Prova 2 de INF1626 Linguagens Formais e Autômatos Aluno(a): Matrícula: Atenção: O tempo total de prova é de 110 minutos (09:05 às 10:55). Durante a prova não é permitido o uso de qualquer aparelho eletrônico (por exemplo: telefone celular, ipod ou MP3 Player, Tablets, etc.). Se alguém insistir em usar um, sua prova será anulada. Os alunos não devem se ausentar da sala durante a prova. Caso isto ocorra, o(a) professor(a) terá a opção de acatar ou não as questões respondidas após o retorno do aluno à sala. As provas só podem ser entregues depois de decorridos 45 minutos do tempo de realização. Pedidos de revisão de questões feitas a lápis poderão ser acatados ou não, dependendo do estado do manuscrito de prova. Qualquer pedido de revisão deve ser apresentado por escrito, conforme tiver sido comunicado à turma em sala de aula ou por email. Boa prova a todos! 1. [1.5 Pontos] Conceituação Apresente definições corretas e precisas para os seguintes conceitos: a. Gramática Regular à Esquerda A pergunta é sobre uma GRAMÁTICA regular à esquerda, não sobre um Autômato Finito ou Reconhecedor equivalente ou sobre as Linguagens que elas descrevem. O fato de as estruturas sintáticas da linguagem descrita por este tipo de gramática crescerem para a esquerda é sua principal característica e não está errado mencionar o fato na resposta. Entretanto, esta menção não é uma definição (e é, aliás, dispensável na definição). Uma gramática regular à esquerda G é definida por uma quádrupla G=<V,, P, S>, onde: V é o vocabulário (símbolos terminais e não terminais) é o alfabeto de símbolos terminais e S é o símbolo raiz P é o conjunto de produções (regras) do tipo, onde (V- ) e =1, (V- ) { }, { }. Para obter 100% dos pontos, a definição apresentada tem de incluir todas as características acima, enunciadas em termos dos seguintes elementos formais: vocabulário, alfabeto, produções e restrições sobre elas. P1 de INF1626 Turma 3WA / 4 de setembro de 2013 de 09:05 às 10:55 horas p. 1
b. Autômato Mínimo Autômato mínimo é o autômato finito determinístico com o menor número de estados possível capaz de reconhecer uma determinada linguagem regular L, sendo que ele é único. Algumas das respostas apresentadas definiam autômatos menores que outros, mas não necessariamente mínimos. Outras não faziam referência à linguagem que o conjunto de autômatos comparados (mínimos e não mínimos) têm de reconhecer, a mesma. Finalmente, algumas respostas eram quase mera paráfrase da pergunta: autômato mínimo é aquele que tem o mínimo de estados possíveis. Todos os casos citados levaram a descontos (maiores ou menores) na pontuação deste item da questão. c. Transdutor Finito Transdutor finito é uma extensão de autômatos finitos determinísticos que se caracterizam pela escrita de símbolos numa fita de saída, além da leitura de símbolos da fita de entrada. Portanto, os transdutores lêem símbolos do alfabeto de entrada e escrevem símbolos do alfabeto de saída. A escrita de símbolos pode ser baseada nos estados percorridos durante a execução do autômato, ou nas transições efetuadas durante essa transição. Várias respostas mencionavam parte das características definitórias dos transdutores, mas não todas elas. Além disto, houve casos de definições circulares (por exemplo: são transdutores que... ou autômatos em que as transduções... ). 2. [2.5 Pontos] Conversão de Gramática para Autômato e Minimização de Autômatos Seja a seguinte gramática regular à direita: S as S ax X b X bs X bc C c C cc P1 de INF1626 Turma 3WA / 4 de setembro de 2013 de 09:05 às 10:55 horas p. 2
a) Especifique um Autômato Finito Determinístico que reconheça exatamente a mesma linguagem que a gramática acima especifica. Inicialmente, criamos o autômato não determinístico a partir da gramática: Quem preferiu trabalhar com a expressão regular equivalente, ela é: a + (b a + )* b c* ou, de forma mais simples, (a + b) + c*. Em seguida, é necessário eliminar as transições não determinísticas: Q = {q0,q1,q2,q3} F = {q3} : q0,a,[q0 q1] q1,b,[q0 q2 q3] q2,c,[q2 q3] Criando um novo estado qn1=[q0 q1]: Q = {q0,q1,q2,q3,qn1} F = {q3} : q0,a,qn1 q1,b,[q0 q2 q3] q2,c,[q2 q3] qn1,a,[q0 q1] (qn1) qn1,b,[q0 q2 q3] Criando um novo estado qn2=[q0 q2 q3]: Q = {q0,q1,q2,q3,qn1,qn2} F = {q3,qn2} : q0,a,qn1 q1,b,qn2 q2,c,[q2 q3] qn1,a,qn1 qn1,b,qn2 qn2,a,[q0 q1] (qn1) qn2,c,[q2 q3] Criando um novo estado qn3=[q2 q3]: Q = {q0,q1,q2,q3,qn1,qn2,qn3} F = {q3,qn2,qn3} P1 de INF1626 Turma 3WA / 4 de setembro de 2013 de 09:05 às 10:55 horas p. 3
: q0,a,qn1 q1,b,qn2 q2,c,qn3 qn1,a,qn1 qn1,b,qn2 qn2,a,qn1 qn2,c,qn3 qn3,c,qn3 Podemos eliminar os estados q1, q2 e q3, pois são inacessíveis (q0 transita para qn1, e a partir dele temos apenas transições entre estados novos). Assim, o autômato final seria: Q = {q0,qn1,qn2,qn3} F = {qn2,qn3} : q0,a,qn1 qn1,a,qn1 qn1,b,qn2 qn2,a,qn1 qn2,c,qn3 qn3,c,qn3 b) Demonstre que o autômato que você especificou é (ou não é) o autômato mínimo capaz de reconhecer a linguagem em questão. Adicionando o "trap state": P1 de INF1626 Turma 3WA / 4 de setembro de 2013 de 09:05 às 10:55 horas p. 4
Estados não-finais Estados finais (0,1,T) (2,3) Expandindo com (b): (0,T) (1) (2,3) Expandindo com (a): (0)(T) (1) (2)(3) Como todos os estados são distinguíveis, o autômato já era mínimo. 3. [1.5 Pontos] Lema do Bombeamento A linguagem L = {ww w {0,1}*} é regular? Mostre por quê. A linguagem L é formada por todas as cadeias de 0's e 1's (possivelmente vazia) que consistem na concatenação de duas subcadeias idênticas. Supondo que L seja regular, então existe um autômato finito com n estados que a reconhece. Para verificar a validade do lema do bombeamento, iremos considerar a cadeia w = 0 n 1 n 0 n 1 n, que satisfaz uma das condições do lema (w L e w >= n). Bastaria mostrar que não há nenhuma partição possível de w que respeite todas as condições do lema. Vamos então argumentar que, para todas as maneiras de dividir w em três partes xyz (onde xy n e y 1), existe pelo menos um valor para i 0 que de modo que xy i z L. Para a cadeia w escolhida, a subcadeia xy é necessariamente composta apenas de 0's já que devemos observar a condição xy n e sabemos que w=0 n 1 n 0 n 1 n. Qualquer partição incluindo 1 extrapola o limite da condição. Portanto, para xy n, a subcadeia y só pode ser composta de um ou mais 0's. Ao "bombear" essa subcadeia com qualquer valor de i 1, a primeira metade da cadeia w ficará diferente da (ou desbalanceada em relação à) segunda metade, o que implica que a nova cadeia gerada não irá pertencer à linguagem. Portanto, o lema do bombeamento não se aplica, e podemos concluir que L não é regular. A pista clara de que L não é regular está no balanceamento das cadeias que a ela pertencem (formadas pela exata repetição de uma subcadeia de módulo igual à metade do módulo da cadeia completa). Este exemplo de linguagem não regular foi repetidas vezes mencionado em sala ou em exercícios. A maior fonte de erros da questão (menor índice de pontuação da prova) foi a interpretação incorreta da expressão L=ww. A maioria não percebeu que se trata de uma cadeia simétrica (duas cadeias w repetidas). P1 de INF1626 Turma 3WA / 4 de setembro de 2013 de 09:05 às 10:55 horas p. 5
4. [1,5 Pontos] Conversão de Autômato Finito para Gramática Regular e Expressão Regular Seja o seguinte Autômato Finito AF: a) Escreva uma Gramática Regular à Direita que expresse exatamente a mesma linguagem que AF reconhece. S 0A A 0B B 0B B 1C C 0B C 1D D 0B D 1D D b) Escreva uma Expressão Regular que represente o padrão de cadeias pertencentes a esta linguagem. Exemplo de Respostas Corretas Conferidas no JFLAP: 000*1(00*1)*1(1 00*1(00*1)*1)* 00(0 10 111*0)*111* 000*1(0*1)*1(00*1(0*1)*1)* Algumas respostas para a expressão regular foram extremamente elegantes. Houve no entanto um número surpreendentes de respostas erradas para a GLR à direita, onde não aparecia regra com terminais apenas (para terminar a derivação). 5. [1,5 Pontos] Minimização de Autômatos Seja o Autômato Finito AF: P1 de INF1626 Turma 3WA / 4 de setembro de 2013 de 09:05 às 10:55 horas p. 6
Mostre que/se ele pode ser minimizado para um autômato AFmin, capaz de reconhecer exatamente a mesma linguagem que ele. (Se sua resposta for positiva, construa AFmin.) Adicionando o "trap state": Verificando os estados distinguíveis: Não finais Finais (0,1,2,3,4,5,T) (2,6) Expandindo com 'b': (0,3,4,T) (1,5) (2,6) Expandindo com 'a': (0,3,4) (T) (1,5) (2,6) Expandindo com 'a': (0,3,4) (T) (1) (5) (2,6) Como não é possível fazer mais distinções entre os grupos, os novos estados para o autômato mínimo são: q0 (0,3,4) q1 (1) q2 (5) q3 (2,6) A maioria das respostas, surpreendentemente (face a outra questão que já envolvia conhecimento de minimização de autômatos) apresentou autômatos que não correspondem ao original (não mínimo). Não distinguiram q1 e q5 P1 de INF1626 Turma 3WA / 4 de setembro de 2013 de 09:05 às 10:55 horas p. 7
(distintos para a depois de separarmos o trap ). Como resultado, aceitaram subcadeias (aa)+ depois de um b (o que não é autorizado pelo autômato original). 6. [1,5 Pontos] Conversão LR para LL Qual o procedimento de conversão de uma linguagem linear à direita para uma linguagem linear à asquerda? Ilustre a sua resposta utilizando uma linguagem regular de sua escolha. O procedimento consiste em encontrar a gramática regular à direita (GRD) que gera a linguagem reversa (L rev ), pois a partir dela podemos transformar as suas regras para convertê-la na GRE que gera L, da seguinte forma: para cada regra, com e (V- ), crie uma regra ' ' para cada regra, com (V { }), crie uma regra ' Por exemplo, seja a GRD abaixo para a linguagem L = a + b + : S as S B B bb B b Nesse caso, L rev = b + a +. Uma possível GRD para gerar L rev seria: S bs S A A aa A a Ao transformar essa GRD em GRE, obtemos uma gramática que gera (L rev ) rev = L: S' S'b S' A' A' A'a A' a Esta foi a questão mais fácil da prova. A maioria das respostas às quais não foi dada pontuação cheia da questão tinha problemas na apresentação do algoritmo ou procedimento de conversão. A correção tolerou algumas imprecisões ou variações em relação ao algoritmo acima **se** a ilustração estivesse correta. P1 de INF1626 Turma 3WA / 4 de setembro de 2013 de 09:05 às 10:55 horas p. 8