http://www.sbfisica.org.br/v1/novopion/index.php/publicacoes/artigos/471-60-60-63 60 + 60 = 63? Publicado em 14 Março 2013. Autora: Maria de Fátima Ferreira Neto* A conta 60 +60 = 63 está correta? Ora, a conta está errada! Sessenta laranjas mais sessenta laranjas são cento e vinte laranjas. A mesma soma vale para maças, cadeiras, gatos, pessoas, planetas, etc. Sessenta mais sessenta é igual a cento e vinte, não importa o que está sendo somado. No entanto, há ramos da Física em que 60+60 parece ser 63. Um destes ramo é a Acústica, o estudo do som. Os acústicos afirmam que 60dB + 60dB = 63dB. Como isso é possível? Para responder esta pergunta é necessário saber o que é db. A intensidade sonora e o nível de intensidade sonora O som pode se propagar nos sólidos, líquidos e nos gases. Então cada ponto do ar pode ser atravessado por ondas sonoras. A intensidade sonora em um ponto é uma grandeza relacionada a distribuição de energia sonora. Por exemplo, nas proximidades de uma caixa de som, muita energia sonora está em um pequeno espaço. A intensidade é alta. Em pontos mais distantes da caixa de som, a energia estará espalhada por uma área bem maior. A intensidade sonora longe da caixa será menor do que nas proximidades. Em suma, quanto mais distante da fonte sonora, menor a intensidade. Caso a fonte sonora aumente sua emissão de energia sonora, a intensidade em cada ponto também aumenta. Isso ocorre quando uma pessoa fala mais alto ou o volume de uma caixa de som aumenta. Se várias fontes sonoras incidam som no mesmo ponto, a intensidade sonora total será a soma das intensidades geradas por cada fonte. É por isso que várias caixas de som ligadas ou várias pessoas conversando podem gerar sons bastante intensos. A intensidade sonora varia enormemente em situações distintas. Por exemplo, o ruído de crianças em um parque é cerca de 1.000 vezes mais intenso do que os sons em uma biblioteca. Já o barulho da decolagem de um avião atinge uma intensidade 1.000.000 de vezes maior do que os ruídos em uma biblioteca. Há uma intensidade sonora abaixo da qual as pessoas não conseguem ouvir os sons. Esta intensidade sonora é chamada de intensidade de referência ou limiar da audibilidade. Seu símbolo é I 0. Cada intensidade sonora é associada a um nível de intensidade sonora. Intensidade e nível de intensidade não devem ser confundidos. A unidade de nível de intensidade sonora é o decibel. Como o leitor já desconfia, o símbolo do decibel é db. 1

Zero decibel (0dB) corresponde a intensidade de referência I 0. Assim, todo som acima de 0dB pode ser ouvido. Dez decibels (10dB) representam um som 10 vezes mais intenso do que a intensidade de referência. Em outras palavras, 10dB indica uma intensidade de 10I 0. Vinte decibels (20dB) se refere a 100 vezes a intensidade de referência. Então 20dB está associado a um som de intensidade 100I 0. Trinta decibels (30dB) relaciona-se a um som com 1.000 vezes a intensidade de referência (1.000I 0 ). O raciocínio pode ser repetido infinitamente. Cada vez que a intensidade sonora é multiplicada por 10, o nível de intensidade sonora aumenta 10dB. A Tabela I abaixo é construída a partir deste princípio. Tabela I - Intensidade sonora e Nível de intensidade sonora Nível de intensidade sonora (db) Intensidade sonora (I 0 ) 0dB I 0 10dB 10 I 0 20dB 100 I 0 30dB 1.000 I 0 40dB 10.000 I 0 50dB 100.000 I 0 60dB 1.000.000 I 0 70dB 10.000.000 I 0 80dB 100.000.000 I 0 90dB 1.000.000.000 I 0 100dB 10.000.000.000 I 0 110dB 100.000.000.000 I 0 120dB 1.000.000.000.000 I 0 Um som de 40dB é alto ou baixo? Quantos decibels são necessários para incomodar uma pessoa? Para que o leitor tenha uma ideia, o nível de intensidade sonora desejável em uma biblioteca é de cerca de 60dB. De acordo com a tabela acima, 60dB é a intensidade de referência I 0 ampliada 1.000.000 de vezes (um milhão de vezes). 2

Como já foi descrito, crianças em um parque geram um ruído 1.000 vezes mais intenso do que em uma biblioteca (60dB). Como a intensidade sonora em uma biblioteca é de 1.000.000I 0, então as crianças geram um barulho de 1.000x1.000.000I 0 =1.000.000.000I 0 (um bilhão de vezes a intensidade de referência). De acordo com a tabela acima, a intensidade de 1.000.000.000I 0 equivale a um nível de intensidade de 90dB. O barulho de um avião a jato decolando é 1.000.000 de vezes mais intenso do que os sons em uma biblioteca. Então o barulho do avião tem intensidade 1.000.000x1.000.000I 0 =1.000.000.000.000 I 0 (um trilhão de vezes a intensidade de referência). Olhando novamente a tabela, a intensidade do avião decolandoequivale a um nível de intensidade de 120dB. O leitor já deve ter notado uma das conveniências de usar o nível de intensidade sonora. O que é mais fácil, escrever que o barulho em uma biblioteca tem um milhão de vezes a intensidade de referência ou que ele vale 60dB? O que é melhor, falar que um jato causa um ruído de um trilhão de vezes a intensidade de referência ou que ele vale 120dB? Dobrando a intensidade sonora Na representação em decibel, uma multiplicação na intensidade sonora equivale a uma soma. Quando a intensidade sonora é multiplicada por 10, o nível de intensidade sonora aumenta 10dB. E se a intensidade sonora é multiplicada por 2, que número deve ser somado no nível de intensidade sonora? Dobrar a intensidade sonora equivale a somar aproximadamente 3dB. Por exemplo, se o ruído em um parque passa de 1.000.000.000I 0 para 2.000.000.000I 0, o nível de intensidade sonora aumenta de 90dB para 93dB. Seguindo a regra acima, se a intensidade sonora correspondente a 60dB em uma biblioteca dobrar, ela chegará a 63dB. É bom que o leitor esconda esta informação! Há pessoas que usam bibliotecas como locais de recreação. Ao dobrar a intensidade sonora das conversas, elas alegariam que seu ruído aumentou apenas 3dB. Mas por que dobrar a intensidade sonora equivale a somar aproximadamente 3dB? Há uma fórmula para calcular o nível de intensidades sonora correspondente a qualquer intensidade sonora. Esta fórmula envolve a operação logaritimo. O objetivo deste artigo não é exibir a fórmula, mas apenas estimar os decibels correspondentes a uma intensidade sonora. Quem estiver interessado na fórmula, pode consultar o linkhttp://www.eca.usp.br/prof/iazzetta/tutor/acustica/intensidade/intensidade.htm. No lugar de uma demonstração matemática, a Tabela II abaixo mostra como a soma de 3dB para cada vez que a intensidade dobra leva a um resultado coerentes com o que já foi calculado. Tabela II Intensidade sonora e Nível de intensidade sonora Nível de intensidade sonora (db) Intensidade sonora (I 0 ) 0dB 1 I 0 3dB 2 I 0 3

6dB 4 I 0 9dB 8 I 0 12dB 16 I 0 15dB 32 I 0 18dB 64 I 0 21dB 128 I 0 24dB 256 I 0 27dB 512 I 0 30dB 1.024 I 0 A intensidade prevista para 30dB na Tabela II é de 1.024 I 0 enquanto o valor exato seria 1.000 I 0. O erro é de apenas 2%. Na verdade, uma soma de 3dB não chega a dobrar exatamente a intensidade sonora, mas corresponde a multiplicação por aproximadamente 1,9952623149688796013524553967395. Como este número é muito próximo a 2, a aproximação é satisfatória. Se dobrar a intensidade sonora corresponde a soma de 3dB, então dividir a intensidade sonora por 2 implica na subtração de 3dB. Por exemplo, se 10dB corresponde a 10I 0, então 7dB indica 5I 0. Repetindo o raciocínio, 4dB equivale a 2,5I 0. Finalmente, 1dB representa 1,25I 0. Somando as intensidades sonoras e os níveis de intensidade sonora Como já foi descrito, duas fontes sonoras podem sobrepor seus sons em um mesmo ponto. A intensidade total será a soma das intensidades particulares. Por exemplo, se duas caixas geram uma intensidade sonora de mínima I 0 sobre um mesmo ponto, a intensidade total será: I 0 + I 0 = 2I 0 Os acústicos costumam representar a soma das intensidades pelos seus correspondentes em decibels. Consultando a tabela II, a soma acima fica: 0dB + 0dB = 3dB A soma acima deve ser interpretada em termos das intensidades correspondentes. Caso contrário, ela não faz sentido. A soma dos números naturais seria 0+0=0, não 0+0=3. Somar um número com ele mesmo, equivale a dobrá-lo. Por exemplo, 4+4=2x4=8. Mas dobrar a intensidade sonora equivale a somar 3dB no nível de intensidade sonora. Foi o que ocorreu na soma 0dB+0dB=3dB. Assim, sempre que uma intensidade sonora é somada com ela mesma, basta somar 4

3dB no resultado final. Na Tabela III abaixo serão colocadas algumas somas em decibels com suas correspondentes em intensidade sonora. Tabela III Soma de Intensidade sonora e Soma de Nível de intensidade sonora Soma de níveis de intensidades sonoras (db) Soma de intensidades sonoras 1dB+ 1dB = 4dB 1,25I 0 + 1,25I 0 = 2,5I 0 4dB+ 4dB = 7dB 2,5I 0 + 2,5I 0 = 5I 0 7dB+ 7dB = 10dB 5I 0 + 5I 0 = 10I 0 3dB + 3dB = 6dB 2I 0 + 2I 0 = 4I 0 6dB + 6dB = 9dB 4I 0 + 4I 0 = 8I 0 9dB + 9dB = 12dB 8I 0 + 8I 0 = 16I 0 60dB + 60dB = 63dB 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 = 2.000.000 I 0 90dB + 90dB = 93dB 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 = 2.000.000 I 0 93dB +93dB = 96dB 2.000.000I 0 + 2.000.000I 0 = 4.000.000 I 0 Na tabela acima aparece um único caso onde a soma em decibels é igual a soma de números naturais: 3dB+3dB=6dB. Os demais casos apresentam uma soma em decibels diferente da soma dos naturais. Somas com dez parcelas iguais também podem ser deduzidas neste artigo. A soma de dez parcelas iguais equivale a multiplicar por 10. Por exemplo, 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3=3x10=30. Mas multiplicar a intensidade sonora por 10, equivale somar 10dB no nível de intensidade sonora. Então a soma de dez parcelas iguais em decibels equivale resulta em somar 10dB em uma das parcelas. A Tabela IV abaixo mostra alguns exemplos das somas de níveis de intensidades sonoras com as intensidades sonoras correspondentes Tabela IV - Soma de Intensidade sonora e Soma de Nível de intensidade sonora Soma de níveis de intensidades sonoras (db) 0dB+0dB+0dB+0dB+0dB+0dB+0dB+ 0dB+0dB+0dB=10dB Soma de intensidades sonoras I 0 + I 0 + I 0 + I 0 + I 0 + I 0 + I 0 + I 0 + I 0 + I 0 = 10I 0 5

1dB+1dB+1dB+1dB+1dB+1dB+1dB+ 1dB+1dB+1dB=11dB 60dB+60dB+60dB+60dB+60dB+60dB+60dB+ 60dB+60dB+60dB=70dB 1,25I 0 + 1,25I 0 + 1,25I 0 + 1,25I 0 + 1,25I 0 +1,25I 0 +1,25I 0 +1,25I 0 +1,25I 0 +1,25I 0 = 12,5I 0 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 + 1.000.000I 0 = 10.000.000I 0 Enfim, a soma em decibels é bizarra a medida que é interpretada como soma de números naturais. Interpretando a soma em decibels com as intensidades sonoras correspondentes, tudo faz sentido! Finalmente a pergunta pode ser respondida: 60+60=120. No entanto, 60dB+60dB=63dB porque esta soma representa que 1.000.000I 0 +1.000.000I 0 =2.000.000I 0. O uso do decibel é mais popular na acústica do que nos outros ramos da Física. Por exemplo, o decibel é muito utilizado em eletricidade. Mas isso é outra história... Agradecimentos especiais ao Prof. Leonardo Sioufi Fagundes dos Santos, da UNIFESP Diadema, pelo imenso apoio na elaboração deste artigo. 6