COKRIGAGEM Procedimento geoestatístico segundo o qual diversas variáveis regionalizadas podem ser estimadas em conjunto, com base na correlação espacial entre si. É uma extensão multivariada do método da krigagem quando para cada local amostrado obtém-se um vetor de valores em lugar de um único valor. Aplicação da cokrigagem Quando duas ou mais variáveis são amostradas aproximadamente nos mesmos locais dentro de um mesmo domínio espacial e apresentam significativo grau de correlação. O método pode ser usado quando a variável de interesse apresenta-se sub-amostrada em relação às demais. Essa variável é conhecida como primária e as demais como secundárias. O objetivo é melhorar a estimativa da variável primária utilizando aquelas mais densamente amostradas. Ou quando a variável primária também exibe uma baixa autocorrelação espacial e as variáveis secundárias apresentam uma alta continuidade. Normalmente é usada uma variável primária e apenas uma secundária. Se o numero total de variável primária e secundárias for igual a n, serão necessários (N v +) / variogramas e covariogramas cruzados. 3 4
ZS Fundamental na utilização da cokrigagem é a verificação prévia da correlação existente entre as variáveis, a qual deve ser alta para que as estimativas sejam consistentes. Também deve ser notado que a melhoria de interpretação somente é significativa quando uma das variáveis tem um número extremamente reduzido de casos em relação à outra. Se Z (x) e Z (x) são funções aleatórias estacionárias ou intrínsecas, o seu variograma cruzado, define-se como : Z Z ( h) E[( Z( x) - Z( x h))( Z( x) - Z ( x h Variograma cruzado experimental: O estimador Z(x 0 ) num ponto não amostrado x 0 pode ser descrito pela combinação linear dos valores vizinhos de ambas as variáveis ))] 5 6 Cokrigagem Ordinária: solução por cálculo matricial [A] [B] [X] α i =,...n i representam os n i pontos para a variável Zi e α i =,...n i representam os n i pontos com deslocamento h para a variável Zi i é o identificador da variável primária Z ou secundária Z Matriz [A] composta: pela sub-matriz, que descreve a distribuição espacial da primeira variável Z ; pela sub-matriz, que descreve a distribuição espacial da segunda variável Z ; pela sub-matrizes, que descrevem a variabilidade cruzada das variáveis Z e Z consideradas em conjunto; os termos restantes 0 e correspondem à condição de não viés para ambas as variáveis. 7 8
Vetor [B]: a matriz [A] não contém nenhuma informação sobre o ponto X 0, objeto da estimativa. Toda a informação necessária está contida no segundo membro do sistema, o vetor [B], o qual é composto por subvetores: o que depende da configuração geométrica relativa ao ponto X 0 em relação aos pontos x, onde Z é observada; o que depende da configuração geométrica relativa ao ponto X 0 em relação aos pontos y, onde Z é observada; os termos restantes 0 e correspondem à condição de não viés. Vetor [X]: a solução do sistema, ou seja, o cálculo dos coeficientes s, s e dos multiplicadores de Lagrange μ e μ, expressos pelo vetor [X] para diferentes pontos X 0 é obtida pela inversão de [A] e subseqüente multiplicação por [B]. 9 0 Modelo linear de corregionalização As equações da cokrigagem são formuladas na suposição que as variáveis primária e secundária apresentam covariâncias, com matriz positiva definitiva, para ser considerada uma matriz de covariâncias-cruzada válida. Uma maneira simples para a obtenção dessa matriz é utilizar o modelo linear de corregionalização. Ajusta os variogramas e covariogramas cruzados entre duas variáveis, ou mais, de tal maneira que a variância de qualquer combinação linear possível dessas variáveis seja sempre positiva. Tal combinação usa a mesmas estruturas dos variogramas e dos covariogramas cruzados, mantendo o mesmo valor para o alcance. Ambos os determinantes das matrizes referentes aos valores do efeito pepita (Co) e soleira (C), devem ser positivos: 3
Com dados totalmente coincidentes (isotopia): Conveniente, apenas, para estimar de maneira consistente o topo e a base de um jazimento. Cokriging Impossível estimar covariancias cruzadas com todos os dados não coincidentes (heterotopia). Cokriging Topo Base Não se obtem uma melhoria substancial quando se aplica a cokrigagem, em relação à krigagem ordinária. Variável secundária (impedância acústica) Variável principal (porosidade) 3 4 Cokriging Resultados satisfatórios quando os dados são parcialmente coincidentes (heterotopia parcial) Apenas variável secundária (impedancia acústica) Apenas variável principal (porosidade) Variável principal e variável secundária A cokrigagem ordinária é um procedimento que requer o cálculo e modelagem de variogramas experimentais diretos e cruzados. A modelagem desses variogramas não pode ser feita individualmente, mas sim em conjunto de tal forma que devem satisfazer o modelo linear de corregionalização. Tal procedimento pode se tornar muito trabalhoso à medida que aumenta o número de variáveis secundárias. Além disso, dependendo do número de variáveis envolvido, há o problema de estimativas discrepantes com a distribuição inicial da variável primária. Isso acontece devido às condições de restrição do sistema de equações de cokrigagem ordinária em que os pesos da variável primária somam a um, enquanto os pesos da variável secundária somam zero. 5 6 4
A cokrigagem colocalizada é uma técnica que simplifica o procedimento da co-estimativa, pois não requer o cálculo do variograma cruzado, o qual é deduzido com base no chamado Modelo de Markov ou, dependendo do suporte amostral da variável primária em relação à variável secundária. Trata-se de uma técnica que faz a estimativa usando a informação secundária em caso de alta correlação ou a informação primária em caso de baixa correlação. Em situações de correlações médias, a cokrigagem colocalizada faz uso tanto da informação primária como da secundária, por meio dos pesos da variável primária e peso da secundária. A krigagem com deriva externa é também uma alternativa interessante em situações onde a variável secundária é fartamente amostrada. Nesse procedimento, há uma condição de restrição que força os pesos da variável primária seguirem a geometria da variável secundária. A maior dificuldade da krigagem com deriva externa está no cálculo da covariância residual a partir do variograma residual. Foi desenvolvido um procedimento que permite calcular a componente de tendência sobre a malha regular contendo a informação secundária e a partir daí derivar o seu variograma, que subtraído do variograma da variável primária resulta no vaiograma residual. 7 8 A cokrigagem ordinária trabalha com uma base de dados, preferencialmente com heterotopia parcial, da qual são calculados os variogramas diretos e cruzado. A cokrigagem colocalizada e a krigagem com deriva externa usam duas bases de dados: a primeira com amostragens das variáveis primária e secundária nos mesmos pontos, ou seja, a base é isotópica e outra base com dados secundários sobre os pontos que se deseja estimar a variável primária. No caso da cokrigagem colocalizada, parte-se do covariograma da variável primária para estimar o covariograma cruzado. A krigagem com deriva externa precisa do variograma residual. 9 Yamamoto e Landim, 03 0 5
Exemplo: Distribuição dos poços que atingiram o lençol freático/bauru,sp (Sturaro, 994) Topografia e lençol freático 7534000 554.08 7533000 576.60 753000 753000 7530000 759000 56.70 500.75 54.38 504.35 494.77 50. 58.00 50.8 53.60 508.80 496.77499.56 50.88 56.56 55.00 50.5 50.80 508.43 505.5 56.74 58.00 50.95 50.00 56.0 54.46 5.56 5.8 506.7 504.98 503.3 5.40 534.0 59.00 538.0 5.69 5.85 54.90 58.00 53.30 58.33 50.0 57.00 530.3 5.80 50.0 537.46 54.5 543.53 535.63 537.6 50.00 535.30 543.98 58.30 539.70 5.48 54.45 538.90 530.60 54.40 535.00 534.50 54.00 549.00 499.7 495.78 546.8 530.00 547.455.5 549.40 555.35 556.58 56.73 559.80 559.5 563.5 558.50 495.63 50.7 504.68 504.4 758000 534.00 554.87 577.87 564.73 55.00 757000 556.50 756000 548.48 568.84 696000 697000 698000 699000 700000 70000 70000 703000 704000 Correlação entre cota topográfica e topo do lençól freático 3 4 6
UTM - NORTE (UTM) - NORTE Variogramas Cokrigagem do topo do lençol freático COKRIGAGEM DO TOPO DO LENÇOL FREÁTICO 7538000 7536000 7534000 753000 7530000 758000 756000 600 590 580 570 560 550 540 530 50 50 500 490 480 470 460 450 754000 694000 696000 698000 700000 70000 704000 706000 (UTM) - LESTE 5 6 7 Mapa dos desvios padrão da cokrigagem MAPA DOS DESVIOS PADRÃO DA COKRIGAGEM TOPO DO LENÇOL FREÁTICO 7538000 7536000 9.5 7534000 8.0 6.5 753000 5.0 3.5.0 7530000 0.5 9.0 758000 7.5 6.0 756000 754000 694000 696000 698000 700000 70000 704000 706000 UTM - LESTE EXERCÍCIO 05. Krigagem indicativa Aplicar o algoritmo Kriging aos 359 dados do exercício 0, após transformação para valores binários 0-. Os níveis de corte, necessários para a transformação binária 0-, são 0.8 para cádmio, 50 para cobre e 50 para chumbo. Esses valores são definidos como sendo o máximo tolerável para um solo ser considerado como não poluído. Para a transformação binária: Planilha de dados/data Transform Transform with: Column variables Transform equation: Para cádmio: G=IF(D>0.80,,0) Para cobre: H=IF(E>50,,0) Para chumbo I=IF(F>50;,0) Calcular mapas com valores de probabilidade de ocorrência para os metais cádmio, cobre e chumbo. Os mapas resultantes deverão obedecer à área irregular abrangida pelos pontos de 8 amostragem. 7