ~(p q) p ~q. 79
9. a) ( F ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F ) e) ( V ) 10. a) ( F ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F ) e) ( V ) f) ( V ) g) ( V ) h) ( V ) i) ( F ) j) ( F ) k) ( F ) l) ( F ) 80