Luiz Fernando artha étodo das Forças 6 5.5. Exemplos de solução pelo étodo das Forças Exemplo Determine pelo étodo das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão =, x 5 knm 2. Sistema Principal e Hiperestáticos (g=2) X X Caso () Solicitação externa isolada no SP X 2 Caso () X isolado no SP Caso (2) X 2 isolado no SP X = /4 X = /4. X 2. X 2 X 2= /4 /4 /4 /4 Equações de Compatibilidade 2 X X = + 8.kNm + = 2 2 22 X2 X2 = 45.82kNm 54 = 9 6 6 6 = 6 2 = 72 4 6 4 72 6 = + + + 6 2 2 = 2 4 2 6 = + + = 2 2 = 22 = 4 6 = + 22 + Diagrama de omentos Fletores = + X + 2 X 2 (knm)
62 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Exemplo 2 Considere as duas estruturas mostradas abaixo. A da esquerda é um quadro isostático e a da direita é um quadro hiperestático. Os dois quadros sofrem a mesma solicitação: uma força horizontal de 5 kn aplicada no apoio da direita e um recalque desse mesmo apoio de 6 mm para baixo. Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E =, x 8 kn/m 2 e seções transversais com momento de inércia I =, x - m 4. Considere válida a hipótese de pequenos deslocamentos. Pede-se: (a) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. (b) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Deve-se utilizar o étodo das Forças, adotando OBRIGATORIAENTE como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Somente considere deformações por flexão. (b.) Dê a intepretação física do termo de carga do sistema de equações de compatibidade do étodo das Forças para esta solução. (b.2) ostre a dedução do termo de carga pelo Princípio das Forças Virtuais. (c) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I = 2, x - m 4 (a viga não se altera). Responda sem fazer nenhum cálculo: (c.) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? (c.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? Item (a) (knm) Item (b) Caso () Solicitação eterna isolada no SP Idêntico ao item (a). Caso () X isolado no SP ρ =.6m Como a estrutura é isostática, o pequeno recalque de apoio não provoca deformações (só movimento de corpo rígido). Portanto, o recalque não provoca momentos fletores, que só são devidos à carga de 5 kn aplicada. X =. X Item (b.) Equação de compatibilidade + X é a rotação da seção do apoio da esquerda no caso () =
Item (b.2) Cálculo de pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real (Estrutura da qual se quer calcular o deslocamento.) É o caso (), que é idêntico ao item (a). PFV: WE W E = U Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real. Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto de X = por mais o produto da reação vertical no apoio direito do caso () força de para baixo pelo recalque de a- poio ρ : W = + () ρ. E Luiz Fernando artha étodo das Forças 6 Sistema Virtual (Estrutura com força unitária virtual na direção do deslocamento que se quer calcular.) É o caso () com X =. U Energia de deformação interna virtual. Esta é a energia de deformação por flexão provocada pelos momentos fletores do sistema virtual = com as correspondentes rotações relativas internas do sistema real d θ = ( / ) dx. Deve ser observado que o recalque de apoio ρ não provoca deformações internas (só provoca movimento de corpo rígido). Portanto, d θ é somente devido à carga de 5 kn aplicada. Assim: U = dθ = dθ = dx estrutura estrutura estrutura Assim: = (/ ) () ρ dx estrut. = 2 2 2 = 4.5x rad = 2 = + x + + X = X 5kNm 5 =.6 rad / knm Diagrama de omentos Fletores = + X (knm) Item (c.) Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. Item (c.2) Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da vigas são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. Exemplo Determine pelo étodo das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão = 4, x 4 knm 2.
64 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Sistema Principal e Hiperestáticos Caso () Solicitação externa isolada no SP X X 2 X 2 X SP Caso () Hiperestático X isolado no SP Caso (2) Hiperestático X 2 isolado no SP X = X = X 2 = X 2 = x X 2 x X 2 Equações de compatibilidade: + X + 2X2 = 56 + 2 + = 2 + 2X + 22X2 = X 4 2 + 8 X2 X = + 9,4 knm X2 = + 9, knm 2 56 = 24 6 9 6 24 6 = 2 4 2 = 24 6 9 6 6 6 6 6 = + 2 = 6 6 6 = + + + 2 = 2 = 6 = = 4 6 = 22 + omentos Fletores Finais: = + X + 2 X2 8
Luiz Fernando artha étodo das Forças 65 Exemplo 4 Considere os quatro pórticos mostrados abaixo. Os pórticos do lado esquerdo são isostáticos e os do lado direito são hiperestáticos. Os pórticos superiores têm como solicitação uma carga uniformemente distribuída aplicada na viga. As duas estruturas inferiores têm como solicitação um aumento uniforme de temperatura ( T = 2 C) na viga. Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 8 kn/m 2 e coeficiente de dilatação térmica α = 5 / C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I =, x m 4. Pede-se: (a) Indique os aspectos das configurações deformadas (amplificadas) das quatro estruturas. (b) Determine os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas e os aspectos (não precisa dos valores numéricos) dos diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas. (c) Determine o diagrama de momentos fletores (com valores numéricos) da estrutura hiperestática inferior (solicitada pela variação de temperatura). Deve-se utilizar o étodo das Forças, adotando obrigatoriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Somente considere deformações por flexão. Sabe-se que o alongamento relativo interno de um elemento infenitesimal de barra devido a uma variação uniforme de temperatura é du = α T dx. Neste caso não existe rotação relativa interna do elemento infinitesimal. (d) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I = 2, x - m 4 (a viga não se altera). Responda: (d.) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? (d.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? Item (a)
66 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Item (b) = (veja solução abaixo) Item (c) Caso () Variação de temperatura no SP Caso () Hiperestático X isolado no SP = X =. X 5 5 = α T L = 2 = + 72 Equação de compatibilidade + X = X = kn omentos fletores finais (veja acima) = + X = + ( = ) m ( ) 2 X = = dx = 2 + = + 72 5 m/kn Item (d.) Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico no viga). No caso da variação de temperatura, a estrutura i- sostática terá sempre momentos fletores nulos. Item (d.2) Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá como o mesmo aspecto do diagrama de momentos fletores indicado no item (a), mas os valores ficam alterados em relação ao diagrama com viga e colunas com mesma seção transversal.
Luiz Fernando artha étodo das Forças 67 A solução da estrutura hiperestática pelo étodo das Forças, para a solicitação de variação uniforme de temperatura na viga, demonstra que a os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transversais barras: O caso () mostrado no item (c) permanece inalterado, isto é: 5 5 = α T L = 2 = + 72 m. O diagrama de momentos fletores do item (c) é o mesmo, mas o valor do coeficiente de flexibilidade fica alterado: = [ ] + 2 viga coluna 24/7 24/7 5 5 5 = 54 + 9 = 6 m/kn Equação de compatibilidade X X 8 + = = 7 kn omentos fletores finais = ( 8 + X = 7) 24/7 8/7 24/7 8/7 Exemplo 5 Determine pelo étodo das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão =, x 5 knm 2. Sistema Principal e Hiperestáticos (g = 2) X X 2 X 2 Caso () Solicitação externa isolada no SP X
68 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Caso () Hiperestático X isolado no SP Caso (2) Hiperestático X 2 isolado no SP X = X = X 2 = X 2 =. X 2. X 2 Equações de Compatibilidade 2 X X = 6.kNm + = 2 2 22 X2 X2 = + 7.7kNm 296 = 72 6 288 6 288 6 = + + + 2 72 288 + 288 44 2 =.5 42 +.5 42 =.5 44.5 44 = 6 6 6 = + + + 4 2 = 2 = 6 6 6 = 6 2 7 22 = 6 4.5.5 = + + omentos Fletores Finais = + X + 2 X 2 Exemplo 6 Determine pelo étodo das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão = 4, x 4 knm 2.
Sistema Principal e Hiperestáticos (g=2) X Luiz Fernando artha étodo das Forças 69 omentos Fletores Finais X = + X + 2 X 2 X 2 X 2 Caso () Solicitação externa isolada no SP Caso () X isolado no SP Caso (2) X 2 isolado no SP X = X =. X 2. X 2 X 2= X 2= Equações de Compatibilidade 2 X X = 2.5kNm + = 2 2 22 X2 X2 = 52.kNm 78 = 8 6 6 = + + + 2 2 2 8 6 6 + + 2 2 45 2 = = + + 6 + 9 7 = = + + + 9 2 = 2 = = + + 2 2 6 22 = = + +
7 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Exemplo 7 Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando o étodo das Forças. As seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente: Uma carga concentrada de 4 kn no centro de cada vão. Aquecimento das fibras superiores da viga de T s = 5 C ao longo de toda a sua extensão (as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, T i = C). Recalque vertical (para baixo) de cm do apoio direito. Sabe-se: (a) A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 8 kn/m 2 e coeficiente de dilatação térmica α = 5 / C. (b) A viga tem seção transversal com área A =, x 2 m 2 e momento de inércia I =, x m 4. A altura da seção transversal é h =,6 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. (c) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é du T = α T CG dx, sendo T CG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. (d) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é T α ( Ti Ts )dx dθ =. h Sistema Principal e Hiperestático (g=) X X Caso () Solicitação externa isolada no SP Como o Sistema Principal é isostático, a variação de temperatura e o recalque de apoio só provocam deslocamentos (não provocam esforços internos). Portanto, os momentos fletores só são devidos às cargas de 4 kn aplicadas. Caso () X isolado no SP X = X =. X Equação de compatibilidade + X = é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida na criação do Sistema Principal no caso (). é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida na criação do Sistema Principal devido a X = no caso ().
Luiz Fernando artha étodo das Forças 7 Cálculo de pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real (Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa.) É o caso (). PFV: WE W E = U Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real. Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto de X = por mais o produto da reação vertical no apoio direito do caso () força de para baixo pelo recalque de apoio: W = + ( ) (.). E W E = U α ( Ti Ts ) = dx +. h 6 dx = 2.5 6.5 6. 6 6 α ( 5) 8 + 2 6.. =.6 2 6 4 = 2.. 6 = + X = X 45kNm + = omentos Fletores Finais = + X Sistema Virtual (Estrutura com momentos unitários virtuais na direção da rotação relativa que se quer calcular.) É o caso () com X =. U Energia de deformação interna virtual. (Despreza-se a energia de deformação por cisalhamento e, como o esforço normal no caso () é nulo, a energia de deformação axial é nula.) Portanto, a energia de deformação é somente devida à flexão, isto é, é a energia (virtual) provocada pelos momentos fletores do sistema virtual = com as correspondentes rotações relativas internas do sistema real d θ. A rotação relativa interna real no caso () é devida às cargas de 4 kn aplicadas e devida à variação de temperatura: P T dθ = dθ + dθ Sendo, dθ P = ( / ) dx e T dθ = [ α ( Ti Ts )/ h] dx Deve ser observado que o recalque de apoio não provoca rotação relativa interna (só provoca movimento de corpo rígido). Assim: P T U = dθ = dθ = dθ + dθ estrutura estrutura estrutura α ( Ti Ts ) U = dx + dx h estrutura Exemplo 8 Determine pelo étodo das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão = 4.x 4 knm 2. Somente considere deformações por flexão.
72 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Sistema Principal e Hiperestáticos Caso () Solicitação externa isolada no SP X 2 X X X 2 Caso () Hiperestático X isolado no SP Caso (2) Hiperestático X 2 isolado no SP 2 2 x X 2 x X X = X = X 2 = X 2 = Sistema de Equações de Compatibilidade 2 X X = 48.6kNm + = 2 2 22 X2 X2 = + 24.kNm 96 = 2 26 2 72 72 9 9 + + + = + 2 2 486 2 = 26 72 72 9 9 + + = 2 2 6 = 2 2 4 = + = 2 = 2 = + 6 2 + 2 = 2 6 = + + 22 + 7 omentos fletores finais = + + X 2 X 2
Luiz Fernando artha étodo das Forças 7 Exemplo 9 Considere a estrutura hiperestática abaixo, onde também está indicado o seu diagrama de momentos fletores. Todas as barras têm a mesma inércia a flexão e pode-se considerar que não existem deformações axiais e de cisalhamento nas barras. Pede-se: Item (a) Determine um possível sistema principal (étodo das Forças) para o quadro acima. As incógnitas (hiperestáticos) também devem ser indicadas. ostre a decomposição do sistema principal em quadros isostáticos simples (tri-articulados, bi-apoiados ou engastados e em balanço). Item (b) Considerando o sistema principal encontrado no item anterior, indique os casos básicos caso (), caso (), caso (2), etc. utilizados para análise da estrutura pelo étodo das Forças. Determine os diagramas de momentos fletores para todos os casos básicos. Item (c) Escreva literalmente (somente símbolos, sem números) o sistema de equações finais da solução desta estrutura pelo étodo das Forças. Escolha uma destas equações e indique as expressões numéricas envolvidas nos cálculos de cada um dos coeficientes da equação escolhida. Não é preciso completar as contas para calcular os coeficientes. Indique que tipo de condição que esta equação está impondo. Indique as interpretações físicas e unidades de todos os coeficientes que aparecem na equação escolhida. Item (d) Com base no diagrama de momentos fletores fornecido para a estrutura hiperestática e no sistema principal escolhido, determine os valores das incógnitas (hiperestáticos) que resultariam da solução da estrutura pelo étodo das Forças. Demonstre que a superposição dos casos básicos, considerando os valores dos hiperestáticos encontrados, resulta no diagrama de momentos fletores fornecido. Item (a) Sistema Principal e Hiperestáticos (g=) X X X X X 2 X 2 X 2 X 2 X X
74 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Item (b) Caso () Solicitação externa isolada no SP Caso () X isolado no SP X = X =. X Caso (2) X 2 isolado no SP Caso () X isolado no SP X 2= X 2=. X 2. X 2 X = Item (c) Equações de Compatibilidade 2 X 2 + 2 22 2 X2 = 2 X Considere a primeira equação deste sistema: Esta equação impõe uma condição de compatibilidade interna: a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X é nula, isto é, no ponto onde foi introduzida a rótula a rotação da elástica é contínua. Termo de carga [rad] rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X devida à solicitação externa no caso (): = 6.5 92 +.5 72 +.5 2 +.5 72 Coeficiente de flexibilidade [rad/knm] rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X devida a X = : = + 2 + 4.5.5 Coeficiente de flexibilidade 2 [rad/knm] rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X devida a X 2 = :
Luiz Fernando artha étodo das Forças 75 2 = +.5.5.5 6 2 Coeficiente de flexibilidade [rad/knm] rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X devida a X = : =.5.5 2 Item (d) Os valores dos hiperestáticos podem ser obtidos do diagrama de momentos fletores finais da estrutura que foi fornecido: X = +5. knm Demonstração de que a superposição dos casos básicos resulta nos momentos finais: + X + 2 X 2 + X = Considere o momento fletor assinalado no diagrama. Observa-se que este valor pode ser obtido pela superposição dos momentos fletores dos casos básicos nesta seção: +2 +.5 5. + (-.) 28.2 + (-.) 89. = +2. X 2 = +28.2 knm O mesmo pode ser verificado para outras seções. X = +89. knm Exemplo Considere os dois pórticos mostrados abaixo. As duas estruturas têm como solicitação o carregamento uniformemente distribuído indicado e um aumento de temperatura T i = 6 C nas fibras inferiores da viga. As fibras superiores da viga não sofrem variação de temperatura ( T s = C). Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E =, x 8 kn/m 2 e coeficiente de dilatação térmica α = 5 / C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I =, x m 4, altura h =.6 m e centro de gravidade no meio de altura. Somente considere os efeitos axiais para a variação de temperatura.
76 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Pede-se: Item (a): Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. Item (b): Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Item (c): Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I = 2, x - m 4 (a viga não se altera). Responda: (c.) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? (c.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? Item (a) Item (b) Sistema Principal e Hiperestático (g=) Caso () Solicitação externa isolada no SP X Caso () X isolado no SP N = N = + N = X =. X X = Equação de compatibilidade + X = q T Sendo = + : q deslocamento horizontal da seção do apoio da direita devido à carga distribuída no caso (). deslocamento horizontal da seção do T apoio da direita devido à variação de temperatura no caso (). 2 = dx = 72 6 = + 864 T T = d + Ndu q 5 T θ dθ du T T viga α = viga ( T T ) i h s α 8 dx = dx = α T dx = α 8 dx α 8 = GC T 8 viga dx + α Ndx viga α 8 T = + α 8 = + 528 5 m m
Luiz Fernando artha étodo das Forças 77 ( ) 2 = dx = 2 + = + 72 5 m/kn ( 864 + 528) X + X = 5 58 = kn + 72 5 X = omentos fletores finais = + X Item (c) Item (c.) Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico na viga). omentos fletores devidos à variação de temperatura isolada na estrutura isostática são sempre nulos. Item (c.2) Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez à flexão, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. A solução da estrutura hiperestática pelo étodo das Forças mostrada no item (b) demonstra que os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transversais das barras. Exemplo Determine pelo étodo das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão =, x 5 knm 2.
78 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Sistema Principal e Hiperestáticos (g = 2) Caso () Solicitação externa isolada no SP X 2 X 2 X X Caso () Hiperestático X isolado no SP. X Caso (2) Hiperestático X 2 isolado no SP 2. X 2 X = X = X 2 = X 2 = Equações de Compatibilidade 2 X X = + 4.6kNm + = 2 2 22 X2 X2 = 4.8kNm 27 = 72 72 6 8 = + 2 +.5 6 +.5 6 27 2 = +.5 8.5 8 = + + 72 + 72 + 8 8 = 6 = + + + 7 2 = 2 = 6 = + 2 6 2 5 22 = 4.5.5 2 6 = + + + omentos Fletores Finais = + X + 2 X 2
Luiz Fernando artha étodo das Forças 79 Exemplo 2 Determine pelo étodo das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão = 2,4 x 4 knm 2. Sistema Principal e Hiperestáticos (g=2) Caso () Solicitação externa isolada no SP X 2 X 2 X X Caso () X isolado no SP Caso (2) X 2 isolado no SP /4 X 2= X 2= /4 /4 X = X = /4. X /4 /4 /4. X 2 /4 2 Equações de Compatibilidade 2 X X =,knm + = 2 2 22 X2 X2 = + 6,6kNm 6 6 2 6 + 2 2 28 = = 2 4 + 45 4 2 = 6 2 6 2 4 = 2 2 2 + 8 = = + 2 4 22 = 2 = 6 4 = + + 2 + 26 = 6 2 4 = + 22 + omentos Fletores Finais = + X + 2 X 2
8 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Exemplo Provão de Engenharia Civil, 22 Em uma construção a meia encosta, a laje de piso foi apoiada em estruturas metálicas compostas de perfis I, colocados de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante. Ao inspecionar a obra para recebimento, você verificou a existência de um recalque vertical de cm no engaste A de uma das estruturas metálicas, cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo (na esquerda). A fim de avaliar os esforços adicionais nessa estrutura, ocasionados pelo recalque, você utilizou o étodo das Forças e, para tanto, escolheu o Sistema Principal (no qual foi colocada uma rótula no nó B) e o hiperestático X (carga momento em ambos os lados da rótula inserida em B), mostrados na figura (no centro). A seção transversal do perfil e a orientação dos eixos x e y estão representadas na figura (na direita). A B laje encosta C X X y x ódulo de elasticidade do material: E = 2, x 8 kn/m 2 omentos de inércia da seção transversal: J x = 5, x -5 m 4 J y = 8,4 x -6 m 4 Com base no exposto, pede-se o diagrama de momentos fletores, causado apenas pelo recalque em A. Despreze deformações axiais das barras. Caso () Solicitação externa isolada no SP Caso () X isolado no SP ρ = ρ /4 = + 2,5 ρ =, m rad = X = X = /4. X V = /4 A Equação de compatibilidade + X = é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada pelo recalque de apoio no caso (). é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada por X no caso (). = = 2 4 = + + O enunciado diz que os perfis metálicos foram colocados de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante. Portanto, o momento de inércia da seção transversal a ser adotado é o maior momento de inércia da barra: I = J x = 5, x -5 m 4. + = 2,5 + X 8 5 X = 2 5, X Cálculo de pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real (Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa.) É o caso (). 7,65 knm. Sistema Virtual (Estrutura com momentos unitários virtuais na direção da rotação relativa que se quer calcular.) É o caso () com X =.
Luiz Fernando artha étodo das Forças 8 PFV: WE W E = U Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real. Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto de X = por mais o produto da reação vertical no apoio esquerdo do caso () força de /4 para cima pelo recalque de apoio: + V ρ WE = A W E = + ( + /4) (,) U Energia de deformação interna virtual. O recalque de apoio não provoca deformações internas (só provoca movimentos de corpo rígido das barras). Portanto: U = W E = U + ( + /4) (,) = =,/4 = + 2,5 rad omentos Fletores Finais = + X = X = 7,65 Exemplo 4 Determine pelo étodo das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão =, x 4 knm 2. Sistema Principal e Hiperestáticos (g=2) Caso () Solicitação externa isolada no SP X 2 X X X 2
82 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Caso () X isolado no SP Caso (2) X 2 isolado no SP X = X =. X 2 X 2= X 2=. X 2 Equações de Compatibilidade 2 X X = + 6,8 knm + = 2 2 22 X2 X2 = 2,5 knm 6 8 6 6 + 47 = = + + 2 = 6 8 6 6 6 = + 2 + 56 2 + = = 2 + + 9 = 2 6 = 2 = 2 = 2 6 2 = + 22 + 6 4 omentos Fletores Finais = + X + 2 X 2 Exemplo 5 Utilizando o étodo das Forças, determine o diagrama de esforços normais para a treliça hiperestática ao lado submetida ao carregamento indicado e a um aumento uniforme de temperatura de 5 C em todas as barras. Todas as barras têm o mesmo valor para a inércia axial EA =, x 5 kn e para o coeficiente de dilatação térmica α =, x -5 / C. Sabese que o deslocamento axial relativo interno para uma variação uniforme de temperatura T é igual a: du T = αtdx.
Luiz Fernando artha étodo das Forças 8 Sistema Principal e Hiperestáticos (g=) Caso () Solicitação externa isolada no SP Caso () X isolado no SP X - 25 2 +25 N +25-25 2 N. X X = + + Equação de Compatibilidade + X = P T Termo de carga: = + P deslocamento horizontal no apoio da direita devido à carga P = 5 kn no caso (). deslocamento horizontal no P apoio da direita devido à variação uniforme de temperatura T = 5 C no caso (). Esforços Normais Finais (N só é devido à carga de 5 kn pois a variação de temperatura não provoca esforços no SP isostático ) P NN 2 = dx = [ 2 ( 25 4) ] = + EA EA EA estrutura T T = Ndu = NαTdx = 5α Ndx = 5α 2 ( 4) = + 4 estrutura 2 N 8 = dx = [ 2 ( 4) ] = + EA EA EA estrutura 5 5 EA = kn = / C (2 + 4) X = 75 kn α 5 + 8 5 X = [ ] α N = N + N X N - 25 2-25 2 [kn] 5 5 Exemplo 6 Determine pelo étodo das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão = 9,6 x 4 knm 2.
84 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Sistema Principal e Hiperestáticos (g=2) Caso () Solicitação externa isolada no SP X 2 X X X 2 Caso () X isolado no SP Caso (2) X 2 isolado no SP X = X = x. X 2 X 2= X 2= x. X 2 Equações de compatibilidade: 2 X X = + 6,6 knm + = 2 2 22 X2 X2 = 29,7 knm 54 6 6 528 = = 8 2 2 42 2 = 6 6 8 = + + + + 2 2 7 = 6 = + + + + + 7 2 = 2 = = + 6 2 7 22 = 6 = + + + + + omentos fletores finais: = + X + 2 X 2
Luiz Fernando artha étodo das Forças 85 Exemplo 7 Empregando-se o étodo das Forças, obter os diagramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJ t = 6, para todas as barras. Sistema Principal (SP) e Hiperestático X Caso () Solicitação externa isolada no SP 24 T 2 +2 Caso () Hiperestático X isolado no SP T 6 X x X = X = 6 Equação de Compatibilidade + X = = 2 + 24 24 + [ 6 ( 6) 2] 6 GJ t 26 42 288 = = 6 = + + + + 6 ( ) ( ) + 6 ( 6) ( 6) 99 27 44 = + = 6 X = 2 kn [ ] + GJ t
86 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha omentos Fletores e omentos Torçores finais + = X T = T + T X 8 T 6 6 6 Exemplo 8 Empregando-se o étodo das Forças, obter os diagramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJ t =, para todas as barras. Sistema Principal (SP) e Hiperestático Caso () Solicitação externa isolada no SP 24 kn X 2 kn 2 kn T Caso () Hiperestático X isolado no SP X = X = 2 T x X
Luiz Fernando artha étodo das Forças 87 Equação de Compatibilidade + X = = + + 9 + + [ ( ) ( 6) ] GJ 24 24 = + = + t = + + + + [ ( ) ( ) + ( ) ( ) ] GJ 5 6 54 = + = + t 54 X = 6.5 kn omentos Fletores e omentos Torçores finais = + X 24 kn T = T + T X T 6.5 kn kn 5.5 kn Exemplo 9 Empregando-se o étodo das Forças, obter os diagramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJ t =, para todas as barras. Sistema Principal (SP) e Hiperestático Caso () Solicitação externa isolada no SP T X
88 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Caso () Hiperestático X isolado no SP T X = X = x X 6 Equação de Compatibilidade: + X X = +.25 kn = = 8 8 + 72 + 9 + 6 6 6 [( ) ] = t = + + + + + 6 6 [ 2 ( ( ) ( ) ) ] GJ 9 54 = + = + t GJ 8 7 omentos Fletores e omentos Torçores finais = + X 46.5 72.75 5.25 9.75 T = T + T X T 72 +5.25.75 5.25 Exemplo 2 Empregando-se o étodo das Forças, obter os diagramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJ t =, para todas as barras. Sistema Principal (SP) e Hiperestático X
Caso () Solicitação externa isolada no SP 2 Luiz Fernando artha étodo das Forças 89 T 2 2 2 2 +2 2 2 2 2 2 Caso () Hiperestático X isolado no SP T /2 /2 X = X = + x X /2 + /2 Equação de Compatibilidade: = 2 + [] 6 GJ = t 6 = 2 + 2 + + X X = +4.4 kn [( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ] GJ 54 8 = + = + t = omentos Fletores e omentos Torçores finais + = X T = T + T X 8 T 2... +2 +. +. 2. Exemplo 2 Empregando-se o étodo das Forças, obter os diagramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJ t = 6, para todas as barras.
9 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha Sistema Principal (SP) e Hiperestático (g = ) Caso () Solicitação externa isolada no SP 8 T X 2 6 6 2 8 2 +6 2 +8 6 6 +6 Caso () Hiperestático X isolado no SP T X = X = 6 x X 6 Equação de Compatibilidade: = + 8 + + 8 8 6 6 6 27 756 27 756 96 + [( ) (6) + ( 6)(8) ] = = = GJ GJ 6 = + + + X X = +27.5 kn t t [( ) ( ) + ( 6) ( 6) ] GJ 99 27 99 27 = + = + = GJ 6 + t t = omentos Fletores e omentos Torçores finais + = X T = T + TX 97.5 T 44 6 +5 22.5 6 22.5 5 +6 22.5 Exemplo 22 Empregando-se o étodo das Forças, obter os diagramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJ t = 6, para todas as barras.
Luiz Fernando artha étodo das Forças 9 Caso () Solicitação externa isolada no SP GJ t = 6 6 8 2 Sistema Principal e Hiperestático (g = ) 6 24 6 SP 6 2 T +6 X +6 Caso () Hiperstático X isolado no SP X = T 2 + x X Equação de compatibilidade: + X = = + 6 6 + 8 + 6 62 62 + [( ) ( + 6) + ( + )( + 6) ] = + + = + GJ GJ = 4 + + 6 54 6 54 = + + = + + = GJ 6 t [( ) ( ) + ( + ) ( + ) ] + t 62 45 + X = 45 X =,6 kn t GJ t omentos Fletores Finais: = + X omentos Torsores Finais: T = T + T X 46,8 8 T,8 25,2 25,2 +46,8 +25,2 6 Exemplo 2 Empregando-se o étodo das Forças, obter os diagramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação indicada entre a rigidez à torção GJ t e a rigidez à flexão. GJ t = 2
92 étodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando artha GJ t = 2 Caso () Solicitação externa isolada no SP 72 72 8 48 Sistema Principal e Hiperestático (g = ) X 2 2 SP 72 T Caso () Hiperstático X isolado no SP 6 X = 6 2 6 6 +6 T +6 x X Equação de compatibilidade: + X = = 72 8 6 72 + 44 296 44 2 296 2268 = = = GJ GJ [ 6 ( 72) ] t t = 2 + + 2 + + 26 24 26 2 24 42 = + + = + + = GJ [ 6 6 + 6 6 ] + t 2268 42 + X = X = +5,25 kn GJ t GJ t omentos Fletores Finais: = + X omentos Torsores Finais: T = T + T X T 4,5,5 4,5 8 4,5,5 +,5